Смешанная задача для нелинейного интегро-дифференциального уравнения, содержащего куб параболического оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

E. А. Энгель

АНАЛИЗ ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫХ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ С ПРОПУСКАМИ

Интеллектуальные алгоритмы и методы хорошо подходят для многих задач обработки данных, где немаркированные данные преобладают. Проведен анализ селективных стратегий настройки интеллектуальной модели с акцентом на активные методы обучения (AL) и предложено два алгоритма, устраняющих недостатки проанализированных стратегий. Хотя уже было показано, что активное обучение заметно снижает усилия на аннотацию для многих задач маркировки последовательностей по сравнению со случайным выбором, AL не учитывает внутреннюю структуру выбранной последовательности (как правило, предложения). Предложен комбинированный подход AL к маркировке последовательности.

Ключевые слова: интеллектуальные алгоритмы и методы, обработка данных, активное обучение.

© Engel E. А., 2011

УДК 517.95

Т. К. Юлдашев

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО КУБ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

Рассмотрены вопросы однозначной разрешимости смешанной задачи для нелинейного интегро-дифференциального уравнения, содержащего куб параболического оператора. С помощью нелинейного метода Фурье разделения переменных задача сводится к изучению счетной системы нелинейных интегральных уравнений.

Ключевые слова: куб параболического оператора, отклонение аргумента, счетная система нелинейных интегральных уравнений, обобщенные производные, сходимость ряда.

В области D рассматривается уравнение

д t д x

u (t, x) =

= f

д

t, x, u (t, x),------- í K (t, s) u (5 (t, x), x) d s

д x J

(1)

с условиями

u (t, x)

te(-» ;0 ] =9l(t, x), u (t, x)| *(T;») =0,

u, (t,x)|t=0 =9-(x), utt (t,x)|t=0 =Фз (x),

u (t, x)| x=0 = u (t, x)| x=¡ = uxx(t, x)| x= 0 = 0, uxx(t, x) I x=¡ = u xxxx (t, x) I x= 0 = uxxxx (t, x) I x=¡ = 0

(2)

(з)

|x= 0

'|x=¡

Решение данной задачи ищем в виде ряда [1]:

да

u (t,x) = ^an (t) • bn(x), (t,x) £ D, (4)

n =1

¡~2 n n

где bn(x) = Jjsinln x, здесь ln = —, n = 1,2, ....

Функции bn(x) удовлетворяют граничным условиям

bn (0) = bn (l) = b’’n (0) = b"n (l) = 0.

Следовательно, функция, определенная с помощью ряда (4), формально удовлетворяет условиям (3). В данной статье все обозначения заимствованы из

работы [2]. Норму в пространстве Вр П (T) примем

следующим образом:

где f (t, x, u (t, x)) є С (D x R2), здесь D = DT x D¡, DT =[ 0,T ], D, = [ 0,¡ ] ,0 < ¡ <да,0 < T <да ;

0 < K (t, s) є C (D-); 5 (t, x) Ф t; ф t (x) є C (D¡),

Ф i (x)| x=0 =Ф i (x)| x=¡ =Ф" (x)| x=0 =Ф" (x) x=¡ =Ф (IV)( x) x=0 =

= ф(І¥)( x) x=¡ =0, i = ЇД

a (t) 11B¡n (T) =a (t) II a (t) I\bp(T) + n (t) I2 a (t) I

p (T)'

где 0 <a(t); n(t) єС(DT), Xn =■

¡

n = 1,2,

Сведение решения задачи к счетной системе нелинейных интегральных уравнений. Введем следующее определение: если функция и (/, х) е Е2’П (О) удовлетворяет интегральному тождеству

n

//|и (",х)

----ф + 3----------

д"3 д"2 дх2

Ф + 3-

д " д х4

-Ф +

д х6

-Ф

+ / Ф > ёхё" =

1 д ^ 1 /ф 1 д/ТФ ёх-3 /ф2

" =0 /

д3

д х

Ф

д " д х ё х

Ф

ёх +

для любого Н (", х) е ^к

к, р

-I"=0

г Л О

V д х ,

I

(") = / и (", х) Ьп (х) ё х .

ратора

д2

дх

Ьп (х) Рп (", 5) ёхёз, " е ОТ

где

^п (") =

,ф 1п +

+ (" + — п^ 2 )'ф 2 п + "2 'ф 3 п

— п " •

I от

/НЕ ап (5) • Ьп (х)

0 0 [п =1

.д5 Л д6 Л +3----------------------7 Ф+ гФ

д 5 д х д х

-Ф + 3

/

■3 /ф 2

д3

д " д х

Ф

д 5

/

/ Ф} ёхё 5 = /ф1

/

ёх +3 / ф,

Ф +

дх4

Ф

Ф

ё х-

ё х. (6)

Пусть в (6) Ф = Фт (",х) = к(")Ьт (х) е

( Л

еWí

то функция

О

где 0 ф к (") е С3 (ОТ). Тогда

и (", х) е Е2р П называется решением смешанной задачи (1).(3).

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

1) fQ : Вр (Т) ^ Ьр (О) непрерывен;

2) И*(")1 к(Т) <от;

3) и (", х) является решением смешанной задачи (1)-(3) и

Тогда коэффициенты Фурье решения смешанной задачи (1)...(3) по собственным функциям Ьп(х) опе-

удовлетворяют следующей счетной

системе нелинейных интегральных уравнений

(ССНИУ):

" /

а„ (") = ™п (") + // f (, х, ^а (5), Q2’л а (5 (5, х)))х

(5)

//1 Е ап ( 5 ) •Ьп ( х ) [- к ”'(5) Ь т (х) - 3 — 2тк" (5) Ь т (х) -

0 0 [п =!

-3 — 4тк' (5) Ьт (х) + — 6тк (5) Ьт (х) ] -

- f ( 5, х, Qa (5), Q 2’ла (5 (5,х)) • к (5) • Ьт (х) } ёхё5 =

" / I да

= /НЕ ап (5) • Ьп(х)[-к'"(5) - 3 — тк "(5) - 3 — тк'(5) +

0 0 [п =

+ — 6тк (5)]- f ( 5, х, Qa (5), Q 2’ла (5 (5, х))) х х к(5)• Ьт(х) } ёхё5 = 0.

Учитывая, что система функций {Ьп (х) } орто-

V У п=1

нормирована, из последнего равенства имеем

Т

/ [ ап (") • (-к'" (") - 3 — тк(") - 3 — тк'(") + — 6тк (") ) -

0

/

-/ f (", х, Qa ("), Q 2,па (5 (", х) ))х

0

хк (") • Ь п(х) ё х] ё" = 0, откуда, интегрируя по частям, получим

Т

/ к (/) [ а’:(/) + 3 — 2 а! (") + 3 — 4а'п (") + — пап (") -

/

-/ f (", х, (а ("), Q2’ла( 5(", х))^)^Ь п(х) ёх

ё" = 0. (7)

Рп(",5) = 2• (/-5)2 • е};

д

Q 2’ла (") =---- / К (", 5) и (5, х) ё5 =

д х 2 0

= Е—2/к (" ,5)ап (5) • Ьп(х)ё5 .

п =1 0

Доказательство. Согласно определению решения смешанной задачи (1)...(3) имеем

Так как к (") - это любая функция, удовлетворяющая вышеуказанным условиям, то ап (") имеет обобщенные производные третьего порядка по " в смысле Соболева на отрезке ОТ. Поскольку к (") ф 0

для всех " е ОТ, то из (7) получим

а(") + 3 — 2 а" (") + 3 — 4а' (") + — 6а (") =

п\/ п п V / п п ^ / п п V ^

/

= /f (",х,Qа("),Q2’ла(5(",х)))• Ь п(х)ёх. (8)

6

Решим систему (8) методом вариации произвольных постоянных:

а,

t і

(t) = ( + C2 nt + C3 nt2 )• ^ ”t +

+JJ f (5,(,Qa (s),Q 2’ца (5 (s,x)))x

bn (x) Pn (t, s) dxds, t є DT .

Для определения коэффициентов Cin (i = 1,3) используем условия

an (0) = Ф1п , a'n (0) = ф 2 n , < (0) = Ф 3n ,

где

Фin = |фі (x)• b n(x)dx, i = 1,3 , x є Dl. Тогда

T

1) J f (t,x,Qa0(t),Q2,11 a0 (5(t,x,Qa0(t))))

Lp (Di)

где

dt < Д < да;

2) f (t, x, u, $) є Lip {a (t) u Li(t) |S} ,

0 <a(t),L1(t) є C(DT) ;

3) 5 (t, x,u) є Lip{l2(t)\u}, где 0 <L2(t) є C(Dt);

4) IIW(t%n„(t) <да.

a „ (t) = W (t), t є Dt . akn+1(t) = W (t) +

I a 1( t) - a 0(t)

t i

< JJ f (s,x,Qa°(s),Q2,n a0 (5(s,x,Qa0(s)))

0 0

fj^l Pn (t,s) Г 1 •fj^l bn (x) Г ^ dxds <

t і

< M1M 2 JJ f (s, x, Qa0 (s), Q 2’ na0 ( 5 (s, x, Qa 0(s)))

(9)

xdx ds <MM2 iq Д.

где M, = max P (t, s) ; M 2 = max ft (x) ,

1 (t,s) II v 'Wbp (T)’ 2 * U 1Ц(/)'

— + - = 1.

P ,

Отсюда имеем, что

I a*(t) - a0(t

(T)

из

< (a (t) M1 +n (t) M1 )M 2 iq Д, (11)

(9) получим ССНИУ (5).

Однозначная разрешимость ССНИУ. Рассмотрим ССНИУ (5) при нелинейном отклонении

5 (", х) = 5 (", х, и (", х)).

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

где

t

П(t) = L,(t)-J| K(t,s) I-( 1+ Д-L2(s))ds;

0

M. = max X2P(t,s) <да.

1 (t, s) II ll-Bp (T)

С учетом (11) в силу второго и третьего условий теоремы для второй разности a^(t) - a ln (t) получим следующую оценку [2; 3]:

(t) - a ‘(t)||г 2,a (T) < (a (t)M, +n (t)M,)M2

Тогда ССНИУ (5) имеет единственное решение в

пространстве Б2рУ]а (Т).

Доказательство. Используем метод последовательных приближений:

d 0

dxds <

(10)

t і

+JJ f (s,x,Qak(s),Q2,11 ak (5(s,x,Qak(s))))>

0 0

xb n(x) Pn (t ,s)dxds, k = 0,1,2,3,..., t є DT .

В силу условий теоремы для первой разности ап (") - а°(") из (10) получим

// f ,х,(5),Q2’(а1 (5(5,х,Qa1(5))))-

0 0

- f (5, х,Qa°(^),Q2’п а0 ( 5(5, х, Qa0(^)))) ёхё5 <

" / г

< (а (")М1 +п (")М1)22// а («)|| а'(«) - а°(5)|| +

00[ р

+11 (5) / К (5,0) 11—2 (а1 (5 (0, х, Q а1 (0))) -

0

- а0 (5 (0, х, Qa о(0))))

< Д [ (а (")М1 + п (")М1) ] 2 М231Я+, (12)

где п (") = ¿;(") •/ К (", 5) |^(1 + Д- Ь 2( 5) )ё5.

0

Для произвольного натурального числа к аналогично (12) получим

||ак+1(")-ак("^ 2 <

II II в 2 (т )

^ к г / _ ч -| к+1 ~+к г., , "

<д[(а(")М, +п(")М,I* М2к+‘к!. (13)

Существование решения ССНИУ (5) следует из оценки (13), так как при к последовательность

( к 1 от

функций {а (")} сходится равномерно по " к

V * к=1

функции а (") е Бра (Т). Покажем единственность

этого решения в пространстве Вр’П (Т).

Пусть ССНИУ (5) имеет два решения: а (") е Вр’а (Т) и 9 (") е Вр,а (Т). Тогда для их разности получим оценку

(t) -S(t)|І 2,n ^ < (a (t)Mі +n (t)Mі )>

11 B p, a )

xM 2 l Hl a (s)-ö (s)\\ B 2,n () ds .

''B p, a (t)

(14)

венства

lim u k (t, x) = lim V an (t) • b n (x) = u (t, x)

Ir__Ir______________________________

следует, что

с

lim f

k ^да

t,x,uk (t,x),--- fK(t,s)uk(8(s,x,uk(s,x),x)ds

d x J

= f

d -

t, x ,u (t, x),----- i K (t, s) u (8 (s, x ,u (s, x), x) ds

d x J

(16)

в смысле метрики L p (D).

Строим последовательность функций:

Kk =\\\uk (t, x)

д3 „ д4 ^ „ д' д6 3 Ф + 3----- --- Ф + 3-------— Ф +----— Ф

dt3 dt2 dx2 dtdx4 dx6

+f I t,x,u k(t,x), -

д x2

<|K(t,s)uk(8(s,x,uk(s,x),x)ds Ф}d xdt

/Ф1

[ д2 ] i dx + 3 f( " д3 "

7 Ф 1 2 7 Ф

д t2 J t=0 0 д t д x

-3 |Ф 3

д x4

гФ

d x.

dx-

(17)

Применяя к (14) неравенство типа Гронуолла-Бельмана, получим, что а (") -9 (") 2 = 0 для

II "Вр, а (Т)

всех " е [ 0; Т ]. Отсюда следует единственность решения ССНИУ (5) в пространстве Бра (Т).

Однозначная разрешимость смешанной задачи.

Подставляя ССНИУ (5) в ряд (4), получим формальное решение смешанной задачи (1)...(3):

да

и (", х) = Е[ (") +

п =1

" /

+//f (, х, ^а (5),Q2,п а (5(5, х,Qa (5))))х

0 0

хЬ п (х)Рп(",5)ёх ё5] • Ьп (х). (15)

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы

2. Если а(") еВ2ра(Т) является решением ССНИУ

(5), то ряд (15) будет решением смешанной задачи (1)...(3).

Доказательство. Так как а(") еВр’П (Т), то из ра-

Покажем, что при к ^да (17) есть интегральное тождество (6), т. е. lim Vk = 0. Интегрируя по частям

к ^да

отдельные слагаемые в (17) и учитывая условия теоремы и начальные условия

an (0) = Ф 1n , a'n (0) =Ф 2n , a"n (0) = Ф 3n ,

имеем

Vk ={(Ф 1(x)-ЁФ 1nbn (x)][Ф tt ] dx -

0 V n=1 j t=0

-jL -(x)-^ф 2 n bn (x)][^] dx +

о V n=1 ) t=o

i с k \ t i

+|(ф 3(x)-ХФ з nb n (x)j[Ф] dx + Цф (t, x) x

0 V n=1 j t=0 о 0

k (i

VU f (t, ( , Qa (t), Q2,11 a (8 (t, y, Qa (t)) ))•) () dy-

n=1 L 0

-f (t, x, Qa (t), q 2,11 a (8 (t, x, Qa (t)))

xbn (x) dxdt. (18)

Очевидно, что первые три интеграла в (18) стремятся к нулю при к ^да, так как ф і (х )є Ьр (Б1). Сходимость разности двух последних интегралов в (18) при к следует і

Это и доказывает теорему.

(18) при k ^да следует из (16), откуда lim Pk = 0.

k ^да

Библиографические ссылки

1. Юлдашев Т. К. Метод разделения переменных : учеб. пособие / Ош. гос. юрид. ин-т. Ош, 2010.

2. Юлдашев Т. К. Уравнения в частных производных четвертого порядка / Ош. гос. юрид. ин-т. Ош, 2010.

3. Юлдашев Т. К. Нелинейные интегральные и ин-тегро-дифференциальные уравнения / Ош. гос. юрид. ин-т. Ош, 2010.

2

X

Т. К. Yuldashev

MIXED PROBLEM FOR NONLINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION INVOLVING CUBE OF PARABOLIC OPERATOR

In this paper we consider problems of one-valued solubility of mixed problem for a nonlinear integro-differential equation, consisting cube of parabolic operator. By the Fourier nonlinear method of separation variables we obtain the countable system of nonlinear integral equation.

Keywords: cube of parabolic operator, argument deviation, countable system of nonlinear integral equations, general derivatives, convergence of series.

© Юлдашев Т. К., 2011