CC BY
15
УДК 514.742.4
ББК 22.161.6
Р 65
Ройтенберг В.Ш.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: [email protected]
О рождении периодической траектории из точки пересечения линий разрыва векторного поля
(Рецензирована)
Аннотация. Рассматриваются кусочно-гладкие векторные поля на плоскости в окрестности особой точки на пересечении их линий разрыва. Описана бифуркация рождения периодических траекторий.
Ключевые слова: кусочно-гладкие векторные поля на плоскости, особая точка, бифуркации.
Roytenberg V.Sh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State
Technical University, Yaroslavl, e-mail: [email protected]
On the generation of a periodic trajectory out of a point of intersection of lines of discontinuity of a vector field
Abstract. The paper examine piecewise smooth planar vector fields in a neighborhood of singular point on the intersection of their lines of discontinuity. We describe a bifurcation of generation ofperiodic orbits.
Keywords: piecewise smooth planar vector fields, singular point, bifurcations.
Динамические системы, задаваемые кусочно-гладкими векторными полями, используются в качестве математических моделей в задачах автоматического управления, в механических системах с сухим трением, в некоторых биологических и экономических задачах. Бифуркации таких систем изучались в ряде работ, например, в книгах [1, 2], а также в статьях автора [3-9]. В настоящей работе рассматриваются кусочно-гладкие векторные поля на плоскости в окрестности особой точки O «на стыке» линий разрыва векторных полей. Исследованию устойчивости такой точки посвящено много работ (см. [1]). Будем рассматривать бифуркации, при которых особая точка O теряет устойчивость и из нее рождается устойчивая периодическая траектория.
Пусть r :[0,1] ^R2 (i = 1,2,...,n +1, n > 3) - такие Cr+1-вложения (r > 2), что Г (0) - O = (0,0), rn+i = Г , а реперы (Г(0),r'i+1(0)) положительно ориентированы. Пусть M = {(x1,x2) е R2 : x12 + x^ <p2}, DM = {(x1,x2) e R2: x12 + x^ = p2}. Будем считать p> 0 выбранным столь малым, что Vi = 1,2,...,n ri[0,1] пересекается с DM в единственной точке Ai =ri (si). Обозначим Li =ri [0, si ]. Точки A1, A2,..., An, An+1 = A1 расположены на окружности DM в циклическом порядке. Пусть AiAi+1 - ориентированная дуга DM между точками Ai и Ai+1, а Mi - замкнутая область, ограниченная Li u Li+1 u AiAi+1. Обозначим Xr (Mi) - банахово пространство Cr -векторных полей на Mt с Cr -нормой. Кусочно-гладким векторным полем в области M с разбиением D на области Mi называется элемент X = (X1,X2,...,Xn) банахова пространства Xr(M,D):=Xr(M1)ФХr(M2)Ф...ФХr(Mn). Его можно отождествить с классом таких векторных полей X : M ^ R2, что X(z) = X' (z) в точках z е intMt, i = 1,2,...,n . Векторные поля X, вообще говоря, разрывны в точках линий Lt. Траектории кусочно-гладкого векторного поля X определим, согласно [1], как траектории дифференциального включения Z = Х(z), где Х(z) = {Xt (z)}, если z е intMt, X(z) - выпуклая оболочка
векторов X' (z) и X'+1(z), если z e Li \ O, и XX(O) - выпуклая оболочка векторов X 1(O),
Xn (O). Точку O будем называть устойчивым (неустойчивым) сшитым фокусом поля X0 е Xr(M,D), если все его траектории, начинающиеся в точках достаточно малой проколотой окрестности O, с (а) -предельны к O, а связные компоненты их пересечения с Mt являются дугами с концами на Li и Li+1.
Обозначим X" (M, D) открытое подмножество в Xr (M, D), состоящее из таких векторных полей X0 = (X^,...,X0n), что при любом i = 1,2,...,n обе пары векторов (Г(0),X0(O)) и (r/+1(0),X0(O)) положительно ориентированы. Пусть X0 = (X^,...,X0n) еХ" (M,D) . Число S0 > 0 и окрестность U = U(X0) поля X0 в X" (M, D) можно выбрать так, что для любого X = (X1,..., Xn) е U определены отображения r (5) ^ r+1 (f (5, X)), 5 е [0, £0), по траекториям векторных полей X', i = 1,2,...,n , при этом f (5,X) - функции класса Cr на [0,£0) xU, f (0,X) = 0, (f )5(5,X) > 0. При достаточно малых S0 и U на [0,£0)xU определена функция f (5,X) := fn(...f2(f1(5,X),X),...,X). Функция f (,X) является функцией последования по траекториям векторного поля X. Равенства g ( X0) = f(0, X0) -1 и h( X) = f"5 (0, X0) задают Cr1-функцию g: X" (M, D) ^ R и Cr-2-функцию h : X" (M, D) ^ R. Обозначим Д := {X е X" (M, D) : g(X) = 0}, Bx := {X е Д: h(X) * 0}.
Теорема 1. Множество B1 является вложенным Cr1-подмногообразием в Xr (M, D) коразмерности один. Множество B1 открыто и всюду плотно в B1.
Доказательство. Пусть поле X0 = (X0,...,X0n) е B1. В окрестности V точки O выберем Cr+1-координаты (x, y) так, чтобы M1 n V задавалось неравенствами x > 0, y > 0, а Г1 (5) = (5, 0) , Г2 (5) = (0,5) . Пусть
X0(x,y) = P(x,y)5/dx + Q(x,y)d/dy , H = (H 1,0,...,0) gXr(M,D) , H1 = Pd/dy .
При малых ß > 0 X0 + ßH е U(X0) . Траектории поля X]f[ = X0 + ßH1 являются интегральными кривыми дифференциального уравнения y' = R(x, y, ß), где R = (Q /P) + ß . Пусть y = Y(x, 5,ß) - решение этого уравнения, удовлетворяющее условию Y(5,5,ß) = 0. Тогда f (5, X0 + ßH) = y (0,5,ß) и (f1)5 (5, X0+ßH) = y;(0, 5,ß).
Так как
Y/(0,5, ß) = -R( 5,0, ß) exp J0 Ry (x, Y (x, 5, ß), ß)dx,
то (f1)5(0,X0 + ßH) = -R(0,0,ß). Производные (f)5(5,X0 + ßH) = )5(5,X0), i = 2,...,n, не зависят от ß . Поэтому
g ( x0 + ßH) = -(fn )5 (0, x0) ■ ■ ■ (/2)5 (0, x0)R(0,0, ß) -1.
Но тогда g'(X0)H = dß|ß=0 g(X0 +ßH) = -(fn)'s(0,X0)-(f2)'s(0,X0) < 0, то есть
g'(X0) * 0. Отсюда следует, что B1 является Cr1-подмногообразием Xr(M,D) коразмерности один.
Открытость B1 следует из непрерывности h. Докажем плотность B1 в B1. Пусть X0 е B1 \B1. Возьмем теперь H = (H 1,0,...,0) е Xr(M,D) , где H1 = xPd/dy . Тогда R = (Q/P) + ßx, (f) 5 (0, X0 +ßH) = (f1) 5 (0, X0) = -R(0,0,0), и при малых ß> 0 g( X0 +ßH) = g( X0) = 0, то есть X0 +ßH е B1.
Из равенства
01 £ (0, хо+дн) = г; (0,0, д) = - я; (о, о, д)+я; (о, о, дя(о, о, д) =
= -я; (о, о, о)+я; (о, о, о)Я(о, о, о) - д = их (о, Хо) - д
получаем
И( хо+дн) = И( хо) - /); (о, Хо) ^ с/;); (о, Хо) д.
Так как И(Х0) = 0, то при любом достаточно малом д > 0 И( Х0 + дН) < 0, то есть для Х0 е Д \ Д существует сколь угодно близкое поле Х0 + дН е Д.
Теорема 2. Пусть векторное поле Х0 е Д и И(Х0) < 0 (И(Х0) > 0). Тогда для любой окрестности У0 точки О существуют такие окрестность ио поля Х0 и окрестность V е У0 точки О, что положительные (отрицательные) полутраектории поля X е ио, начинающиеся в точках V \ {О}, не выходят из V ; при g(X) = 0 они входят в устойчивый (неустойчивый) фокус О за бесконечное время; при g(X) < 0 (g(X) > 0) они входят в устойчивый (неустойчивый) фокус О за конечное время; при g(X) > 0 (g(X) < 0) поле X е ио имеет в V
единственную периодическую траекторию, она устойчива (неустойчива), а точка О - неустойчивый (устойчивый) фокус, в который траектории входят за конечное время. Рисунок 1 иллюстрирует утверждения теоремы при п = 3, И(X0) < 0 .
g(X)< 0 £(Х)>0
Рис. 1. Перестройки фазового портрета (п = 3, И^^ < 0)
Доказательство. Пусть И(X0) < 0. Случай И(X0) > 0 рассматривается аналогично. Так как //(0,X,,) = 1 и /;/(0,X0) <0, то существует такое число 5> 0, что /(5,X) <5, а // (/, X0) < 0 для всех / е [0,5]. Нетрудно построить окрестность V точки О, ограниченную простой замкнутой кривой Г, пересекающей дугу ^1(0,5] в единственной точке т]1(/), / = /(5,X0), и такую, что Г п, г = 1,2,...,п , являются гладкими дугами, в точках которых поле X0 трансверсально Гп и направлено внутрь V. Если число 5 выбрано достаточно малым, то окрестность V будет содержаться в заданной условиями теоремы окрестности V0. Для некоторой окрестности ио е и и любых X е ио, / е [0, /] /(/, X) < /, //(/, X) < 0, а траектории поля X, начинающиеся в точках V , не выходят из V . Поскольку /(0, X) = 0, g( X) = //(0, X) -1, то имеем следующие утверждения. Если g(X) < 0, то /(/, X) < / для / е (0, /], и потому все траектории, начинающиеся в точках дуги т]1(0, /], с -предельны к устойчивому фокусу О. Если g(X) > 0, то существует такое е (0, /), что Б§п(/(;, X) - ;) = 8§п(/„ - ;) при всех ; е (0, /]. Поэтому О - неустойчивый фокус, а все тра-
ектории, начинающиеся в точках дуги т]1 (0, У], с -предельны к устойчивой периодической траектории, проходящей через точку г/1(у, ). Поскольку любая траектория поля X, начинающаяся в точках V , пересекает дугу ^(0, У) , то получаем все утверждения теоремы, кроме относящихся ко времени входа в точку О.
В координатах (х, у), определенных в доказательстве теоремы 1,
X 1(х, у) = Р(х, у, X)д / дх + Q(х, у, X)д / ду, где Р и Q - Сг -функции. Так как Х0 еХ; (М, П), то Р(0,0, X,,) < 0. Пусть а := -2 Р (0,0, X,,) > 0 , Ь := - // (0, X,,) > 0. Мы можем считать что число У, окрестности и0 и V выбраны столь малыми, что VX е и0 У(х, у) еV Vs е [0, У] -а < Р(х, у, X) <-а/4 < 0, -Ь < /^(у, X)/2 < 0.
Пусть g(X) = 0. Рассмотрим последовательность (/п), где /0 е (0,У), = /(/п-1,X) при п е N. Ясно, что яп X 0 . Обозначим тп время перехода по траектории поля X1 от точки дуги Ц с координатами (яп ,0) до точки на дуге Ц и 1п - время перехода по траектории поля X между точками Ц с координатами (яп ,0) и (/п+1,0). Из неравенства -а < Р(х, у, X) < 0 следует, что тп > а-1 яп и, тем более, 1п > а-1 яп. Так как //(0, X) = 1, -Ь < // (у, X)/ 2 < 0, то из формулы Тейлора имеем при всех к е N як;1 > як - Ь/2. Выберем т е N так, чтобы
c =1" bsm > 0 • Тогда пРи k > m sk+1 > csk, sk+1 > sk - bc-1 sksk+1, sk > cb" неравенство x -1 > ln x, получаем sk > cb-1 ln(sk / sk+1) . Но тогда
С s Л -1
V Sk+1
• Используя
Z" tk > a1 "V" sk > c(ab) 1 ln(sm / sn) и lim "V" tk = ro.
k=0 k =m k V ' \ m "J k=0 k
Поэтому точка траектории не может за конечное время попасть в точку O.
Пусть g(X) < 0, то есть 0 < //(0,X) < 1. Мы можем считать, что для s е (0,s) 0 < f(s, X) < q < 1. Пусть L - положительная полутраектория поля X, начинающаяся в точке Tj1(s0). Тогда суммарное время движения по дугам L, лежащих в M1\{O}, конечно:
k 0rk < 4a s0 Vk 0 q < 4a s0/(1 _ q). Аналогично получаем, что конечно суммарное время движения по дугам L, лежащих в Mi \{O}, i = 2,...,n. Поэтому любая траектория поля X входит в O за конечное время. В случае g(X) > 0 рассуждения аналогичны.
Примечания: References:
1. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с 1. Filippov A.F. Differential equations with a discon-разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с. tinuous right-hand side. M.: Nauka, 1985. 224 pp.
2. Piecewise smooth dynamical systems / M. di Bernar- 2. Piecewise smooth dynamical systems / M. di Bernardo, Ch.J. Budd, A.R. Capneys, P. Kowalczyk // Appl. do, Ch.J. Budd, A.R. Capneys, P. Kowalczyk // Appl. Math. Sci. London: Springer, 2008. Vol. 163. 483 p. Math. Sci. London: Springer, 2008. Vol. 163. 483 pp.
3. Ройтенберг В.Ш. О рождении устойчивых замкну- 3. Roytenberg V.Sh. On the generation of stable closed тых траекторий разрывных векторных полей // Ма- orbits of discontinuous vector fields // Mathematics тематика и математическое образование. Теория и and mathematical education. Theory and practice: in-практика: межвуз. сб. науч. тр. Ярославль: Изд-во ter-higher school coll. of scient. works. Iss. 3. ЯГТУ, 2002. Вып. 3. С. 19-23. Yaroslavl: YaSTU Publishing House, 2002. P. 19-23.
4. Ройтенберг В.Ш. О рождении устойчивой замкну- 4. Roytenberg V.Sh. On the birth of a stable closed tra-той траектории из гомоклинической траектории jectory from a homoclinic trajectory of a saddle of a седла кусочно-гладкого векторного поля // Яро- piecewise smooth vector field // Yaroslavl Pedagogi-славский педагогический вестник. 2013. Т. III (ес- cal Bulletin. 2013. Vol. 3 (Natural Sciences), No. 4. P. тественные науки), № 4. C. 44-49. 44-49.
5. Ройтенберг В.Ш. Об одной бифуркации трехмер- 5. Roytenberg V.Sh. On a bifurcation of thee-ных кусочно-гладких векторных полей // Вестник dimensional piecewise smooth vector fields // The Адыгейского государственного университета. Сер. Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Естественно-математические и технические науки. Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss.
2014. Вып. 1 (133). С. 16-23. URL: http://vestnik.adygnet.ru
6. Ройтенберг В.Ш. О рождении предельных циклов из контура, образованного сепаратрисами седла и сшитого седло-узла кусочно-гладкого векторного поля // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. 2014. Т. 20, № 2. С. 26-30.
7. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сшитого тройного цикла // Математика и математическое образование. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Ярославль: Изд-во ЯГТУ, 2014. Вып. 9. С. 54-67.
8. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях контура, состоящего из особых точек на линиях разрыва векторного поля и их сепаратрис // Труды XII международных Колмогоровских чтений: сб. ст. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2014. С. 121-126.
9. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодических траекторий из особой точки кусочно-гладкого векторного поля // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 7-1. С. 11-16.
1 (133). P. 16-23. URL: http://vestnik.adygnet.ru
6. Roytenberg V.Sh. On the generation of limit cycles out of a contour formed by separatrixes of a saddle and a sewn saddle-node of a piecewise smooth vector field // Bulletin of Kostroma State University named after N.A. Nekrasov. 2014. Vol. 20, No. 2. P. 26-30.
7. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of a sewn triple cycle // Mathematics and mathematical education. Theory and practice: inter-higher school coll. of scient. works. Yaroslavl: YaSTU Publishing House, 2014. Iss. 9. P. 54-67.
8. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of a contour formed by singular points on lines of discontinuity of a vector field and them separatrixes // Proceedings of 12th International Kolmogorov Readings: coll. of paper. Yaroslavl: YaSPU Publishing House, 2014. P. 121-126.
9. Roytenberg V.Sh. On the generation of a periodic trajectory out of a singular point of a piecewise smooth vector field // Actual problems of the humanities and natural sciences. 2015. No. 7-1. P. 11-16.
