О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.9:517.742.4

ББК 22.161.6

Р 65

Ройтенберг В.Ш.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: [email protected]

О рождении странного аттрактора из точки стыка линий разрыва векторного поля

(Рецензирована)

Аннотация. Рассматриваются типичные двухпараметрические семейства кусочно-гладких векторных полей на плоскости в окрестности особой точки на стыке их линий разрыва со следующими свойствами: при нулевых значениях параметров особая точка устойчива, а при некоторых изменениях параметров из нее рождается странный аттрактор.

Ключевые слова: кусочно-гладкие векторные поля на плоскости, особая точка, бифуркации, странный аттрактор.

Roytenberg V.Sh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State

Technical University, Yaroslavl, e-mail: [email protected]

On the generation of a strange attractor from a joining point of lines of discontinuity of a vector field

Abstract. The paper examine generic two-parameter families of piecewise smooth planar vector fields in a neighborhood of a singular point on the junction of their lines of discontinuity with the following properties: the singular point is stable for zero values ofparameters and a strange attractor is generated from it under certain variations of parameters.

Keywords: piecewise smooth planar vector fields, singular point, bifurcations, strange attractor.

Бифуркации кусочно-гладких векторных полей в окрестностях особых точек на стыке линий разрыва векторного поля, представляющих варианты «сшитого фокуса», при которых рождаются периодические траектории, изучались в работах автора [1-4]. Здесь мы исследуем бифуркацию, при которой из такой точки рождается «странный аттрактор» - двумерный аттрактор, через каждую точку которого проходит всюду плотная в нем траектория. Значение «странных аттракторов» в теории гладких динамических систем и в ее физических приложениях описано, например, в [5].

Пусть r :[0,1) ^R2 (i = 1,2,...,n +1, n > 3) - такие Cr+1-вложения (r >3), что Г (0) - O = (0,0), rn+1 = Г , а реперы (Г(0), r'i+1(0)) положительно ориентированы. Пусть M = {(x1,x2) е R2 : x12 + x^ < p02}, DM = {(x1,x2) e R2 : x12 + x22 = p02} . Мы можем считать p0 > 0 выбранным столь малым, что Vi = 1,2,...,n r[0,1] трансверсально пересекается с DM в единственной точке Ai =r (si). Обозначим Li =ri [0, si ]. Точки A1, A2,..., An, An+1 = A1 расположены на окружности DM в циклическом порядке. Пусть AiAi+1 - ориентированная дуга DM между точками Ai и Ai+1, а Mi - замкнутая область, ограниченная Li u Li+1 u AiAi+1. Обозначим Xr(Mi) - банахово пространство Cr -векторных полей на Mt с Cr -нормой. Кусочно-гладким векторным полем в области M с разбиением D на области Mt называется элемент X = (X1,X2,...,Xn) пространства Xr(M,D):=Xr(M1)0Xr(M2)0...0Xr(Mn). Его можно отождествить с классом таких векторных полей X : M ^ R2, что X(x) = X' (x) в точках x е intMt ,i = 1,2,..., n. Векторные поля X, вообще говоря, разрывны в точках линий Li.

Рассмотрим семейство векторных полей Xs = (Xl£,...,X") eXr(M,D), зависящих от параметра геЕ0, где Е0 - окрестность нуля в двумерном евклидовом пространстве. Мы

будем предполагать, что отображения Mi хЕ0 э (x,s) ^ XI(x), г = 1,2,...,п , принадлежат классу С . Продолжим эти отображения до С -отображений M хЕ0 э (x, s) ^ XI (x) . Мы можем выбрать С+1-координаты (x,у) в Mi так, чтобы точки ги г/м(5) имели, соответственно, координаты (5,0) и (0, 5). Тогда XI (х, у) = Р (x, у^)д / дx + Q (x, у^)д / ду , где Р и Qг - Сг -функции.

Предположим также, что векторное поле Х0 удовлетворяет условиям

(У1) Р1(0,0,0) < 0, Q1 (0,0,0) = 0, дQ1 (0,0,0)/дх > 0;

при некотором т = 2,...,п-2 Qm(0,0,0) > 0, Рт(0,0,0) = 0, дРт(0,0,0)/ду < 0; при г = 2,..., т -1, т +1,..., п Рг (0,0,0) < 0, ^ (0,0,0) > 0.

От произвола в выборе координат в и в продолжении векторных полей Х'£ до

векторных полей Х\ эти условия не зависят. Обозначим

«1 :=-(^(0)/дх)/Р1(0), аг := - ^ (0)/Рг (0), г = 2,..., т -1, «т :=-(дРт (0)/дy)/Qm (0), а} :=-Р (0)/Qj (0), ] = т +1,..., п. Из условия (У1) следует, что аг > 0, г = 1,2,...,п. Знак величины а := а1 ■ ■ ■ ат-1 - ата2т+1 ■ - а1 не зависит от произвола в выборе координат в Mi и в продолжении векторных полей Х\ до векторных полей Х\. Потребуем выполнение условия (У2) а < 0.

Из условия (У1) по теореме о неявной функции получаем, что окрестность Е, нуля в Е0 можно выбрать столь малой, что существуют единственная Сг -функция и1 : Е, ^ (-р0, Р0) такая, что V s еЕ, Q1(u1( s), 0, s) = 0, и единственная С -функция и2 :Е, ^(-р0,Р0) такая, что V s еЕ, Рт(0,и2( s), s) = 0; при этом и1 (0) = и2(0) = 0 . Потребуем выполнение условия (Уз). Производные и[(0) и и2(0) - линейно независимы.

Тогда координаты s2), | s1| < 8,, | s2\ < 8, в некоторой окрестности Е,, сЕ, точки = 0 можно выбрать так, что

V s еЕ,, и^) = s1, u2(s ) = s2. (1)

Далее мы будем отождествлять точку s е Е,, с ее координатной строкой s 2) е (-8,,8,)2.

Теорема. Пусть семейство векторных полей Xе, s е Е0, удовлетворяет условиям (У1) - (Уз)- Тогда найдутся числа 8, 8 е (0,8,) и окрестность и точки О со следующими свойствами:

1) Все положительные полутраектории Xе, s еЕ := (-8,8) х (-8, 8 ), начинающиеся в и, не выходят из и.

2) Е = и6=1Ег ии^Вг-, где (рис. 1)

В0 = {(0,0)}, Е = ^ :0<^ <8,0<S2 <у(^)}, В1 = { s :0 <^ <8^ = у(^)},

Е2 = {s : 0 < Sl< 8, у(^) < S2 <8}, ^ у:(0,8) ^ (0,8), у е С1, у(+0) = 0, у'(+0) = ат ■•• а„,

В2 = {0}х(0,8), Е3 = (-8,0)х(0,8), В3 = (-8,0)х{0}, Е4 = ^ :-8<^ <0, у2^)<S2 <0},

В4 = { s : -8 < Sl < 0^2 =У2(^)}, Е5 = {е : -8 < sx < 0, -8 < s2 <у2(^)}, у2:(-8,0) ^ (-8,0), У2 е С1, у2(-0) = 0, у; (-0) = а, ■•• ат_х/ап ■•• а„, Е6 = (0,8) х (-8,0); В6 = (0,8) х {0}.

Все положительные полутраектории Ха, геВ0 ^В4 ^В5 ^В6 , начинающиеся в точках и, входят в точку О за конечное время.

Все положительные полутраектории ХЕ, геВ2 о>В3 о>Е3 о>Е4, начинающиеся в точках и, с -предельны к периодической траектории.

Для векторных полей ХЕ, аеВ1 , существует такая замкнутая окрестность Л(а) точки О, что все положительные полутраектории, начинающиеся в ее точках, не выходят из Л(а), при этом через любую точку Л(а) проходят периодическая траектория и траектория, всюду плотная в Л(а). Множество Л(а) является аттрактором: любая положительная полутраектория, начинающаяся в точках множества и \ Л(е), при геВ1 с -предельна к границе Л(е), а при £ёЕ1 за конечное время попадает в Л(е).

Для векторных полей Хе, £ёЕ2, существует такая замкнутая окрестность Я(а) точки О , что все отрицательные полутраектории, начинающиеся в ее точках, не выходят из Я(а), при этом через любую точку Я(а) проходят положительная полутраектория, выходящая из Я(а), периодическая траектория, принадлежащая Я(а), и траектория, всюду плотная в Я(а) ; все положительные полутраектории, начинающиеся в точках и \ Я(е), с -предельны к периодической траектории.

Рис. \. Бифуркационная диаграмма. Случай п = 4, т = 2 Доказательство. Из (У!) и (1) следует, что найдутся такие числа р1 > 0 и 51 е (0,8„), что для всех (х, у, а) е (~р1, р) х (-Р1, р) х (-81 Р)2 определены Я (х, у, а) := & (х, у, а) / Р (х, у, а), г = 1,..., т -1, и Я} (х, у,а) := Р (х, у,а)/&(х, у,а), j = т,..., п; при этом

Я^и,0,а) = Лх(и,а)(и -аа), Ят(0,и,а) = 4(и,а)(и -а2), (2)

где 4,Л2 е Сг-1, 4(0,0) = -а„ Л2(0,0) = -ат.

Если р2 е (0,р1) и 82 е (0,81) - достаточно малые числа, то при любых и, V е (-р2,р2), ае (-82,82)2, г = \,..., т -1, j = т,..., п, определены решение у = £ (х, и, v,а), х е (-р2, р2), дифференциального уравнения йу / йх = Яг (х, у, а), удовлетворяющее начальному условию Сг (и,и, v,а) = V, и решение х = (у, и, v,а), у е (-р2, р2), дифференциального уравнения йх/йу = Я.(х,у,а), удовлетворяющее начальному условию ^(и,и,v,а) = V, при этом е Сг.

Обозначим

f (u,e):=Ci (0, u,0,e), i = 1,..., m -1, f} (u,s):=L (0, u,0,e), j = m,..., n.

Так как d£t (x,u,0,s)/du = -R (u ,0, s)d^i (x,u,0,s)l dv, то

0

fiu (u,s) = -R (u,0,s)exp J R' (x,Ci(x, u, v,s),s) dx, i = 1,..., m -1. (3)

u

Аналогично получаем

0

fju(u, s) = -Rj(u, 0, s) exP JR'jv(L (y, u, v, s), y,s)dy, j = m, .. ., n. (4)

u

Отображение r (u) ^ r+1 (f (u, s)), u e (-р2, р2), i = 2,..., m -1, является отображением по траекториям векторного поля X'£, а отображение rj+1 (u) ^ Гj (fj (u, s)), u e (-р2, р2), j = m,...,n, является отображением по траекториям векторного поля -Xj . Из (У1), (3) и (4) получаем

fk(0,s) - 0, (fk)'u (0,0) = ak при к e{2,..., m -1, m +1,..., n}, (5)

fk (0,s) - 0, (fk )'u (0,0) = 0, (fk)! (0,0) = ak при k e{1, m} . (6)

Если pe (0, p2) и ö3 e (0,£2) - достаточно малые числа, то при u e [-р, р], s e (-ö3, ö3 )2 определены функции

Л (u,s):= fm-^(...f^(u,s),...,s), f- (u,s):= fm (-./n (u,s),...,s) и d (u,s):= f+ (u,s) - f- (u,s).

Из (5), (6) и (У2) следует, что

d (0,0) = d'u (0,0) = 0, d''u (0,0) = a < 0. (7)

Поэтому можно считать р и 53 выбранными так, что Vu e [-р,р], Vse (-53,ö3)2

dl(u,s) < a/2 < 0, (8)

d(p,s) < 0. (9)

Покажем, что существуют Cr -функции йк :(-^4, ^4)2 ^ (-р, р), к = 1,2, где £4 e (0, S3), такие, что

uik (s) = sk (2 + r (s)), (10)

где rk (•) e Cr-1, rk (0) = 0, 2 + rk (s) > 0,

sgnfj(u,s) = sgn(u -^(s)) при u e (-р2,р2), (11)

Cx(x,ü1(s),0,s) > 0 при 0 <s1 <ö4, 0 < x < ü1(s), (12)

Sgn fm (u,s) = Sgn(u - ^ (s)) пРи u e ( р2 , Р2 ) , (13)

L(y,Ü2(s),0,s) > 0 при 0 <s2 <54, 0 <y <ü2(s). (14)

Из [6, с. 175] следует, что числа р и 83 можно считать такими, что 83 < р и существуют С -функции ок :(-р,р) х (-83,83)2 ^ (-р2,р2), k = 1,2, для которых ck(sk,s) = sk, <(u,s) < ^ < (sk,s) = -1,

C1(^1(u,s),u,0,s) = 0, £!(x,u,0,s) > 0 при s1 <u <р, <(u,s) < x <u . (15) Lm(<(u,s),u,0,s) = 0, Lm(y,u,0,s) > 0 при s2 <u <р, o2(u,s) <y <u . (16)

Дифференцируя тождество ck (sk ,s) = sk по sk и учитывая, что о'ки (0,0) = -1, получаем <j'k£t (0,0) = 2. Так как ck (0,s) к=0 = 0, <c'ku (u,s) < 0, то по теореме о неявной функции

найдутся такое число 54 е (0,53), что Vк = 1,2, Уае (_54,54)2 уравнение ак(и,а) = 0, и е (_р, р), имеет единственное решение и = ик (а), причем ик (-)е Сг, ик (а)| к=0 = 0, дик(0)/дак =-&1 (0,0)/о'ки(0,0) = 2, и потому при достаточно малом 54 выполняется (10). Формулы (11)—(14) вытекают из (15) и (16).

Ввиду (У1) мы можем считать, что для х, у е (0, р1) Р (х, у,0) < 0, @ (х, у,0) > 0, I = 1,...,п. Поэтому отображение щ(и) (и,0)), и е[0,р2), I = 1,...,т -1

(1]+1 (и) ^ (1(и,0)), и е [0,р2), ] = т,..,п) является отображением не только по траекториям векторного поля Х'0 (-Х]0 ), но и по траекториям векторного поля Х'0 (-X] ). Из (1) и (8) получаем ё(и,0) < 0 при и е[0, р) . Поэтому все траектории поля Х0, пересекающие дугу 11 [0, р), в -предельны к точке О.

Нетрудно построить окрестность и точки О, граница которой ди является простой замкнутой кривой, пересекающей дугу 1г[0,р) в единственной точке, причем

дип= , / = 1,...,п, - гладкие дуги, в точках которых поле Х'0 трансверсально ^ и направлено внутрь и. Если 53 достаточно мало, то при ае (_53,53)2 векторные поля Х'£ в точках ^ будут также направлены внутрь и, и все положительные полутраектории поля Ха , начинающиеся в точках и, будут оставаться в и и пересекать дугу 1г[0, р). Обозначим (р(и,а):= /т+1(.../п(и,а),...,а). Из (5) получаем

(и(0,0) = ат+г-ап, ((0,а) = 0. (11)

Поэтому

((и,а) = ищ(и,а), (18)

где ¥е С¥(0,0) = ат+1 ■■■ ап.

Из (5), (6), (11) и (13) следует, что

/+ (и, а) = и(и _ йх (а))g+ (и, а) , /_ (u, а) = ф _ й2(а))g_ (и, а) | у=((и а),

где

g+, g_е Сг_2, g+ (0,0) = 0,5ах - а^, g_ (0,0) = 0,5ат. (19)

Из равенств

(/+ )'Е1 (и ,а) = -и (и )'Е1 (а) g+ (и а) + и (и -и1 (а))( g+ )'гг(и,а), (I- )'е2 (и, а) = [(((и, а)(у - и2 (а))) + у(( (и, а) - (й2); (а))) g_ (и, а) +

+ Ф _ и2 (а))(g_ Уе2 (U, а)] | V(иа) , используя (10), (18) и (19), получаем, что числа р и 54 можно считать выбранными так, что при и е (0, р), ае (_54,84)2.

\(/+ )'Ег (и,а)\< 0,1ат - апи, (/_ )^ (и,а) < - 0,9 ат - апи .

Следовательно,

ё'Е2(и,а) > 0 при и е (0, р) , ае (_54,54)2. (20)

Так как ё(их(а),а) = -8§п /_(щ(а),а) = щп(и2(а) _((и1(а),а)), то из (17) и (10) по теореме о неявной функции следует существование Сг -функции уг:(-5,5) ^ (-5,5), где 0 <5 <5 <54, такой, что

ух(0) = 0, у[(0) = ат+1 -ап, (21)

ё(и (а), а) = бвп^ - уг (аг)) при а е (-5,5) х (-5,5). (22)

Из (5), (6) и (10) следует, что du (u (s), s) = 2a1 — am-1s1 - 2anan— ans2 + o(|s|) . Отсюда

из (21) и (У2) получаем, что 5 можно считать выбранным столь малым, что

du (щ (s), s) < 0 при 0 < s1 < 5, y(s) <s2 < 5 . (23)

Из (2)-(4) имеем равенства du (0,0) = 0, d'^ (0,0) = - a — am^, (0,0) = amam+1 — an.

По теореме о неявной функции отсюда следует, что числа 5 и 5 можно считать выбранными так, что существует такая Cr- -функция y2: (-5,5) ^ (-5,5), что

У2(0) = 0, y2(0) = а1 — an_J am — an, (24)

Sgn du (0,s) = sgn(s2 -y2(s1)) при se (-5,5) х (-5,5). (25)

Из (10)-(14) и из определения d(u,s) следует, что равенство d(u, s) = 0 при se (-5,0] х (-5,5), 0 < u <р и se (0,5) х (-5,5), ^(s) < u <р равносильно тому, что через точку r (u) проходит периодическая траектория поля Xs и не проходят другие траектории.

Пусть s eB1. Из (22), (23) и (8) вытекает, что d(щ (s), s) = 0,

d (u,s) < 0 при ^(s) < u <р, seBj. (26)

Поэтому существует простая замкнутая кривая T(s), состоящая из траектории поля Х\ с концами в точках O и r (Ü (s)), траектории поля Х"П с концами в точках O и rm(uu2(s)), а также траекторий векторных полей Xlj , j = m +1,...,n, и являющаяся периодической траекторией поля Х£; при этом все траектории, пересекающие дугу rfö^s),р), и следовательно, все траектории, начинающиеся в точках кольца, ограниченного T(s) и dU , а -предельны к T(s) .

Обозначим A(s) замкнутую область, ограниченную T(s) . Положительные и отрицательные полутраектории поля Xs, начинающиеся в точках A(s) , не выходят из A(s) . Покажем, что через каждую точку r(u0), u0 e [0, u/1(s)], проходит всюду плотная в A(s) траектория поля Xs. Включим u0 в двустороннюю последовательность uk e [0, ¿/1(s)], к e Z , всюду плотную в [0, u^s)]. Обозначим vk = @(uk ,s), l k - дугу траектории, соединяющую точки r(uk) и rm(vk), l1k = Г[0,uk], если uk <s2, l1k- объединение траектории поля Xle между точками r(uk) и r1(c1(uk,s)) и дуги r[0,<(uk,s)], если uk >s2, 12k =rm [0, vk ], если vk <s2, и 12k - объединение траектории поля X^ между точками

Гп (vk) и Гп (<2(Vk,s)) и дуги Гп [0,<2(Vk,s)], если vk >s2. Тогда L(u0) = UkeZ(l1 k- ^12k ^lk) - всюду плотная в A(s) траектория, проходящая через заданную точку. Так как объединение траекторий L(u0), u0 e [0,¿/1(s)], дает A(s) , то и через каждую точку z e A(s), проходит всюду плотная в A(s) траектория. Аналогично доказывается, что через любую точку z e A(s) проходит периодическая траектория.

Пусть seEj. Уравнение cp(u,s) = u2(s) имеет единственное решение u = u+ (s) ; при этом 0 < u+ (s) < u (s) и u+ (s) ^ 0 при s2 ^ 0 . Обозначим A(s) замкнутую область, ограниченную простой замкнутой кривой, состоящей из траектории поля ХП с концами в точках O и rm(u2(s)), дуги траектории поля Хе от точки rm(u2(s)) до точки r(u+ (s)), а также дуги r [0, u+ (s)], если u+ (s) < s1, траектории поля Xls с концами в точках r(u+ (s)) и r(c(u+ (s),s) и дуги r1[0,c(u+ (s),s)], если 0 <s1 <u+ (s). Вследствие (22),

(26) и (20) ё (и, а) < 0 при иг(а) < и <р. Поэтому положительные полутраектории поля Ха, начинающиеся в точках и \ А(а), за конечное время попадают в А(а) . Положительные полутраектории, начинающиеся в точках А(а), не выходят из А(а) . Как и в случае а еВ1 доказывается, что через каждую точку А(а) проходит как периодическая траектория, так и траектория всюду плотная в А(а) .

Пусть а еЕ2. Обозначим Я(а) замкнутую область, ограниченную простой замкнутой кривой, состоящей из траектории поля Х\ с концами в точках О и 11 (и1 (а)) , дуги траектории поля Ха от точки 1т (((и1(а),а)) до точки 11(и1(а)), а также дуги N (а) = 1т [0,((и1(а),а)'\, если (р(и1(а),а) <а2, и траектории поля Хт с концами в точках

1т (((и1( а X а )) и 1т (^2(((и1( а X а X а )) и дуги N (а ) =1т [0, ^2(((и1( а X а X а )\, если

((и ( а), а) > а2. Отрицательные полутраектории, начинающиеся в точках Я(а) , не выходят из Я(а), а положительные полутраектории могут выйти из Я(а) только в точках дуги N ( а ). Ясно, что через каждую точку Я( а ) проходит как периодическая траектория, так и траектория всюду плотная в Я(а). Из (22), (23) и (8) вытекает, что ё(•, а) имеет на [и (а), р3 \ единственный нуль и„ ( а) е (и (а), р3) , при этом ё'и (и„ (а), а) < 0 . Поэтому через точку 11(ив, (а)) проходит устойчивая периодическая траектория Г( а) поля Ха, а все траектории, начинающиеся в точках и \ Я(а), в -предельны к Г(а ) .

Из (7)-(9) и (25) получаем, что при а е В0 о>В4 о>Е5 о>В5 иЕ6 о>В6 ё(и, а) < 0 для и е (0, р\. Отсюда, аналогично [2\, следует, что все положительные полутраектории, начинающиеся в точках и, входят в точку О за конечное время. При а еВ2 о>Е3 о>В3 о>Е4 получаем, что существует такое число и0( а) е (0, р), что ё (и, а) = sgn(u0( а) - и). Это означает, что все положительные полутраектории, начинающиеся в точках и, в -предельны к периодической траектории, проходящей через точку 11 (и0 (а)) .

Примечания:

1. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодических траекторий из особой точки кусочно-гладкого векторного поля // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. 2015. № 7-1. С. 11-16.

2. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодической траектории из точки пересечения линий разрыва векторного поля // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2016. Вып. 2(181). С. 34-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

3. Ройтенберг В.Ш. О рождении периодической траектории из точки стыка линий разрыва векторного поля // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ: сб. трудов XXIX Междунар. науч. конф. Саратов: Изд-во СГТУ, 2016. Т. 3. С. 1417.

4. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях в окрестности точки стыка линий разрыва векторного поля // Научно-технический вестник Поволжья. 2016. № 5. С. 30-33.

5. Странные аттракторы: сб. ст.: пер. с англ. М.: Мир, 1981. 253 с.

6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

References:

1. Roytenberg V.Sh. On the generation of a periodic trajectory out of a singular point of a piecewise smooth vector field // Actual problems of the humanities and natural sciences. 2015. No. 7-1. P. 11-16.

2. Roytenberg V.Sh. On the generation of a periodic trajectory out of a point of intersection of lines of discontinuity of a vector field // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2016. Iss. 2(181). P. 34-38. URL: http://vestnik.adygnet.ru

3. Roytenberg V.Sh. On generation of a periodic orbit from a joining point of lines of discontinuity of a vector field // Mathematical methods in engineering and technologies: Proceedings of XXIX Int. scientific conf. Saratov: SSTU Publishing House, 2016. Vol. 3. P. 14-17.

4. Roytenberg V.Sh. On bifurcations in a neighborhood of a joining point of lines of discontinuity of a vector field // Scientific and Technical Bulletin of Volga Region. 2016. No. 5. P. 30-33.

5. Strange attractors: coll. of articles: transl. from English. M.: Mir, 1981. 253 pp.

6. Filippov A.F. Differential equations with a discontinuous right-hand side. M.: Nauka, 1985. 224 pp.