CC BY
6
2. J32 = -1 + f < дт
3. Ji^2 = - J2 Ji = J3 , где f = f о n*.
Теорема 1. Обобщенная почти би-контактная структура (J1,J2,J3) интегрируема, если тензор Схоутена сасакиевои структуры
равен нулю.
Доказательство теоремы сводится к непосредственной проверке равенств Nj. + 2(df о ißi) < дп = 0 в случае, когда D является распределением нулевой кривизны. Воспользовавшись структурными уравнениями [Sa, ¿У = 2UbaU + РсЩЬедe, [Sa, дь] = -^д^ [Sa, дп] = ^дп?^, где Rdabc = 2e[ard]c + 2rfaMeMre]c - компоненты тензора Схоутена, получаем следующие выражения для компонент тензора Нейенхейса эндоморфизма J:
Nj (Sa, Sb) = VcRLße, Nj ^^ дb) = 2UbaU + pRae^
Что и доказывает теорему.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Галаев C.B. Почти контактные метрические структуры, определяемые
N
N
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3. С. 258-264.
3. Букушева A.B. Применение Wolfram Language для выделения специальных классов почти контактных метрических структур // Компьютерные науки и информационные технологии : материалы междунар, науч. конф. Саратов : ПН «Наука», 2016. С. 105-107.
4. Галаев C.B., Шевцова Ю.В. Почти контактные метрические структуры, определяемые симплектической связностью над распределением // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 2. С. 136-141.
5. Галаев C.B., Шевцова Ю.В. Почти контактные кэлеровы пространства, определяемые симплектической связностью над распределением // Математика. Механика: сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 28-31.
6. В. Cappelletti Montano. Bi-Legendrian structures and paracontact geometry // Intern. J. Geom. Methods Mod. Phys. 2009. Vol. 6, №3. P. 487-504.
УДК 517.518
А. М. Шеина
О СХОДИМОСТИ ОРТОРЕКУРСИВНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПО ГЛАДКОЙ СИСТЕМЕ ТИПА фАБЕРА^ШАУДЕРА
Понятие орторекурсивных разложений (далее - ОРР) было введено Т. П. Лукашенко (см., например, [1, 2]). Орторекурсивные разложения
являются естественным обобщением классических разложений элементов гильбертова пространства в ряды Фурье. Для ОРР остаются справедливыми такие свойства обычных рядов Фурье, как тождество Бесселя, неравенство Бесселя, сходимость к разлагаемому элементу эквивалента равенству Парсеваля.
В статье доказана сходимость ОРР для системы сжатий и сдвигов, порожденной интегралом функции Уолша, к разлагаемому элементу в пространстве Ь2(0,1).
Определение. Пусть Н - гильбертово пространство. {еп— произвольная система элементов с единичной норм,ой. Для каждого элемента / £ Н определим ОРР следующим образом.
Положим, Т = (/, е1^. Если уже определены /1, • • • , /п-1; тогда
п- 1
/п = (гп-1(/),еп)^де Гп-1(/) = / - ^ Ткек.
к=1
Коэффициенты {/п}^=1 называются орторекурсивными коэффицн-
то ^
ентами Фурье элемента / то снстеме {еп}, а ряд ^ /пеп — орторекур-
п=1
снвным рядом Фурье элемента / по снсте ме {еп}.
Несложно показать, что если система {еп}ТО=1 является ортонорми-рованным базисом, тогда орторекурсивное разложение по этой системе совпадает с классическим разложением в ряд Фурье.
В работе [3] было доказано достаточное условие сходимости ОРР. Сформулируем этот результат.
Теорема 1. Пусть функция <р(х) £ Ь2[0,1] такова, что
1
= 0,
о
то
^ ^(р, 2-к) < то, к=1
где ш2(<р, 5) - интегральный модуль непрерывности в Ь2[0,1]. Тогда, для любого элемента из Ь2[0,1] орторекурсивное разложение по системе сжатий и сдвигов {^к,/(ж)} этого элемента сходится к разлагаем,ом,у элементу.
Рассмотрим систему сжатий и сдвигов, порожденную гладкой функцией. А именно рассмотрим третью функцию Уолша. Проинтегрировав дважды эту функцию, получим гладкую функцию ^(ж) = (41 )2Ж3(ж),
где I/(ж) = / /(Ь)(И — оператор интегрирования. Можно выписать яв-0
ное представление функции ф(х):
ж) = <
8ж2, ж е (0, 4];
-1 + 8ж - 8ж2, ж е (4, 4];
8(1 - 2ж + ж2), ж е (4, 1];
о, же (о, 1).
(1)
Легко проверить, что
№ ||с [0,1] = 1, \\Ф\\ьг = .
Можно заметить, что функция ^(ж) является сплайном второй степени. Ранее эта функция была рассмотрена в [4].
Пусть
^(ж)
Ф(ж) = ТпГ~. и?
Далее построим систему сжатий и сдвигов, порожденную функцией ф(ж), следующим образом:
ФЫ(ж) = 22ф(2кж + з), к > 0,з = 0,..., 2к - 1. (2)
Покажем, что орторекурсивное разложение по системе (2) сходится к разлагаемому элементу в пространстве Ь2(0,1). Для этого проверим условия теоремы 1.
Теорема 2. ОРР любой функции / е Ь2[0,1] по системе (2), где ф(ж) задается через (1), сходится к самой функции по норме Ь2[0,1].
Доказательство. Проверим выполнение условий теоремы 1 для системы (2). В силу определения функции ф(ж) условие
1
J ф(ж)(ж = 0 (3)
0
очевидно.
Проверим, что
£ ^(Ф, 2-к) (4)
к=1
сходится.
Для этого оценим интеграл
1+h / h 4
|^(x) - <^(x - h)|2dx = / (8x2)2dx + / (8x2 - 8(x - h)2)2dx+
I+h
+ / ((-1 + 8x - 8x2) - 8(x - h)2)2 dx+
I+h
+ J [(-1 + 8x - 8x2) - (-1 + 8(x - h) - 8(x - h)2)]2 dx
4+h
= 240(8h2 - 32h4 + 64h5) ^ —16h2. 69 v ; 69
Таким образом, для модуля непрерывности имеем
^2=sup J / |^(x) - ^(x - h)|2dxj < с2n, с=1^у23".
Тогда ряд
то то , 1 -V 2
£2-k) < £ (с=1 с2.
k=1 k=1 v J
Тем самым показано, что условия теоремы 1 для системы {^к^} (к ^ 0, ] = 0,..., 2к — 1) выполнены и, следовательно, ОРР по данной системе сходится к разлагаемому элементу в пространстве Ь2(0,1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Лукашенко Т. П. Об орторекуреивных разложениях по системе Фабера-Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приближения : тез, докл. 10-й Сарат, зимн, шк, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2000, С, 83,
2, Лукашенко Т. П. О свойствах орторекуреивных разложений по неортогональным системам // Вестн, Моск. ун-та. Сер, I, Математика, Механика, 2001, № 1, С. 6-10.
3, Политое А. В. Орторекуреивные разложения в гильбертовых пространствах// Вестн, Моск. ун-та. Сер, 1, Математика, Механика, 2010, № 3, С, 3-7,
4, Чумаченко С. А. Об одном из аналогов системы Фабера-Шаудера // Тр. Мат, центра им. И, И, Лобачевского, Т. 53 / Казанское математическое общество, «Лобачевские чтения-2016», Казань : Изд-во Казан, мат, о-ва, 2016, Т. 53, С, 163-164,
