CC BY
62
До 80 - ргччя Приднтровсъког державног академп будгвництва та архгтектури № 6 червень 2010
що вщповвдае х* = Afopt = 14,4 см2. Вщповщне значения обсягу металу складае Vfopt = 0,109354 i 3. При детермiнованому пвдходу до розв'язання ошташзацшно! задачi з такими ж вихвдними даними отримано Vdopt = 0,063151 i 3 [9].
Зауваження. На рисунку 3 показано також область можливих розв'язшв за умовою мiцностi
. - - - ш
A > A iз виразу (4), де A = max (A ); A.- = Ц^ .
1<i <15 R.
Висновки. Злиття нечiтких цiлей та обмежень у невизначеному програмуваннi дозволяе отримати розв'язок нестандартно! оптимiзацшноl задачi. У наведеному приклащ проектування значення цшьово! функцп збшьшуеться. Це е «варпсть» уведення невизначеносп в оптимiзацiйну модель. Пропонований щдхвд дае можливiсть проектувальникам провести попереднш аналiз вiрогiдностi проектiв, отриманих шшим чином.
ВИКОРИСТАНА Л1ТЕРАТУРА
1. Аверкин А. Н. Нечёткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта /Под ред. Д. А. Поспелова. М. : Наука.-1986.- 312 с.
2. Баничук Н. В. Введение в оптимизацию конструкцш. М. : Наука.- 1986 .- 302 с.
3. Бараненко В., Войнаков А. Оптимальне проектування конструкцш при випадковш та нечггкш шформацп про навантаження // Зб. наук. праць «Theoretical Foundations of Civil Engineering» Polish-Ukrai'nian-Lithuanian Transaction-Warsaw, XV, Maj 2007. P. 25 -32.
4. Бараненко В. А. Динамическое программирование и последовательные приближения // Придншров. наук. журн. Фiзико-математичнi науки, №112 (179). - 1998. - С. 38-44.
5. Киселёв В. А. Строительная механика. Специальный курс (Динамика и устойчивость). М. : Изд. литер. по строительству.-1964.- 331 с.
6. Малков В. П. Энергоёмкость механических систем: Моногр. / Н. Новгород : Изд-во Нижегород. унта, 1995.- 256 с.
7. Яхьева Г. Э. Нечёткие множества и нейронные сети.- М. : Интернет-Университет информац. технологий, БИНОМ. Лаборатория знаний.- 2008.- 316 с.
8. Baranenko V.A., Vojnakov A.Ju. The use of the theory of sets in design of minimum
Volume trusses// Lightweight Structures in Civil Engineering.- Local Seminar IASS. -Warsaw, 1 Dec.2006 P. 22 24.
9. Bellman R., Zadeh L.A. Decision-making in a fuzzy environment. - Management Science.-1970.-V.17.-P. 141-162.
УДК 539.3
НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ СЛОИСТЫХ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК
А. В. Плеханов, д. т. н., проф., В. В. Наеров, к. т. н.
Ключевые слова: оболочка, напряжение, перемещение, численная методика.
Введение. Цель работы. Как отмечается в обзорной работе [1], одной из актуальных проблем механики слоистых оболочек и пластин является разработка и развитие аналитических и численных методов и методик реализации различных вариантов теорий, учитывающих реальные свойства, условия нагружения и закрепления слоистых конструкций.
В статьях [2, 3] разработаны и реализованы численные методики определения напряженно-деформированного состояния (НДС) однородных и слоистых пологих оболочек и пластин на основе геометрически линейных итерационных теорий с использованием метода локальных вариаций (МЛВ) [4]. Данная работа посвящена развитию этой методики применительно к расчету слоистых пологих оболочек и пластин на основе геометрически нелинейной итерационной модели [5].
В соответствии с МЛВ краевая задача статики сводится к вариационной задаче, в которой в качестве минимизируемого функционала выступает полная энергия, а в качестве искомых функций - компоненты перемещения оболочки. При этом вместо решения непрерывной вариационной задачи рассматривается дискретная задача на основе ее конечноразностного представления и последовательно реализуется условие минимума энергии в соответствующих ячейках. В итоге получается рекуррентный процесс последовательных приближений, где искомыми являются перемещения в узлах сетки. Разработанная методика расчета включает несколько вложенных друг в друга итерационных процессов: процесс итераций с фиксированным шагом сетки и шагом варьирования перемещений, процесс уменьшения шага варьирования перемещений и процесс уменьшения шага сетки.
Основные соотношения итерационной теории оболочек. Рассмотрим слоистую пологую оболочку постоянной толщины И = И] + И2 , составленную из произвольного числа т упругих трансверсально изотропных слоев толщиной 4 (к = 1, 2, ..., т - номер слоя, отсчитываемый от нижнего слоя оболочки к верхнему). Координатную поверхность г = 0 (поверхность изотропии), расположенную на расстоянии И] от нижней лицевой поверхности оболочки, отнесем к ортогональной системе криволинейных координат х, у, соответствующих линиям главных кривизн этой поверхности, ось г направим вниз. Действующую на нижней и верхней лицевых поверхностях оболочки поперечную нагрузку представим в виде симметричной р (х, у) и кососимметричной q (х, у) относительно поверхности приведения составляющих, так что при г = И], - И2
о г = 0,5( -р ± q) ; о- = о-^ = 0.
Для приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной воспользуемся методом разложения компонент напряжения и перемещения в ряды по функциям от поперечной координаты г и примем:
да , .
ок = Е^Б-]М (х,у) + Е^Ю-1 X I, (г ]Мх (х,у) (х ^ у,ху );
да
_к
.к
= Е aUz)Qix (x,y) (x ^ у);
i=0
ад
= -0,5p(x,у)-£ ак(z)(x,у) =-q); (2)
ик = и о (x,y)+z fr Шг (x,y) (и ^ v);
i=1
ад
Wk =•£ ftz (z)Wi (x, y) •
i,z \
i=0
Члены разложения с индексами , = 0, 1 описывают несамоуравновешенные по толщине оболочки напряженные состояния (первое состояние), а послеующие (, > 2) - самоуравновешенные состояния.
Для получения уравнений равновесия, граничных условий и соотношений упругости используется смешанный вариационный принцип Рейсснера в сочетании с методом варьирования по определяемому состоянию.
Уравнения равновесия имеют вид:
первое (несамоуравновешенное) состояние (, = 0, 1)
Мх,х + Мху,у = 0 (х ^ у ^ х);
М]х,х + М]ху,у - <2]х = 0 (х ^ у ^ х) ; (3)
йы* + й]у,у + к]^х + к2^у + (^х^],х + Хху^у ),х +
+ (Му^],у + Мху^],х )у + q = 0,
j-е (j > 2) самоуравновешенное состояние
L1jj {MJ*,x +Mjxy,y )-L3jjQjx = Oxj (x ^ у ^ x);
L3jj j + Qyy )+ hjю j = 63l ,
(4)
где Oxj, Oyj, 63j - правые части уравнений для j-го состояния, которые содержат составляющие
поперечной нагрузки и известные функции предыдущих состояний.
Граничные условия для края оболочки, совпадающего с координатной линией x = const'. жесткая заделка края
i = 0, 1 : U0 = 0; V0 = 0;U1 = 0; V1 = 0; W1 = 0;
j > 2 : Uj = 0; Vj = 0; Wj = 0, (5)
свободно опертый край
i=1
До 80 - ргччя Приднтровськог державног академп будгвництва та архгтектури № 6 червень 2010
I = 0, 1 : Ых = 0; У0 = 0; М1х = 0; У1= 0, = 0, ] > 2 : Мх = 0; У= 0, = 0,
свободный край оболочки
I = 0, 1 : Ых = 0; Ыху = 0; М1х =0; М1ху = 0; = 0, ] > 2 : М]х =0; М^ = 0; д]х = 0.
(7)
Уравнения учитывают все компоненты НДС и описывают в различных приближениях как внутреннее напряженное состояние, так и краевые эффекты типа погранслоя (потенциальный и вихревой краевые эффекты). Порядок уравнений не зависит от количества удерживаемых членов разложений, что позволяет строить решения прикладных задач в высоких приближениях.
Методика и алгоритм расчета. Для определения НДС слоистой оболочки используется МЛВ, с помощью которого реализуется условие минимума полной энергии:
Выражение (8) должно быть представлено через перемещения с помощью соотношений Коши, выражений (2) и соответствующих соотношений упругости.
Для реализации численного метода локальных вариаций на поверхность слоистой оболочки наносится сетка линий с начальным шагом Д х и Д у . Выражения полной энергии, граничные условия и другие соотношения необходимо представить в разностной форме, при этом достаточно использовать только первые производные.
В соответствии с МЛВ и методом варьирования по определяемому состоянию алгоритм определения НДС слоистой оболочки заключается в следующем. При расчете в первом приближении (I = 0, 1) задаемся начальными значениями перемещений иа У0, и1, У1, Ж1 в каждой точке. В качестве начальных значений может быть принят любой набор чисел, удовлетворяющих соответствующим ограничениям (в частности, граничным условиям). Затем выбираем шаг варьирования для перемещений и начинаем процесс локальных вариаций во всех внутриконтурных точках, реализуя последовательно условие минимума полной энергии в соответствующих ячейках оболочки. После этого уменьшаем шаг варьирования (например, в два раза) и повторяем процесс. И так поступаем до тех пор, пока шаг варьирования не станет меньше заданного значения. Далее, считая в соответствии с методом варьирования по определяемому состоянию функции первого приближения известными, полную энергию оболочки варьируем по перемещениям и2, У2, W2 аналогично описанному выше алгоритму и получается решение для второго (самоуравновешенного) состояния (I = 2), уточняющее компоненты НДС первого приближения. В результате их суммирования получается решение во втором приближении (I = 0, 1, 2). Аналогично решается задача и в последующих приближениях.
Результаты расчета. Выводы. Исследование сходимости и точности решений на основе предложенной методики выполнено в [3] путем их сопоставления с аналитическими решениями задач об изгибе однородной и трехслойной пластин. Полученные результаты свидетельствуют о том, что разработанная методика может быть эффективно использована для определения НДС слоистых и однородных пологих оболочек и пластин при различных граничных условиях и нагрузках в широком диапазоне изменения упругих и геометрических параметров.
На основе изложенной методики рассмотрены задачи нелинейного деформирования квадратных жестко защемленных по контуру однородных и трехслойных пологих оболочек и пластин симметричной структуры при а /И = 20, /2 / (1 = 10, v1 = V2 = 0,3 .
На рис. 1,2 представлены графики зависимости от поперечной равномерно распределенной нагрузки д полученных во втором приближении перемещений Ж (2 = 0) в центре, изгибных нормальных напряжений при 2 = 0,5 И в месте защемления и мембранных напряжений посередине оболочки при Е1 /Е2 = 1, 10, 100 (кривые 1, 2, 3). Сплошные линии соответствуют перемещениям и изгибным напряжениям, а пунктирные - мембранным напряжениям. Как видно из графиков, увеличение параметра Е1 / Е2 приводит к возрастанию перемещений и напряжений. Отметим, что вблизи защемления имеет место потенциальный краевой эффект. При удалении от места защемления напряжения погранслоя уменьшаются и их влияние ограничивается для изотропных конструкций весьма узкой областью, не превышающей толщины оболочки и пластины.
Для трансверсально изотропных пластин и оболочек проникающая способность и влияние потенциального краевого эффекта возрастают с увеличением параметра поперечной сдвиговой податливости.
т
)3хс1ус12 - Л 1Жскау .
(8)
Рис. 2. Зависимость напряжений от нагрузки ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов В. Г., Рассказов А. О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек. // Прикладная механика. - 2002. - Т. 38. - № 2. - С. 22 - 56.
2. Плеханов А. В. К численному решению задач о напряженном состоянии пластин и пологих оболочек на основе итерационной модели // Прикладная механика. - 2002. - Т. 38. - № 8. - С. 99 - 104.
3. Плеханов А. В., Наеров В. В. Численная реализация итерационной модели слоистых пологих оболочек // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - 2003. - № 11. - С. 223 - 226.
4. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. - М. : Наука, 1973. - 238 с.
5. Плеханов А. В., Наеров В. В. Уточненная геометрически нелинейная теория слоистых пологих оболочек. // Theoretical Foundations of Civil Engineering. - 2000. - № 8. - С. 514 - 518.
УДК 624.074:531.3
РЕДУКЦИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК К ДВУМЕРНОЙ
И.Ф. Кожемякина, к.т.н., доц.
Ключевые слова: трехмерная, двумерная динамическая теория, оболочка, полиномы, ряды.
Введение. При расчете пластин и оболочек от трехмерной задачи производится переход к двумерной. Построение двумерных математических моделей можно разделить на два вида. Первый основан на гипотезах о распределении кинематических и статических характеристик и использовании вариационных уравнений теории колебаний. Для второго способа применяется приближение искомых величин последовательностями по координатам или малым параметрам и использование вариационных уравнений или усреднение уравнений трехмерной теории упругости. Второй метод дает возможность последовательно уточнять математические модели деформирования тел. Наиболее распространенной является модель классической теории. Необходимость более точного расчета элементов конструкций из композиционных материалов, для которых характерна анизотропия свойств и низкая сдвиговая жесткость привела к созданию различных уточненных теорий, учитывающих поперечный сдвиг, сжатие в поперечном направлении и ортотропию материала. Уточненные теории позволяют расширить класс исследуемых задач и оценить возможности классической теории.
