О СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ В КЛАССЕ КАРЛЕМАНА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 2 (2023). С. 31-41.

УДК 517.53

О СКОРОСТИ УБЫВАНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

В КЛАССЕ КАРЛЕМАНА

P.A. ГАЙСИН

Аннотация. Исследуются вопросы, связанные с теоремами типа Левинсона-Шёберга-Волфа в комплексном анализе, в частности, обсуждается известный вопрос, поставленный в 70-е годы Е.М. Дынькиным об эффективной оценке мажоранты роста аналитической функции вблизи множества особых точек и другая близкая проблема о скорости стремления к нулю экстремальной функции в неквазианалитическом классе Карлема-на в окрестности точки, где все производные функций из этого класса обращаются в нуль. Точные асимптотические оценки наилучшей мажоранты роста вблизи особенностей были найдены В. Мацаевым и М. Содиным в 2002 году.

Некоторые оценки (как сверху, так и снизу) для экстремальной функции в классе Карлемана в 2018 году были получены A.M. Гайсиным, но они оказались не очень близкими к истинной величине этой функции. В настоящей статье получены точные двусторонние оценки для экстремальной функции.

Ключевые слова: неквазианалитический класс Карлемана, теоремы типа Левинсона-Шёберга, экстремальная функция, регулярная последовательность, ассоциированный вес.

Mathematical Subject Classification: 26Е10, 28А10.

1. Введение

В 1938 г. Н. Левинсон доказал теорему (ем. [1]), представляющую собой глубокое обобщение принципа максимума модуля для аналитических функций (см. [2]). Этот результат сыграл важную роль в теории квазианалитических функций (см. [3]-[7]),

Теорема 1.1 (Н. Левинсон). Пусть М(у) положительная, монотонно убывающая в полуинтервале (0,6] функция, М(у) ^ то при у ^ 0 М(b) = е. Пусть, далее, FM —

«_. л с-

семейство функции, аналитических в прямоугольнике

то для любого 5 > 0 существует постоянная С, зависящая только от 5 и М(у), такая, что для, всех функций f Е Fm в прямоугольнике

Р$ = {z = х + iy : |ж| < а — 5, |у| < Ь}

справедлива, оценка |F(z)| ^ С.

R.A. Слых. On rate of decreasing of extremal function in Carleman class. @ Гайсин P.A. 2023. Поступила 12 декабря 2022 г.

P = {z = x + iy : |ж| < a, |y| < b}, удовле'творяющих в P оценке |F(z)| ^ M(|y|). Если

(1.1)

0

Отметим, что независимо от Н, Левииеоиа, видимо, одновременно е ним, эту теорему в несколько иной форме доказал Н, Шёберг (см, [8]), Однако гораздо раньше Т. Кар. ie-маном была получена (см, [9])

Теорема 1.2 (Т. Карлеман). Предположим, что М(ф) положительная на интервале (0, 2ж) функция, такая, что ln М(ф) > 1 и интеграл,

J ln ln М(ip)dip 0

сходится. Тогда, всякая, целая, функция f (z), удовлетворяющая неравенству

\f (z)\ ^ М (ф), ф = arg z, 0 <ф< 2ж, есть постоянная: f (z) = const.

Именно этот результат Т, Карлемана в дальнейшем был развит Н. Левинсоном и Н. Щё-бергом, которые распространили его на самый общий случай. Однако отметим, что теорема Т. Карлемана верна без каких-либо дополнительных ограничений на мажоранту М(ф). Позже Ф. Вольф перенес теорему Левинеона-Шёберга на более широкий класс функций (см. [10]). В [2] предложено иное, более простое доказательство теоремы 1.1.

Приведем одну из версий данной теоремы (см. [11], [12]).

Теорема 1.3 (Я. Домар). Пусть D = {z = х + гу : -а<х<а, 0 < у < b}, М(у) — измеримая, по Лебегу функция, М(у) ^ е при 0 < у < Ь. Если, сходится интеграл, (1.1), то существует убывающая функция т(8), зависящая только от М(у) и конечная, для, 5 > 0, такая, что если, f (z) аполитична в D и

\f(z)\ ^ М(Imz), (1.2)

то

\f(z)\ ^ m(dist(z,dD)), z E D.

Следствие 1.1. Пусть J = {f} — сем,ейство аналитических в D функций, удовлетворяющих условию (1.2). Если интеграл, (1.1) сходится, то сем,ейство функций J является, нормальным (т.е. относительно компактным).

Как показано П. Куспсом, условие (1.1) для справедливости теоремы Н. Левинеона является и необходимым (см. [11]): если интеграл (1.1) расходится, то существует последовательность полиномов Pn(z), таких, что:

1) \Pn(z)\ ^ КМ(\у\), К = const п ^ 1, для всех z из прямоугольника

Р = {z = х + гу : \ж\ < а, \у\ < Ь};

2) при п ^ ж

1, если z E Р П C+;

!

Рп(г) ^ ^(г)

— 1, если г е Р П С-.

Здесь С+ = [г = х + гу : у > 0} С_ = [г = х + гу : у < 0}.

Отметим, что при некоторых дополнительных ограничениях на поведение функции М(у) аналогичное утверждение доказано Н, Левинсоном в [1]. А в [12] показано, что в теореме Н, Левинеона условие монотонности функции М(у) можно заменить на измеримость этой функции по Лебегу.

В [7] получено обощение теоремы Н. Левинеона на случай, когда вместо вещественного отрезка [—а, а] берется некоторая спрямляемая дуга 7, а именно — дуга ограниченного наклона.

Пусть Е — компакт в К, М — мажоранта из теоремы Н, Левинеона, для которой выполняется билогарифмичеекое условие (1.1). В [4] вводится совокупность ^(М) функций /, определенных и аналитических вне Е, таких, что

|/(г)| ^ М(| 1т*|), г е С \ Е.

В данной оценке М — любая убывающая на К+ = (0, +то) функция, совпадающая с мажорантой из теоремы 1.1 па (0, Ь]. В дальнейшем будем считать, что М(у) 0 при у ^ +то. Согласно теореме 1.1, множество ^(М) нормально, т.е. для всякого 6 > 0

М*(5) = sup {|/(г)| : / е Е°е(М), р(г,Е) ^ 5} < то.

Здесь р(г, Е) = т£ |г — £|, г е С.

Таким образом, М* — наименьшая функция, для которой

|/ (г )| ^ М *(р(г,Е)), г е С \ Е,

для всех f е Ед(М), Можно считать, для определенноети, что Е — отрезок I = [0,1].

В [4] поставлена задача (проблема 1) получить «эффективную оценку для мажоранты М *»,

Предположим, что функция М логарифмически выпукла, т.е. 1п М(е-а) — выпуклая функция от а. Положим

тъ\

Мп = вир -—-—, п ^ 0. п М(8)8п+1' ^

Тогда, как известно, класс Карлемана на отрезке I

С1 (Мп) = {/ : ||/(п)|| ^ сК'ПМп, п > 0} ,

||/1| = max |/(ж)|, квазианалитичен тогда и только тогда, когда расходится интеграл (1.1)

(см. [4]). Через С?(Мп) далее будем обозначать нормированный класс — С1 (Мп) с постоянными с = 1, Kf = 1. Следуя работе [4], введем также обозначение

Р (6) = 8Щ> {|/ (5)| : / еС? (Мп), / (п)(0) = / (п)(1) = 0, п > 0} , 0 <5 ^ 1.

Как утверждается в работе [6] (см. замечание к теореме 3), задача об эффективной оценке мажоранты «в форме М* ~ Р-1 с неизвестной величиной Р была установлена в [4]». Здесь и далее запись М* ~ Р-1 означает, что

АР-1(а8) ^ М*(8) ^ ВР-1(Ъ8) (1.3)

(0 < а < Ь, 0 < А < В — некоторые постоянные). Отметим, что оценки (1.3) в [4] не выписаны, а доказана только нижняя оценка. Доказательство верхней оценки в тех же неравенствах в [4] не приведено. В [13] показано, что оценки типа (1.3) на самом деле имеют место не для функции М*, а для так называемого ассоциированного веса.

Как и в работе [4], здесь рассматриваются только регулярные последовательности (Мп|,

Мм. удовлетворяют условиям:

1) тп ^ то, п ^ то; 2) вир ^п',^ " < то;

3) т2п ^ тп-1тп+1, п ^ 1.

Класс Карлемана С1 ((Ы)1+а) (а > 0) называется, как известно, классом Жевре, Этот класс будет регулярным, ибо числа Мп = (п!!)1+а удовлетворяют всем условиям 1)-3). Ассоциированным весом называется функция Н*(г) = [к*(г)]-1 (см. [4]),

к* (г) = т{ (тпгп).

п>0

т

п

Ясно, что к*(г) ^ го при г ^ го, к*(0+) = 0, Из свойства 2) определения регулярных последовательностей видно, что к* (г) ^ гк*(дг) при некотором д > 1. Имеем также

- Ш def sup-= sup —— = Н (г).

h*(r) п^о тпгп п^о Мпг Как известно (см. [4]),

П

М = SUP U*( \ п ' П ^ 0 г>0 Н*(г)гп

Класс Сj(Мп) является квазианалитическим тогда и только тогда, когда выполняется любое из эквивалентных условий (см. [4]):

1

~ М Г

l)Yl тт- = 2) ы+ inH*(t)dt = го.

п=0 n+l 0

Используя двойственность, В. Мацаев показал, что теорема Левинеона-Шёберга эквивалентна теореме Данжуа-Карлемана о квазианалитичности класса Ci(Мп) (см. [3]). Позже этот факт был переоткрыт Е. М, Дынькиным в [5], а в работе [6] в терминах величины

JM(s) = sup{\д(s)| : sup |g(n)(t)\ ^Мп, g(n)(0) = 0, n ^ o|

была сформулирована другая задача, двойственная к проблеме 1, а именно соотношение М * ~ J м- В той ж работе были получены двусторонние оценки для М *, но они, как оказалось, не только не точны, но и не верны (более подробно обзор результатов и дискуссию

М*

Сформулируем этот результат, дающий ответ на проблему 1 из [4]. Пусть

Pv(s) = sup

у>0

2у Г <p(t)dt

W t2 + у2 У8

(1.4)

где весовая функция (логарифмический вес) удовлетворяет условиям:

1) ip(t) ^ 0 te R+;

2) i(t) t го при t ^ +го, lim y^j = го;

t—у^о ln 1

3) f $&dt < го;

R

4) i(ex) выпукла по x на R+.

Иногда на функцию i накладывается дополнительное условие

5) i(t) вогнута на R+, причем

lim 1ip (t + 0) = го.

t—<x

Для логарифма мажоранты М из проблемы 1 (она подчинена условию (1.1)) рассмотрим нижнее преобразование Лежандра

l(r) = inf (lnM(s) + rs).

s>0

Предположим, что для любого п > 0

lim snM (s) = го. (1.5)

Тогда весовая функция р автоматически удовлетворяет условиям 1)-3), а также 5) (см. [14]). Если же функции 1пМ(е—) и 1пМ(1) выпуклы, то и функция ех) выпукла по х € (т.е. выполняется 4)) (см. [14]). В [14] доказана

1

Теорема 1.4. Пусть мажоранта М из теорем,ы 1.1 удовлетворяет условиям (1-1), (1-5), а функции 1пМ(е) и 1пМ(¿) выпуклы. Тогда, при 8 ^ 0

1пМ» = (1 + о(1))1пР1р(з),

где Р^ — функция, заданная, формулой (1.4), р — нижнее преобразование Лежандра функции 1п М (г)1.

Цель настоящей статьи — найти точные двусторонние оценки для Jм (з) на I.

2. Вторая проблема Е.М. Дынькина об оценке функции Jм(в) История вопроса восходит к работе Т. Банга [16].

Пусть {Мп— произвольная положительная последовательность, Мп ^ то (она необязательно регулярна). Тогда существует наибольшая логарифмически выпуклая миноранта {МП}£=0, т.е. такая, что: МП К Мп, п ^ 0 МП К Мп_ 1Мп+1, п ^ 1. Последовательность {МП} называется выпуклой регуляризацией {Мп} посредством логарифм,ов

Пусть Р = {п} — последовательность основных индексов, т.е. Мп. = МЩ , г ^ 1. В [16] для каждой функции f € СI) рассматривается величина

I !{п)(х)\

' оКпКР епМп

в/(х) = ^ рЕР

ша^ I е р

( -р I Гп)(х)1\

е р, шах -——

^ 'окпкр епМп )

(2.1)

Она непрерывна по х на I.

Основной в [16] является следующая теорема Т. Банга. Теорема 2.1. Если / € С™(1) и || /(п)|| К Мп, п ^ 0, то из оценки

В/ (х) > е

при некотором, д € N следует, что

В/(х + К) К В/(х)ехр е|К|-

( Мсп \

сов Р. Параметр К выбирается так, чтобы сдвиг х + К принадлежал I.

Замечание 2.1. Если, обозначить Ь(х) = 1п В/(х), то в условиях теорем,ы, Т. Банга справедливы, оценки (см,. [16],):

1) для, всех х, х + К € I

М°а

|Ь(х + К) -Ь(х)1 К е^-|К|;

2) в точках, где существует производная Ь' (х), верна оценка

, М^

Ь (х)

К е

Мс,_ 1

В качестве д можно брать индекс р € Р, в котором, достигается, инфинум в (2.1).

Теорема 2.1 была использована Т. Бангом для доказательства критерия квазианалитичности класса С/(Мп). Нас будет интересовать только достаточная часть, поскольку

С0(Мп) = {/ : / € СУ(Мп), /(п)(0) = /(п)(1) = 0, п ^ 0} в окрестности точки х = 0, которую в ряде работ некорректно переносят и па экстремальную функцию Jм (Мп) (см. [6],

ПИ).

ХВ [14] теорема доказана для случая Е = {0}. Но она верна и для отрезка I.

Приведем краткое доказательство Т. Банга утверждения: если класс С1 (Мп) неквази-аналитичен, то

<х

М с

п

п=0 п+1

< сю.

По условию, существует функция f из класса С°(Мп), ¡(х) ^ 0, Значит, и Bf (х) ^ 0, Следовательно, существует р1 Е Р, существует х1 Е I, такие, что Bf (х1) = е-Р1. Далее по индукции строится последовательность (х^^: хп ^ 0 Bf (ху) = е-^, р1 < р2 < ... < рп < ..., Ру Е Р. Если положить х = ху,х + к = ху—1 то к > 0, По теореме 2,1, согласно (2,2),

в/ (ху-1) < В/ (хУ)ехР

е\ху х у—11

М,

М—1

Отсюда

Ру — Рз—1 < Фз — ху—1 \

Щ

М—1

или

Мф—1

(Рз — Рз—1)^7— < е\хз — хз—1\.

М

(2.3)

Рз

Но левая часть последней оценки равна

Рз—1

£

п=Р]-1

Мп мсп+1

все слагаемые которой равны между собой (их количество есть ру — ру—1). Это легко усматривается из геометрического смысла регуляризации последовательности (Мп} посредством логарифмов (см, [17]), Так как

то из (2,3) получаем, что

^\ху —ху—1 \ ^ х1. 0=2

^ Мсп ^

У У ^ ех1 < го.

М

(2.4)

П=Р1

п+1

Утверждение доказано, но для нас представляет интерес само неравенство (2.4), поскольку из него Т. Банг получил важную оценку для функции /, а именно: если х Е I, причем

х< 1 £ р..

е ^ МП+1

п=])1 п+1

то

\¡(х)\ < МОе—Р1.

1

1 = 1( )

(2.5)

тем

3. основной результат

Пусть

C°j(Mn) = {f : fee? (Мп), f(n\0) = f(n)(l) = 0, n > 0} .

Пользуясь формулой Тейлора, для любой функции f e е0(Мп) Т. Банг получил простое неравенство (см, [16]), из которого легко следует оценка

Мпхп

JM (х) ^ inf —п—, х G I. (3,1)

п^о n!

Чтобы понять, насколько точна эта оценка, рассмотрим пример. Возьмем последовательность чисел Мп, чисел

Мп = nп, /3> 0, n ^ 0.

Пусть f — любая функция из класса (очевидно, неквазианалитичеекого) е0(Мп), f(x) ^ 0, Тогда из формулы Тейлора получим

If(x)l ^ -V = T7Vv, (3.2)

sup m^ Hi(x)

п>0

где

i

1 \

ci '

х

H1 (х) х exp exp

(X)

0 <x ^ 1,

С\ — положительная постоянная, не зависящая от f (пишем Н х Н2, если имеются а\ > 0, а2 > 0, такие, что а\Нх(х) ^ Н2(х) ^ а2Н1(х)).

Учитывая быстрый рост функции Н\(х) при х ^ 0, оценку (3,2) перепишем в виде

i

1 П \ i+е

шЧх) • (3-3)

где 0 < с2 < с2 от f также не зависит (с2 зависит только от последовательности {Мп}) Неквазианалитичность класса С? (Мп) легко следует из условия

~ Мп

< го,

^ Мп+1

п=0 п+1

1

ln+ lnH1(x)dx< го. (3.4)

о

iN /

Но при 3 = 0 интеграл (3,4), как и ряд, расходится, и класс С? (Мп) становится квазианалитическим, что и следовало ожидать. Это наводит на мысль о том, что оценка (3.1) достаточно точна.

Однако, если воспользоваться оценкой (2.5) Т. Банга, можно получить еще более точную оценку, но для фиксированной функции f (см. [16]): существует х0 = х0(f).J такое, что при всех х, 0 < х < х0 , и некотором с = с^) > 0

Ып ш > с(х)'. <3'5'

Возникает естественный вопрос: какая из оценок, (3.3) или (3.5), реально отражает поведение экстремальной функции ,1м(х)?

В [6] была сделана неудачная попытка дать ответ на этот вопрос (по этому поводу см. [13]).

а также из того, что

Пусть {Мп} — регулярная последовательность, аЯ0- подправленный ассоциированный вес, т.е.

п!

Но(у) = вир

п^О МпУп+1

Тогда, как известно,

Введем также функцию

п!

Мп = вир

,>>0 Но(у)уп+1'

те .

п!

Н(у) = У ' . (3.6)

(У) п=0 МпУп+1 к '

Тогда критерий неквазианалитичности класса (Мп) можно записать в виде:

л

! 1п к(Ь)сИ< то, (3.7)

0

где К(Ь) = 1пНа с1 > 0 такое, что К(д) = 1. Этот критерий равносилен сходимости интеграла Лебега-Стилтьеса (см. [13])

л

ыф(ь) сИ, ф(г) = 1п к(Ь).

0

= ( )

в

у= - ! гф (Ь) сИ.

0

В [6] получен следующий результат, а именно

Теорема 3.1. Пусть Цф' (¿)| ^ то щи Ь ^ 0. Тогда верны утверждения:

1) если интеграл (3.7) расходится, то Jм(х) = 0.

2) если интеграл (3.7) сходится, то найдется функция / € С<0(Мп), для, которой

Но (Я1в(х)) К Кх) К Но (д2в(х)),

где 0 < д1 < д2 < то.

Для последовательности Мп = п![1п(п + [ > 0, п ^ 0, как легко видеть,

1 1+р К(у) ^, 0(у) ? -

Значит, если применить теорему 3.1, найдется функция $ € С° (Мп), такая, что

_1 1 _1 с/х р К 1п 1п , ., ч, К Сгх р , 0 < х К 1' 11(х)1

В [6] приводится соответствующая оценка, где вместо щщ фигурирует величина

5{Мп}(в) = вир{|д( 5 )|, д € С°(Мп)}, что неверно (см. [13]).

Таким образом, асимптотическая оценка (3.5) Т. Банга для каждой такой фпкснрован-

поведение величины Jм (х). В [13] доказана

Теорема 3.2. Пусть {Мп} — регулярная последовательность. Если функция Н, заданная, формулой (3.6), удовлетворяет билогарифмическому условию (3.7), то экстремальная функция Зм удовлетворяет оценкам,

1 ^ Зм(х) ^ -1—т, 0 <х ^ 1, (3.8)

qiH (fp " Н (2q2x)

где q1 — некоторая, положительная постоянная, зависящая только от функции Н (т.е. от чисел, Мп), а

тп Мп

q2 = sup

п>1 V т-п-1 п!

Сформулируем теперь основной результат, который существенно уточняет оценки (3.2). Верна

Теорема 3.3. Пусть {Мп} — регулярная последовательность, H0 — ассоциированный вес, понимаемый в следующем смысле:

п!

Ho(t) = sup ^ ' ^ , t> 0. UW п^0МпР+1'

Если, для, этого веса, сходится билогарифмический интеграл, что равносильно условию (3.7), то экстремальная функция Jm (x) удовлетворяет оценкам,

1 т / ч 1

^ Jm (x) ^

KH0(x) xH0(x))

где K = (1 + L)C, С (0 < С < то) — постоянная, не зависящая от x1, а

пМп-1

L = SUP М

п>1 Мп

Таким образом, при x ^ 0

IuJm (x) = - lnHo(x) + O^ln^J = -(1 + 0(1))lnHo(x).

4. Доказательство теоремы 3.3

Пусть {Мп} — регулярная последовательноеть, H0 — ассоциированный вес, введенный выше.

Если сходится интеграл (3.7), то сходится и интеграл

do

JlnlnH0(t)dt< то, H0(d0) = е, (4.1)

0

и потому найдется функция f е С°(Мп), f(x) ^ 0. Тогда, пользуясь формулой Тейлора, получим

М тп 1 1 I f(x)\ < Мпx =_1_=_1_

п^0 п! sup Мп^ xH0(x) •

п^0 п

Отсюда

Jm (x) ^ и , s , x е L xH0(x)

1С — экстремальная (наилучшая) постоянная, однозначно определяемая по семейству функций (Но) (см. доказательство теоремы 3.3).

Оценка сверху для Jm (х) получена. Чтобы оценить Jm (х) снизу, рассмотрим нормированное пространство FI(H0) аналитических вне отрезка I = [0,1] функций, удовлетворяющих оценке

If (z)l ^CfHo(dist(z, I)), ze C \ I,

с нормой

= sup I f(Z)I . lmz=0 Ho(I Im z\)'

Через F® (H0) обозначим единичный шар в Fi(H0).

Вместо I можно рассматривать любое замкнутое множество Е С R (см. [4]). Поэтому, полагая Е = {0}, рассмотрим в пространстве F{0}(H0) линейный функционал {G, f) = f(S), 8 e (0,1^. Тогда, очевидно, имеем: | {G, f) | ^ CfH0(S). Так как интеграл (4.1) сходится, то по теореме Н, Левинеона, множество функций F^ является нормальным. Это означает, что если C® = inf Cf, то sup C® = C < го. Значит, \\G\\ ^ CH0(5)

f eF0o}(Ho)

(положительная постоянная C от 6 не зависит). Далее, поскольку F{0}(H0) С FI(H0), то

G

все пространство FI(Ho). Обозначая этот функционал по-прежнему через G, рассмотрим функцию

= ), te,.

Тогда г/ e C™(1), причем

\v{n) (t)\

(* ~t)n+1)

^ CHo(6) ||n!(z - t)-n-l\\ = CHo(6)Mn, n ^ 0,

где

Заметим также, что

n

Mn = sup

,J0Ho(u)-r»-

'fn(0) = (G, ) = ¿n+r. n > 0.

п! \ п\

Введем теперь функцию д, полагая д(Ь) = 1 + г/^)^ — 5). Поскольку

д(п)Ц) = г](п)Ц)Ц — 5) + щп-1(1), п ^ 1,

то получаем: <?(п)(0) = 0, п ^ 0 |д(пЧ^\ ^ СН0(8)(Мп + пМп-1), п ^ 1. Но последовательность {Мп} логарифмически выпукла, т.е. МЩ ^ Мп-1Мп+1; п ^ 1. Значит, последовательность { 1 _ певозрастающая. Тогда из сходимости ряда

Мп

м„ у

оо

Mn-1

Mn

n=1 n

следует, что nMn-1 = o(Mn) при n ^ го. Так что

nMn-i т su^ —Г7— = L< го.

n^1 Mn

Следовательно,

sup \g[n)(t)\ ^ C(1 +L)MnHo(S), 6 e (0,1], n ^ 0.

Таким образом, окончательно получаем, что: 1) g{n)(0) = 0, n ^ 0;

2) ||д(п)\\ ^ КЩ(5)Мп, п ^ 0, K = (1 + L)C;

3) д(6) = 1. Значит, функция

( )

т

КЩ(5)

принадлежит классу С°(Мп). Осталось заметить, что

Jm(5) > , 6е (0,1], К =(1 + L)C.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. N. Levinson. Gap and density theorems. New-York: Amer. Math. Soc. 1940.

2. В.П. Гурарий. К теореме H. Левинсона о нормальном семействе аналитических функций // Зап. науч. сем. ЛОМИ. Исследования по линейным операторам и теории функций. I. 19, 215-220* (1970).

3. В. Мацаев. Теоремы единственности, полноты и ком,пакт,ноет,и, связанные с классической квазианалитичностью. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Харьков, 1964.

4. Е.М. Дынькин. О росте аналитической функции вблизи множества ее особых точек // Зап. науч. сем. ЛОМИ. Исследования по линейным операторами теории функций. III. 30, 158-160 (1972).

5. Е.М. Дынькин. Функции с заданной оценкой и теорема Н. Левинсона // Матем. сб. 89:2. 1972. С. 182-190.

6. Е.М. Dvn'kin. The pseudoanalytic extension //J. Anal. Math. 60, 45-70 (1993).

7. A.M. Гайсин, И.Г. Кинзябулатов. Теорем,а, типа Левинсона-ТЦёберга. Применения // Матем. сб. 199:7, 41-62 (2008).

8. N. Sjoberg. Sur les minorantes subharmoniques d'une function donee // Сотр. rendus IX Congres des Math. Scandinaves, Helsingfors. 309-319 (1939).

9. T. Carleman. Extension d'un theoreme de Liouville // Acta Math. 48:3-4, 363-366 (1926).

10. F. Wolf. On m,ajorant,s of subharmonic and analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 48, 925-932 (1942).

11. P. Koosis. The logarithmic integral. I. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1988.

12. Y. Domar. On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function // Ark. Mat. 3:5, 429-440 (1958).

13. A.M. Гайсин. Экстремальные задачи в неквазианалитических классах Карлемана // Матем. сб. 209:7, 44-78 (2018).

14. V. Matsaev, М. Sodin. Asymptotics of Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions ¡I Алгебра и анализ. 14:4, 107-140 (2002).

15. N. Nikol'skii. Yngve Domar's forty years in harmonic analysis. Uppsala: Uppsala Univ. 1995. P. 45-78.

16. T. Bang. The theory of metric spaces applied to infinitely differentiable functions // Math. Scand. 1, 137-152 (1953).

17. С. Мандельбройт. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ. 1955.

Рашит Ахтярович Гайсин,

Институт математики с ВЦ УФ! III РАН,

ул. Чернышевского, 112,

450077, г. Уфа, Россия

E-mail: rashit. gaj sin@mail. ru