CC BY
13
УДК 517.925
DOI: 10.18413/2075-4639-2018-50-1-21-34
О БИФУРКАЦИЯХ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА, ПРОХОДЯЩЕГО ЧЕРЕЗ ТОЧКУ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ЛИНИЙ РАЗРЫВА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ И КАСАЮЩЕГОСЯ ОДНОЙ ИЗ НИХ
ON BIFURCATIONS OF A LIMIT CYCLE PASSING THROUGH A JUNCTION POINT OF LINES OF DISCONTINUITY OF A VECTOR FIELD
AND TANGENT TO ONE OF THEM
В.Ш. Ройтенберг V.Sh. Roitenberg
Ярославский государственный технический университет Россия, 150023, г. Ярославль, Московский пр. 88
Yaroslavl State Technical University, Russia, 88 Moskovskij pr.,Yaroslavl, 150023, Russia
E-mail: vroitenberg@mail.ru
Аннотация
Рассматривается кусочно-гладкое векторное поле Xq на плоскости с разбиением на подмногообразия Mt (i = 1,2,...) с углами. Пусть точка O является 1-угловой для , 2-угловой для остальных элементов разбиения, примыкающих к точке O , и через эту точку проходит периодическая траектория Г, касающаяся SMi. Предполагается, что на трансверсали к Г определена функция последования f (•) по траекториям поля, причем f (0) = 0, f '(+0) = 1. Рассматриваются два случая —1)(р.+ — 1) > 0 и —1)(р.+ — 1) < 0. В каждом случае для семейства векторных полей, являющегося двухпараметрической деформацией общего положения векторного поля Xq , рассматриваемого в достаточно малой кольцевой окрестности Г, получена бифуркационная диаграмма. В первом случае Г бифурцирует аналогично тройному циклу гладкого векторного поля, в частности, из Г могут родиться три грубые периодические траектории. Во втором случае бифуркации Г похожи на бифуркации двойного цикла гладкого векторного поля.
Abstract
We consider a piecewise-smooth vector field Xq on the plane with partition into submanifolds Mt (
i = 1,2,...) with angles. Let the point O be 1-angular for M1, 2-angular for the remaining elements of
the partition adjacent to the point O, and through this point there passes a periodic trajectory Г tangent
to 8M1. It is assumed that on the transversal to Г is defined Poincare map f (•), f(0) = 0,
f '(±0) = p,± ^ 1. Two cases, (p,_ — 1)(p,+ — 1) > 0 and (p,_ — 1)(p,+ — 1) < 0, are considered. In each
case, for a family of vector fields that is a generic two-parameter deformation of a vector field X 0
considered in a sufficiently small ring neighborhood of Г, we obtain the bifurcation diagram. In the first case, Г bifurcates similarly to the triple cycle of a smooth vector field; in particular, three coarse periodic trajectories can be born from it. In the second case, bifurcations of Г are similar to bifurcations of the double cycle of a smooth vector field.
Ключевые слова: кусочно-гладкое векторное поле, периодическая траектория, бифуркационная диаграмма, бифуркации.
Keywords: piecewise smooth vector field, periodic trajectory, bifurcation diagram, bifurcations.
Введение. Динамические системы, задаваемые разрывными (кусочно-гладкими) векторными полями используются в различных технических, биологических и экономических задачах. Хотя кусочно-гладкие системы изучались в большом числе научных работ (ссылки можно найти в книгах [1] и [2]), их бифуркации еще недостаточно исследованы.
В статьях [3] - [7] описаны бифуркации кусочно-гладких векторных полей на плоскости в окрестности устойчивой негрубой особой точки типа «сшитый фокус» на стыке линий разрыва векторных полей при потере устойчивости. В [8] рассматривались бифуркации периодической траектории, касающейся линии разрыва.
В работах [9] и [10] для кусочно-гладкого векторного поля, заданного на двумерном многообразии М с разбиением Б = (Мь...,Мт) на многообразия с углами, изучались типичные бифуркации в окрестности периодической траектории, проходящей через точку О, являющейся 2-угловой точкой для всех элементов разбиения Б, ее содержащей.
В настоящей работе рассматривается случай, когда точка О является 1-угловой для М} и периодическая траектория касается дМх в точке О.
1. Условия и результаты. Пусть М с К2 - компактное Сг+1 -многообразие с углами (г > 3), Б = (М1,М2,...,Мт) - разбиение М на компактные Сг+1 -многообразия с углами, пересекающимися между собой только по границам.
Кусочно-гладким векторным полем класса Сг на многообразии с разбиением Б назовем элемент X = (X1, X2,..., Хт) банахова пространства Хг (М, В)=@т=\Хг (М\),
где Хг (М1) - банахово пространство векторных полей класса Сг на М1 с Сг -нормой. Траекториями векторного поля X следуя [1, с. 95] будем называть траектории дифференциального включения г = X*(г), г е М, где X* (г) = [X1 (г)} при г е М1 и X*(г) -выпуклая оболочка векторов X1l(z),X12(г),...,X1 (г) при геМ^ <М^ <...<М1 .
ит
тЬ Мг . Без ограничения общности можно считать, что элементы разбиения Б пронумерованы так, что точка О принадлежит дМ1 только для 1 е{1,2,...,п}, п < т . Пусть точка О является 1-угловой для М} и 2-угловой для М1, 1 е [2,...,п} . Тогда п > 3. Мы можем считать, что нумерация Mi, 1 е [2,...,п}, и С+1 -координаты (х, у) в некоторой окрестности V* точки О выбраны так, что точка О имеет коор-
* 2 2 динаты (0,0), Мх <V* задается неравенствами х + у < 1, у < 0, множество
Ц := дМ1^ <дМ1+1 «V* при 1 е [1,2,...,п — 1} и Ц := дМ1 <дМп «V* при 1 = п является образом при Сг+1 -вложении ц1 : [0,1) ^ М, ц1 (0) = О , г^ (я) = (я,0), цп (я) = (—^,0) . Тогда
дМ1 <V* = Ц ^Ьп, для 1 е [2,...,п} дМ1 <V* = Ц—1 ^Ц , а упорядоченные пары векторов (л1—1(0),л1 (0)), 1 е[2,...,п}, положительно ориентированы (относительно ориентации, заданной координатами (х, у) ).
Рассмотрим семейство векторных полей Xs = (X1,..., XIт ) е Хг (М, Б), зависящих от параметра в, принадлежащего некоторой окрестности нуля Е в двумерном евклидовом пространстве. Будем предполагать, что отображения М1 хЕэ (г,в) ^XB(г) принадлежат классу Сг и могут быть продолжены до Сг -отображений на МхЕ.
Предположим, что для поля Xo = (X1,..., X(m) выполняется условие
(У1) Для любого 1 е[2,...,п} обе пары векторов (лг'—1(0), X(0 (О)) и (^ (0), X(0 (О)) положительно ориентированы.
Из условия (У1) и [11, с. 80-85] вытекает, что число > 0 и окрестность Е0 нуля в Е можно выбрать так, что для любого е е Ео определены отображения | х(5) ^ |(9 е(э)
, ^ е [0, , по траекториям векторных полей Хге , I е{2,...,п}, при этом (5, е) ^ 9, е(5) -
функции класса Сг, 9,,е (0) = 0, (9, е )'(5) > 0.
В координатах (х,у) Ху(х,у) = Ру(х,у,е)д/дх + Ql(х,у,е)д/ду, где Ру и - Сг 2 2
-функции на {(х, у) : х + у < 1} х Е. Пусть выполняются условия (У2) Ру(0,0,0) < 0, 0у(0,0,0) = 0, 0!х (0,0,0) > 0 .
(У3) Через точку О проходит периодическая траектория Г0 поля Х0, не содержащая особых точек, отличных от О.
В силу (У1) и (У2) пересечение Г0 с достаточно малой окрестностью точки О является дугой траектории поля х0, касающейся дМу в точке О.
Пусть | : (—VI, VI) ^ т1 Му - Сг -вложение, трансверсальное полю x1, такое, что |(0) е Г, а дуга |(—^,0) находится с той же стороны от Г), что и дуга х = 0, — а < у < 0, при достаточно малом а > 0. Тогда найдется такое число V2 е (0, VI), что траектория поля х0, начинающаяся в точке , V е (—^,0], следующий раз пересечет дугу |(—уу,0] в
точке |(/0— (V)), где /0— (•) е Сг, /0— (0) = 0, (/0— )'^) > 0, то есть на дуге |(—у2 ,0] определена функция последования по траекториям поля Х 0 (рис. 1).
Обозначим := (/0— )'(0), ц+ := (/0— )'(0) • [(92е)'(0)---(9пе)'(0)]2 . Далее мы покажем, что на дуге г|[0, V») при некотором V» > 0 определена функция последования /0+ (V) по траекториям поля х0, и для нее (/0+ )'(0) = . Будем предполагать (У4) ^ 1, ^ 1.
Из (У2) по теореме о неявной функции следует существование числа х > 0 и окрестности Е1 точки 0 е Е0, таких, что для е е Еу уравнение (х,0, е) = 0 имеет в интервале
(—х, х) единственное решение х = х0(е), при этом х00 е Сг, х0(0) = 0, (х0(е),0, е) > 0. Обозначим Ое точку с координатами х = х0(е), у = 0. Если окрестность Е2 точки 0 е Еу достаточно мала, то из точки Ое выходит положительная (отрицательная) полутраектория
поля хе, ееЕ2, пересекающая дугу |(—v1) в точке IV (е)) (IV (е))), где v± (•) е Сг, v± (0) = 0. Обозначим ^(е) := v— (е) — v+ (е) . Теперь мы можем сформулировать условие (У5) Векторы дх0(е)/де и д^(е)/де линейно независимы.
Если это условие выполняется, то в некоторой окрестности Е3 точки 0 е Е2 можно
выбрать Сг -координаты (еу, е2) так, что
х0(е) = е1> v0(е) = е2 . (1) В дальнейшем будем отождествлять точку е е Е3 с ее координатной строкой:
е = (еу,е2), обозначать |е| := тах{|еу|,^2} и считать Е3 = (—5»,5»)2 при некотором 5» > 0.
Можно показать, что условия (У1) - (У4) задают в Xг (М, П) Сг -подмногообразие коразмерности два, а условие (У5) означает трансверсальность отображения е ^ Хе к этому подмногообразию в точке е = 0.
Рис. 1. Отображения /s , %s и х+ Fig.l Displays /Г, х- and X+
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма семейства Xs |u Fig.2 Bifurcation diagram of the family
Теорема. Пусть выполняются условия (У1) - (У5). Тогда существуют окрестность U кривой Г0, граница 8U которой состоит из двух кусочно-гладких кривых Г" и Г+, а также числа 5, 50 е (0,5*) со следующими свойствами:
1) При -1)(р,+-1) > 0 положительные полутраектории векторных полей Xs, s е (_5о, 5о) х (_ 5,5), начинающиеся в точках 8U входят в U. При (р,_ -1)(р,+ _ 1) < 0 положительные полутраектории векторных полей Xs, s е (-50,50) х (_ 5,5), начинающиеся
в точках Г", входят в U, начинающиеся в точках Г+ выходят из U.
2) Бифуркационная диаграмма семейства Xs|u , se(-50,50)х(-5,5), представляет разбиение (-50,50) х(-5,5) на множества Ei, i е{1,2,...,9}, и Bj, j е{0,1,...,9} (рис. 2). Здесь в случае (^ -1)(^+ -1) > 0 B0 = {(0,0)}, B1 = (0,50) х{0}, B5 = {0}х (0,5), B6 = (-50,0) х{0}, B9 = {0}х (-5,0), приj е {1,2,3} Bj = {s : S1 е (0,50),s2 =Pj(s1)}, где
: (0,50) ^(0,5), еCr, P/+0) = 0, при k е{7,8} Bk = {s: s е(-50,0), S2 =$k(S1)}, где
Pk :(-50,0) ^ (-5,0), Pk е с, Pk(-0) = 0, а в случае (^ - 1)(ц+-1) < 0 B0 = {(0,0)}, B1 = (0,50) х {0}, B4 = {0} х (0,5), B5 = (-50,0) х {0}, B9 = {0} х (-5,0), при j е {1,2} Bj- = {s : s1 е (0,50),s2 =pj(s1)}, где Pj : (0,50) ^ (0,5), pj еCr, Py(+0) = 0, при k е {6,7,8} Bk = {s: 81 е (-50,0), 82 = Pk(81)}, где pk : (-50,0) ^ (-5,0), Pk е Cr, ph(-0) = 0.
Схемы фазовых портретов векторных полей Хе , ее (—50,50) х (—5,5) при
< 1, < 1 изображены на рис. 3, а при < 1, > 1 на рис. 4. Для ех < 0 ( и > 0) дуга дм1 между точками О и О является устойчивой (неустойчивой) линейной особенностью. При > 1, > 1 (> 1, < 1) на фазовых портретах, изображенных на рис. 3 (рис. 4), следует изменить ориентацию на траекториях на противоположную.
Доказательство для случая < 1, < 1 приведено в пунктах 2-5. Случай
< 1, > 1 рассматривается аналогично.
2. Функции соответствия, функции последования, функция расхождения. Пусть 1е(е) + V), (и) - точка с координатами х = х0(е) + и = еу + и, у = 0. Тогда
О = (—еу), Ое = ^е(0). Ввиду (У1) и (У2) мы можем считать 5» столь малым, что при ее (0,5») х (—5», 5») векторное поле ху ( Хе2 ) в точках открытой дуги <^е (—еь0) направлено внутрь Му (М2 ), а в точках г е ООе = С5[—е1,0] вектор Т(и,е)д/ди из выпуклой оболочки векторов Х!|(г) и Хе2(г), касающийся дМу, ненулевой, причем Т(и, е) < 0. Поэтому дуга ООе - неустойчивая линейная особенность поля хе , являющаяся дугой траектории поля [1]. Аналогично получаем, что при е е (—5»,0) х(—5»,5») ООе - устойчивая линейная особенность поля хе , являющаяся дугой траектории поля. Из (1) и [8, с. 59-61] следует
Лемма. При некоторых и > 0 и 5у е (0,5») положительная (отрицательная) полутраектория поля Хе, |е| < 5у, начинающаяся в точке (и), и е [—и,0] (и е [0, и ]) как полутраектория поля Ху, первый раз пересекает дугу |(—Уу, в точке |е (х+(и)) (
1е (х— (и))) (см. Pис.1), где
Х(±)(0 е Сг, х+ (0) = —е2, X— (0) = 0; (2)
(Х±)'(0) = 0, (х+ )'(и) < 0 при и е [—и,0), (х— )'(и) > 0 при и е (0,и]; (3)
(Х+)''(0) > 0, (х— )'(0) > 0; (4)
(х+ )'(0)/( х— )''(0) = (/— )'(0) = ^. (5)
Поскольку хе (0) = —е2, то мы можем считать, что
"^х+(и) < 0, если И <51, и е [—и ,0]. (6)
Из (4), (5) и условия < 1 получаем, что
0 < (х+)''(0) < (х— )'(0). (7)
Рис. 3. Фазовые портреты векторных полей Xs|u , в случае < 1, < 1 Fig.3. Phase portraits of vector fields XsU , in the case < 1, < 1
Мы можем выбрать числа V* > 0 и е (0,б!) так, что траектория поля X в, |е|<б2, начинающаяся в точке (V), V е[—^,0] следующий раз пересечет дугу "п(—V!, V!) в точке Ле(/— (V)) , где /(—)(•) е Сг, (/— )'(v) > 0,
(0) = -s 2,
(8)
то есть на дуге [-v* ,0] определена функция /s последования по траекториям поля xs .
При е = 0 она совпадает с ранее введенной функцией /0 . Так как /0 (0) = 0, 0 < (/0 )'(0) < 1 , то можно считать, что при |е| < 52
/— (—V») >—V» , (9)
0 < (/— )'00 < 1 для V е[—г»,0]. (10)
Рис. 4. Фазовые портреты векторных полей Xg и , в случае < 1, > 1 Fig.4. Phase portraits of vector fields X8, in the case < 1, > 1
Мы можем считать, что при выбранном 52 отображения 9е := —92 е о 93 е о... о 9п е, и < 52, определены на некотором промежутке [0, а). Определим функцию последования
/е+ (v):=X+ (9е (е1 + (х— )_1(v)) — е1) и функцию расхождения
d(и,е):=х+ (9е(еу + и) — еу) — х— (и) . Для достаточно малого и» > 0 найдется такое
53 е (0,52), что d(u, е) определена для и е[и/(е),и»], |е|<53, где и1 (е) = 0, если еу > 0 и
и1 (е) = 9—1(е1) — еь если еу < 0. Соответственно, /е+ (V) определена для V е [V/(е),vr(е)],
где vr (е) = х— (и»), а VI (е) = 0, если еу > 0 и VI (е) = х—(—еу), если еу < 0.
Поскольку (/0XV = (х+)'(90(и))(90)'(и)/(х— )'(и), где и = (х— )_1(v), то, учитывая (3)-(5) и используя правило Лопиталя, получаем
(/+ )'(+0) = 11т[(х0+ )'(90(и))((90)'(и))2 + (х+)'(90(и))(90)'(и)]/( х—)'(и) =
= (х+)'(0)((90)'(0))2 /(х— )''(0) = (/— )'(0)((90)'(0))2.
Следовательно, (/0+ )'(0) = (/0+ )'(+0) = .
Так как при И < 53 9е(5) можно продолжить до функции 9е (и), и е (—а,а), а х— (и) и х+(и) - до функций х— (и) и х°(и), и е (—и,и), с сохранением Сг -гладкости по (и,е) , то и d(и, е) можно считать продолженной до Сг -функции d(и, е) , определенной на [—и», и» ] х (—53,53)2.
Из (3) - (5), неравенства — 1 < 0 и равенств 90(0) = 0,
dU(и,е) := (хе+ )'(9е(еу + и) — еу)(9е)'(еу + и) — (х— )'(и), (11)
¿1 (и, е) := (хе+ )'(9е (еу + и) — е^ )'(еу + и))2 + (хе+ )'(9е (еу + и) — еу)(9е )'(еу + и) — (х— )''(и), получаем
d (0,0) = аги (0,0) = 0, (12)
(0,0) = (х+)'(0)((90)'(0))2 — (х— )'(0) = (/— )'(0)(х— )'(0)((90)'(0))2 — (х— )''(0) =
= (х—)"(0)(ц+ — 1) < 0 . (13)
Из (13) следует, что числа и» и 53 можно считать выбранными так, что
dUU(u,е) < 0 , если |е|<53 , и е (и/(е), и»). (14)
Поскольку d(и, е) = /е+ (V)) — V при V) = х— (и), и е (0, и» ], то
d(й, е) = 0, dШ (й, е) < 0 » /+ (V) = V, (/+ )'(V) < 1, (15)
d(й,е) = d'(й,е) = 0,d'Шu(й,е) < 0 » /+ (V) = V, (/+ )'(V) = 1,//(V) < 0. (16) Из (12) и (14) вытекает, что
d( и,0) < 0, dШ ( и,0) < 0, если и е (0, и» ]. (17)
Поэтому можно считать, что при выбранном 53
d(и», е) < 0, dШ (и», е) < 0, если |е|<53 . (18)
Вследствие (2) (0) = —1, дгх— (0) = 0. Отсюда, из равенств (х+ )'(0) = 0, 90(0) = 0 и
¿4 (и, 8) = ()( 0е (81 + и) — 8!) + ( ХЕ+ )'( е8 (8! + и) — 8^ )(б1 + и) — (^Х— )(«)
получаем (0,0) = —!, и потому можно считать
(и, 8) < —! / 2 для 8 < 63, и е [и/(8), и*]. (19)
3. Окрестность и. Учитывая (9), (17) и используя теорему о трубке траекторий [11, с. 80-85], можно построить цилиндрическую окрестность и кривой Г, ограниченную
двумя простыми замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Г и Г+ , со следующими свойствами: 1) Г ( Г+ ) состоит из гладких дуг, принадлежащих подмногообразиям М1, транс-
версальных дМ^, с концами, лежащими на дМ^, и таких, что в их точках векторное поле
А ^0
X0 им трансверсально и направлено внутрь и; 2) Г (Г+ ) трансверсально пересекает
дугу Л(—V!, в единственной точке у =^(/ (—V*)) (у =^(/ (уг(0))) ); 3) в точках
и дМг-, отличных от О, векторное поле х0 трансверсально дМг-; 4) векторные поля х0 не имеют в и особых точек.
Мы можем выбрать бе (0,63) столь малым, что при |8<б 1) у" е (—у*,0), а
у+ е (0, vr (8)); 2) на каждой гладкой дуге Г— и Г+, принадлежащей Mi, векторное поле X8 трансверсально этой дуге и направлено внутрь и (тем самым, положительные полутраектории поля Х8, начинающиеся в точках ди, входят в и ); 3) любая положительные полутраектория Х8, начинающаяся в точке и, пересекает дугу (—V*, vr (8)) .
4. Построение бифуркационной диаграммы при 8! > 0. Из (8) - (10) следует, что при 8 е (—6,6) х (—6,0) функция /~ не имеет неподвижных точек, а векторное поле Х8 периодических траекторий, пересекающих дугу л8[—у*,0], при 8е (—6,6) х(0,6) имеет единственную, причем устойчивую, неподвижную точку V. (8) е (—^,0), а х8 имеет единственную, причем устойчивую периодическую траекторию Г— (8), пересекающую дугу
Л8[—V*,0] в ее внутренней точке (8)), при 8е (—6,6)х{0} /~ имеет единственную,
причем устойчивую, неподвижную точку V = 0, а ХЕ имеет периодическую траекторию
Г (8) , проходящую через особую точку О8 , к которой ю -предельны все траектории, пересекающие дугу л8[—у*,0].
При 8 е (0,6) х{0} 68(8!) < 0 . Ввиду (2) - (3) ¿(0,8) = Х+ (6е(8!) — 8!) >Х+ (0) = —82 , и
й(0,8) > 0 для 8 е (0,6) х {0}. (20)
Пусть 8 е В5 = {0} х (0,6) или 8 е В9 = {0} х (—6,0) . Из (11), (3) и равенства 68 (0) = 0 имеем й'и (0,8) = 0 . Отсюда и из (14) следует, что й'и (и, 8) < 0 при всех и е (0, и*), 8 е В5 В9 . Ввиду (2) при рассматриваемых 8 й(0,8) = —82 . Поэтому
й (и, 8) < й (0,8) < 0 при и е [0, и* ], 8е В5, (21)
то есть при 8 е В5 /8+ не имеет неподвижных точек. При 8 е В9 й(•, 8) имеет единственный
нуль и(8) е (0,и*), й'и(и(8),8) < 0 . Вследствие (15) /8+ имеет единственную, причем устойчивую, неподвижную точку.
Ввиду (21) при некотором 50 е (0,5)
d(u,е) < 0 для и е [0,и»], ее (0,50)х{5/2} . (22)
Пусть ее (0,50) х (0,5). Из (11), (3) и неравенств 9е (еу) < 0, (9е )'(еу) < 0 получаем d'u(0,е) = (х+)'(9е(еу) — еу)(9е)'(еу) > 0 . Отсюда, из (18) и (14) следует, что существует такая Сг -функция т: (0,50) х (0,5) ^ (0, и»), что
dU (т(е), е) = 0, (23)
d'u (и, е) > 0 при и е [0, т(е)), d'u (и, е) < 0 при и е (т(е), и» ]. (24)
Обозначим М(е) := d (т(е), е). Вследствие (19) и (23)
МИ2 (е) < 0 . (25)
Из (20) и (22) получаем, что Уеу е (0,50) М(еу,0) > 0, а Уе е (0,50) х {5/2} М(е) < 0. Отсюда и из (25) следует, что Уеу е (0,50) существует число РДеу) е (0, 5 /2), такое, что
вед М (е) = — 8ед( И2 — р4(еу)). (26)
По теореме о неявной функции Р4О) е Сг. Покажем, что Р4(+0) = 0. Предположим, что это не так. Тогда существует последовательность хк ^0 для которой Р4(т^) ^ а е (0,5/2].
Обозначим е(к) := (тк,Р4(тк)) . Ввиду (21) d(и,(0,а)) < d(0,(0,а)) < 0 для всех и е [0,и»].
В силу компактности [0, и» ] d(и, е(к)) ^ d(и,(0, а)) равномерно относительно и е [0, и» ]. Следовательно, при некотором к У и е [0, и» ] d (и, е(к)) < d (0,(0, а))/2 < 0 в противоречие с тем, что согласно (26) М(е(к)) = d(т(е(к)), е(к)) = 0 . Итак, р4(+0) = 0.
Из (24) и (26) вытекает, что d(0, е) < 0 для е = (е1,Р4(е1)). Вместе с (19) и (20) это влечет существование Уеу е (0,50) такого числа Р3(еу) е (0,Р4(еу)), что Рэ(-) е Сг и
вед d(0, е) = — вед( И2 —Р3(еу)). (27)
Так как при е2 =Р3(е1) х+ (—еу) <х+ (9е(еу) — еу) = d(0,е) = 0, а при е2 = 0
х+(—еу) > х+(0) = —е2 = 0, то, учитывая (6), получаем, что Уеу е (0,50) существует число Р2(еу) е (0,Р3(еу)), Р2(0 е Сг, для которого
х+(—е1) = — §ЕД(е2 — р2(е1)) . (28)
Пусть В у := {е : еу е (0,50),е2 = Ру(еу)}, Ек := {е: И е (0,5о), Рк—1(е1) < е2 < Рк(е1)} у = 1,...,4, к = 1,...,5, где положили Р0(еу):=—5 , Р1(е1):= 0, Р5(еу):=5. Из (14) - (16), (18), (23), (24), (26) и (27) получаем следующие утверждения.
При ее Еу ^ Ву ^ Е2 ^ В2 ^ Е3 d(•, е) имеет единственный нуль иу(е) е (0, и»), причем d'u (и (е), е) < 0, соответственно, хе имеет устойчивую гиперболическую периодическую траекторию Г5+ (е) , проходящую через точку |е (иу(е)), а все остальные траектории, пересекающие дугу := |е [0, vr (е)], ш -предельны к Г5+(е) .
При 8е В3 й(•, 8) имеет два нуля и^8) е (0, и*), и и = 0, а х8 имеет две периодические траектории, пересекающие дугу /+ - устойчивую гиперболическую траекторию Г+ (8) и неустойчивую траекторию, проходящую через особую точку О8 .
При 8е Е4 й(•, 8) имеет два нуля 0 < ^(8) < и^8) < и*, где й'и (и^8), 8) < 0,
й'и (и2(8), 8) > 0, а х8 - две периодические траектории, пересекающие дугу /+, устойчивый и неустойчивый гиперболические предельные циклы.
При 8е В4 8) имеет единственный нуль й(8) е (0, и*), причем й'и (и(8),8) = 0, <и(ии(8), 8) < 0, а х8 имеет единственную периодическую траекторию, пересекающую дугу /+, - двойной цикл.
При 8е Е5 й( и, 8) < 0 для всех и е [0, и* ], а все траектории х8 , проходящие через
точки дуги /+, пересекают дугу (—^,0) и потому ю -предельны к циклу Г— (8) .
Выясним теперь поведение траекторий, пересекающихся с неустойчивой линейной особенностью - дугой ОО8 .
Ввиду (28) при 8 е В2 положительная полутраектория поля х8 , выходящая из точки О и начинающаяся как положительная полутраектория поля х^ , идет в точку О8 , а далее по дуге ОО8, образуя периодическую траекторию Ги (8) . При 8 е Е2 из (28) и (2) получаем, соответственно, неравенства х+ (—8!) > 0 и х+ (0) < 0 . Из них и из (3) следует существование единственного числа и— (8) е (—8!,0), такого, что х+(и— (8)) = 0. При 8 е Е3 ввиду (27) и (28) х+ (68(8!) — 8!) = й(0,8) > 0, а х+ (—8!) < 0 . Отсюда, ввиду (3) и положительности (6)'(8 + и), вытекает существование единственного числа и— (8) е (—8!,0), такого, что Х+ (68 (8! + и— (8)) — 8!) = 0. Для векторного поля х8 , 8 е Е2 ( 8 е Е3 ) получаем, что положительная полутраектория, выходящая из точки (и— (8)) и начинающаяся как положительная полутраектория поля Х^ (Хе2), идет в точку О8 , а далее по дуге <^8 [и— (8),0], образуя периодическую траекторию Ги (8) . Все траектории х8 , 8 е Е2 ^ В2 ^ Е3, проходящие через точки и \ Ги (8), ю -предельны либо к Г+(8) , либо к Г— (8) .
При 8е Е1 х+( и) >х+(0) > 0, если ие[—81,0]. Поэтому все траектории поля х8 , начинающиеся в точках дуги ОО8 , ю -предельны к Г+ (8) . Как было показано выше, при 8е В1 через точку О8 проходит периодическая траектория Г— (8) , к которой ю -предельны все траектории, пересекающие дугу (—■^,0). Поскольку при 8е В1 Х+ ( и) >х+ (0) = 0, если и е [—81,0), то все траектории, проходящие через точки дуги ОО8 \ О8 , ю -предельны к Г+ (8) .
При 8е В3 и 8е Е4 ^ В4 ^ Е5 Х+(и) <Х+ (68 (81) — 81) = й(0,8) < 0 для ие (68 (81) — 81,0]. При 8е Е4 ^ В4 ^ Е5, кроме того, и х+(6е (81) — 81) < 0. Поэтому при 8 е В3 (8е Е4 ^ В4 ^ Е5 ) все траектории поля х8 , начинающиеся в точках дуги ОО8 \ О8 ( ОО8 ), ю -предельны к Г— (8) .
Из (10) и (17) следует, что все траектории поля Х0 , начинающиеся в точках и, ш -предельны к Г0.
5. Построение бифуркационной диаграммы при 8! < 0. Для 8 е (—50,0) х (-5,5)
< (щ (8), 8) = (х+ )'(О))(08 )'(8! + щ (8)) — (X— )'(и1 (8)) = —(х— )'(щ (г)), (29)
и потому й'и (щ(в), в) < 0. Отсюда и из (14) следует, что
Щ (и, 8) < 0 при всех 8е (—50,0) х (—5,5), и1 (8) < и < и*. (30)
Так как У8 08(0) = 0, то (щ)8г (0) ^-^0—1(81)8=0 = 0. Отсюда, из равенства й (и1 (8), 8) = й'82 (и1 (8), 8) + й'и (и1 (8), 8)(щ )8г (8), из (19) и (29) получаем, что 5 и, соответственно, 50 можно считать выбранными так, что
й (щ (8), 8) < 0 для всех 8е (—50,0) х (—5,5). (31)
Ввиду (2)
й (и1 (8Х8) = х+ (0))—X—(и1(8)) = —Х— (и1(8)) < 0 для всех 8е В6 = (—50,0) х{0} . (32) С другой стороны, при 8 = (0, —5 /2) й(иI (8), 8) = й(0,8) = 5 /2 > 0, и потому можно считать, что 50 выбрано столь малым, что
й (иI (8), 8) > 0 для всех 8е (—50,0) х{—5/2} . (33)
Из (31) - (33) получаем, что существует Сг -функция р8 : (—50,0) ^ (—5,0), такая, что
8§дй(иI(8),8) = — 8§д(82 — Рз^)) для всех 8е (—50,0) х (—5,5), (34) Равенство Р8 (—0) = 0 доказывается аналогично равенству Р4 (+0) = 0.
Обозначим Я(8) := х+ (0) — х— (—81) = —82 —X— (—81). Ввиду (2) и (3) мы можем считать
Д82(8) < 0 для всех 8 е (—50,0) х (—5,5). (35)
Пусть 81 е (—50,0) . Если 82 = 0, то Я(8) =—х—(—81) >0, а если 82 =Р8(81), то ^(8) > х+(0) — х— (и/(8)) = й(и/(8), 8) = 0. Из этих неравенств и из (35) следует, что
Я(8) = — 8£д(82 — Р7(81)) для всех 8е (—50,0) х (—5,5), (36)
где Рз(81) <Р7(81) < 0, Р7О) е Сг, Р7(—0) = 0.
Пусть В у := {8 : 81 е (—50,0), 82 =Р у (81)}, Ек := {8 : 81 е (—5o,0), Рк (81) <82 <Рк—1(81)} у = 6,7,8, к = 6,...,9, где положили Р5(81):=5 , Р6(81):= 0, Р9(81):=—5 . Из (8) - (10), (18), (30), (34), (36) и выбора окрестности и получаем следующие утверждения.
При 8е Еб ( 8е Вб ) все положительные полутраектории, начинающиеся в точках и,
ш -предельны к Г— (8) ( Г— (8) ), а все отрицательные, начинающиеся в точках и \ Г— (8) ( и \ Г— (8) ), выходят из и. При 8е Ек и 8е Вк, к = 7,8,9, все положительные полутраектории начинающиеся в точках и, ш -предельны к периодической траектории Г+ (8) , а все отрицательные, начинающиеся в точках и \ Г+(8), выходят из и. При 8 е Е7 В7 Г+ (8) - состоит из дуги между точками 08 = С8 (0) и |8 (х+(0)), дуги между точками |8 (х+(0)) и Се ((х— )—1(х+(0)) и дуги устойчивой линейной особенности 008 между точкой 08 и точкой
Cs ((X— ) 1(Xs (0))), совпадающей с O, если se B7 . При se E8 ^ B8 Г* (s) - состоит из дуги между точками Os и (xg (0)), дуги между точками (xg (0)) и Q (/s+(xg (0))) и дуги линейной особенности OOs между точкой Os и точкой (f+ (xg (0))) , совпадающей с O , если se B8 . При se E9 ^ B9 Г* (s) - гиперболическая траектория, проходящая через точку Q (u(s)) , где w(s) e (u (s), щ ) - единственный нуль функции d(•, s) .
Из структуры фазовых портретов в U ясно, что разбиение (—80,80) х (—5,5) на множества Ek, Bj соответствует разбиению множества векторных полей Xs U , s e (—80,80) х (—5,5), на классы топологической эквивалентности, то есть бифуркационной диаграммой.
Список литературы References
1. Филиппов А.Ф. 1985. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 224 с.
Filippov A.F. 1985. Differential equations with a discontinuous right-hand side. Moscow. Nauka.
224 pp.
2. di Bernardo M., Budd Ch. J., Capneys A.R., Kowalczyk P. 2008. Piecewise smooth dynamical systems. Appl. Math. Sci., 163. London: Springer-Verlag. 483 p.
3. Ройтенберг В.Ш. 2016. О рождении периодической траектории из точки пересечения линий разрыва векторного поля. Вестник Адыгейского государственного университета. Серия: Естественно-математические и технические науки, № 2: 34-38.
Roitenberg V.Sh. 2016. On the generation of a periodic trajectory out of a point of intersection of lines of discontinuity of a vector field. Bulletin of the Adyghe State University. Series: Natural-Mathematical and Technical Sciences, No. 2 (181): 34-38.
4. Ройтенберг В.Ш. 2016. О рождении периодической траектории из точки стыка линий разрыва кусочно-гладкого векторного поля. Математические методы в технике и технологиях - ММТТ. Сб. трудов ХХ1Х Междунар. науч. конференции, 3: 14-17.
Roitenberg V.Sh. 2016. On generation of a periodic orbit from a joining point of lines of discontinuity of a vector field. Mathematical methods in engineering and technologies: Proceedings of XXIX int. scientific conf. Saratov: SSTU Publishing House, 3: 14-17.
5. Ройтенберг В.Ш. 2016. О бифуркациях в окрестности точки стыка линий разрыва векторного поля. Научно-технический вестник Поволжья, № 5: 30-33.
Roitenberg V.Sh. 2016. On bifurcations in a neighborhood of a joining point of lines of discontinuity of a vector field. Scientific and Technical Bulletin of Volga Region, No.5: 30-33.
6. Ройтенберг В.Ш. 2016. О рождении странного аттрактора из точки пересечения линий разрыва векторного поля. Вестник Адыгейского государственного университета. Серия: Естественно-математические и технические науки, № 4: 53-59.
Roitenberg V.Sh. 2016. On the generation of a strange attractor from a joining point of lines of discontinuity of a vector field. Bulletin of the Adyghe State University. Series: Natural-Mathematical and Technical Sciences, No. 4 (191): 53-59.
7. Ройтенберг В.Ш. 2017. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «сшитый трехкратный фокус». Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико -математические науки, № 2: 18-31.
Roitenberg V.Sh. 2017. On bifurcations in a neighborhood of a singular point of the triple sewn focus type. University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences, No. 2. : 18-31.
8. Ройтенберг В.Ш. 2014. О бифуркациях сшитого тройного цикла. Математика и математическое образование. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 9. Ярославль: Изд-во ЯГПУ: 54-67.
Roitenberg V.Sh. 2014. On bifurcations of the sewn triple cycle. Mathematics and mathematic education. Theory and practice: coll. of scientific works. Iss. 9. Yaroslavl. YaSTU Publishing House: 78-91.
9. Ройтенберг В.Ш. 2012. О бифуркациях сшитого двойного цикла. Математика и физика, астрономия и экономика и совершенствование их преподавания. Материалы международной конференции "Чтения Ушинского". Ч.1. Ярославль: Изд-во ЯГПУ: 12-15.
Roitenberg V.Sh. 2012. On bifurcations of the sewn double cycle. Mathematics and physics, economics and technology and perfecting their teaching. Materials of international conference ''Ushinsky Readings'' Yaroslavl. YaSPU Publishing House: 12-15.
10. Ройтенберг В.Ш. 2016. О бифуркациях периодической траектории кусочно-гладкого векторного поля на плоскости, проходящей через точку «стыка» линий разрыва поля. Математика и естественные науки. Теория и практика: Межвуз. сб. науч. тр. Вып. 11. Ярославль: Изд. дом ЯГТУ: 57-65.
Roitenberg V.Sh. 2016. On bifurcations of a periodic trajectory, passing though a junction point of lines of discontinuity of a vector field. Mathematics and natural sciences. Theory and practice: coll. of scientific works. Iss. 11. Yaroslavl. YaSTU Publishing House: 57-65.
11. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. 1966. Качественная теория динамических систем второго порядка, М.: Наука. 568 с.
Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Maier A.G. 1966. Qualitative theory of dynamical systems of second order, Moscow. Nauka. 568 p.
