О смешанной задаче для нелинейного уравнения четвертого порядка с нелинейным отклонением по времени Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и ее приложения в космической отрасли

УДК 517.95

Т. К. Юлдашев, Г. А. Дыйканов Баткенский государственный университет, Кыргызстан, Кызыл-Кия

О смешанной задаче для нелинейного уравнения четвертого порядка

С НЕЛИНЕЙНЫМ ОТКЛОНЕНИЕМ ПО ВРЕМЕНИ

Изучается разрешимость смешанной задачи для одного типа нелинейного интегродифференциального уравнения, содержащего суперпозицию параболического и гиперболического операторов. С помощью метода разделения переменных получается счетная система нелинейных интегральных уравнений. Используется метод последовательных приближений. Доказывается сходимость полученных рядов.

В области Б рассматривается уравнение

_d.__dlY.dl __д11 ( ) -

а а?Хз? а?Jи -

- / (t, X, и(1, х),

1 т

| ^ К] (1, s)u (ст ] (s, и (s, х)), x)ds)

0 ]-1

с начальными

и (1, х)| 1 -0 -Ф:(х), и1 (1, X) 1 -0 -

-ф2(хХ иа (1, х) 1 -0 -Ф3(х)

и граничными

и (1, х)|х-0 - и (1, х) х-1 - ихх (1, х)|х-0 -

- ихх (1, х)|х-, - 0

an (t) = У n (t) +

+Г" íí f\s,x,QS (s), íX Kj (s, q) Qa (s J (Qa (0)))d 0

1 n 0 0 v 0 J=1

xbn (x)Gn (t, s)dxds,

где

y n (t) = 12j1n + j3n + 14 j1n -j3n cos U +

(1)

(2)

(3)

Л

(4)

12 + 14 ~ 1 + 14

n n n n

1j1n +(1 + 1 j + фзп

1+1

sin X

G

,(t, s) = m n [í

-1 n (t-s)

+ 1 nsin 1 n (t - s) - cos 1 n (t -

(t - s) ],

mn =[1 n (1+1 n) ]-1.

Теорема 2. Пусть выполняются следующие усло-

вия:

1.í

условиями, где / (1, х, и, $) е С (Б х Я),

0 < К] (1, 5) е С(Б2), ] - 1т, Ф, (х) е С (Б,), ф,. (х)^ 0 - Л <д<¥; - ф, (х)х-, - Ф,'(х)х-0 - Ф,"(х)|х-, - 0, , -1,3, Б ° БТ х Б,, БТ ° (0,Т), Б, ° (0,1), 0 <, <¥,0 <Т <¥,

ст^(5,и(s, х)) е С(БТ х Я),0 <ст (1,и) < 1.

Решение данной задачи ищем в виде ряда Фурье:

( t m

f\ t, x, Qa 0(t), í^Kj (t, s) Qa° (sj (Qa0(s))) ds

0 J=1

Lp (D )

¥ /2

m (t, X) = X an (t) • bn (x), b (x) = Jy sin Xnx,

n=1 V y

Л np IT 1 n=y= 1,2....

Теорема 1. Пусть выполняются следующие усло-

2. f (t, x,m, J) e Lip{^(t, x)|U)9}, где

F0(s,x)llLpd)ds <¥;

t

3. Sj(t,m) e Lip{Fj(t,x)m}, где í||FJ(s,x)||l (d) ds <¥;

4.

p (T )

вия:

1. fQ: Bp (T) ® Lp (D) непрерывен;

2.

р (т)

3. и (1, х) является решением смешанной задачи (1)-(3).

Тогда коэффициенты Фурье решения смешанной задачи (1)-(3) по собственным функциям Ьп (х) опе-

а2

ратора--- удовлетворяет следующей ССНИУ:

дх

Тогда ССНИУ (4) имеет единственное решение в пространстве Вр (Т).

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Если а(1) е Вр (Т) является решением ССНИУ (4), то ряд

¥

и (1, х) -Х[у п (1) +

1 ( m

+—íí f \ s, x, Qa (s), íX Kj (s, 0) Qa (sj (Qa(0))) d0

11 0 J=1

Хп 0 0

хЬп (х) Оп (1, s)dxds ] • Ьп (х) будет решением смешанной задачи (1)-3).

n=1

Решетневские чтения

^ К Yuldashev, G. A. Dyikanov Batken State University, Kyrgyzstan, Kyzyl-Kiya

TO THE MIXED VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR EQUATION OF FOURTH ORDER WITH NONLINEAR DEVIATION FROM TIME

The solvability of mixed value problem for a nonlinear integro-differential equation, that consists superposition of parabolic and hyperbolic operators, is studied. By the method of separation variables the countable system of nonlinear integral equation is obtained. The method of successive approximations is applied. The convergence of obtained Fourier series is proved.

© ro^gameB T. K., ^HHKaHOB r. A., 2010

УДК 517.95

Т. К. Юлдашев, К. X. Шабадиков Баткенский государственный университет, Кыргызстан, Кызыл-Кия

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Изучается разрешимость смешанной задачи для одного типа нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка. С помощью метода разделения переменных получается счетная система нелинейных интегральных уравнений. Используется метод последовательных приближений. Доказывается сходимость полученных рядов.

В данной работе в области D рассматривается уравнение

'54 д4

f

—;---г I u (t, x) =

dt4 dx4 1

д ^

t, x, u (t, x) — J K(t, s)u (s, x)ds

(1)

с начальными

u (t, x)|t =0 =ji(x), ut (t, x)|t=0 =Ф2(x), u„ (t, x)|t=0 =Фз(x), u„, (t, x)|t=0 =Ф4(x)

и граничными

u (t, x) x=0 = u (t, x)|x=, = uxx (t, x)|x=0 =

= uxx (t, x)| x=, = 0

условиями, где f(t, x, uJ) e С(Р x R2), ф. (x) e Cm (D, ), 0 < K (t, s) e C (D2t ), ф, ( x), x=0 = Ф,- ( x), x=, = Ф," ( x), x=0 =

= Ф," ( x) x=, = 0 .

i = 1,4,

D ° DT x D,, DT 0,T],

D, °[0,,],0 <1 <œ,0 <T <¥.

Решение данной задачи ищем в виде ряда:

2 .

<(t, x) = X а„ (t) • b„ (x), b„ (x) = J- sinX„x,

1 np IT 1 „ = y, „ = 12,.„.

Теорема 1. Пусть выполняются следующие усло-

вия:

1. fQ : Bp (T) ® Lp (D) непрерывен;

2. W(

p (T )

3. и (/, х) является решением смешанной задачи (1)-(3).

Тогда коэффициенты Фурье решения смешанной задачи (1)-(3) по собственным функциям Ьп (х) опе-

д-

(2) ратора--- удовлетворяет следующую счетную сис-

дх

тему нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ):

а„ V) = ^) +

(3) +Т JJ f \ s, x, Xv (s) • bv (x), J K (s, 6)£inav (0) • bn ( x)de

1

где

bn (x)Pn (t, s)dxds, t e DT

w (t) = ^Фш +11Ф2п +1„Фз„ +Ф4„ е + w„(t) =-щ-e +

+ ^Фш -1 „Ф2„ +1 „Фз„ -Ф4„ e-1„t +

41„

+ cos , t + 1 „Ф2„ — Ф4„ sin , t.

(4)

212

213

P" (t, s) = ¿2 [>(t—s ) — ^ (t—s ) + 2sin 1 „(t — s) ].