Орторекурсивные разложения в гильбертовых пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.518

ОРТОРЕКУРСИВНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ

ПРОСТРАНСТВАХ

А. В. Политов1

Рассмотрены орторекурсивные разложения по системам замкнутых подпространств гильбертова пространства. Доказаны достаточные условия сходимости разложений к разлагаемым элементам. Полученные результаты проиллюстрированы на примере систем сжатий и сдвигов фиксированных функций.

Ключевые слова: орторекурсивное разложение, сходимость, система сжатий и сдвигов.

Orthorecursive expansions over systems of closed subspaces of a Hilbert space are considered. Sufficient conditions for convergence of these expansions to the expanded elements are proved. The results obtained are illustrated on systems of contractions and translations of fixed functions.

Key words: orthorecursive expansion, convergence, system of contractions and translations.

Введение. Орторекурсивные разложения (далее ОРР) были введены Т.П. Лукашенко [1]. Они являются естественным обобщением классических разложений элементов гильбертова пространства в ряды Фурье.

Напомним определение ОРР. Рассмотрим гильбертово пространство H и зафиксируем в нем произвольную систему элементов {en }(=i с единичной нормой. Для каждого элемента f G H определим

ОРР следующим образом. Положим fi = (f, ei). Далее, если уже определены fi,...,fn_i, положим

n— 1 „

fn = (rn_i(f),en), где rn_i(f) = f — E fkek.

k=1

Определение 1. Коэффициенты {fn}(=i называются орторекурсивными коэффициентами Фурье элемента f по системе {en}, а ряд ^ fnen — орторекурсивным рядом Фурье элемента f по системе {en}.

n=i

Отметим, что если система {en}(=i является ортонормированным базисом, то ОРР по ней совпадает с классическим разложением в ряд Фурье.

Для введенных разложений остаются справедливыми такие свойства обычных рядов Фурье, как ра-

n(

венство Бесселя \\rn(f)||2 = \\f \\2 — ^ \ f k\2 и неравенство Бесселя ^ \ f k|2 ^ \\f ||2. Сходимость к разла-

k=i k=i

(

гаемому элементу эквивалентна равенству Парсеваля ^ \fk\2 = \\f \\2. Доказательства этих утверждений

k=i

см. в [2].

Системы сжатий и сдвигов. В приложениях (в частности, в теории обработки сигналов) рассматриваются разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированных функций.

Система сжатий и сдвигов одной функции определяется следующим образом. Пусть ^>(x) G L2 [0,1), \\p(x)\\ = 1 и p(x) = 0 вне [0,1).

Определение 2. Система pk,i(x) = 2k/2^(2kx — l), k = 0,1, 2,... , l = 0,1,... , 2k — 1, называется системой сжатий и сдвигов функции p(x).

Систему сжатий и сдвигов функции ^>(x) будем обозначать через S(^>).

Занумеруем элементы S(^>) натуральными числами, взяв в качестве n-го элемента функцию фk,l(x), где k и l таковы, что n = 2k +l + 1 (при указанных в определении ограничениях на k и l такое представление существует и единственно для каждого натурального n).

Исторически первым примером системы сжатий и сдвигов является система Хаара [3], введенная им в 1909 г. Позже в работах различных математиков (Добеши [4], Мейер [5] и др.) рассматривались разложения функций и по другим системам сжатий и сдвигов.

Недостаток системы Хаара, как и других ортонормированных базисов, заключается в том, что разложение по ним неустойчиво к малым изменениям системы и ошибкам при вычислении коэффициентов,

1 Политов Антон Викторович — студ. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

вызванным, например, вычислительными погрешностями. Оказывается, что этот недостаток может быть устранен переходом к неортогональным системам сжатий и сдвигов.

Представления по системам сжатий и сдвигов. В 1995 г. Освальд и Филиппов доказали теорему, которая в случае пространства ¿2 [0,1) может быть сформулирована следующим образом [6].

1

Теорема 1. Пусть функция р(х) € ^[0,1) такова, что [ р(х)йх = 0. Тогда Б(р) является систе-

0

мой разложения, т.е. для каждой функции /(х) € ^[0,1) существуют коэффициенты Ск,ь, такие, что /(х) = Ск,1Рк, г(х), где равенство понимается в смысле ¿2[0,1). к, I

Отметим, что эта теорема не дает никакого способа отыскания коэффициентов представления. Оказалось, что во многих случаях коэффициенты можно найти при помощи упомянутого выше ОРР. В 2001 г. А.Ю. Кудрявцев доказал [7], что при достаточно слабых ограничениях на р(х) ОРР по Б(р) сходится к разлагаемому элементу.

1 те

Теорема 2. Пусть функция р(х) € ^[0,1) такова, что / р(х)йх = 0 и ^ ш2,(р, 2-к) < ж, где

0 к=1

Ш2(р,$) — интегральный модуль непрерывности в ^[0,1). Тогда для любого элемента из ^[0,1) ОРР по Б (р) этого элемента сходится к разлагаемому элементу.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже как следствие установленного в работе результата.

Обобщенные орторекурсивные разложения. Пусть в гильбертовом пространстве Н задана система произвольных замкнутых подпространств {Нп}п=1. Обозначим через Рп ортогональный проектор на подпространство Нп. Для удобства дальнейшего изложения введем еще одно обозначение: Р^ = И—Рп, где Ы — единичный оператор. Для произвольного элемента / € Н положим /1 = Р1 /; далее, если уже

п- 1

определены /1, /2,..., /п-1, положим /п = РпГп-Л/), где Гп-1(/) = / — Е /к.

к=1

Определение 3. Ряд ^ /п называется обобщенным орторекурсивным рядом Фурье.

п=1

Заметим, что в случае Нп = < еп > разложение совпадает с введенным выше.

Идея рассмотрения ОРР по системе подпространств была предложена А.Ю. Кудрявцевым.

Для разложений по системам подпространств остаются справедливыми аналоги равенства и неравен-

п

ства Бесселя, равенства Парсеваля. Равенство Бесселя примет вид \\гп(/)||2 = \\/\\2 — ^ II/к||2, неравен-

к=1

ство Бесселя — вид ^ \\/к\\2 ^ \\/\\2, а равенство Парсеваля, также верное тогда и только тогда, когда

к=1

разложение сходится к разлагаемому элементу, — вид ^

k=i

Для разложений по системам сжатий и сдвигов удобно ввести подпространства Hk =< Pk,o(x), Рk,i(x), .. .,Pk 2fc-1 (x) > и рассматривать проекции на них. Ввиду того что при фиксированных к функции pk,i ортогональны друг другу, разложение по этой системе подпространств будет эквивалентно обычному ОРР по системе S (р).

Система вложенных подпространств. Важный пример системы подпространств — система замкнутых вложенных подпространств, объединение которых всюду плотно в H. Обозначим эти подпространства через [Dn}'^==i: Di С D2 С D3 С ..., и замыкание (JDn совпадает с H. Обозначим ортогональный проектор на Dn через Dn и положим D^ = Id — Dn. Очевидно, что разложение по такой системе под-

n

пространств сходится к разлагаемому элементу, так как в этом случае n-я частичная сумма ^ Д равна

k=i

Dnf, а Dnf ^ f при n ^ж.

Достаточные условия сходимости обобщенных орторекурсивных разложений. Для случая произвольной системы подпространств {Hn}^=i плодотворной оказалась идея А. Ю. Кудрявцева, которая будет использоваться ниже. Ее суть состоит в том, чтобы выяснить, насколько можно изменить вложенные подпространства [Dn}c^=i так, чтобы ОРР по измененной системе по-прежнему сходилось к разлагаемому элементу для любого разлагаемого элемента.

Пусть x G Hn, ||x|| = 1. Тогда расстояние от x до Dk не превосходит ||D^Pn||. Аналогично если y G Dn, ||y|| = 1, то расстояние от y до Pk не превосходит ||P^Dn||. Накладывая на возникшие нормы

операторов некоторые ограничения, получим достаточные условия сходимости ОРР по системе замкнутых подпространств {Hn}.

Теорема 3. Пусть выполнены следующие соотношения:

n— 1

1) lim £ Pnll2 < те,

k=l

2) lim ||D^Pn|| = 0 при фиксированном k,

3) lim ||P„Dn|| = B < 1.

n^tt

Тогда OPP любого элемента f из гильбертова пространства H по системе {Hn} сходится к разлагаемому элементу.

Для доказательства теоремы вначале установим некоторые вспомогательные факты.

Лемма 1. Для произвольного элемента f из H справедливо соотношение ||D^(f )|| — 0 при n — те.

Доказательство. Рассмотрим очевидное равенство f ||2 = ||Dnf ||2 + ||D^f ||2. Как уже отмечалось выше, lim Dnf = f, следовательно, и lim ||Dnf || = f ||, а значит, ||D^f || — 0 при n — те.

n^tt n^tt

Лемма 2. В условиях теоремы 3 для каждого элемента f из H справедливо равенство

n— 1

lim £ ||Dfc Pn||||fk|| =0.

n

k=l

tt

Доказательство. Для краткости обозначим ||D^Pn|| через Ank. Так как ряд ^ fk||2 сходится,

k=1

tt n— 1

то для произвольного е > 0 найдется N, такое, что ^ fk||2 < е. Разобьем сумму ^ Ank fk|| на 2

k=N +1 k=1

части: первая часть состоит из слагаемых с номерами 1, 2,...,N, вторая — из слагаемых с номерами N + 1,.. .,n — 1. Имеет место оценка

• n—1 ч 2 / n—1 s , tt s ,n—1 N

E Ankf || <( £ A2nk)( E f ||2 Ank

■k=N+1 ' k=N +1 ' k=N +1 ' k=1 '

где С — некоторая константа. С другой стороны, справедливо неравенство

N , N

Е Апк ||Л || < ( Е Апк

k=1 k=1

При заданном е найдется номер М, такой, что при к ^ N и п ^ М выполняется неравенство Апк < 4т

£ N

( N \

и, следовательно, сумма I ^ Апк 11|/1| не превосходит еЦ/1|. Таким образом, окончательно получаем, что

для каждого е > 0 существует М, такое, что при п ^ М справедливо соотношение

п—1 N п—1

]Ank\\fk\\=Y,Ank\\fk\\+ £ KkWfkW^VcTe+WfWe.

к=1 к=1 k=N+1

п— 1

Поскольку Е Апк||Д|| — положительная величина, то полученное неравенство и означает, что выполня-к=1

ется утверждение леммы.

Доказательство теоремы 3. Для доказательства теоремы 3 достаточно показать, что п-й остаток Тп(/) стремится к нулю при п ^ те. Оценим его норму. Пользуясь обычными свойствами норм, получаем неравенство

||Гп(/)|| = |РГп—1(/)|| = |Р(Б^ + Бп)Гп—1(/)|| < |РВ^Тп—1(/)|| + ЦР^БпУ • ||Гп—1 (/)||.

Теперь запишем остаток как разность между элементом и частичной суммой и с помощью условий теоремы продолжим оценку:

п— 1

||Тп( /)|| < ЦВ^Тп—1(/)|| + ЦР^БпЦТп—1(/)|| = ( / - £ /к)|| + ЦР^БпЦТп—1 ( /)|| <

к=1

га—1 га—1

< l|Dn(/)|| + Е Р/|| + ||P^D„||||r„_i(/)|| < ||DT(/)|| + Е ||D^Pfc|| • \Ш\ + |PDra||||rra_i(/)||.

'га ||||' га_1

k=1 k=1

га1

В лемме 2 было установлено соотношение lim ^ HD^TP^H/k|| = 0, а в лемме 1 — соотношение

'k=1

lim ||DT(/)|| = 0. Переходя в полученной оценке к пределу при n ^ ж, имеем неравенство

га^-ж

lim Гга(/) ^ B lim Гга—1 (/),

гага

т.е. верно равенство lim гга(/) = 0, откуда и следует сходимость ряда к разлагаемому элементу.

га^-ж

Доказательство теоремы 2. Теперь несложно доказать теорему 2. Возьмем, как и выше, Hk = <Vk,ü(x), ...,Vk 2к- 1(x)> (при этом нумерация {Hk} будет начинаться с 0, а не с 1, но здесь это не играет роли). Положим Dk = <фk,ü(x),фk,l(x),...,фk2к- 1(х)>, где [фk,l(x)} — система сжатий и сдвигов функции ф(х) = 1. Очевидно, что подпространства Dk вложены друг в друга; кроме того, известно, что кусочно-постоянными функциями, лежащими в таких пространствах, можно сколь угодно хорошо приблизить любую функцию в L2 [0,1).

Проверим, что выполняются условия теоремы 3.

~ 2

/p(x)dx и pnk = WDT_k(v)||, где n ^ к ^ 0. Как ü

Введем вспомогательные обозначения: а = у 1 — несложно убедиться, в этом случае имеют место неравенства

|РВк|| = а, к = 0,1,...; |БРк|| = Рик, п > к ^ 0.

Действительно, пусть функция / £ Т>к и принимает значение 2к/2 щ на [1/2к, (I + 1)/2к) . Тогда справедливо соотношение

2к-1 2к-1

|Р/12 = V — Е (/,Рк, г)Рк,| = Е щ|2||1 — (1,р)р||2 = а21 1=0 1=0

2к-1

Аналогично для любой функции / = ^ Ъ рк,I £ Нк выполняется соотношение

1=0

-1

ч_1_ -Ч|2 II ^ 7 1|2 II, |2ц^± ,„ц2 „2

2k _1 2k _1 D/||2 = || Е biDTVk,i||2 = E \bifUDtkV||2 = pl,k

l=ü l=ü

k,

Так как а < 1, а также рпк ^ 2сс>2(р, ^г) (доказательство этого факта см. в [8, гл. 3, § 2]) и, как несложно заметить, рик ^ 0 при п ^ ж, то выполняются условия теоремы 3, а значит, система сжатий и сдвигов 5 (р) является системой разложения и в качестве коэффициентов разложения можно использовать коэффициенты, полученные при ОРР.

Замечания. 1. Несложно увидеть, что утверждение теоремы 3 остается верным при замене первого и третьего пределов на нижние с добавлением естественного условия: подпоследовательности, на которых они достигаются, должны иметь бесконечное пересечение.

2. В системах сжатий и сдвигов сжатия необязательно должны быть двоичными. В общем случае можно взять последовательность натуральных чисел {рк}к=1,Рк ^ 2, при к ^ 2 и по ней построить последовательность {тпк}^=1, т,к = Р1Р2 ■ ■ ■Рк■ Тогда в(р) определяется так: рк^х) = у/гПк<р(гПкХ — 1),к = 1, 2,... ,1 = 0,1,..., тк — 1. Для такой системы условие на модуль непрерывности из теоремы 2 заменяется

и- 1

на условие Ит ^ Шо(р,тк/ти) < ж, а доказательство при этом проводится аналогично.

и^ж к=1

3. Системы сжатий и сдвигов можно рассматривать не только в ^[0,1), но и в ^[0,1)2. Это расширяет круг прикладных задач, в которых возможно применение ОРР; в частности, применение к ¿2[0,1)2 позволяет обрабатывать изображения. При этом теорема 2 также заменяется на аналогичную.

4. Необязательно рассматривать системы сжатий и сдвигов одной функции. Можно зафиксировать множество функций {рь(х)}^,Т < ж, и для каждой пары (к,1) выбрать свою функцию рь(х), т.е.

= — I), где t = t(k,l) G {1,2,... ,Т}. В этом случае соответствующая теорема примет

следующий вид.

Теорема 4. Пусть функции {^t}f=i С L2[0,1), T < ж, удовлетворяют условиям \\^>ь|| = 1

п—1

(t = 1, 2,... ,T), lim E maxt , /mn) < ж, где U2(p, 5) — интегральный модуль непрерывности в fc=1

1

L2[0,1), и f ^l(x)dx = 0 для всех t. Тогда орторекурсивное разложение по системе сжатий и сдвигов о

функций {^}Т=1 сходится в норме L2[0,1) к разлагаемой функции для любой функции из L2[0,1).

Отметим, что при T = ж доказательство тем же методом требует дополнительных ограничений на

{¡^t(x)dx}r=i.

о

5. Несмотря на то что по теореме 1 система сжатий и сдвигов является системой представления, для некоторых порождающих функций существуют элементы, ОРР которых по соответствующим системам сжатий и сдвигов не сходятся к разлагаемым элементам (пример построен А.Ю. Кудрявцевым).

В заключение отметим важное свойство систем сжатий и сдвигов, дающее им преимущество перед ортонормированными базисами.

6. В отличие от ортонормированных базисов системы сжатий и сдвигов функций, удовлетворяющих условиям теоремы 2, устойчивы к ошибкам в разложении. Если ошибки не очень большие и ОРР по такой системе сходится к разлагаемому элементу, то ОРР с такими ошибками по-прежнему будет сходиться в точности к разлагаемому элементу (подробнее об этом см. в [9]).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лукашенко Т.П. Об орторекурсивных разложениях по системе Фабера-Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Саратов. зимней школы. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2000. 83.

2. Лукашенко Т.П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 6-10.

3. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. 1910. 69. 331-371.

4. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Communs Pure and Appl. Math. 1988. 41, N 7. 909-996.

5. Meyer Y. Wavelets and operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

6. Oswald P., Filippov V.I. Representation in Lp by series of translates and dilates of one function //J. Approx. Theory. 1995. 82, N 1. 15-29.

7. Кудрявцев А.Ю. Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронеж. зимней матем. школы. Воронеж, 2001. 161-162.

8. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. 2-е изд., доп. М.: Изд-во АФЦ, 1999.

9. Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. 69, № 1. 3-16.

Поступила в редакцию 29.12.2008

УДК 514.774.8, 519.176

ДЛИНА МИНИМАЛЬНОГО ДЕРЕВА ЗАДАННОЙ ТОПОЛОГИИ: ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА А. О. Иванов1 А. А. Тужилин2

Классическая формула Максвелла вычисляет длину плоского, локально минимального, бинарного дерева по координатам граничных вершин и направлениям приходящих в

1 Иванов Александр Олегович — доктор физ.-мат. наук, доцент, проф. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Тужилин Алексей Августович — доктор физ.-мат. наук, доцент, проф. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].