CC BY
10
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ И ТОЧНОСТИ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ ИТЕРАЦИОННОЙ ТЕОРИИ СЛОИСТЫХ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН
А. В. Плеханов, д. т. н. , проф.
Анализ исследований. Цель работы. Для построения теорий расчета слоистых оболочек и пластин используются метод гипотез, асимптотический метод и метод разложения компонент напряженно-деформированного состояния (НДС) в ряды по функциям от поперечной координаты [1-3]. В наших работах [3-4], используя метод разложения в ряды построены различные варианты итерационных теорий расчета трансверсально изотропных слоистых оболочек и пластин. Для получения уравнений равновесия, граничных условий и соотношений упругости использовался вариационный принцип Рейсснера в сочетании с методом варьирования по определяемому состоянию, что приводит к итерационному процессу, при котором функции предыдущих состояний входят как известные в уравнения для последующих состояний, выполняя в них роль нагрузочных членов. При этом первые члены разложений ( i = 0,1) описывают несамоуравновешенное по толщине напряженное состояние, а все
последующие (I > 2)- самоуравновешенные состояния. В отличие от известных теорий, порядок дифференциальных уравнений не зависит от количества удерживаемых членов разложения, что позволяет строить решения прикладных задач в высоких приближениях. В работах [5; 6] исследована сходимость решений на основе итерационной теории однородных оболочек и пластин.
В настоящей работе дана математическая оценка сходимости и точности решений для напряжений и перемещений, полученных на основе уравнений итерационной теории слоистых оболочек и пластин.
Постановка задачи. Основные уравнения и зависимости. Рассмотрим трансверсально изотропную пологую цилиндрическую многослойную панель симметричной по толщине структуры со свободно опёртыми прямолинейными краями, находящуюся в условиях плоской деформации под действием поперечной нагрузки. Воспользуемся вариантом уравнений, не учитывающим поперечные нормальные напряжения и деформации в слоях, так как их влияние не может существенно изменить характер сходимости рассматриваемых рядов. При исследовании сходимости решений для напряжений и перемещений будем удерживать в аппроксимирующих их рядах только самоуравновешенные члены (i > 2), исключая первые члены (I = 0,1), описывающие несамоуравновешенное состояние. Как известно, неучет нескольких начальных членов ряда не нарушает факта сходимости или расходимости рядов.
Учитывая упрощения, обусловленные симметрией оболочки по толщине, разрешающее уравнение для / — го (i > 2) самоуравновешенного состояния примет вид
а25п VУ — а13,М = а27(,—2)(1—2)У ^^ , (1)
где
Т т т
а = 3 И т . а = 1" 4гг .
а13гг г Т11п ; а25гг ;
= Т3ггТ12(г—2)г _ (2)
а26(г—2)(г—2) = — Т Т '
Т3(г—2)(г—2) Т12гг а27(г—2)(г—2) = а25(г — 2)(г —2)а26(г—2)(г—2) ,
а коэффициенты Т определяются согласно [4]. Остальные функции, описывающие 1 — е состояние, запишутся так
М] = У; = Уу,
Т1гг Т3гг (3)
а
.1 =ы 25 и У + а а У-2
и1 ~ ы 13(1—225(1—2)(1~2^,1 ■
а13гг
Выражения для напряжений и перемещений имеют вид
^k s1 =
k i0
D1 i=2 L1ii
X^-fi^tfM;
25ii
u
sk3 = X _
¥ i=2 L3ii
k = X (a25ii j
i=2
a
Х3ШХ1);
+ a13(i - 2 )(i - 2)a25(i - 2 )(i - 2)Ф.1 )fi(x3)
(5)
(6)
13 ii
CO
Решение уравнения (1) примем в виде ряда, удовлетворяющего граничным условиям свободного опирания
ф = smanxv (7)
где ап = пш/; п = 1,2,3...
Как известно, принятое в такой форме решение позволяет охватить широкий класс поперечных нагрузок, действующих на свободно опертые оболочки и пластины.
Исследование сходимости решений. Сходимость решений на основе итерационной теории определяется сходимостью рядов, аппроксимирующих компоненты напряжения и перемещения. Учитывая это, исследуем сходимость рядов (4) - (6).
Подставляя выражение для п -го члена ряда (7) в уравнение (1), получим
л = a26(,-2)(,-2)a28(,-2)(,-2) ,-2 Tn 7 Tn f
1 + a29ii
(8)
где
= a25(i-2)(i-2) ; = a13ii
a28(i - 2)(i - 2) = > a29ii = 2' (9)
a a a2
25 ii 25ii n
Выражения (4) - (6) для n -го члена ряда имеют вид
Ek ¥ a
s1n =7f sin anx1 X-F^rif,; (10)
D1 i=2 L1ii
¥a
sk13n = an cosanx1 Xy5^Л; (11)
i=2 L3ii
u kn = a „cos а n x X (^ + ^^^Г У1-
1=1 a13ii a13(i-2)(i-2)
(12)
В соответствии с характером рекурентной зависимости (8) представим каждый из рядов (10) - (12) в виде суммы двух рядов, соответствующих четным и нечетным значениям I , и исследуем сходимость полученных рядов.
Функциональному ряду (10) соответствует мажорантный числовой ряд (для четных и нечетных I )
¥ ¥ а,
Xj = j
/ 2 Т n / 2 J Tn L1ii
(13)
i=2 i=2
Для доказательства сходимости этого ряда воспользуемся признаком Даламабера и найдем
lim j = lim^10-2)(г-2)j . (14)
■ ¥—1 -2 ■ ¥ т i-2\
'®¥ jn '®¥ \a25(i-2)(i-2)L1iijn
Принимая во внимание выражения (2) для входящих в (14) коэффициентов L и а, получим
n
lim 1(\У(] = 1; lim
a
25 ii
L,
Определим теперь, учитывая (8),
= 1.
a
25(i-2 )(i-2 )
jn\ \a26(i-2)(i-2)a28(i-2)(i-2)\
lim , , = lim --1
Wn 29ii
(15)
(16)
Анализ входящих сюда выражений показывает, что знаменатель в (16) всегда больше единицы, а числитель при ' ® ¥ стремится к единице, и следовательно
У
I г т
j
i-2
< 1.
В соответствии с (14), (15) и (17) будем иметь
г
lim j < 1,
• , —i-2 '
(17)
(18)
что свидетельствует об абсолютной сходимости числового ряда (13), мажорирующего функциональный ряд (10). Отсюда, в силу признака Вейерштрасса, следует равномерная
сходимость ряда (10) для нормальных напряжений о^ .
Исследуем сходимость ряда (11) для касательных напряжений о^, который мажорируется
числовым рядом
I sn=X
i=2 L3
25„ j .
(19)
=2
В соответствии с признаком Даламбера найдем
1т
sl
s:
■■ 1т
Вследствие того, что
¡¡т-.
25( i-2 )(i-2 )
\a25iiL3(i-2)(i-2)jn\ \a25(i-2)(i-2)L3iijn
. \L3(i-2)(i-2)\
= 1; lim-,-,—1 = 1,
i®¥ L
-i-'iVV
(20)
(21)
а согласно (17) ¡гтУп / Уп2\ < 1 , получим для (20)
¡®¥ I I
¡'т-^ < 1.
'®¥ Б'-2
(22)
Следовательно, числовой ряд (19) является абсолютно сходящимся, а соответствующий ему функциональный ряд (11) для касательных напряжений 3 сходится равномерно.
Функциональный ряд (12) для перемещений будем рассматривать как сумму двух рядов, соответствующих первому и второму слагаемым. Каждый из этих рядов мажорируется числовыми рядами
IК = I
i=2
^ j
I= I
'=2 '=2
Следуя признаку Даламбера, найдем для этих рядов
i=2 a13ii
a25( -2)(i- -2) j-
a13( -2)(i- -2)
(23)
a
Rn \a25iiai3(i - 2 )(i - 2)jn\
lim = —-j = lim у-т^т;
iR1 i a a j
n \u25(i-2 )(i-2)13 iirn
T' a 25iia 13 (i-2 )(i - 2 ) j n
lim = —= lim т-т •
i-2 i-2 1 I a a j
n \u25(i-2 )(i-2)13 iirn
Значения напряжений и перемещений
Таблица 1
а1 E(1) Точное Первое Второе Третье
h e(2) решение приближе приближе приближен
ние ние ие
s1/qo
1 5,679 5,471 5,678 5,680
3 10 12,47 11,41 11,68 12,36
100 23,93 12,81 21,45 26,29
1 15,40 15,20 15,40 15,40
5 10 32,74 31,71 31,96 32,64
100 46,76 35,58 44,18 49,13
1 60,99 60,79 60,99 60,99
10 10 127,8 126,8 127,1 127,8
100 153,5 142,3 150,9 155,8
u3E(1 / q0a1
1 3,855 3,833 3,857 3,856
3 10 14,07 14,10 14,09 14,08
100 81,86 85,00 83,95 83,76
1 15,41 15,35 15,41 15,41
5 10 42,31 42,22 42,32 42,31
100 160,9 162,6 162,1 162,0
1 114,9 114,7 114,9 114,9
10 10 260,2 259,9 260,2 260,2
100 521,6 522,2 522,3 522,2
Принимая во внимание (16), (21) и учитывая, что
lim\a13u / a13(i-2(i-2\ = 1, получим
lim = < 1; lim = -JL^ < 1, (26)
Т - 2 ' v rpi - 2 ' 4 7
Ri Ti
—V < 1; lim = —r
R'-2 i®^ T
n n
что свидетельствует об абсолютной сходимости числовых рядов (23) и (24). Следовательно, в силу мажорантного признака Вейерштрасса, ряд (12) для перемещений u1 сходится равномерно.
Таким образом, установлено, что ряды для напряжений и перемещений, полученные на основе итерационной теории, обладают равномерной сходимостью.
Для оценки скорости сходимости решений для напряжений и перемещений рассмотрим задачу об изгибе свободно опертой по краям x1 = 0, ax трехслойной пластины симметричного по толщине строения под действием поперечной нагрузки и сравним результаты её решения в различных приближениях итерационной теории с результатами точного решения методами теории упругости.
Некоторые результаты решения для напряжений о1 (x3 = 0,5^) и перемещений
u3(x3 = 0) в пластине с изотропными слоями (v1 = v2 = v3 =0,3;12/11 =10)в первом (i = 1), втором (i = 1,3) и третьем (i = 1,3,5) приближениях итерационной теории и результаты
точного решения при различных значениях параметров a,/h и E/E представлены в таблице 1.
Выводы. Полученные результаты показывают, что скорости сходимости решений для
a, / h
напряжений и перемещений зависят от толщины пластины 1 и степени различия упругих характеристик слоёв E<v /E<2. Наилучшей сходимостью отличаются решения для напряжений
о13 о 3
13 и 3, удовлетворительные результаты в рассматриваемом диапазоне изменения параметров пластин получаются во втором приближении (при а,/ h > 5 приемлемую точность даёт первое
u
приближение). Несколько хуже сходимость решений для напряжений и перемещений 3 ,
e<1> / E<2> тт а /h > 5 e<'>/E<2> < 100 она существенно зависит от параметра E /E . При 1 и E /E < 100 можно
ограничиться вторым приближением, удовлетворительная сходимость для толстых пластин (
а / h < 3\ Т7<1> / р<2> С 1ПП fT и<1> / и<2>
i ) имеет место при E / E -100. Увеличение параметра E / E приводит к
ухудшению сходимости. Скорость сходимости решений может быть улучшена путем
привлечения для первого приближения итерационной теории более общей модели.
Таким образом, проведенные исследования свидетельствуют о том, что уравнения
итерационной теории могут быть использованы для определения напряженно-
деформированного состояния однородных и слоистых оболочек и пластин, в том числе с
большим показателем изменяемости напряженного состояния (концентрация напряжений,
действие локальных нагрузок и т.п.)
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА:
1. Григолюк Э. И., Коган Ф. А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная механика. - 1972. - Т.8. - № 6. - С. 3-17.
2. Пискунов В. Г., Рассказов А. О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек // Прикладная механика. - 2002. - Т. 38. - № 2. С. 22-57.
3. Плеханов А. В. Напряженно-деформированное состояние однородных и слоистых пластин и оболочек // Вюник Академп будiвництва Украши. - 2000. - Вып. 9. - С. 70-79.
4. Плеханов А. В. О построении уточненной теории многослойных пластин // Исследования по теории сооружений. - 1977. - Вып. 23. - С. 111-119.
5. Плеханов А. В. Оценка точности метода варьирования по определяемому состоянию // Вюник Придшпровсько! державно! академп бущвництва та архтектури. - Дшпропетровськ, 2006. - № 1. - С. 35-40.
6. Плеханов А. В. К оценке точности метода варьирования по определяемому состоянию // Вюник Придшпровсько! державно! академп бущвництва та архтектури. - Дшпропетровськ, 2006. - № 2. - С. 36-41.
