CC BY
49
№ 10 жовтень 2011
- При введении в цементно-песчаный раствор полипропиленового волокна максимальный прирост прочности на ранних сроках твердения при сжатии в возрасте 3 суток составляет:
о для волокна длиной 5 мм - 1,5 %, при добавлении волокна в количестве 0,1 %;
о для волокна длиной 12 мм - 8,6 %, при введении волокна в количестве 0,1 %;
о для волокна длиной 30 мм - 25,3 %, при добавлении волокна в количестве 0,1 %.
- При введении в растворную смесь полипропиленового волокна максимальный прирост прочности при изгибе в возрасте 28 суток составляет:
о для волокна длиной 30 мм - 2 %, при добавлении волокна в количестве 0,5 %
о для волокна длиной 5 и 12 мм прирост прочности не наблюдается.
- При введении в цементно-песчаный раствор полипропиленового волокна максимальный прирост прочности при сжатии в возрасте 28 суток составляет:
о для волокна длиной 5 мм - 14,3 %, при добавлении волокна в количестве 0,2 %; о для волокна длиной 12 мм - 11,2 %, при введении волокна в количестве 0,2 %;
о для волокна длиной 30 мм - 16,8 %, при добавлении волокна в количестве 0,1 %.
Разрушение образцов с добавлением волокна происходит не по стандартной схеме - в виде двух усеченных конусов перевернутых один к одному, а в виде трещин, появившихся на гранях образца. Чем большее процентное содержание волокна в образце, тем меньше заметных трещин появляется на образце в момент разрушения.
Полипропиленовое волокно выполняет армирующую функцию, при малом % содержании волокна во время изгиба образец полностью не разрушается, в нем появляется трещина, а при увеличении % содержания волокна трещина проходит по трем граням образца, при этом полипропиленовые волокна связывают две половинки образца между собой.
Вывод. Полипропиленовое волокно хорошо влияет как на сжатие, так и на изгиб. Полипропиленовые волокна предотвращают появление усадочных трещин на ранних сроках твердения, что увеличивает прочностные показатели растворной смеси.
Для получения максимальной прочности на ранних сроках твердения (3 суток) при изгибе необходимо вводить 12 мм волокно в количестве 0,1 %. Для получения максимальной прочности при сжатии вводим 30 мм волокно в количестве 0,1 %.
Для обеспечения максимального прироста прочностных показателей при изгибе в возрасте 28 суток необходимо вводить волокна длиной 30 мм в количестве 0,5 %. Для получения максимальной прочности при сжатии вводить волокна длиной 30 мм в количестве 0,1 %.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Пащенко А. А. Армирование неорганических вяжущих веществ минеральными волокнами / А. А. Пащенко. - М. : Стройиздат, 1988. -200 с.
2. Рабинович Ф. Н. Дисперсно армированные бетоны / Ф. Н. Рабинович. - М.: Стройиздат, 1989. -176 с.
3. ГОСТ 5802-86 «Растворы строительные. Методы испытаний».
4. ДСТУ-П Б В.2.7 -126:2006 Строительные материалы. Смеси строительные сухие модифицированные. Общие технические условия.
5. ДБН В.2. 6-22-2001 Устройство покрытий с применением сухих строительных смесей.
УДК 539.3
ИТЕРАЦИОННАЯ ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ТРАНСВЕРСАЛЬНО ИЗОТРОПНЫХ
БАЛОК
А. В. Плеханов, д. т. н., проф., М. Д. Бородянский, студ.
Ключевые слова: балка, итерационная теория, уравнения, напряжение, перемещение
Анализ исследований. Цель работы. Как известно, однородные и слоистые балки, пластины и оболочки широко применяются в различных отраслях современной техники, а также в промышленном и гражданском строительстве. Вопросам их расчета посвящены многочисленные исследования, выполненные как в нашей стране, так и за рубежом. Наиболее полно разработаны методы расчета на основе классических теорий.
11
Вісник ПДАБА
Классические теории учитывают не все компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) и дают надёжные результаты при рассмотрении определённых классов задач. Существует, однако, большое количество важных прикладных задач, которые не могут быть решены с достаточной точностью на основе классических теорий, и, в частности: определение НДС нетонких балок, пластин и оболочек, конструкций с большими показателями изменяемости НДС (концентрация напряжений, действие локальных нагрузок, определение краевых эффектов типа пограничного слоя и т. п.), расчёт анизотропных и слоистых конструкций (даже сравнительно тонких). Для решения подобных задач с достаточной точностью необходим, как правило, учёт всех компонент НДС и краевых эффектов типа пограничного слоя, а не только внутреннего напряжённого состояния.
Под внутренним напряжённым состоянием понимается напряжённое состояние, охватывающее всю балку, пластину или оболочку. Пограничный слой (потенциальный и вихревой краевые эффекты) - это напряжённое состояние, возникающее вблизи краёв или других линий искажения (рёбер, мест приложения локальных нагрузок, ослаблений отверстиями, трещинами и т. п.). Полное напряжённое состояние представляет собой совокупность внутреннего напряжённого состояния и краевых эффектов типа пограничного слоя.
Один из возможных путей решения перечисленных выше задач заключается в использовании уравнений и методов теории упругости. Однако на этом пути даже при рассмотрении простых задач возникают значительные математические трудности.
Наиболее распространённым подходом при решении подобных задач является привлечение неклассических (уточнённых) теорий балок, пластин и оболочек.
Проблема построения уточнённых теорий заключается в приведении различными методами трёхмерной краевой задачи теории упругости к одномерной или двумерной. В зависимости от методов, используемых для приведения, уточнённые теории делятся на три основные группы [2 - 5].
К первой группе относятся теории, построенные на основе кинематических и статических гипотез. В частности, к этой группе относятся и классические теории балок, пластин и оболочек. На возможность уточнения классических теорий путём учёта деформаций поперечного сдвига было указано С. П. Тимошенко. Сдвиговая модель С. П. Тимошенко получила в дальнейшем широкое развитие и применение. Необходимо отметить, что теории, построенные на основе метода гипотез, обладают наглядностью и физической ясностью. Однако существенным недостатком таких теорий является невозможность уточнения решений без изменения гипотез. Анализ известных теорий первой группы свидетельствует о том, что они описывают с определённой точностью, как правило, лишь внутреннее напряжённое состояние, соответствующее интегральным граничным условиям. Если же некоторые из них и описывают краевые эффекты, то только в первом приближении с точностью, недостаточной для их удовлетворительного определения.
Вторую группу составляют теории, построенные с помощью асимптотических методов. Применение асимптотических методов позволяет получить решения с достаточной точностью как для внутреннего напряжённого состояния, так и для краевых эффектов. Однако практическая реализация этих методов связана с существенными математическими трудностями.
К третьей группе относятся теории, для построения которых используется метод разложения компонент НДС в ряды по функциям от поперечной координаты. Теории, построенные на основе метода разложения в ряды, обладают принципиальной возможностью описать внутреннее напряжённое состояние и краевые эффекты с достаточной точностью независимо от толщины балки, пластины или оболочки. Но повышение точности связано с существенным увеличением порядка разрешающих дифференциальных уравнений, обусловленным увеличением количества членов разложений, и ростом трудностей при их реализации.
За последние годы студентами ПГАСА под руководством д. т. н. проф. А. В. Плеханова выполнен ряд работ, посвящённых уточнению классической теории и сдвиговой модели, а также построению уточнённой теории второго приближения на основе метода разложения в ряды для трансверсально изотропных балок.
Целью настоящей работы является построение уточнённой итерационной теории расчёта трансверсально изотропных балок, учитывающей все компоненты напряжённо-
12
№ 10 жовтень 2011
деформированного состояния и описывающей как внутреннее напряжённое состояние, так и краевые эффекты типа пограничного слоя.
Постановка задачи. Аппроксимирующие функции. Рассмотрим упругую трансверсально изотропную балку высотой h. Координатная плоскость xz (плоскость изотропии) совпадает со срединной плоскостью балки, ось у направлена вниз. Действующую на верхней и нижней лицевых плоскостях балки произвольную поперечную нагрузку представим в виде кососимметричной q(x) и симметричной Р(х) составляющих, так что при у — ±0,5/i:
(Ту = 0,5(±q - р); (1)
Кососимметричная нагрузка q вызывает кососимметричное (изгибное) относительно оси х НДС, а симметричная нагрузка р - симметричное НДС. В классической теории балок симметричное НДС не учитывается, так как оно мало для длинных изотропных балок.
В соответствии с [1] Е, Еу, G, Gy - модули Юнга и модули сдвига в плоскости изотропии xz и в перпендикулярной ей плоскости; у, Му —соответствующие коэффициенты Пуассона;стх, (туи Ту- нормальные и касательное напряжения; u,v - компоненты перемещения в направлениях осей х, у; м"Еу = vyE; G = E/2(1 +v).
Для построения уточнённой теории балок воспользуемся методом разложения компонент НДС в ряды по функциям от поперечной координаты у. Как показали исследования, наиболее приемлемым для получения основных уравнений является вариационный принцип Рейсснера, в котором за основные неизвестные принимаются напряжения и перемещения.
Представим выражения для напряжений ах,ау, ту и перемещений u,v в виде рядов по
ортогональным полиномам Лежандра Рі
NnM б v d ST1
ах(.х,у) = —^- + ^2 2^рМхУ’ = ^2jAGOQtCO;
і=1 і=1
р(х) 1,5 v-1 tТу(х,у) = -0,5 —^- + -^2_1аі(у)с°і(х) ("і =
і=1
dPi
РіЩ(х)\ v(x,y) = 0,Sh У
і=і і=о у
(2)
(3)
где q(x),p (х) — интенсивности поперечной нагрузки на единицу длины балки (имеют размерность Н/м); b - ширина балки.
В выражениях (2) и (3) члены разложений с индексами і = ОДописывают несамоуравновешенные по высоте поперечного сечения балки напряжённые состояния (первое состояние), а последующие ft > 2) - самоуравновешенные состояния; N0, М4 и Q4 —
продольное усилие, изгибающий момент и поперечная сила; Qi, соДі > 2) — полимоменты и полисилы, соответствующие самоуравновешенным напряжениям ах, сту, ту;
аі(У) =
Pi-2
2 Pi
Pi+2
Pity) =
Pj-l-Pj+1 2І+1 '
(2І—1)(2І+1) (2І-1)(2І+3) (2І+1)(2І+3)'
Первые пять полиномов Лежандра имеют вид:
= 1;Р, = 2Ї;Р2 =-і+б£;Р3 =-з£+2о£;
3 у2 у4 15 у у3 у5
Р4 = --15^ + 70£т; Р5 =— £-70^ + 252^. 4 8 h2 /г4 5 4 h h3 h5
Полиномы Лежандра обладают такими свойствами:
(4)
(5)
0.5/1
J РцРщЛу
-0.5 h
0 (m ^ к)
h
2k+ 1
(m = k)]
PkQy = 0,5/г) = 1; PkQy = -0,5/i) = (-l)k. (6)
Важно отметить, что принятые в виде (2), (3) аппроксимирующие функции для напряжений и перемещений обладают полнотой и линейной независимостью и приводят к достаточно простым уравнениям, а при решении задач отличаются удовлетворительной сходимостью. Кроме того использование их позволяет представить полное напряжённое состояние балки в виде суммы внутреннего напряжённого состояния ипотенциального краевого эффекта.
13
Вісник ПДАБА
Уравнения равновесия. Граничные условия. Соотношения упругости. Для получения уравнений равновесия, граничных условий и соотношений упругости уточнённой теории расчёта трансверсально изотропных балок воспользуемся вариационным принципом Рейсснера. Соответствующее ему вариационное уравнение имеет вид:
« = Si S-i
0,5 ft 5 h
г Эи , -Зї , °xS Эх + °yS Эу + Ty
s(^ + a^] +1
dxj
(ди 1 , vy , (dv 1 , vy \
\&-Ъа* + Ьау)5а*+ +
(i^ + Yx ~ 4Ty) 5ту] bdxdy ~ Ss1 Wu + YnSv)bdS1 = 0,
8oy +
(7)
где R - функционал Рейсснера; 5г - часть поверхности балки, на которой заданы поверхностные силы; Хц, Уц - составляющие поверхностных сил.
Из вариационного уравнения Рейсснера в зависимости от количества удерживаемых членов в рядах (2), (3) могут быть получены соответствующие уравнения и зависимости в различных приближениях, т. е. построены теории балок различных приближений. При этом для каждого приближения получается система связанных дифференциальных уравнений, порядок которых возрастает с увеличением количества членов разложений, аппроксимирующих перемещения и напряжения. Повышение порядка уравнений существенно увеличивает трудности при решении задач, а при малом числе приближений нет возможности описать с достаточной точностью потенциальный краевой эффект, а зачастую и внутреннее напряжённое состояние.
Для устранения отмеченного недостатка метода разложения в ряды воспользуемся при реализации вариационного уравнения (7) методом варьирования по определяемому состоянию[6; 7]. Использование этого метода приводит к последовательности дифференциальных уравнений, порядок которых не зависит от количества удерживаемых членов разложений, что позволяет сравнительно просто строить решения задач в высоких приближениях с необходимой точностью. Важно отметить, что метод варьирования по определяемому состоянию корректен лишь в том случае, если напряжённые состояния, начиная со второго, являются самоуравновешенными. Использование полиномов Лежандра в рядах (2), (3) позволяет удовлетворить этому условию.
Сущность метода варьирования по определяемому состоянию заключается в следующем. Для получения уравнений первого (несамоуравновешенного) состояния (І = 0, 1) функционал Рейсснера R варьируется по перемещениям и напряжениям первого состояния балки. Для получения уравнений, описывающих последующие (самоуравновешенные) состояния (і > 2), функционал R варьируется только по перемещениям и напряжениям того состояния, которое определяется, считая все предыдущие состояния известными. В этом случае порядок дифференциальных уравнений для каждого напряжённого состояния не будет зависеть от количества удерживаемых членов разложений, аппроксимирующих перемещения и напряжения. В итоге получается итерационный процесс, при котором функции предыдущих состояний входят как известные в уравнения для последующих состояний, выполняя в них роль нагрузочных членов. При этом напряжённое состояние балки в некотором приближении представляет собой совокупность первого (несамоуравновешенного) состояния и соответствующего количества самоуравновешенных состояний.
Следуя методу варьирования по определяемому состоянию и приравнивая нулю выражения в вариационном уравнении (7) при независимых вариациях 8и0,Sv0,8щ, Sv-^ и 5iij, 5Vj внутри контура балки, получим уравнения равновесия:
первое (несамоуравновешенное) состояние (і = 0,1): для симметричной деформации где R - функционал Рейсснера; - часть поверхности балки, на которой заданы поверхностные силы; Хп, Уп - составляющие поверхностных сил.
dN0
= 0, (8)
dx
для изгибной деформации балки
dMi dQ-,
~dx~Ql = °' ~dx+q = °’ j — e (j > 2) самоуравновешенное состояние: dMj dQ;
o)j - 0,
(9)
qi
z-Qj = b
dx J dx
где уравнения с чётными номерами соответствуют симметричной, а с нечётными изгибной деформации балки.
(10)
14
№ 10 жовтень 2011
Различные варианты граничных условий могут быть получены из входящих в вариационное уравнение контурных интегралов: для первого состояния (і = 0,1)
l(N0 — N^)6u0 + (М, - MDSUi + (Q! - (Devil = 0; (11)
для j — ого^ > 2) самоуравновешенного состояния
I (М, - JQSu, + (Q, - Q?8T| I * Г і = 0. (12)
Здесь N0, Mj,Qj — обобщённые внешние усилия, соответствующие заданным на краях балки поверхностным силам:
0.5ft 0.5h 0.5h
-0.5ft -0.5h -0.5h
где Px(y)<Py(y) - нормальная и касательная составляющие поверхностных сил, приложенных к краю балки.
Приведём здесь некоторые из граничных условий: шарнирно опёртый край:
і — 0,1: щ — 0; vr — 0; Мг = 0, (14)
] > 2: Vj = 0; Mj = 0,
жёстко защемлённый край:
і = 0,1: щ = 0; щ = 0; = 0,j > 2: Uj = 0; Vj = 0, (15)
свободный край:
І = 0,1: N0 = 0-,М1 = 0; & = 0, (16)
j > 2: Mj = 0; Qj = 0.
Приравнивая нулю выражения, стоящие в вариационном уравнении (7) при независимых вариациях напряжений, получим соотношения упругости (зависимости между усилиями и перемещениями):
первое состояние (І = 0,1):
N0 = ЕЫг - 0,5ар); М1 = \ + 1,2aq); Q1 = |Gyb (ux + /г^),
Ыгл
Где D = EIZ; lz = —; a = -±-,
12 bEv
j — e (j > 2)самоуравновешенное состояние:
D dm
и am ST'
MJ =-£[-£ + WV + ^a^LnjCOil,
І=1
Г 1 2/ — 1 ( dVj
Q, = 0,5(2; + 3) [— Q,-2 + Л— Gyb (и, + h
І-1
dx /
12 Vі 6vy EvyhL5jj dm
Ш! = l~hLVIVl ~ L ~ Ejbh~ 2Ey(l — v~)~dx^’
Здесь
3
aiii ~ Г
wi-v)t~°’5L44Lu,m f р‘р>^1»>= f a‘p^:
У -0,5 ft -0,5ft
0,5h
0,5h
У L^ljjy
0,5 ft
L3ij = J ^rajdy; L4ij= J a-iO-jdy, Lsij = J P^dy.
-0,5 ft -0,5h -0,5h
-y
0,5ft
-0,5ft
0,5ft
(17)
(18)
(19)
(20)
Выводы.На основе метода разложения напряжений и перемещений в ряды по функциям от поперечной координаты в сочетании с методом варьирования по определяемому состоянию,
15
Вісник ПДАБА
получены уравнения равновесия, граничные условия и соотношения упругости итерационной теории расчета трансверсально изотропных балок. Важно отметить, что они распадаются на две независимые группы. Первая из них (с четными номерами i,j) соответствует симметричной деформации балки, а вторая (с нечетными номерами і,j) - кососимметричной (изгибной) деформации балки.Полученные уравнения позволяют определить в различных приближениях внутреннее напряженное состояние и потенциальный краевой эффект. Уравнения (8), (9) описывают в первом приближении внутреннее напряженное состояние балки. Уравнения (10) уточняют внутреннее состояние и определяют в различных приближениях потенциальный краевой эффект.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Амбарцумян С. А. Теория анизотропных пластин. - М.: Наука, 1967. - 268 с.
2. Галиньш А. К. Расчет пластин и оболочек по уточненным теориям // Исследования по теории пластин и оболочек. - 1967. - Вып. 5 - С. 66 - 92; 1970. - Вып. 6 - 7. - С. 23 - 64.
3. Григолюк Э. И., Коган Ф. А. Современное состояние теории многослойных оболочек // Прикладная механика. - 1972. - Т. 8. - № 6. - С. 3 - 17.
4. Пискунов В. Г., Расказов А. О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек // Прикладная механика. - 2002. - Т. 38. - № 2. - С.22 - 57.
5. Плеханов А. В. Напряженно-деформированное состояние однородных и слоистых пластин и оболочек // ВісникАкадеміїбудівництваУкраїни. - 2000. - Вып. 9. - С. 70 - 79.
6. Плеханов А. В., Прусаков А. П. Об одном асимптотическом методе построения теории изгиба пластин средней толщины // Изв. АНСССР. Механика твердого тела. - 1976. -№ 3. - С. 84-90.
7. Плеханов А. В. О построении уточненной теории многослойных пластин // Исследования по теории сооружений. - 1977. - Вып. 23. - С. 111 — 119.
УДК 624.04
СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Н. М. Ершова, д. т. н., проф.
Ключевые слова: строительные конструкции, метод оптимального проектирования, строительная балка, расчетная смхема балки, неленейное програмирование
Проблема. В основу проектирования строительных конструкций заложены три принципа: экономия материала, снижение трудоемкости изготовления и сокращение сроков монтажа. Эти принципы по своей природе противоречивы и их успешное разрешение возможно при создании конструкций минимальной стоимости, которые удовлетворяют требованиям эксплуатации, надежности и долговечности.
Проблема снижения массы конструкций различного назначения имеет большое значение, так как она приводит к экономии материальных ресурсов. При этом не только уменьшаются капитальные затраты на производство конструкций, но и снижаются расходы на их эксплуатацию. Поэтому обеспечение требований эксплуатации при минимальной массе конструкции является одной из основных задач проектирования.
Критерий минимума массы не совпадает с критерием минимума стоимости, так как он не учитывает трудоемкость изготовления, унификацию конструктивных элементов и серийность. Наиболее универсальным критерием является минимум приведенных затрат, учитывающий, кроме массы и этих факторов, размер капиталовложений и эксплуатационные расходы. Но себестоимость трудоемкости изготовления и монтажа конструкции связана с конструктивной формой другими закономерностями по сравнению с массой конструкций, поэтому она должна описываться отдельной целевой функцией.
Следовательно, проблему создания строительных конструкций с заданными свойствами необходимо решать на стадии проектирования поэтапно:
♦ отобрать несколько вариантов конструкции, отвечающих критерию минимума массы и
требованиям эксплуатации;
16
