CC BY
8Прикладная математика
УДК 517.95
Т. К. Юлдашев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
Г. А. Дыйканов
Баткенский государственный университет, Кыргызстан, Кызыл-Кия
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С МАКСИМУМАМИ
Рассмотрены вопросы однозначной разрешимости смешанной задачи для нелинейного интегро-диффе-ренциального уравнения в частных производных четвертого порядка, содержащего квадрат гиперболического оператора в левой части уравнения и нелинейные отклонения под знаком максимума в правой нелинейной части уравнения. Принято интегральное тождество и с помощью ряда Фурье разделения переменных задача сведена к изучению счетной системы нелинейных интегральных уравнений с максимумами. Однозначная разрешимость счетной системы нелинейных интегральных уравнений доказана методом последовательных приближений. Сходимость ряда Фурье доказана на основе принятого интегрального тождества.
В области D рассмотрим уравнение
2
52
ТГГ "^ТТ I u (t, x) = f
t, x, u (t, x),--- >
dx
t
<j K (t, s)max {u (t, x) |t e [d 5 2 ] }ds
(1)
с условиями
u (t, x)
te(-¥ ;o ] =ji (t, x), ji(0, x) = jl (x),
u (t ,x)| te(T ;¥) = 0,
u, (t, x)| t=0 =Ф2(X), ut, (t, x)| t=0 =Ф3(X),
utt, (t,x) |t=0 =Ф4(X),
u(t, x)|x=0 = u(t, x)| x=l =
= uxx (t, x) x=0 = uxx (t, x) x=l = 0,
(2)
(3)
где
D ° DT xD,, DT °[0,T], D, °[0,/], 0 <, <¥, 0 <T <¥; f (t, x, u, J) e С (D x R2); 0 < K(t, s) e C(D2), 5,. =5,. (t, u (t, x)) e C(DT xR), i = 1,2;
Ф,(x) e C5(Di), Ф,(x)|x=0 = Ф,(x)|x=, =
j,"(x)x=0 = j,"(x)|x=, = 0, i = 17.
Решение данного уравнения ищем в виде ряда
¥
u (t, x) = £ an (t) • bn (x), (t, x) e D,
2 nn
где bn(x) = Jj sinXnx, ^ = y, n =1, 2, ••••
(4)
Теорема 1. Пусть выполняются следующие усло-
вия:
1) функция /(t, х, и, непрерывна;
2) 11® «II*,№г) <¥.
Тогда коэффициенты Фурье ап (t) обобщенного решения смешанной задачи (1)...(3) по собственным функциям Ьп (х) удовлетворяют следующей счетной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ):
а„(t) = W(t) + fjjf (5, x, Qa(s),max{qa(t)| te[d 1; 52] })
где
Wn (t) =
< bn (x) • Gn (t, s) dxds, t e DT
21П jln "t (1Ф2п +Ф4п ) Ф2n +Фзп 2l2
(5)
cos 1„ t +
V Ф + 31«Ф2п + 1 2 t ФЗП +Ф4П . . , +-3-sin Xnt;
2in n
Gn (t, s) = -1 (ln (t" s) cos 1n (t" s) + sin 1n (t - s))•
21 n
Теорема 2. Пусть выполняются следующие усло-
вия:
1) j|| f (t, x,Qw(t), Qw(t))|| dt <Д<¥;
0 Lp (D¡)
2) f (t, x, u, J) e Lip{a(t)u ; Li(t)s}, где 0 < a(t); L1(t) e C(DT);
3) 5,.(t, u) e Lip{Li+ (t)u}, где 0 < L1+,. (t) e C(DT), i = 1,2;
4)
bp,a ( dt )
Тогда ССНИУ (5) имеет единственное решение в пространстве Bp'h (DT).
Подставляя ССНИУ (5) в ряд (4), получим формальное решение смешанной задачи (1).. .(3):
¥
u (t, x) = X[®n(t) +
n=1
t I
+JJ f (s, x, Qa(s), max {Q2,11 a(x)| te[51; 52 ]}) x
0 0
x bn (x) Gn (t, s) dxds ] • bn (x) . (6)
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Если a (t) e Bp'2 (DT) является решением ССНИУ (5), то ряд (6) будет обобщенным решением смешанной задачи (1)...(3).
Решетневскце чтения
^ K. Yuldashev
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
G. A. Dyikanov Batken State University, Kyrgyzstan, Kyzyl-Kiya
MIXED VALUE PROBLEM FOR ONE NONLINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE FOURTH ORDER WITH MAXIMA
In this article we consider the questions of one value solvability of mixed value problem for nonlinear partial integro-differential equation of the fourth order, consisting quadrate of hyperbolic operator on the equation left-hand side and nonlinear deviation under the sign of maxima on the right-hand side of this equation. We accept the integral identity and by the Fourier method of separation variables we obtain the countable system of nonlinear integral equation with maxima. The one value solvability of this countable system of nonlinear integral equation we study with the method of successive approximations. The convergence of the Fourier series we prove on the base of the integral identity specified in this work.
© rojigameB T. K., fltmKaHOB r. A., 2011
УДК 517.95
Т. К. Юлдашев
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
К. X Шабадиков Ферганский государственный университет, Узбекистан, Фергана
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ
Рассмотрены вопросы однозначной разрешимости смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего четвертую степень параболического оператора и нелинейное отражающее отклонение. С помощью нелинейного метода ряда Фурье задача сведена к изучению счетной системы нелинейных интегральных уравнений. Доказана сходимость полученного ряда.
В области D рассмотрим уравнение
I
u (t, x) =
= f (t, x, u (t, x), u (5(t, x, u (-t, x)), x))
Kdt dx 0
с начальными
_u (t, x) te(-u (t, x)|te(7,¥)
u, (t,x)|t=0 = Ф2 (x), utt (t, x )|t=0 =j3(x), u,t, (t, x ) t=0 =Ф4( x)
-T) =0, u (t, x) t=0 =ji(x), = 0,
и граничными
д
д2
(1)
(2)
u (t, x)| „= u (t, x )| ,=—- u (t, x )| =—- u (t, x )| ,=
v > ^Ix=0 v , ^ =/ dx^ V ' =0 dx2 V=l
д4 д4 д6 = u (t, x )|x=0 =^rr u (t, x ), = — u (t, x )x=0 =
дт'
дк4 |x=' дг6 д6
= 1x6 u (t, x) x=' = 0
условиями, где
Б° БТ х Б,, БТ °[-Т,Т ], Б, °[0, I], 0 < I <¥,
0 < Т <¥; f(t, х, и, е С (Б х Я2);
8(/, х,и) е С(Б х Я); ф, (х)е С (Б,),
ф, (х)|х=0 =ф, (х)|х =, =ф,"(х)|х = 0 =ф,"(х)|х =, =
ф( ^ Ч х)| х=0 =ф ("Ч х) х =,
= фУЧх)|х=0 =фГЧх)|х=, = 0, , = М.
В работах [1; 2] решены краевые задачи для однородных и линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего и четвертого порядков. В работе [3] обосновано применение метода разделения переменных к смешанным задачам для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.
Решение задачи (1).. .(3) ищем в виде ряда Фурье:
t(t,x) = £an(t) • bn (x), (t, x) e D,
2 n P гДе bn(x) = J J sin1 x 1 n =—, n = 1 2, ....
