О смешанной задаче для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего квадрат гиперболического оператора и нелинейное отражающее отклонение Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Математика и механика № 2(14)

УДК 517. 95

Т.К. Юлдашев

О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩЕГО КВАДРАТ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА И НЕЛИНЕЙНОЕ ОТРАЖАЮЩЕЕ ОТКЛОНЕНИЕ

Рассматриваются вопросы однозначной разрешимости смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего квадрат гиперболического оператора и нелинейное отражающее отклонение. С помощью нелинейного метода ряда Фурье задача сводится к изучению счетной системы нелинейных интегральных уравнений. Доказывается сходимость полученного ряда.

Ключевые слова: квадрат гиперболического оператора, нелинейное отражающее отклонение, счетная система нелинейных интегральных уравнений, обобщенные производные, сходимость ряда.

1. Постановка задачи

В области Б рассматривается уравнение

(д2 д2

I -2-----2 I и (?, X) = ? (, X, и (*, X ), и (5 (/, х, и (—, х)), х) ) (1)

уд1 дх )

с начальными и граничными условиями

"и (1 , Х)| ,е(_»; -Т ]= 0 и V , Х)| 1=0 =Ф 1(Х)^ и V , Х)| 1е[ Т ,00) = 0 (2)

и( (Г , х)| 1=0 =Ф 2 (х) , и(( (Г, X )| 1=0 =Фз(х), иш (Г, X )| 1=0 = Ф4 (х);

и (1, х )| х=0 = и (1 , х )| х=1 = ихх(1, х )| х=0 = ихх(1, х )| х=1 = 0 (3)

где / (/, х, и 9) е С (Б х Я 2), фг (х )е С5 (Б1),

Ф г (х)| х =0= Ф г (х)| х=1 = Ф г "(х) | х=0= Ф г "(х)| х=Г 0, ‘ = 1,4 ,

Б = БТ х Б1, БТ =[_Т ,Т ], Б{ =[ 0,1 ] ,0 < I <о, 0 < Т <о, 5 (1, х) Ф1.

Отметим, что в работах [1,2] изучены краевые задачи для однородных и линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего и четвертого порядков. В работе [3] обосновано применение метода разделения переменных к смешанным задачам для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

В данной работе используется другая методика применения метода разделения переменных: ищем решение смешанной задачи (1) - (3) в виде ряда Фурье. Обычная методика разделения переменных в случае уравнения (1) не применима, т. е. переменные в этом уравнении не разделяются. А применение ряда Фурье позволяет нам в отличие от других работ (напр.см. [3,4]) отказываться от непрерывной дифференцируемости правой части уравнения (1). Кроме того, такой подход по-

зволяет нам с помощью интегрального тождества свести смешанную задачу к счетной системе нелинейных интегральных уравнений, однозначная разрешимость которой легко доказывается методом последовательных приближений.

2. Сведение решение смешанной задачи к счетной системе нелинейных интегральных уравнений

Решение данной задачи (1) - (3) ищем в виде ряда Фурье [5]:

u (t, x) = £ an (t)-b n (x), (t, x) £ D, (4)

n =1

где bn(x) = ^jy sin X nx , Я. n = -y , n = 1,2,....

В множестве {a(t) = (an(t))| an(t) £ C[-T;T], n = 1,2,...} определим операции

сложения двух элементов и умножение элемента на скаляр покоординатно. Тогда данное множество становится линейным векторным пространством. Берем те элементы этого векторного пространства, которые удовлетворяют условию

£ I a n(t)|p <w . Это множество обозначим через Bp(T) и снабдим его нормой

Í(t )|| b

p (T )

£ Ia» (t)|

Для каждого элемента a (t) є B (T) определим оператор Q следующим

образом:

Qa (t) = u (t,x) = £ a» (t)-bn (x).

Обозначим через Ер (В) множество значений оператора Q. Очевидно, что Q: Вр(Т) ^ Ер(В) . Обозначим через №к р(В) множество функций Ф(ґ,х) та-

ких, что Ф (t, x) и

д2

д хА

Ф (t, х) имеют к-е обобщенные производные по t, при-

надлежащие Lp (Dl), и обращаются в нуль при t > T -5 (0 <5-зависит от Ф (t, x)). Для функций из Wk (D) справедливы следующие соотношения:

,• \ 5Ф(t,x) , ,• f д2 Ф(t,х) , г д3 Ф(t,х) , Л

lim |Ф(t,х)dx= lim I----------dx= lim I------- ---dx= lim I------- dx=0.

^+TJ t^±T^ rit t^+TJ Я/-2 f^+TJ

t^±T

д t

д t2

при к = 4.

Определение. Если функция ^ , х) е Ер (В) удовлетворяет следующему интегральному тождеству:

11

0 0

Uiu (s,x)

Г д4 д2 Í д 2 > д4 1

7 Ф -2—- Ф + 7 Ф

д s 4 д s2 [д x 2 д x 4 _

- f Ф\dxds =

n=1

» =1

= /ф1

-Ф-2—

д t

I

( д 2 ^ -Ф

ф 2

2

Jt =0

+|ф 3

д

—Ф

д t

Ф-2----- Ф

д х

2

ёх +

->¡=0

ёх-|ф4 [Ф] ё х

-‘¡=0 о ¡=0

для любого Ф^, х) е (В), то функция и ^, х) называется решением смешан-

ной задачи (1) - (3).

Согласно определению, решение задачи (1) - (3) разлагается в ряд Фурье по собственным функциям дифференциального оператора —^-г почти для всех

дх2

t е В т , причем единственным образом. Если и ^, х) является решением смешанной задачи (1) - (3), то имеет место разложение (4) почти при всех t е Вт в смысле Ьа (В) и

ап (t) = |и (t,х)Ьп (х)ёх ,

°п ^, 5) = 777 ( п (t - 5)с05 7 п ^ - 5) + п(1: - 5)) 7 п = ) п = 1,2,....

2 7 п

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

1. Функция / (t, х, и, 9) непрерывна.

2. IIй «II Вр(Т) <«.

Тогда коэффициенты Фурье ап (t) решения смешанной задачи (1) - (3) по собственным функциям Ь п (х) удовлетворяют следующей счетной системе нелинейных интегральных уравнений:

1 * 1

ап (0 = йп (0+—|\/(, х, да (5), да (8(5, х, да (-5))))х

7 п 0 0

хЬп(х)Оп(t,5)йхйз, t е Вт ,

(5)

_ 2 7 п Ф1п - t (7 » ф 2 п +ф 4 п ) ф 2 п +ф 3п . ,

где й п (t) =-----------------------------—1-------------------------- С0« 7 п +

2 7 п

7 41 ф1п + 37 п ф 2 п +7 21 ф 3 п +ф 4 п

п т 1 п п Т 2 п п Т 3 п Т 4 п - А ,

+---------------------------3------------------------51п 7 п 7,

2 73 п

°п(t,5) = 2Т7( п (-5) С057 п (t-5) + ап7 п (t-5)) . (5!)

Доказательство. Согласно определению решения смешанной задачи (1) - (3), имеем

? I | ад

/НЕ ап(5) • Ьп(х)

0 0 1п =1

Г д4 д2 ( д 2 > д4 ]

—г Ф - 2—г Ф + 4 Ф

д 5 д 52 2 х (О д х

-/Ф Уёхё^' =

:}ф1

-Ф-2—

д t

2

Ф

г=0

ёх-/ф2

0

+/ф 3

д

—Ф

д t

д t д х

ёх-/ф4 [Ф] ё х.

ёх +

¡=0

(6)

-7=0 0 t=0

Пусть в (6) Ф = Ф т ^, х) = я (t) Ьт (х) е^, р (В), где 0 ф я (0 е С3 (Вт). Тогда имеем

г I

/НЕ ап(5) • Ьп(х )>

0 0 1п =1

х[ Я1Г(5) Ь т (х) + 2 7 2тё "(5) Ь т (х) + 7 (5) Ьт (х) ] -

-/ ( 5, х, д ¿? (5), д<3 (8 (5, х, д<3 (-5))))(5) Ьт (х) }йхйз = 0.

г чад

Учитывая, что система функций {Ьп(х)} = ортонормирована, из последнего

равенства имеем

/ [ап (5) • (я /К(5) Ът (х) + 2 7 (п8 "(5) Ьт (х) + 7 Лт8 (5) Ьт (х) )

0

I

-/ / (^, х, да (5), да (8 (5, х, да (-5)))) я (5) Ьп (х) ё х

= 0.

Отсюда, интегрируя по частям и учитывая свойство обобщенного решения, имеем

/ Я (5) \_ап1У (5) + 2 7 2тап ”(5) + 7 4тап (5) -

0

I

-//(5, х, да (5), да (8 (5, х, да (-5)))) (х) ё х

(7)

Так как я (^ любая функция, удовлетворяющая вышеуказанным условиям, то а п (t) имеет обобщенные производные третьего порядка по t в смысле Соболева

на интервале ВТ . Поскольку я ^) ф 0 для всех t е Вт, то из (7) получим

: / / (t, х, да ($), да (8 ^, х, да (^))) )Ьп (х) ёх.

(8)

Решая систему (8) методом вариации произвольных постоянных, получим

ап ( t) = (С1п + С2 п* ) С0!5 7 п* + (С3 п + С4 п ) ) 7 п* +

1 ( 1

+7-1//(*, ( ,да(5),да(8(5,х,да(-^))))Ьп(х)оп(t,5)ёхё5, tеВт, (9)

7 п 0 0

где Оп ^, 5) определяется из (51).

Для того чтобы определить коэффициенты Сгп (г = 1,4), используем условия:

ап (0) =ф1п , ап '(0) = ф2п , ап "(0) = ф3п , ап ”'(0) = ф4п ,

где ф гп =

/фг (х)Ь п (х)ёх , г = 1,4 , х е В1 .

Тогда из (9) получим счетную систему нелинейных интегральных уравнений (5).

3. Однозначная разрешимость счетной системы нелинейных интегральных уравнений

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

5, х, да 0( 5), да 0(8 (5, х, да 0(-5)))) ё 5

¿р (В,)

2. /^,х,и,9) е ¿гр,х)|и,а}, где /||к^,х)|^ ) ё5 <ад;

3. 8^,х,и) е Ыр^к^,х)|и }, где /|к2(5,х)|(В )ё5 <ад;

4. ||Й(^||(т) <ад.

Тогда счетная система нелинейных интегральных уравнений (5) имеет единственное решение в пространстве В р (т).

Доказательство. Используем метод последовательных приближений. При этом итерационный процесс Пикара определим следующим образом:

а п ^) = ®п ^), t еВт ,

а^1^) = йп (t) +

г I

+т— ///, х, дак (5), д^к (8 (5, х, дак (-5))) )>

(10)

п 0 0

хЬп(х)• Оп^,5)ёхё5, к = 0,1,2,3,..., t е Вт .

В силу условий теоремы для первой разности а 1п (t) - а°^) из (10) получим

\а'(t) - а <

I 11Вр (т )

<Е^

п=1 ^ п

í I

//./0 м Ьп(х) И °п о1,5)\ёхё5

< М1М 2 М 31ч Д ,

(111)

где

/к = /(,х,дак(5),дак(8(5,х,дак(-5)))), к = 0,1,2,...,

М1 = шах| О(t,5)1, М2 =

V, 5) 1 1

М 3 = шах 11Ь

I +1 = 1.

Зд(1 У р д

Аналогично получим, что

II а'(-!) - а°(-,

р (т )

< М1М 2 М 31д Д,

(112)

В силу второго условия теоремы для второй разности а 2( t) - а1^) имеем

а2(t) - а1

р (т)

< М М 2 М 3//| / - /0 |ёхё5.

0 0

Так как

|/ , х, да\5), да\8 (5, х, да\-5)))) - / (, х, да0(5), да 0(8 (5, х, да 0(-5))))

< к1(5, х)'

ад ад

Е| а1 (5) - а° (5) |^| Ь (х) |+ Е

V=1 V=1

М 8| 5, х, Е а1 (-5) • Ьг (х) I I-

г=1

-аV| 8| 5,х,Еа0(-5)• Ь(х)

г=1

|Ь (х)|

и в силу третьего условия теоремы

21( 8| 5,х,Еак-5)• Ь(х) I I-аVI 8| 5,х,Еа0(-5)• Ьг(х)

г=1

г=1

аЦ 8(5,х,Еа'(-5) • Ьг (х)^^ - аV ( 8^5,х,а'НО • Ьг (х) 8(5,х,Еа1(-5)• Ь(х) I |-аV( 8(5,х,Еа0(-5)• Ьг(х)

<| а\ (5) - а V (5)| +Д •

<| а\,(5)-aV(5)| + Д • к2(5,х)•

8| 5, х, Е а'(-5) •Ьг (х) I-8( 5, х, Е а0(-5) •Ьг (х)

Е а1 (-5) • Ьг (х) - Е а0 (-5) • Ьг (х)

то из последнего неравенства с учетом (111) и (112) получим следующую оценку

II ад

||а 2( t) - а '(01| В т < М М 2М 3 //к1(5, х) •ЕС2 I а'у (5) - а V (5)| +

+Д-Н 2( 5, х)

Е а1 (-5) • Ьг (х)-Е а0 (-5) • Ьг (х)

1

х

Р

0 0

< м м 2 м32

jjh^s,x) i 2 ||a'(s) - a0(s)||B t)

0 0 ^ p

+Д-h2(5,x) a'(-s) - а0(-s)||B ^ ^ jdxds

П2

M M 2 lq

M33Д

illh (5 >x )lL (Dl)ds

(t, x) e D,

(121)

где h (s, x) = h1(s, x) (2 + Д • h 2(s, x)).

Меняя в (121) t на -1, s на - s , получим

la 2(-t) - a '(-,

p (t )

< м м 2 м32

tl (

JJhi(-s,x) I 2|| a1 (-s) - a0(-s)||^

p (t)

+Д • h2(-s,x) • || a'(s) - a0(s)||b (t)jdxds

2

м м 2 lq

м33Д

h (s, x )l L (D[) ds

(t, x) e D,

(122)

где h (s, x) = hj(-s, x) (2 + Д • h2(-s, x)).

Пусть h (s,x) = 2[ h (s,x) + h (s, x) ] . Тогда из (121) и (122) получим

U

\t) - U \t)[

2

м33Д

(t, x) efl, (123)

где || U k (t) - U k-1 (t ) || = max {a k (t) - a k-1 (t) ||: || a k (-t) - a k-1 (Для последующей разности a3( t) - a^(t) из (10) получим следующую оценку:

11 ,

a 3( t) - a 2(t)|| b (t ) < м м м3 jjh1(s, x) [ 21 a 2(s) - a\s)\

0 0

p (t)

+Д • h 2( s, x) Jl a2 (-s) - a'(-s) || ^ 1 dxds

Jt))

В неравенстве (131) t меняем на —t и s на -s. Тогда имеем

(131)

\a (-t) - a 2(-,

p (T)

< м м 2 м32

11 ,

jjh1(-s,x) I 2|| a2(-s)-a'(-s)||b +

00 ^ p

+Д • h2(-s,x) J| a2(s)-a'(s^ ^ 1 dxds

(132)

0 0

С учетом (123) из (131) и (132) получим следующую оценку:

|и 3(1) - и 2(г)|| В (т) < ММ2 М32

1 иВр(т )

г I _

//к (5, х) I \0 2( 5) - и '(¿ОЦ ёхёз < * * II II В„ (г)

< м 1м 2 м321д

г [ I

/<||к р(5,х)ёх ||и2(5)-иЧ^Ц^ ё5

( 113

м м 21д

М35Д

к (5,х) ё5

'К ( в1)

2!

V /

Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа к, аналогичным образом получим

|ик+1( г) - ик (г) || <

I 11Вр (т )

М 32 к+'Д

к (5,х) ё5

ИКр (В,)

к!

-. (14)

Далее, в силу (14) имеем

| и (г) - ик+Чг)| п (т) < м м 2м\

I ИВр(т )

г , _

//к (5,х)|| и(5) -ик+'(5^^ ёхёз

г I _

// к (5,х)|| ик+'(5) - ик(5) ||^ ёхёз

0 0

( 11 М 1М 2 ,д

V /

к+1

М 32 к+'Д

к (5,х) ё5

'К ( в,)

к!

+м 1м 2 м32 ,д

к (5, х) и (5) - и (.5) ё5

'кр (В, )11 1'Вр (г)

(15)

Применяя к (15) неравенство типа Гронуолла - Беллмана, получим

и (г) - ик+'(г) п (т) <

I 1|Вр(т )

( 11 М ХМ 2 1д

к+1

V /

1

<ехр <М 1М 2 М31д

М 32 к+'Д

к (5,х) ё5

К ( в, )

к (5,х) ё5

ИКр (В,)

к!

2

к

к

Так как

\ak+1( t) - ak (t )|

<| \ük+1( t) - Uk (t )|

то из оценки (14) следует, что при к ^ад последовательность функций

{к ) ад

а (г) }к 1 сходится равномерно по г к функции а (г) е Вр (т). Отсюда следует

существование решения системы (5). Покажем единственность этого решения в пространстве Вр (т). Пусть счетная система нелинейных интегральных уравнений (5) имеет два решения: а (г) е В (т) и 9 (г) е В (т). Тогда для их разности получим

IIU(t)-V(t)||Bv(T) < MiM2M32lq

h (s,x)IL (DJlü(s)-V(s)llвp(t)ds

(16)

где ü(t)-V(t) = max{IIa(t)-9(t)INIa(-t)-9(-t) }.

Применяя к (16) неравенство типа Гронуолла - Беллмана, имеем, что

\a (t) -9(t)

p (T)

= 0 для всех t е[ 0;T ]. Отсюда следует единственность реше-

ния счетной системы (5) в пространстве B p (T).

4. Однозначная разрешимость смешанной задачи (1) - (3)

Подставляя счетную систему нелинейных интегральных уравнений (5) в ряд (4), получим формальное решение смешанной задачи (1) - (3):

i(t, *)= V

ю„ (t)+

1 11

+^ я f с, * ,Qa (s),Qa (5(s,*,Qa (-s))))• bn(x)Gn(t,s)dxds

• bn (*). (17)

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 2. Если a (t) е B p (T) является решением счетной системы (5), то ряд (17) будет решением смешанной задачи

(1) - (3).

Доказательство. Так как a (t) е B (T), то из равенства

k

lim uk (t, x) = lim V an (t) • b n (x) = u (t, x)

k^W u " ~

следует, что

k

lim f (t, x, uk (t, x), uk (5 (t, x, uk (-t, *)), x)) =

k^w ' '

= f (t,x, u (t,x),u (5(t,x,u (-t,x)),x)) в смысле метрики L (D).

n =1

Строим последовательность функций:

11

Pk =ii{ uk (s, x) [Ф ssss - 2 Ф ssxx +Ф xxxx]-0 0

- f ( s, x, u k (s, x), uk (5 (s, x, uk (-s, x)), x) ^•Ф (s, x)} dxds -

i

-|91k [ Фttt -2Фtxx] dx +

0 t=0

l l l

+{ф2[фtt -2Фxx] dx-|93[фt] dx-|94[ф] dx. (19)

0 t=0 0 t=0 0 t=0

Покажем, что при k —-да (19) есть интегральное тождество (6), т.е. lim Pk = 0 . Интегрируя по частям отдельные слагаемые в (19) и учитывая усло-

k—W

вия теоремы и начальные условия

an (0) =Ф1п , an '(0) = ф2n , an "(0) = Фзп , an ”'(0) = Ф$n ,

имеем

Pk = j [ф 1(x)-V Ф 1nbn (x)l^ ttt - 2 Ф txx ] dx -

0[ n=1 / t=0

-j L 2(x)-]T ф 2 nbn (x) 1[Ф tt - 2 Ф xx ] dx +

0[ n=1 / t=0

+/[ Ф 3(x)-V Ф 3nbn (x) ^[Ф t ] dx-j [ф 4(x)-V Ф 4 nbn (x) ^[ф] dx +

n=1 ' t=0 0[ n=1 / t

tl k f l

U Ф (s, x)Vfj f (s, s, Qa (s), Qa (5 (s, y, Qa (-s)))) ()) dy -

+J

0 0 n=1 [0

- f (s,x,Qa(s),Qa(5(s,x,Qa(-s))))}• bn(x)dxds. (20)

Очевидно, что первые три интеграла в (20) стремятся к нулю при k — да, так как ф j (x) е Lp (Dt). Сходимость разности двух последних интегралов в (20) при k —— w следует из (18). Отсюда следует, что lim Pk = 0 . Это и доказывает теорему.

k ——w

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев Т.Д., Логинов Б.В., Малюгина И.А. Вычисления собственных значений и собственных функций некоторых дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков // Дифференц. уравнения мат. физики и их приложения. Ташкент: Фан, 1989. С. 24-36.

2. Бекиев А.Б. Краевая задача для уравнения четвертого порядка // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: тез. докл. М.: ФВМиК МГУ им. Ломоносова, 2009. С. 140-141.

3. Чернятин В.А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М.: МГУ, 1991. 112 с.

4. Вагабов А.И., Абдурахманов З.А. Аналитический метод решения смешанной задачи для квазилинейной параболической системы // Изв. вузов. Математика. 2006. № 7. С. 3-12.

5. Юлдашев Т.К. Уравнения в частных производных четвертого порядка. Ош: ОшГЮИ, 2010. 136 с.

Статья поступила 19.01.2011 г.

Yuldashev Т. К. ON A MIXED VALUE PROBLEM FOR A NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION CONTAINING A SQUARED HYPERBOLIC OPERATOR AND NONLINEAR REFLECTING DEVIATION. In this paper we consider the questions of one-valued solvability of the mixed problem for a nonlinear partial differential equation containing a squared hyperbolic operator and nonlinear reflecting deviation. Using the Fourier nonlinear method, we obtain a countable system of nonlinear integral equations. It is proved that the obtained series converges.

Keywords: quadrate of hyperbolic operator, reflecting deviation, countable system of nonlinear integral equations, general derivatives, convergence of series.

YULDASHEV Tursun Kamaldinovich (Siberian State Aerospace University)

E-mail: [email protected]