CC BY
50
УДК 517.95
О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ОТРАЖАЮЩИМ ОТКЛОНЕНИЕМ
Т.К. Юлдашев
Рассматриваются вопросы однозначной разрешимости смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего суперпозицию параболического и эллиптического операторов в левой части уравнения и отражающего отклонение в правой нелинейной части данного уравнения. С помощью метода разделения переменных задача сводится к изучению счетной системы нелинейных интегральных уравнений, однозначная разрешимость которой доказывается методом последовательных приближений.
Ключевые слова: суперпозиция параболического и эллиптического операторов, отклонение с отражающим аргументом, обобщенные производные, счетная система нелинейных интегральных уравнений, метод последовательных приближений, сходимость ряда Фурье.
1. Постановка задачи
В области О рассматривается уравнение
Гз а2) Га2 аО
+
I5' ЭХ2 ^ кд*2 дх ,
(1)
(2)
(3)
с начальными и граничными условиями:
“(*»*)|,е(-.о;-Г] =0’ Ы ^’*)|г=0 =(Р\{Х), И(М)|ЦГ>00) -О,
«/(*.*)|/=0 =<Рг (*)> ««(*.*)(/=(} = Фг (*)’ и('»*)|*=о =иЦ,х) (х=/ =ихх(1,х) |^=0 =ихх(?,х)\х=1 = 0,
где /0,х,м,,9)еС(1>хЛ2), д{1,х, и)&СфхК), ср1 (х )еС5 (£>,) , ц>х(х)|х=0=<р(-(*)\Х=Г
= \х)\х=ъ=<р1 \х)\х=1=Ъ, 1 = 1,3,£> = £>г х£>, , £>г =[-Т,Т ], И1 = [ 0,/],0</<оо, О <Т <оо .
Отметим, что в работах [1,2] изучены краевые задачи для однородных и линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего и четвертого порядков. В работе [3] обосновано применение метода разделения переменных к смешанным задачам для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
В данной работе используется другая методика применения метода разделения переменных: ищем решение смешанной задачи (1)—(3) в виде ряда Фурье. Обычная методика разделения переменных в случае уравнения (1) не применима, т.е. переменные в этом уравнении не разделяются. А применение ряда Фурье позволяет нам в отличие от других работ (напр.см. [3, 4]) отказываться от непрерывной дифференцируемости правой части уравнения (1). Кроме того, такой подход позволяет нам с помощью интегрального тождества свести смешанную задачу к счетной системе нелинейных интегральных уравнений, однозначная разрешимость которой легко доказывается методом последовательных приближений.
2. Сведение решения смешанной задачи к счетной системе нелинейных интегральных уравнений
Решение данной задачи (1)—(3) ищем в виде ряда Фурье [5]:
00
иЦ,х) = ^ап (0-Ьп О) , 0,х)е£>, (4)
п =1
где Ьп(х) = ^у8тЛп х , Л„ =-у~> и = 1,2,....
В множестве |а(0 =(<з„(0)| ап(0е С[-Г;Г] , и = 1,2,...| определим операции сложения
двух элементов и умножение элемента на скаляр покоординатно. Тогда данное множество становится линейным векторным пространством. Берем те элементы векторного пространства, кото-
00
рые удовлетворяют условию Е I««(о!* <оо . Это множество обозначим через В (Г) и поло-
п~\
ЖИМ
|3(01
Вп(Т)
и=1
, р>\.
Для каждого элемента а (і) є Вр (Т) определим оператор О следующим образом:
СО
Qa{t) = u{t,x)=YJan{t)■b п{х).
п= і
Обозначим через Ер{П) множество значений оператора (), а через И^к р(В) - множество
д2
функций Ф(/,х) таких, что Ф(!,х) и —- Ф(/,х) имеют обобщенные производные порядка к
дх2
по /, принадлежащие Ьр (£>/), и обращаются в нуль при 1<є-Т и 1>Т-є (0<е-зависит от Ф(/,х)). Для функций из №к р (I)) справедливы соотношения:
Нт Гф(Г,х)б?х= Нт сіх - Нш с1х= 0 при к = 3 .
;_>+7' •> !^.+Т Я і /_у+Г J я * 2
1~*±Т о 9/
д Г
Определение. Если функция и((,х)е Е р{И) удовлетворяет следующему интегральному тождеству;
' ;
| К и(з,х)
о о
л3 _ 52 (д2 л д (& Л д4 .
053 Ф + 7 тф _) + —-ф
д$ 1дх2 ) 05 I5* ) дх
дґ
-Ф + -
Гд2 —^Ф
5 Л
+—тф дх
—ф +------
ді дх2
Ф
+ / Ф|с/ ХСІ8 =
1
(ЇХ + [ ф] СІ X
(=0
^=0 О I” _|*=о
для любого Ф((,х)е}¥к р (£>), то функция и((,х) называется решением смешанной задачи (1)-
(3).
Согласно определению решение задачи (1)-{3) разлагается в ряд Фурье по собственным
д2
функциям дифференциального оператора-------------- почти для всех / е О т , причем единственным
дх2
образом. Если и (/, х) является решением смешанной задачи (1)—(3), то имеет место разложение
(4) почти при всех /е!)г и
2 . . „ пп
I
-, « = 1,2,....
Покажем, что коэффициенты Фурье ап (?) решения смешанной задачи (1)-(3) по собственным функциям Ь п(х) удовлетворяют следующей счетной системе нелинейных интегральных уравнений:
ап ( 0 = ю„(0 +у- | |/(5»ДС,бЗ(5),ба(^(5,л:,б5(-5)))):
п 0 0
У.Ь„(х)С „(? ХСІ 5 , /є!)г,
I /
(5)
где
~<Р3» .-А2» , +Я»(1 + ;1„)^2« +^3п _д^ ,
« yt J ^ л ^ ^ ~н
2X^1 +Л п)
Gn(t,s)-
+ -
1
-Лп(рХп -Яп(1-Ля)<р2п +д>Ъп
-x„t
2Л2„0~Л„)
+ 2 ^ch Л п (t - s) - Л п sh Л „ (t -
Мп=2Лп(\-Л2п).
Действительно, согласно определению решения смешанной задачи (1 )-{3) имеем
(5,)
(52)
t I
Я Sfl«
оо «=i
53 . д2 (р2 ) д ( д2 л! д4 1
-ф _ —-Ф —гФ г ф
8s3 ds2 [дх ds [дх ) дх
-/ Ф\dxd s =
="Ь
dr
-Ф + -
dt
( я2 ^
-Ф
дх"
5 Л
+-----ТФ
дх
d х + jp2
1=0
8 л 5
----Ф +-------г-Ф
5? «Эх
dх - |^з [ Ф] й?х. (6)
/=о
(=0
Пусть в (6) Ф = Фш(?,х) = я(ОЬт(х)бй^ р (D), где 0*g(7)eC3(.Dr) , m = l,2,3,..., тогда
имеем 11
Я] lLan (s)-b„(x) ]L-g'\s)bm{x) + Л2mg\s)Ъm{x) + Лlg\s)bm{x)-ЛAmg{s)bm{x)
О О [и =1
-f{s,x,Qa(s),Qa(8(s,x,Qa(-s))))g(s)bm(x))dxds = Q.
Учитывая, что система функций jz>„(x)j [ ортонормированна в L р (Dt), из последнего
равенства получаем
/[«„(*)■(-*'"(*) + Лпё "W + Л2 g'(s)- Л4 g(s)) -
о
/
\f{s,x,Qd{s),Qa{5{s,х,Qa{-s)))]g{s)bn{x)dх ds = 0.
Отсюда, интегрируя по частям, имеем
I
J SC0[*„ "СО + лп ап "О) - Я2 ап '(s) - Л* ап (s)
о
/
■j/(j,jc,65(s),ea(«y(s,jc,e5(-j))))ill(jc)rfac
d s = 0.
(7)
Так как g(/) - любая функция, удовлетворяющая вышеуказанным условиям, то an(t) имеют обобщенные производные третьего порядка по / в смысле Соболева на интервале DT и из (7) получим
/
ап m(t) + A2an ”(0-Л2а„ ’(()-Л4ап(/) = jf(t,x,Qa(t),Qa(S(t,x,Qa(-t)))]bn(x)dx. (8)
о
Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получаем [6, с. 60-62]
I I
+ -
л
J jf(s,x,Qa(s),Qa(8(s,x,Qa(-s)))]bn(x) Gn(t,s)dxds, teDt,
(9)
"00
Юлдашев Т.К. О смешанной задаче для нелинейного уравнения в частных производных
______________________________________________четвертого порядка с отражающим отклонением
где С„(/,л) и /ип определяются из (5]) и (52) соответственно.
Разложив функции (р1 (х), / = 1,3 в ряд Фурье по собственным функциям Ъп (.г), из начальных условий(2)получим
Используя эти условия, из (9) получаем счетную систему нелинейных интегральных уравнений (5).
( ^ 2
1 гч < где < Вр(Т) МхМ21д V м33д 1 0 к (^, х) с15 МА)
3. Однозначная разрешимость счетной системы нелинейных интегральных уравнений Лемма. Пусть выполняются следующие условия:
Л|/(5, X, 6<У(5), б^С?)) \ь
<
А<00, где £®(5) = £й)„(5)6п(х);
п=1
I
2. /(1,х,и,3)еЫр\й,(?,х)| Л, где [||/гД5,х)||
I ! ’ ; VII \\Lp\Df)
оо;
I
3. 8^,х,и)еПр\ /г2(?,х)| 1, где ||| /^О,*)||х (0) <<*>;
4- И(%р(Г)<00-
Тогда счетная система нелинейных интегральных уравнений (5) имеет единственное решение в пространстве В р(Т).
Доказательство. Используем метод последовательных приближений. При этом итерационный процесс Пикара определим следующим образом:
а°(0 = юи(0»
ак+1 (/) = а>п(0 +
+
1 ‘ 1
— Ц/^х,()ак (в),<2 ак(3(з,х,<2ак(-з)))у.
«00
у.Ьп(х)-Оп{1,8)с1хс18, к-0,1,2,3,..., ?е£>
т ■
В силу условий теоремы для первой разности а\ (?) - а° (?) из (10) получим
ик+\о-ик(()
<
/7=1
ВР{Т)
||| /о|-| Ь п (х) I ■ I б„(М)
о о
<М]М2М31д А
где
М. = тах (3(^,4) , М2 =
(м) 1 1
1
, М3 = тах Ь(х)
Я X еР
1 1
, —I— — 1.
Вд(1) р д
Аналогично
(10)
(II1)
а *(-/)- 3 °(-/)
ВЛТ)
<М]М2М31д А .
2 1
В силу второго условия теоремы для второй разности а п (?) - ап (?) имеем
(II2)
11
а2(0-а]«) <М,М2Мг\\\/х-/0\с1хс1з.
00
Так как
5,х,ба1(5),баЧ£(я,*,еА-'!0)))- /{8,х,дсР{$),даР{5($,х,да°{-з)))}
</*,(>,х)-
+1
1--=!
а,
а> .
^|а1Д5)-а°(5) • 1^0)1
оо
,х,^а'(-5)-ЬДх)
+
5
V /=1
УУ
( /
-а,.
00 'Л
5,х,^]а®(-5)-г>,(х)
V V ;=1
У У
|М*)|
и в силу третьего условия теоремы
гг
\\
<
+
-а,
а*
( { 00
5,х,^а°(-5)-й;(х)
V V /=1
Л /
\\
<
з,х,^а\ (-$) • (х)
V V (=1 /У
о
/У
\\
г г
5,х,^а’(-5)-6г(х)
V. V /=1
V. V /=1
00
УУ
< шах
$е£> т
V V <=1 +
УУ
\Л
)
УУ
+
<
+А ■
^,х,][У(.(-5)-6,(х)
V (=1 у
\
5,х,^а°(-5)-г»Дх)
ч (=1
<тах
«’„ОЭ-йг^О) +А-/г2(5,дс)'
(=1
/=1
то из последнего неравенства с учетом (111)и(112) получим следующую оценку:
I I
а2(0-й'(0
+ А • А2(5,х)1
ВР(Т) 00 £
7 = 1
< мхм2м3
1^(5,х)-Х
0 0 >'=
2 а) (-5) ■ Ь{ (х) - £ а ■ (-5) • 6, (х)
г=1
а'Д^-я^О)
<
г I г
и^(5,Х)
0 0 ^
ах (з) -5° (5)
*»(')
+
+А ■ Л2(5,х) • а1 (-5)-5° (-5)
Я„(0у
<
<
\2
МХМ21Ч
мз3 А
Ц|А(^х)|
, (г,х)е£,
где Л(5,х) = /г,(5,х)( 2 + А-/г2(5,х)). Меняя в (121) ? на -/ , 5 на -5 , получаем
<
(121)
а2 (-?) - а1 (-?) < М,М? М}
ВАТ)
+Д • Л2(~5>х)'
11 /
2 | а1 (-5)-а0(-5)
о о
вр( О
(1Х(Л 5
вр(0)
<
\2
МХМ2 1д
м33д
, (?,х)е£>,
Пусть /г (5,л) = — [ /г(5,х) + /г (5,х) ] . Тогда из (121) и (122) получим
(122)
( ‘ ^ 2 /
< МХМ21Ч м33д л
V 0
и2^)-и1а)
И (5,х)
ВР{Т)
(Л 5
(?,х)е£>,
(123)
где
ик(0-ик~\?)
Мг>
: тах •
йА(?)-5А ’(?)
В„(Г)
йА(-?)-5* *(-/)
Для последующей разности я3(?)-а2(?) из (10) получим следующую оценку:
а3(?) - а 2 (?)
В „(Г)
<мхм2м1
11
Ц/гД^,;*:) 2 а2(«)-а1 (5)
о о
Д„(0
+
+Д • /г2(5,х) • а2(-я) - а1 (-«) б/
5Р(0 )
В неравенстве (131) ? меняем на -? и 5 на -5. Тогда имеем
<
а3 (-?) - а 2 (-?)
<М,М2 М3
( / г
Ц/гД-л.х) 2 а2(-5)-5!(-5)
о о
ВМ)
+Д-/г2(-5,л;)- а2 (5)-а1 (5) (Л ХС1£
Вр(1))
С учетом (123) из (131) и (132) получим следующую оценку:
<
£/3 (?)-£/2 (?)
В„(Т)
<МХМ2 М1
1 I _
Ц/гО?,*)! ^2(5)-г7'(5)
<мхм2 М\1Ч
о о 1 Г /
_1_
р
о Ю
В Л О
<
(131)
(132)
\3
МХМ2 Iя
м35д
/г (5, л)
2!
Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа к, аналогичным образом получаем
— и . 1 — /,
Вп(Т)
\ к+1
<
МХМ21Ч Далее, в силу (14) получим
М2А+1Д
и0)-ик+1(1)
МО/)
А:!
<
Вр(Т)
<М,М2М3
+МХМ2М$
Д/ф,*) {/(*)-С/*+1(*)
О о 11 __
Л*(І,ж) с7*+1(л)-*7*0?)
В О
о о
яР(0
(І Х(І 8
<
\ 4+1
МХМ2Г
М2*+1Д
I ___
І Л Су,*)
и
о
МА)
А:!
£/(5)-£/*+1(5)
в„(0
Применяя к (15) неравенство типа Гронуолла-Беллмана [7], получаем
<
0(і)-ик+\і)
влт)
\ 4+1
<
МХМ21Ч
М2А+1Д
< _
| /ф,х)
МА)
А:!
хехр<
/г (з, х)
ЬрЩ)
Так как
а А+1(?) - ак(1)
влт)
ик+\і)-ик(()
ВР(Т)
(14)
(15)
{к ) 00 а (?) > сходится рав-> 4=1
номерно по ? к функции а(?) є Вр(Т). Отсюда следует существование решения системы (5). Покажем единственность этого решения в пространстве Вр (Г). Пусть счетная система нелинейных
интегральных уравнений (5) имеет два решения: 5(?)є В р(Т) и 3 (?) є В р (Т). Тогда для их разности получим
|£г«-К(0| ^
<MxM2M]lq
jp(s,x)
С/(5)-Г(5) ds
Lp(D{) ІІВ/Л0
(16)
где f/(?)-F(?) = max -j a (?) -19 (?) ; 5 (—?) — «9 (—r)
“ p\l ' ^ ^ &p\* ) " "-o p\T)
Применяя к (16) неравенство типа Гронуолла-Беллмана, получим, что a (?) - 3 (?) =0 для
II "Вр(Т)
всех ? е [ 0; 7’ ]. Отсюда следует единственность решения счетной системы (5) в пространстве ВР{Т).
4. Однозначная разрешимость смешанной задачи (1)—(3)
Подставив (5) в ряд (4), получим формальное решение смешанной задачи (1)-(3):
«(*,*)= £[®„(0 +
и = 1
1 ' '
+ТІІ/(*•* ,Qa(s),Qa(8(s,x,Qa(-s))))-bn(x)Gn(t,s)dxds
И О О
Ья(х).
(17)
Теорема. Пусть выполняются условия леммы. Если а(?)є В (Г) является решением счетной системы (5), то ряд (17) будет решением смешанной задачи (1)-(3).
Доказательство. Так как а (?) є В р(Т), то из равенства
к
Нт и Ііт V ап (?)-Ъ п (х)-и((,х)
/- ^ А:->оо
к->оо
П =1
следует, что
Нт /(?,х,ик(?,х),ик(8(?,х,ик(-?,х)),х)) =
к-* со V '
= /(?,х, и (?, х), и (<5 (?, х, и (-?, х)),х))
в смысле метрики Ь (1>) .
Строим последовательность функций:
I /
рк(0= - Фш.-Фш -ф^^х]-
0 О
-/ ^ 5 , X, и к (5 , х), и к {8 (5 , X, и к (-£, х)), х)) • Ф (л , х) | <5? X г/ 5 +
/ / / К[ф»+ф/«+ф«] <1х-\(рк2[ф1 +ФХХ] аХ+ [Ф] йх
(18)
+
(19)
f=о
<=о
(=0
Покажем, что при к -> оо (19) есть интегральное тождество (6), т.е. Нт Рк - 0 в смысле метрики
к-+ оо
^Реинтегрируя по частям отдельные слагаемые в (19) и учитывая условия теоремы и начальные условия
ап (°) = <Ри> ап '(0) = (р1п , а„ "(0) = (ргп ,
имеем
к V
Рк=]\9\(х)-Ш<1>1пЬп(х) [_Фи+Ф1хх+Фхх\ <*Х-0 V л=1 ) (=0
'/ к ) 1 [ к }
-/ 92 0)~2>2,А(*) [ф, + ф**] (*х + §(рг(х)-^(РгпЬ„(х)[Ф] <1х +
О V И=1 ) 1=0 о V И=1 ) ,_о
V к \1
+ | ’У,у ,да(-з))))-Ъп(у)с1 у -
О О П=\ [о
-/ {s,x,Qa{s),Qa(S(s,x,Qa{-s)))))■bn{x)dxds. (20)
Очевидно, что первые три интеграла в (20) стремятся к нулю при к-* да, так как (р 1{х)еЬр (О/). Сходимость разности двух последних интегралов в (20) при к —> да следует из (18). Отсюда следует, что Нш Рк = 0 . Это и доказывает теорему.
оо
Литература
1. Джураев, Т.Д. Вычисления собственных значений и собственных функций некоторых дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков / Т.Д. Джураев, Б.В. Логинов, И.А. Малюгина // Дифференц. уравнения мат. физики и их приложения: сб. науч. тр. - Ташкент: Фан, 1989.-С. 24-36.
2. Бекиев, А.Б. Краевая задача для уравнения четвертого порядка / А.Б. Бекиев // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: тезисы докладов. - М.: ФВМиК МГУ им. Ломоносова, 2009. - С. 140-141.
3. Чернятин, В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных / В.А. Чернятин. - М.: МГУ, 1991. - 112 с.
4. Вагабов, А.И. Аналитический метод решения смешанной задачи для квазилинейной параболической системы / А.И. Вагабов, З.А. Абдурахманов // Изв. вузов. Математика. - 2006. - № 7. -С. 3-12.
5. Юлдашев Т.К. Метод разделения переменных: учебное пособие / Т.К. Юлдашев. - Ош: ОшГЮИ, 2010.- 166 с.
6. Юлдашев, Т.К. Уравнения в частных производных четвертого порядка / Т.К. Юлдашев. -Ош: ОшГЮИ, 2010.- 136 с.
7. Филатов, А.Н. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний / А.Н. Филатов, Л.В. Шарова. - М.: Наука, 1976. - 152 с.
Поступила в редакцию 18 февраля 2011 г.
ON A MIXED VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION OF THE FOURTH ORDER WITH REFLECTING DEVIATION
In this paper we consider the questions of one value solvability of mixed problem for a nonlinear partial differential equation, consisting superposition of parabolic and elliptic operators in the left-hand side and reflecting deviation on the right-hand side of this equation. We accept the integral identity and by the Fourier method of separation variables we obtain the countable system of nonlinear integral equation with deviation. The one value solvability of this countable system of nonlinear integral equation we study by the method of successive approximations. The convergence of the Fourier series we prove on the base of the accepting in this work integral identity.
Keywords: superposition of parabolic and elliptic operators, reflecting deviation, general derivatives, countable system of nonlinear integral equations, method of successive approximations, convergence of Fourier series.
Yuldashev Tursun Kamaldinovich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Doctoral Candidate, Department of Higher Mathematics, Siberian state aerospace university, Krasnoyarsk.
Юлдашев Турсун Камалдинович - кандидат физико-математических наук, доцент, докторант, кафедра высшей математики, Сибирский государственный аэрокосмический университет, г. Красноярск.
e-mail: tursunbay@rambler.ru
