CC BY
6Решетневские чтения
^ К Yuldashev, G. A. Dyikanov Batken State University, Kyrgyzstan, Kyzyl-Kiya
TO THE MIXED VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR EQUATION OF FOURTH ORDER WITH NONLINEAR DEVIATION FROM TIME
The solvability of mixed value problem for a nonlinear integro-differential equation, that consists superposition of parabolic and hyperbolic operators, is studied. By the method of separation variables the countable system of nonlinear integral equation is obtained. The method of successive approximations is applied. The convergence of obtained Fourier series is proved.
© ro^gameB T. K., ^HHKaHOB r. A., 2010
УДК 517.95
Т. К. Юлдашев, К. X. Шабадиков Баткенский государственный университет, Кыргызстан, Кызыл-Кия
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Изучается разрешимость смешанной задачи для одного типа нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка. С помощью метода разделения переменных получается счетная система нелинейных интегральных уравнений. Используется метод последовательных приближений. Доказывается сходимость полученных рядов.
В данной работе в области D рассматривается уравнение
'54 д4
f
—;---г I u (t, x) =
dt4 dx4 1
д ^
t, x, u (t, x) — J K(t, s)u (s, x)ds
(1)
с начальными
u (t, x)|t =0 =ji(x), ut (t, x)|t=0 =Ф2(x), u„ (t, x)|t=0 =Фз(x), u„, (t, x)|t=0 =Ф4(x)
и граничными
u (t, x) x=0 = u (t, x)|x=, = uxx (t, x)|x=0 =
= uxx (t, x)| x=, = 0
условиями, где f(t, x, uJ) e С(Р x R2), ф. (x) e Cm (D, ), 0 < K (t, s) e C (D2t ), ф, ( x), x=0 = Ф,- ( x), x=, = Ф," ( x), x=0 =
= Ф," ( x) x=, = 0 .
i = 1,4,
D ° DT x D,, DT 0,T],
D, °[0,,],0 <1 <œ,0 <T <¥.
Решение данной задачи ищем в виде ряда:
2 .
<(t, x) = X а„ (t) • b„ (x), b„ (x) = J- sinX„x,
1 np IT 1 „ = y, „ = 12,.„.
Теорема 1. Пусть выполняются следующие усло-
вия:
1. fQ : Bp (T) ® Lp (D) непрерывен;
2. W(
p (T )
3. и (/, х) является решением смешанной задачи (1)-(3).
Тогда коэффициенты Фурье решения смешанной задачи (1)-(3) по собственным функциям Ьп (х) опе-
д-
(2) ратора--- удовлетворяет следующую счетную сис-
дх
тему нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ):
а„ V) = ^) +
(3) +Т JJ f \ s, x, Xv (s) • bv (x), J K (s, 6)£inav (0) • bn ( x)de
1
где
bn (x)Pn (t, s)dxds, t e DT
w (t) = ^Фш +11Ф2п +1„Фз„ +Ф4„ е + w„(t) =-щ-e +
+ ^Фш -1 „Ф2„ +1 „Фз„ -Ф4„ e-1„t +
41„
+ cos , t + 1 „Ф2„ — Ф4„ sin , t.
(4)
212
213
P" (t, s) = ¿2 [>(t—s ) — ^ (t—s ) + 2sin 1 „(t — s) ].
Математика и ее приложения в космической отрасли
Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:
T
1. Л f (t,x,Qa0(t),Q2'na(t))|| dt <Д<»;
0 Lp ( D,)
2. f (t, x,m, J) £ Lip{a(t)M; L(t)9}, где
0 <a(t), L(t) £ C(DT);
3. w(
a (t )
Тогда ССНИУ (4) имеет единственное решение в пространстве Bpa (T).
Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Если а (/) е (Т) является решением ССНИУ (4), то ряд
да
и (Г, х) = ХК С) +
П=1
1 г I
+1" Я / (х, ё5 (5), ё 2,ла (5) )х
1 и 0 0
х Ьи (х) Ри (/, 5)йХй5] • Ьи (х) будет решением смешанной задачи (1)-(3).
T. K. Yuldashev, K. H. Shabadikov Batken State University, ^rgyzstan, Kyzyl-Kiya
MIXED VALUE PROBLEM FOR A NONLINEAR FOURTH ORDER EQUATION OF HYPERBOLIC TYPE
The solution of mixed value problem for a nonlinear partial integro-differential equation offourth order is studied. By the method of separation variables the countable system of nonlinear integral equation is obtained. We use the method of successive approximations. The convergence of obtained Fourier series is proved.
© Юлдашев Т. К., Шабадиков К. Х., 2010
