CC BY
9Математика к Математическое
моделирование
И Ир://та! hfnelpLtb.ru 1531М 2412-5911
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. 2018. № 05. С. 57-70.
Б01: 10.24108/шаШш.0518.0000140
Представлена в редакцию: 06.09.2018
© НП «НЕИКОН»
УДК 517.925
О бифуркациях особой точки типа «полуфокус» кусочно-гладкой динамической системы
Ройтенберг В.Ш.1' 'ЧтокепЬегд@таЦ:ги
Ярославский государственный технический университет,
Ярославль, Россия
Рассматривается кусочно-гладкое векторное поле Х0 в окрестности его особой точки О на линии разрыва поля. Предполагается, что точка О устойчива, в одной полуокрестности П+ точки О поле Х0 совпадает с гладким векторным полем, для которого точка О - сложный фокус с положительной (отрицательной) первой ляпуновской величиной, а в другой полуокрестности П- совпадает с гладким векторным полем, направленным в точках линии пересечения П+ и П-внутрь П+ . Описаны бифуркации в окрестности точки О при типичных двухпараметрических возмущениях поля Х0.
Ключевые слова: двумерное многообразие, кусочно-гладкое векторное поле, бифуркации, особая точка, периодическая траектория
Кусочно-гладкие векторные поля используются для математического моделирования реальных динамических систем с переключениями в теории автоматического управления, в механике и в экономике [1, 2]. Их устойчивые периодические траектории описывают установившиеся колебательные процессы в таких системах. Имеется довольно много бифуркационных «механизмов» рождения периодических траекторий из положения равновесия в типичных одно- и двухпараметрических семействах кусочно-гладких векторных полей на плоскости [3-14]. Здесь мы рассмотрим еще одну такую бифуркацию.
1. Кусочно-гладкое векторное поле
Пусть М - компактное двумерное С" -многообразие, Б - разбиение М на компактные двумерные Сх -подмногообразия Мг, / е {1,..., п}, такие, что М = М1 и... и Мп, М оМ. =2Мг одМ]- при ¡,] е{1,..,п} ,I ф ]. Кусочно-гладким векторным полем класса Сг (г > 1) на многообразии М с разбиением Б назовем элемент топологического векторного пространства Хг(М,Б ):= Хг(М1)0...0Хг(Мп), где Хг(М1) - топологическое векторное пространство векторных полей класса Сг на Мг с Сг -топологией. Кусочно-
гладкое векторное поле X = (X(1),...,X(n)) е Xr(М,D ) можно отождествить с классом {X} касательных векторных полей X: М ^ TM, таких, что X(z) = X(i)(z), если z е int Mi. Эти векторные поля, вообще говоря, разрывны в точках дМ{. Траекториями векторного поля X = (X(1),...,X(n)) е Xr(М,D ) следуя [1, с. 95] будем называть траектории дифференциального включения X(z) , z е М, где X(z) = {X(0(z)} при z е intМг и X(z) -выпуклая оболочка векторов X(г)(z) и X(1)(z) при z едМг одМу.
2. Особая точка типа полуфокус
Пусть точка O0 е L = М М при некоторых j-, j+ е {1,..., n}, 1 - Ф1+ . Выберем локальную карту h: U ^ l2 так, чтобы
h(O) = (0, 0), h(U П Му-) = {(ztz2) Gl2:z2< 0}, h(U П My+) = {(ztz2) £l2 :z2> 0}.
Рассмотрим векторное поле X0 = (X®,...,X(n)) е Xr(М,D ), r > 1. Пусть в карте h
X0J±)(z) = Fi1 (zi, z2)d/dzi + F2±(zi, z2)d/dz2.
Назовем O0 особой точкой поля X0 типа «устойчивый полуфокус», если выполняются следующие условия:
(А1) Точка O0 - особая точка векторного поля X(01 ), то есть F+ (0,0) = F2+ (0,0) = 0.
(А2) F- (0,0) > 0.
(А3) Матрица (dFi + (0,0)/ dzj) имеет собственные значения а0± , ß)0 > 0 .
(А4) (FT (0,0)dF+ (0,0) / dz - F- (0,0)dF2+ (0,0) / dz ) < 0.
От произвола в выборе карты h эти условия не зависят.
Фазовый портрет поля X0 в окрестности устойчивого полуфокуса O0 имеет вид, изображенный на рис. 1 б и рис. 2 б [1, с. 182].
Будем говорить, что O0 - полуфокус кратности 1, если а0 Ф 0, и O0 - полуфокус
кратности 2, если r > 3, с0 = 0, а первая ляпуновская величина 1г [10, с. 254] для векторного поля X(01 ) в точке O0 отлична от нуля.
3. Условия и результаты
Рассмотрим семейство векторных полей XE = (X^,...,X(en)) е Xr(М,D ), зависящих от параметра ееЕ0, где Е° - окрестность нуля в lm, m > 1, такое, что поле X0 имеет устойчивый полуфокус O0. Векторные поля X(J ) и X(1 ) для краткости будем обозначать, соответственно, X+s и X-. Будем считать, что в карте h
К (z) = G1(Z1, z2,^)d / dz1 + G2(z^ z2,^)d / dz2 ,
где ^ (хх, ^,0) = ^+ (хх, ), е Сг, / = 1,2, г > 1. Продолжим функции на 12хЯ0 с сохранением гладкости. Тогда в окрестности и будут определены векторные поля Х+Е := ^ д / + ^ ^ / дг2 . Для некоторых <г > 0 и окрестности Е1 е Е0 нуля в Ет при любом ееЕ1 система уравнений ^,2г= 0 (* = 1,2) имеет в круге {(^,^): + <^2} единственное решение г. = ^ (е) ( ] = 1,2 ), при этом (•) е Сг, ^ (0) = 0.
Пусть семейство Хе однопараметрическое: т = 1. Условие (В1) дС2 (0)/ де> 0
не зависит от произвола в выборе карты к и способа продолжения функций 0{ , * = 1,2 .
Теорема 1. Пусть О0 - устойчивый полуфокус кратности 1 для векторного поля Х0 и выполняется условие (В1). Тогда существует окрестность V точки О0 и число 8е (0,80) такие что фазовые портреты векторных полей Х£, ее (-8,8), в V имеют схемы, изображенные на рис. 1, если а0 > 0, и на рис. 2, если а0 < 0.
Рис. 1. Бифуркационная диаграмма однопараметрического семейства Х в случае
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма однопараметрического семейства Х в случае
а0 < 0.
а0 > 0.
Замечание 1. Согласно теореме 1 при однопараметрической деформации общего положения векторного поля, имеющего устойчивый полуфокус О0 кратности 1, в случае
а0 < 0 в малой окрестности О0 с точки зрения динамики при изменении параметра ничего не происходит: все траектории со -предельны к устойчивому положению равновесия. В случае а0 > 0 происходит бифуркация, аналогичная бифуркации Андронова-Хопфа сложного фокуса: при изменении параметра положение равновесия теряет устойчивость и из него рождается устойчивая периодическая траектория. В отличие от бифуркации Андро-
нова-Хопфа, где амплитуда рождающейся периодической траектории имеет порядок , здесь у нее порядок е.
Замечание 2. В [1, с. 184, 187] особая точка, названная здесь устойчивым полуфокусом кратности 1, перечислена среди особых точек первой степени негрубости. Однако ее бифуркации там явно не описаны, хотя в силу замечания 1 они того заслуживают. Доказательство теоремы 1 можно получить, следуя [1, с. 184 - 187].
Будем теперь считать, что семейство Xe двухпараметрическое: m = 2, а поле X0 имеет устойчивый полуфокус O0 кратности 2. Кроме того, пусть r > 5. Матрица (5G (С (s),C (s),s)/ dzj) при seE2, где Е2 - достаточно малая окрестность нуля в Е1, имеет комплексные собственные значения a(s) ± íc(s), c(s) > 0 , а(0) = 0, c(0) = ю0, «(■),»(■) e Cr-1.
Условие
(В2) Векторы д£2 (0)/ ds > 0 и да (0)/ 5s линейно независимы не зависит от произвола в выборе карты h и способа продолжения функций G, í = 1,2 .
При выполнении условия (В2) мы можем выбрать в некоторой окрестности Е3 ^ Е2 нуля в локальные Cr 1 -координаты (s ,s2) так, что С (s) = S > a(s) = s2. Далее фиксируем
эти координаты, и будем отождествлять s со строкой (s ,s2) и считать Е3 = (-50 ,50 )2 .
Теорема 2. Пусть O0 - устойчивый полуфокус кратности 2 для векторного поля X0 и выполняется условие (В2). Тогда существует окрестность V точки O0 и число 5 e (0,50 ), такие что
1) граница V является кусочно-гладкой замкнутой кривой, в точках которой траектории поля входят в V при возрастании времени и выходят из V при убывании времени;
2) если первая ляпуновская величина / > 0, то бифуркационная диаграмма семейства векторных полей Xs, se (-5,5)2, в V представляет разбиение (-5,5)2 на множества B0:= {(0,0)}, Bx:= {s:sx е (0,5), s2 = P(s)} , где P:(0,5) ^ (-5,0), pe C , Р(г) = O(r2), Ei := {s : s е (0,5), P(s) < s2 < 0}, B2 := (0,5) x {0}, E2 := (0,5) x (0,5), B3 := {0} x (0,5), E := (-5,0) x (-5,5), B4 := {0}x (-5,0), E4 := {s:se (0,5), -5<s2<P(s,)},
а схемы соответствующих им векторных полей Xs изображены на рис. 3;
3) если первая ляпуновская величина / < 0, то бифуркационная диаграмма семейства векторных полей Xe, se (-5,5)2, в V представляет разбиение (-5,5)2 на множества
B0:= {(0,0)}, Bi := (0,5)x{0}, B2 := {s:si e(0,5), s2 = P(s)}, E := {s: s e (0,5), 0 <s2 < P(s)}, E := {s:s e (0,5), P(s) <s2 <5}, где p : (0,5) ^(0,5), Pe C1, P(r) = O(r2),
B := {0} x (0,5), E := (-5,0) x (-5,5), B4 := {0} x (-5,0), E4 := (0,5) x (-5,0), а схемы соответствующих им векторных полей Xe изображены на рис. 4.
Доказательство теоремы 2 в случае / > 0 приведено в следующем разделе. Случай / < 0 рассматривается аналогично.
Рис. 3. Бифуркационная диаграмма двухпараметрического семейства Хе в случае ^ > 0.
Рис. 4. Бифуркационная диаграмма двухпараметрического семейства Xе в случае ^ < 0 .
4. Доказательство теоремы 2
В координатах у = ^ (е), у = г2 (е) = г2 получаем
Хе (г) = р+ (Ух, У2, е)д / ду + Р+ (У1, У2, е)д / ду, где р+ е Сг, р+ (0,0, е) = 0, а^ (е):=др+ (0,0, е)/ду, = двг (£(е),£(е),е)/д^., I, ] = 1,2, а дуга Ь := М оМ + о и задается уравнением у = . Так как с(е) ф 0, то а21 (е) ф 0. Обозначим ке-.и ^ М2 - локальную карту, вводящую в и координаты X = а21(е)У + (е2 - а11(е))У2 , Х2 =с(е)У2 .
Учитывая, что а(е) = е2, из [9, с. 143] получаем, что в этой карте векторное поле Х1 имеет вид Х+ (г) = Q+ (х, х2, е)д / дх + Q+ (х, х2, е)д / дх2, где
Х,£) = £- ~М(Ф2 + Ф^ -2,£) , (xl, -2,£) = ®(£)-1 ^ £2 -2 + r2(xl, -2,£),
Г е Сг-1, г (0,0, £) = дтг (0,0, £)/ = 0, I, у = 1,2 . Дуга Ь в этих координатах задается уравнением - = -а(е)£ . Векторное поле Х+е касается Ь в точке Е с координатой -, которая находится из уравнения 0+ (х, —&(£)£, £) = 0. Поскольку
02+(^ -^(£)£1,£)| х=е=0 = д02+( ^ -®(£)£1,£)/д£ х=£=0 = 0 , д°—-®(£)£1,£) / &11 -=£=0 = ^0 > 0, то по теореме о неявной функции существуют такие числа V > 0 и 8хе (0,50), что У£е (-^ , ^ )2 это уравнение имеет на интервале (-V, V) единственное решение - = 5(£), ^(•) е Сг-1, 5(0) = 0, д5(0) / д£= 0, при этом
V- е (-V, ^ ) sgn 02 (-1, -о(££)£х, £) = sgn(-1 - 5(£)) . (2)
Так как точка = 1(0,0) - особая точка векторного поля Х+е и при £ = 0 она принадлежит Ь , то 5(0, £2 ) = 0 . Поэтому
5(£) = £*!(£), где 51(0 е Сг-2, ^(0) = 0. (3)
Пусть в карте к£ X(1 )(2) = (-, — ,£)д / д- + 02 (-, — ,£)д / дх2. Так как при £ = 0 замена координат \ о, ^) а (-, -) переводит полуплоскость г2 > 0 в полуплоскость - > 0, то из условия (А2) получаем 02 (0,0,0) > 0. Поэтому числа V > 0 и 5Х можно считать выбранными столь малыми, что V- е (-V, V ) Vx2 е (-V, V ) V£ е (-^, 81 )2
02-(-1,-2,£) > 0 (4)
и определена функция
0Ь (-1, £) := Щ+02 - ОО- )02 - 02+ )-1](х, -®(£)£1, £). (5)
Ввиду (2) и (4) в точке 2 е Ь с координатой - < 5(£) существует единственный вектор ХЬ (2) из выпуклой оболочки векторов Х+е (2) и Х- (2), касающийся Ь . В координатах -, - ХЬЕ (2) = Оъ (-, £)д / д-. В координатах (^, ^ ) Хо (г) = ЕЬ (2\ )д / д^, где
Еь (^1) = [(ЕЕ - ЕЕ ХЕ" - Е+ )-1](21,0).
Вследствие (А1) , (А2) и (А4)
еь (0) = 0, (Е )'(0) = (Е- (0,0)дЕ (0,0) / - Е (0,0)дЕ+ (0,0) / д^) / е- (0,0) < 0.
Но тогда и
0Ь(0,0) = 0, д0Ь(0,0)/д^ <0. (6) Из (1), (5) и (6) по теореме о неявной функции получаем что существуют числа V е (0, V ) , 82е (0Д) и Сг-1 -функция а: (-)2 ^ (-V, V) , такие, что а(0) = 0,
aa(0) / ds = -q2 / dQL (0,0) / a-, (7)
V- e [-V, v] sgn QL (-, s) = - sgn(- - a(s)) . (8)
Так как при s = (0, s2) QL (0, s) = 0, то из (8) следует, что a(0, s2) = 0. Отсюда и из (7) получаем, что
a(s) = [-ю0 / dQL (0,0) / d- + о(1)] s. (9)
Из (3), (9) и (6) следует, что число 8 e (0, S2) можно выбрать так, что
Vse (-83,83)2 sgn(a(s) -s(s)) = sgn s, (10)
причем s(s) e (-v, v) .
В полярных координатах (p, p) , - = p cos p, x2 = p sin p имеем
X++ (z) = (s2p + F (p, p, s))d / dp + (®(s) + Ф(р, p, s))d / dp,
где F (p, p,s) и Ф (p,p, s) - С-1 -функции, 2^ -периодические по p, такие, что
F(0,p,s) = F'p (0,p,s) = Ф(0,p,s) = 0 [10, с. 249].
При достаточно малых щ e (0, v) и e (0,8) для любых p0e[0,2^], 0 < u < u ,
s e (-8, 8 )2 определено решение p = R (p, p0, u, s), pe 5ж), уравнения
dp _ s2p + F(p , p, s) dp G)(s) + Ф(p, p, s)'
удовлетворяющее начальному условию R(p0,p0,u,s) = u ; при этом R e Cr-1. Тогда f (• ,p0 ,s) = R(p0 + 2n,p, -,s) - функция последования по траекториям поля X+ на луче p = p0 . Рассмотрим также функцию расхождения d( u ,p0 ,s):= f ( u ,p0 ,s) - u . Из условий теоремы и [10] следует, что
где
d(u.%.£) = (ехр(2ЛЕ"2 /СО(£))-1) +с2(щ,. £)l( + C3(ll,Щ. £)!f ,
(11)
С2 e C
r-3 c, e Cr-4,
c3 (0, p0,0) = ^ > 0 - первая ляпуновская величина сложного фокуса O0
векторного поля
X0+, а c2po,s)| s=0 = 0 и потому
c2 (pg , s) = s2c. (pg , s) , где c. e C
r-4
(12)
Согласно [10] числа щ е (0, щ) и 85 е (0,8) можно считать выбранными так, что, если ее (-8,8 ) х [0,8 ) , то
то есть векторное поле Х+ , и, тем более, векторное поле X^ ), не имеет замкнутых траекторий в области , задаваемой в карте к неравенством х2 + х^ < и2 (0 < р < щ) , а если
£ е (-,85) х (-,0), то векторное поле Х^ имеет в We единственную, причем грубую неустойчивую периодическую траекторию.
Уменьшив при необходимости и2 и , будем также иметь
Vu е [0,щ] V£ е (-¿5Д)2 0 <I/2 < с3(ы,р0,£) < 21 . (14)
V£ е (-£3, 83) х (-£3, 0) ехр(2ж£2 / со(£)) -1 < ж£2 / с0. (15)
Пусть и„ е (0, и2). Обозначим Г+ множество, задаваемое в карте й0 неравенствами + < и2, - > 0. Его граница состоит из дуги Ь„ е Ь , с концами в точках К± = И-1(±и ,0) и дуги Г+ : -2 + = и„2, - > 0 . При достаточно малом и„ векторное поле Хц трансверсально дуге Г+ и во всех ее точках, кроме точки К~, направлено внутрь V+ . Фиксируем такое и„ . При достаточно малом 86 е (0,£5 ) векторное поле ХЕ £ е (-, )2, в точках Г+ \ К- направлено внутрь , дуга Ь„ принадлежит дуге к-1((^, V) х{0}), а точка лежит внутри Ь„. Пусть 7 :[—и * , и*] — М - такая С1 -функция, что у : (+и„) = 0, -V < у (и) < 0 при и е (-и, и) . Ввиду (4) дуга Г- с концами в точках К- и К+, задаваемая уравнением -2 = у(-) , трансверсальная полю Х01 ). Обозначим V- (V ) открытое подмножество множество и, ограниченное Г ^Ь„ (Г = Г ^Г+ ). Уменьшив при необходимости 86, мы можем считать, что при £е (-86,86)2 поле Х£1 ) в точках Г- \{К-, К+ } направлено внутрь V-, а а£) е (-и„, и) . Учитывая (4) и (8), в итоге получаем, что при £е (-86,86)2 все траектории поля Хе в точках Г входят в V, в точках дуги Ь = Н~ 1((5(£), и ]х {0}) входят внутрь V+, а дуга Ь- = И-1((-и, 5(£)) х{0}) локально инвариантна для поля Х£.
Выбрав 86 достаточно малым, мы также можем считать, что V+ е WE при всех
£ е (-¿6Л)2.
Полярные координаты точки , £ е (0,86) х (-£6,86) : р = р(£) = £хр (£), где обозначено р„(£) :=^с2(£) + 52(£) и ф = ф(е) = агсС^^(£)/с(£))-ж. При £ е (0Д ) х (-£6, ^ ) определена функция
А{е) \= ¿{р(е),<р(е\е).
Ввиду (13)
V£1 е (0,) Д£,0) > 0. (16)
Пусть N - наибольшее значение р (£) на [-,£5 ]2, а N - наибольшее значение |с,(р0,£)| на [0,2ж]х[-^Д]2. При £е (0Д)х(-¿6,0) из (11), (12), (14) и (15) получаем
Д( £) < ж£ / с - NN££ + 21.Nl¿2 . (17)
Пусть К = 6^И2щ /ж, а 0 < £ < шт{£6, ж/ 2сNN, 1/К} . Тогда из (17) следует, что
Уе1 е (0,8) а;, -Ке2) < [-К(ж/щ-) + 2^^12]е12 < [-К^/2с0 + 2/1Я12]е12 ,
и потому
Уе1 е (0,8) а;, -Ке2) < 0. (18)
В выражении
А; (е) = [(2^ / с(е)) - (2яс; (е)е2 / с2(е))] ехр(2яе2 / с(е)) +
+[^2 ((ох е) р. (е)]ее!+[сз(рох е) р2 (е)]ее!2
первое слагаемое при е ^ 0 стремится к 2^/ с0, а два других к нулю. Поэтому 8 можно считать выбранным столь малым, что
Уее (0,8) х (-8,0) А^ (е) > 0. (19)
Из (16), (18) и (19) следует, что существует С1 -функция 3 : (0,8) ^ (-8,0), Р(т) = О(т2), такая, что
Уее (0,8) х (-8,0) А(е) = щп(е2-Р(ех )) . (20)
Определим теперь множества В (* = 0,1,2,3,4 ) и Е (3 = 1,2,3,4 ) так, как в формулировке теоремы.
При ее£2 ^В ^Е из (20) следует, что положительная полутраектория Ь() поля Х+, начинающаяся в точке , содержит точку с полярными координатами р = /(р(е),3(е) + 2ж,е) > р(е), ср = ср(е), и потому принадлежащую V- . Поскольку множество V+ выбрано так, что положительная полутраектория поля Х+, начинающаяся в его точке может выйти из V + только через дугу Ь-, то Ь () пересекается с дугой Ь-, причем ввиду (3) в единственной точке Т, отличной от . Вследствие (9) и (11) объединение дуги Ь () между точками и Т£ с дугой Ь- между теми же точками является периодической траекторией Ге поля Хе .
Так как при ее Е2 ^ В2 О - неустойчивый фокус, а замкнутых траекторий поле Х+ в V + е Щ не имеет, то положительная полутраектория поля Хе , начинающаяся в любой точке из V \ О, пересекает дугу Ь- и потому начиная с некоторого момента времени совпадает с Ге.
При ееЕ отрицательные полутраектории поля Х+, начинающиеся в точках области Ое, ограниченной Г, а также в точках дуги Ь- между и Т, отличных от Т, не могут выйти из 0£ . Поскольку при этом точка О устойчивый фокус, то указанные полутраектории а -предельны к неустойчивой замкнутой траектории Г. Положительные полутраектории поля Хе, начинающиеся в точках между Г и Г , Г и Г = дV пересекают дугу Ь- и потому начиная с некоторого момента времени совпадают с Г. Таким, образом, Г - устойчивая периодическая траектория. Траектории, начинающиеся в точках об-
ласти, ограниченной Г, отличные от O£, а -предельны Г и со -предельны к O£. Отрицательные полутраектории поля Xs , начинающиеся в точках между Г и Г, выходят из окрестности V .
При ееB из (20) следует, что через точку проходит периодическая траектория поля X£ , которую также обозначим Ге. Поскольку других замкнутых траекторий в V+ у поля X£ нет, а фокус O£ устойчив, то все траектории в области, ограниченной Ге, отличные от O , а --предельны Ге и с -предельны к O£ . Положительные полутраектории поля Xe , начинающиеся в точках между Г и Г, пересекают дугу L~ и потому, начиная с некоторого момента времени, совпадают с Г; соответствующие отрицательные полутраектории выходят из V .
Пусть ее Е4 . Положительная полутраектория поля Xe или (а) остается в int V+ , начиная с некоторого момента времени, или (б) пересекается с дугой L~ . Векторное поле X£ может иметь в V только грубую неустойчивую замкнутую траекторию. Поэтому, в случае (а) она с -предельна к фокусу O£. Положительная полутраектория поля X£ , начинающаяся в точке SE, содержит точку CE с полярными координатами р = f (р(е),рр(е) + 2я, е) < р(е), р = Рр(е), принадлежащую int V+ . Вследствие (3) вся дуга SECE этой полутраектории между точками и C£, за исключением точки , принадлежит int V+ . Положительная полутраектория IL (CE) поля X£ , начинающаяся в точке Ce,
не выходит из области, принадлежащей int V+, ограниченной замкнутой кривой, составленной из SECE и отрезка полярного луча между точками и Ce, и потому с -предельна
к O . В случае (б) положительная полутраектория поля Xs , пересекающаяся с дугой L~ ,
начиная с некоторого момента совпадает с L+ (CE) и также с -предельна к O£.
Пусть ее B0 ^ B3 ^ B4 . Особая точка O£ лежит на дуге L и ввиду (11) совпадает с точкой . Из (9) следует, что все траектории поля XL со -предельна к O£. Любая положительная полутраектория поля X , начинающаяся в V , с некоторого момента времени попадает на L~ и потому с -предельна к O£. Все отрицательные полутраектории, начинающиеся в V \ O, выходят из V .
Пусть ееЕ3. Из (9) и (11) следует, что на дуге L~ лежит особая точка A = К1(а(е),0), отличная от O£, к которой с -предельны все траектории поля Xs , начинающиеся в точках дуги L~ . Любая положительная полутраектория поля Xe, начинающаяся в V, с некоторого момента времени попадает на LK и потому также с -предельна к A. Отрицательные полутраектории, начинающиеся в точках дуги кЕ1(а(е), ^(е)]х{0}),
либо кончаются в точке , либо выходят из V, а отрицательные полутраектории, начинающиеся в точках V\ hE1([a(s), s(£)]x{0}), выходят из V .
Заключение
В работе описаны бифуркационные диаграммы для двухпараметрических деформаций общего положения особой точки типа полуфокус, лежащей на линии разрыва кусочно-гладкого векторного поля. Указаны области параметров, при которых векторное поле имеет периодические траектории.
Список литературы
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.
2. Piecewise-smooth dynamical systems: Theory and applications / M. di Bernardo a.o. L.: Springer, 2008. 481 p.
3. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems // Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. 2003. Vol. 13. No. 8. Pp. 2157-2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874
4. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov-Hopf bifurcations piecewise-smooth continuous flows // Physics Letters A. 2007. Vol. 371. No. 3. Pp. 213-220.
DOI: 10.1016/j .physleta.2007.06.046
5. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems // J. of Differential Equations. 2011. Vol. 250. No. 4. Pp. 1967-2023. DOI: 10.1016/j .jde.2010.11.016
6. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems // J. of Differential Equations. 2010. Vol. 248. No. 9. Pp. 2399-2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002
7. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сшитого фокуса // Матем. методы в технике и технологиях - ММТТ. 2015. № 1(71). С. 27-31.
8. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодической траектории из точки пересечения линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естеств.-матем. и техн. науки. 2016. № 2(181). С. 34-38.
9. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности точки стыка линий разрыва векторного поля // Науч.-техн. вестник Поволжья. 2016. № 5. С. 30-33.
10. Ройтенберг В.Ш. О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естеств.-матем. и техн. науки. 2016. № 4(191). С. 53-59.
11. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности особой точки типа «трехкратный сшитый фокус» // Изв. высш. учеб. заведений. Поволжский регион. Физ.-матем. науки. 2017. № 2(42). С. 18-31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2
12. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях особой точки типа «сшитый клюв» // Вестник Адыгейского гос. ун-та. Сер. 4: Естественно-математические и технические науки. 2017. № 4 (211). С. 22-29.
13. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Ле-онтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1966. 568 с.
14. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леон-тович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1967. 487 с.
Mathematics I Mathematical Modelling
f.Vjvf
rtiFiif ¡üurJlüt
h tip:/ ArraihfnelpLtb.ru
ISSN 2412-591 i
Mathematics and Mathematical Modeling, 2018, no. 05, pp. 57-70.
DOI: 10.24108/mathm.0518.0000140
Received: 06.09.2018
© NP "NEICON"
On Singular "Semifocus" Type Point Bifurcations of Piecewise Smooth Dynamical System
V.Sh. Roitenberg1*
^Toitenbergigmail.ru Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, Russia
Keywords: two-dimensional manifold, piecewise smooth vector field, bifurcations, singular point, periodic trajectory
For the processes described by dynamical systems, closed trajectories of dynamical systems are in line with periodic oscillations. Therefore, there is a considerable interest in describing the bifurcations of the generation of closed trajectories from equilibrium when the parameters change. In typical one-parameter and two-parameter families of smooth dynamical systems on a plane, closed trajectories can be generated only from equilibrium - weak focus. In mathematical modeling in the theory of automatic control, in mechanics and in other applications, piecewise smooth dynamical systems are often used. For them, there are other bifurcations of the generation of closed trajectories from equilibrium. The paper describes one of them, which is a typical family of dynamical systems specified by a piecewise smooth vector field on a two-dimensional manifold depending on two small parameters. It is assumed that for zero values of the parameters the vector field has a singular point O on the line of discontinuity of the field, and the point O is stable; in one half-neighborhood of the point O the field coincides with a smooth vector field for which the point O is a weak focus with positive (negative) first Lyapunov value, and in the other half-neighborhood it coincides with a smooth vector field directed at the points of the line of discontinuity inside the first of the semi-neighborhoods. The paper describes bifurcations in the neighborhood of the point O as the parameters change, in particular, indicating the regions of the parameters for which the vector field has a stable closed trajectory.
References
1. Filippov A.F. Differentsial'nye uravneniia s razryvnoj pravoj chast'ju [Differential equations with discontinuous right-hand part]. Moscow: Nauka Publ., 1985. 224 p. (in Russian).
2. Piecewise-smooth dynamical systems: Theory and applications / M. di Bernardo a.o. L.: Springer, 2008. 481 p.
3. Kuznetsov Yu.A., Rinaldi S., Gragnani A. One-parameter bifurcations in planar Filippov systems. Intern. J. of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, 2003, vol. 13, no. 8, pp. 2157-2188. DOI: 10.1142/S0218127403007874
4. Simpson D.J.W., Meiss J.D. Andronov-Hopf bifurcations piecewise smooth continuous flows. Physics Letters A, 2007, vol. 371, no. 3, pp. 213-220. DOI: 10.1016/j.physleta.2007.06.046
5. Guardia M., Seara T.M., Teixeira M.A. Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov systems. J. of Differential Equations, 2011, vol. 250, no. 4, pp. 1967-2023. DOI: 10.1016/j .jde.2010.11.016
6. Maoan Han, Weinian Zhang. On Hopf bifurcation in non-smooth planar systems. J. of Differential Equations, 2010, vol. 248, no. 9, pp. 2399-2416. DOI: 10.1016/j.jde.2009.10.002
7. Rojtenberg V.Sh. On bifurcations of the sewn focus. Matematicheskie metody v tekhnike i tekhnologiiakh [Mathematical Methods in Engineering and Technology], 2015, no. 1(71), pp. 27-31 (in Russian).
8. Rojtenberg V.Sh. On the generation of a periodic trajectory out of a point of intersection of lines of discontinuity of a vector field. Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Bull. of the Adyghe State Univ. Ser. 4: Natural-Mathematical and Technical Sciences], 2016, no. 2(181), pp. 34-38 (in Russian).
9. Rojtenberg V.Sh. On bifurcations in a neighborhood of joining point of lines of discontinuty. Nauchno-tekhnicheskij vestnik Povolzhja [Scientific and Technical Volga region Bull.], 2016, no. 5, pp. 30-33 (in Russian).
10. Rojtenberg V.Sh. On the generation of a strange attractor from a joining point of lines of discontinuity of a vector field. Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Bull. of the Adyghe State Univ. Ser. 4: Natural-Mathematical and Technical Sciences], 2016, no. 4(191), pp. 53-59 (in Russian).
11. Rojtenberg V.Sh. On bifurcations in the neighborhood of a singular point of triple sewn focus type. Izvestiia vysshykh uchebnykh zavedenij. Povolzhskij region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proc. Volga region. Physical and Mathematical Sciences], 2017, no. 2 (42),
pp. 18-31. DOI: 10.21685/2072-3040-2017-2-2 (in Russian)
12. Rojtenberg V.Sh. On bifurcations of a singular point of the "sewn beak" type. Vestnik Adygejskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Bull. of the Adyghe State Univ. Ser. 4: Natural-Mathematical and Technical Sciences], 2017, no. 4 (211), pp. 22-29 (in Russian).
13. Kachestvennaia teoriia dinamicheskikh sistem vtorogo poriadka [The qualitative theory of dynamical systems of second order] / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A.G. Maier. Moscow: Nauka Publ., 1966. 568 p. (in Russian).
14. Teoriia bifurkatsij dinamicheskikh sistem na ploskosti [The theory of bifurcations of dynamical systems on the plane] / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A.G. Maier. Moscow: Nauka Publ., 1967. 487 p. (in Russian).
