Смешанная задача для нелинейного дифференциального уравнения с параболическим оператором четвертой степени Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневскце чтения

^ K. Yuldashev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

G. A. Dyikanov Batken State University, Kyrgyzstan, Kyzyl-Kiya

MIXED VALUE PROBLEM FOR ONE NONLINEAR INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE FOURTH ORDER WITH MAXIMA

In this article we consider the questions of one value solvability of mixed value problem for nonlinear partial integro-differential equation of the fourth order, consisting quadrate of hyperbolic operator on the equation left-hand side and nonlinear deviation under the sign of maxima on the right-hand side of this equation. We accept the integral identity and by the Fourier method of separation variables we obtain the countable system of nonlinear integral equation with maxima. The one value solvability of this countable system of nonlinear integral equation we study with the method of successive approximations. The convergence of the Fourier series we prove on the base of the integral identity specified in this work.

© rojigameB T. K., fltmKaHOB r. A., 2011

УДК 517.95

Т. К. Юлдашев

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

К. X Шабадиков Ферганский государственный университет, Узбекистан, Фергана

СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ

Рассмотрены вопросы однозначной разрешимости смешанной задачи для нелинейного дифференциального уравнения, содержащего четвертую степень параболического оператора и нелинейное отражающее отклонение. С помощью нелинейного метода ряда Фурье задача сведена к изучению счетной системы нелинейных интегральных уравнений. Доказана сходимость полученного ряда.

В области D рассмотрим уравнение

I

u (t, x) =

= f (t, x, u (t, x), u (5(t, x, u (-t, x)), x))

Kdt dx 0

с начальными

_u (t, x) te(-u (t, x)|te(7,¥)

u, (t,x)|t=0 = Ф2 (x), utt (t, x )|t=0 =j3(x), u,t, (t, x ) t=0 =Ф4( x)

-T) =0, u (t, x) t=0 =ji(x), = 0,

и граничными

д

д2

(1)

(2)

u (t, x)| „= u (t, x )| ,=—- u (t, x )| =—- u (t, x )| ,=

v > ^Ix=0 v , ^ =/ dx^ V ' =0 dx2 V=l

д4 д4 д6 = u (t, x )|x=0 =^rr u (t, x ), = — u (t, x )x=0 =

дт'

дк4 |x=' дг6 д6

= 1x6 u (t, x) x=' = 0

условиями, где

Б° БТ х Б,, БТ °[-Т,Т ], Б, °[0, I], 0 < I <¥,

0 < Т <¥; f(t, х, и, е С (Б х Я2);

8(/, х,и) е С(Б х Я); ф, (х)е С (Б,),

ф, (х)|х=0 =ф, (х)|х =, =ф,"(х)|х = 0 =ф,"(х)|х =, =

ф( ^ Ч х)| х=0 =ф ("Ч х) х =,

= фУЧх)|х=0 =фГЧх)|х=, = 0, , = М.

В работах [1; 2] решены краевые задачи для однородных и линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего и четвертого порядков. В работе [3] обосновано применение метода разделения переменных к смешанным задачам для линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка.

Решение задачи (1).. .(3) ищем в виде ряда Фурье:

t(t,x) = £an(t) • bn (x), (t, x) e D,

2 n P гДе bn(x) = J J sin1 x 1 n =—, n = 1 2, ....

Прикладная математика

Если функция u (t, x) удовлетворяет интегрально-

му тождеству

t l

iiiu(s,x)

f ^2 Л

ds4

-Ф + 4

+ 6-

^2 ( Я4 ^

Ф

55 2

dx

Л 5 + 4— ds

ds'

(

dx6

dx2

Ф

Ф

d8 ^ + Ф

—f (s, x, u(s,x), u (S(s, x, u(-s,x)),x)}F}dxds =

=b

с . c2 (d2 J ,c(d4 Л в6 ^

— Ф + 4—1 — Ф 1+ 6—I — Ф 1 + 4—Ф

ds3 ds2 [dx2 J dsi dx4 J dx6

dx —

—jj2

ds2

Ф + 4 A

ds

f \

d dx1

Ф

+ 6

cx 4

Ф

dx +

ф3

— Ф + 4Ф

dt

dx — |j4 [Ф] dx

для любого Ф (/, х) е (Б), то функция и (/, х)

называется обобщенным решением смешанной задачи (1)...(3).

Авторами была использована методика, основанная на поиске решения смешанной задачи (1)...(3) в виде ряда Фурье (4). Обычная методика разделения переменных в случае уравнения (1) не применима, так как переменные в этом уравнении не разделяются. С помощью ряда Фурье можно, в отличие от [3-5], отказаться от непрерывной дифференцируемости

правой части уравнения (1). Кроме того, при таком подходе смешанная задача сводится к счетной системе нелинейных интегральных уравнений (ССНИУ). Поскольку ССНИУ замкнута, то ее практически невозможно решить. А предложенная методика позволяет это сделать.

Библиографические ссылки

1. Джураев Т. Д., Логинов Б. В., Малюгина И. А. Вычисления собственных значений и собственных функций некоторых дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков // Дифференциальные уравнения математической физики и их приложения. Ташкент : Фан, 1989. С. 24-36.

2. Бекиев А. Б. Краевая задача для уравнения четвертого порядка // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики : тезисы докл. науч. конф. / Моск. гос. ун-т. М., 2009. С. 140-141.

3. Чернятин В. А. Обоснование метода Фурье в смешанной задаче для уравнений в частных производных. М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1991.

4. Вагабов А. И., Абдурахманов З. А. Аналитический метод решения смешанной задачи для квазилинейной параболической системы // Изв. вузов. Математика. 2006. № 7. С. 3-12.

5. Юлдашев Т. К. Уравнения в частных производных четвертого порядка / Ош. гос. юрид. ин-т. Ош, 2010.

T. K. Yuldashev

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

K. H. Shabadikov Fergana State University, Uzbekistan, Fergana

MIXED VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION WITH PARABOLIC OPERATOR OF THE FOURTH POWER

In this article we consider the questions of one value solvability of mixed value problem for a nonlinear partial differential equation with parabolic operator of the fourth power. By the Fourier method of separation variables we obtain the countable system of nonlinear integral equation with nonlinear reflecting deviation. The convergence of obtained series is proved.

© rojigameB T. K., ma6a«HKOB K. X., 2011