CC BY
7
УДК 539.3
О СХОДИМОСТИ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ ИТЕРАЦИОННОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
А. В. Плеханов, д.т.н., проф.
Анализ исследований. Цель работы. Как известно [1-4], для построения теорий расчета однородных и слоистых оболочек и пластин используются три метода: метод гипотез, асимптотический метод и метод разложения компонент напряженно-деформированного состояния (НДС) в ряды по функциям от поперечной координаты. На основе метода разложения в ряды в сочетании с методом варьирования по определяемому состоянию (МВОС) и вариационным принципом Рейсснера в наших работах построены различные варианты итерационных теорий расчета ортотропных и трансверсально изотропных однородных и слоистых оболочек и пластин. Обзор соответствующих исследований содержится в [4]. В
качестве функций разложения для однородных оболочек и пластин принята система полиномов Лежандра. Использование МВОС при реализации вариационного уравнения Рейсснера приводит к итерационному процессу, при котором функции предыдущих состояний входят как известные в уравнения для последующих состояний, выполняя в них роль нагрузочных
членов. При этом НДС оболочки и пластины представляет собой совокупность первого (несамоуравновешенного ' = 0,1) и соответствующего количества самоуравновешенных (' -2) состояний. В работах [5; 6] дана оценка точности решений в различных приближениях итерационной теории путем их сопоставления с известными решениями тестовых задач методами теории упругости. В настоящей работе дана математическая оценка сходимости решений для напряжений и перемещений, полученных на основе уравнений итерационной теории пологих оболочек и пластин.
Постановка задачи. Основные уравнения и зависимости. Рассмотрим трансверсально изотропную цилиндрическую
панель со свободно опертыми прямолинейными краями Х1 =0;находящуюся в условиях плоской деформации под действием поперечной нагрузки. Воспользуемся вариантом уравнений [7], не учитывающим поперечные нормальные
напряжения и деформации, так как их влияние с увеличением количества членов разложений (1 ) значительно уменьшается и не может существенно изменить характер сходимости рассматриваемых рядов.
Разрешающее уравнение для 1 -го ('- 2) самоуравновешенного состояния представим в виде:
V 2Ф' -Х.2Ф ' У", (1)
где
Л = 211 + -Ч |; А.2 = ^(2, -1)(2 + 3).
21 21 - 3) • 6Б (2)
После нахождения Ф из (1) остальные функции, описывающие г -е состояние, определяются так:
М1 = £>ф'; б =
К =^12(ф!1 - Пфд2).
(3)
Выражения для напряжений стр ст 13 и перемещения и имеют вид:
ст 1=т^г ё р ( хз)ф' (Х1);
к ,=2 (4)
где - полиномы Лежандра,
Решение уравнения (1) примем в виде ряда, удовлетворяющего граничным условиям свободного опирания
где
(5)
(6)
(7)
Как известно, принятое в такой форме решение позволяет охватить широкий класс поперечных нагрузок, действующих на свободно опертые оболочки и пластины.
Исследование сходимости решений. Сходимость решений на основе итерационной теории определяется сходимостью рядов, аппроксимирующих компоненты напряжения и перемещения. Учитывая это, исследуем сходимость рядов (4)-(6). Подставляя выражение для -го члена ряда (7) в уравнение (1), получим:
т n 2 л 2 т n
2 л 2
« +Х, (8)
ni
Выражения (4)-(6) для и -го члена ряда имеют вид:
6 D . ^ р с in = T^sin «лХ Pi Фп;
h г=2 (9)
(10)
_________,, W -л.ф'"2).
G3 (2i -1)(2" + 3)
3D ^ ii 1 - Pi+1 "
13n =^an c0s«- Фп;
h 1=2 2i +1
3D ^ p i i i-2\ «1n = ~«n C0s (2. 1)(2. 3) (Фп -ЯФп ).
G i=2 (2i -1)(2i + 3) (11)
В соответствии с характером рекуррентной зависимости (8) представим каждый из рядов (9)-(11) в виде суммы двух
рядов для четных и нечетных значений 1 и исследуем сходимость полученных рядов.
Входящему в (9) функциональному ряду соответветвует мажорантный числовой ряд (для четных и нечетных 1)
да
I / фП /
n
-=2 . (12)
Применяя для исследования сходимости этого ряда признак Даламбера, получим с учетом (2) и (8):
1 Г1 + - 6
lim-^ = lim_21 2i-3' = 0,
rn
"~ 1 + (2i - 1)(2i + 3)6D«2
6 Da
(13)
что свидетельствует об абсолютной сходимости числового ряда (12). На основании мажорантного признака Вейерштрасса приходим к выводу, что функциональный ряд (9) для нормальных напряжений °1 сходится равномерно.
Исследуем сходимость ряда (10) для касательных напряжений °13, представляя его в виде разности двух рядов:
да р да р Л
I ф' -1 —ф' |сога х,.
/ ; Л • , 1 т П / 1 ~ . Тп п 1
1"2 2/ +1 £?2/ +1 ) (14)
Каждый из этих рядов мажорируется числовым рядом
да _i да 1 i
Хф n =Х 1 Ф n/•
i=2 i=2 2/ +1 (15)
Применяя признак Даламбера и учитывая при этом (13), будем иметь
lim4 = lim (2i -3)/фП/ = 0.
-ф- - (2/+1)/ф:ч (16)
Это свидетельствует о том, что числовой ряд (15) является абсолютно сходящимся, а соответствующий ему функциональный ряд (10) для касательных напряжений сходится равномерно.
Функциональный ряд, входящий в выражение (11) для перемещений , представим в виде разности двух рядов
(17)
и исследуем сходимость соответствующих им мажорантных числовых рядов
(18) (19)
Применение признака Даламбера для рядов (18), (19) дает
ШпЛ = Шп (2-1)(2-3)/ФП2/ = 0,
Я;2 (2, +1)(2, + 3)/фП- / (21)
т. е. числовые ряды (18) и (19) являются абсолютно сходящимися. Следовательно, в силу мажорантного признака
Вейерштрасса функциональный ряд (11) для перемещений и сходится равномерно.
Таким образом, проведенные исследования свидетельствуют о равномерной сходимости рядов для напряжений и перемещений, полученных на основе итерационной теории оболочек и пластин.
Исследованию скорости сходимости решений для напряжений и перемещений посвящены наши работы [5; 6], которые свидетельствуют о достаточно быстрой сходимости решений в широком диапазоне изменения упругих и геометрических параметров оболочек и пластин.
Выводы. Полученные результаты свидетельствуют о том, что уравнения итерационной теории могут быть эффективно использованы для определения НДС изотропных и анизотропных оболочек и пластин, в том числе с большим показателем изменяемости напряженного состояния (концентрация напряжений, действие локальных нагрузок, исследование потенциального и вихревого краевых эффектов, решение контактных задач и т. п.), а также для уточнения решений, полученных на основе известных теорий оболочек и пластин.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Галиньш А. К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследование по теории пластин и оболочек. - 1967. - Вып. 5. - С. 66-92; 1970. - Вып. 6-7. - С. 23-64.
2. Григолюк Э. И., Коган Ф. А. Современное состояние теории многослойных оболочек //Прикладная механика. - 1972. -Т. 8. - № 6. - С. 3-17.
3. Пискунов В. Г., Рассказов А. О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек // Прикладная механика. - 2002. - Т. 38. -№ 2. - С. 22-57.
4. Плеханов А. В. Напряженно-деформированное состояние однородных и слоистых пластин и оболочек // Вюник Академи будiвництва Укра!ни. - 2000. - Вып. 9. - С. 70-79.
5. Плеханов А. В. Оценка точности метода варьирования по определяемому состоянию // Вюник Придшпровсько! державно! академи будiвництва та архггектури. - Дншропетровськ, 2006. - № 1. - С. 35-40.
6. Плеханов А. В. К оценке точности метода варьирования по определяемому состоянию // Вюник Придшпровсько! державно! академи будiвництва та архггектури. - Дншропетровськ, 2006. - № 2. - С. 36-41.
7. Плеханов А. В., Филимонов Л. А. К итерационной теории пологих оболочек // Сборник научных трудов Приднепровской государственной академии строительства и архитектуры. - Днепропетровск, 2004. - № 17. - С. 75-77.
УДК 539.3
О сходимости решений на основе уравнений итерационной теории оболочек и пластин /А. В. Плеханов //Вкник ПридншровськоТ державноТ академи будiвництва та архггектури. - Дншропетровськ: ПДАБА, 2008. - № 1-2. -С. 14-17. - Бiблiогр.: (7 назв.).
Дана математическая оценка сходимости решений для напряжений и перемещений, полученных на основе уравнений итерационной теории оболочек и пластин. Проведенные исследования свидетельствуют о равномерной сходимости решений.
