CC BY
238. Fomenko А. Т., Konyaev A. Yu. New approach to symmetries and singularities in integrable Hamiltonian systems // Topol. and its Appl. 2012. 159. 1964-1975.
9. Болсипов А.А., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1, 2. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.
10. Williamson J. On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems // Amer. J. Math. 1936. 58, N 1. 141-163.
11. Williamson J. On the normal forms of linear canonical transformations in dynamics // Amer. J. Math. 1937. 59, N 1. 599-617.
12. Тужилин M.A. Инварианты четырехмерных и трехмерных особенностей интегрируемых систем // Докл. РАН. 2016. 467, № 4. 385-388.
13. Nguen Tien Zung. Symplectic topology of integrable Hamiltonian systems, I: Arnold-Liouville with singularities // Compositio Mathematica. 1996. 101. 179-215.
14. Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Матем. ин-та РАН. 1994. 205. 131-140.
15. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, № 9. 3-96.
Поступила в редакцию 22.04.2016
УДК 517.518
ОБ УСЛОВИИ СХОДИМОСТИ ПОЧТИ ВСЮДУ ОРТОРЕКУРСИВНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
В. В. Галатенко1, Т.П. Лукашенко2, В. А. Садовничий3
Получено условие сходимости почти всюду с множителем Вейля W(n) = л/п для орторекурсивного разложения функции, сходящегося к ней по норме.
Ключевые слова: орторекурсивные разложения функций, множитель Вейля сходимости почти всюду.
An almost everywhere convergence condition with Weyl multiplier W(n) = л/п is obtained for orthorecursive expansions that converge to the expanded fuinction in L2.
Key words: orthorecursive expansions, Weyl multiplier of almost everywhere convergence.
Орторекурсивные разложения по последовательности элементов, обобщения ортогональных разложений были введены в 1999 г. в публикациях [1, 2], подробная информация представлена в работе [3], вышедшей в 2001 г.
Пусть Н — гильбертово пространство над полем R или С, а {е^} — конечная или счетная система нормированных элементов Н, последовательно занумерованная натуральными числами 1,... ,К или всеми натуральными числами.
Определение 1. Орторекурсивное разложение (ОРР) элемента / € Н по последовательности элементов {е^} осуществляется следующим образом:
1) положим го = /;
2) если заданы остаток приближения гп-\ € Н, п € N, и элемент еп, то полагаем
/га — (?п— 1) 6га)) Т'п — Т'п— 1 fn&n-
Назовем Д орторекурсивпыми коэффициентами Фурье элемента / € Н по системе {е^}, а ряд
(Tif) = fk&k орторекурсивным рядом, Фурье элемента / € Н по системе {е^}. к
1 Галатенко Владимир Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vgalatQimscs.msu.ru.
2Лукашенко Тарас Павлович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: lukashenkoQmail.ru.
3 Садовничий Виктор Антонович — акад. РАН, зав. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, ректор МГУ, e-mail: infoQrector.msu.ru.
Легко видеть, что гп(/) = / — Е ¡к&к и для ортонормированной системы {вк} рекурсивные
к^п
коэффициенты Фурье являются обычными коэффициентами Фурье, а орторекурсивный ряд Фурье — обычным рядом Фурье, и (независимо от ортогональности системы) выполняется равенство Пифагора
11 Тп— 111 — || Тп || ~Ь | /га |
Понятие орторекурсивного разложения по подпространствам появилось в 2012 г. в работе [4]. Орторекурсивные разложения по последовательности подпространств являются обобщением определенных в [1-3] орторекурсивных разложений по последовательности элементов и определенных в [5] рекурсивных (точнее, орторекурсивных) разложений по цепочке систем.
Пусть Н — гильбертово пространство над полем R или С, далее под подпространством II понимается замкнутое подпространство.
Определение 2. Орторекурсивное разложение (ОРР) элемента / € Н по последовательности подпространств {Нп} осуществляется следующим образом:
1) положим го = /;
2) если заданы остаток приближения гп-\ € Н, п € N, и подпространство Нп С II. то полагаем
fn— ортогональная проекция гп-\ на Нп, vn = rn-1 — fn ортогональная проекция гп-\ на Н^,
где Н^ — ортогональное дополнение Нп в Н (об ортогональной проекции (разложении) см. [6, с. 224] или [7, с. 172]).
В силу свойств ортогональной проекции выполняется равенство Пифагора
||rra_i||2 = |Ы|2 + ||/га||2. (2)
Назовем fn элементами разложения / по последовательности подпространств {Нп}, ряд <т(/) = £/„ рекурсивным рядом, элемента / € Н по последовательности подпространств {Нп}; частичной
га
N
суммой рекурсивного ряда с номером N считаем сумму <SW(/) = Е fn = f ~ fN(f)-
п= 1
Суммируя по п равенство (2), получим аналог тождества Бесселя
N N
ii/ii2 = Е и/»и2 + iM/)ii2 = II/ - -мяи2 + Е 11/™и2- (3)
га= 1 га= 1
Из (1)-(3) следуют аналоги неравенства Бесселя
2
и imi2 ^ Е
к к>т
, m ^ 0,
а также эквивалентность следующих четырех утверждении, из которых первые два говорят о сходимости орторекурсивного разложения в гильбертовом пространстве, а два последних — аналоги равенства Парсеваля:
/ = Е ¡к, гт= £ ¡к, 0,
к> 1 к>т , ,,
~ 2 2 » 2 ( ^
= Е 1к ) || гт || = Е
к'^1 к>т
fk
т ^ 0.
Если последовательность одномерных подпространств задается последовательностью нормированных элементов, то ОРР по последовательности одномерных подпространств совпадает с ОРР по задающей подпространства последовательности элементов.
В теории ортогональных разложений функций неубывающую последовательность положительных чисел Ш(п) называют множителем Вейля, сходим,ост,и почти всюду рядов по ортонормиро-
оо
ванной системе Ф = если сходимость ряда Е \ап\2^(п) влечет сходимость почти всюду
га= 1
оо
ряда Е ап^п{х) (см. [8, гл. 9, § 1, с. 335]). А. Вейль показал, что для любой ортонормированной
га= 1
системы можно брать W(n) = \[п. Этот результат неоднократно обобщался. Наилучший для всех ортонормированных систем результат получили Д.Е. Меньшов и Г. Радемахер: W(n) = In2(п + 1) (см. [8, гл. 9, § 1; 9, гл. 5, § 3; 10, гл. 2, § 3]). При рассмотрении ОРР наибольший интерес представляют разложения, сходящиеся по норме к разлагаемому элементу. В настоящей работе будет получено условие, обеспечивающее сходимость почти всюду функционального ОРР, сходящегося по норме к разлагаемой функции в пространстве Лебега L2(Q), где Q — пространство с мерой /л. Это условие аналогично условию Вейля с W(n) = л/п. Без предположения о сходимости орторекурсивного разложения по норме к разлагаемой функции получаются другие результаты (см. fill).
Лемма 1. Пусть функция / € L2(Q) и ее орторекурсивное разложение по последовательности подпространств Нд. С L2(Q), k € N, сходится, к / (в L2(fl)). Пусть для п € Z+
Sn(f~, = max
О <К<п
К
т-^ш
k= 1
= max \f(x) — SK(f',x)\= max \гк(х)\ o<K<nJ v 7 v' л о<к<п v 71
Тогда, для, любого m € N верна оценка,
n J=1
Доказательство. Если (p — 1 )m < n ^ pm, 1 ^ p ^ m, то
pm
Используя (4), оценим норму максимума первого члена правой части последнего неравенства:
Е Ш
j=n+1
тах|/(ж) - Spm(f;x)\ v
2 т
<
т оо
Е Е
р= 1 j=pm+l
Е и/(ж) - spMx) ii2 = Е
p=i p=i
(fc+l)m
^min{£;,m} Е
k=1 j=fcm+l
^ т Е
j=m+l
pm
max
(p—l)m<ni^pm
E
j=ra+l
Оценим максимум второго члена правой части неравенства. Так как
рт
Е \Ш
j=(p-l)m+l
то, используя неравенство Коши-Буняковского, имеем
ш
рт
max Е Л-и j=n+1
(p—l)m<ni^pm
рт
< Е
j=(p-l)m+l
рт
1/2
< \/т I Е
j=(p-l)m+l
ш
откуда
В итоге получим
Е
Р= 1
max
(p—l)m<ni^pm
рт
Е Ш
j=n+1
т 3=1
j=m+1
i = l
i=i
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть функция / € Ь2(П) и ее орторекурсивное разложение по последовательности
к-1
подпространств Нд. С Ь2(£1), к € М, сходится к / (в Ь2(И)). Пусть то = 0; тк = Е = |(4'г —1); А; € N. Тогда из сходимости ряда
~ ~ 2
Е* Е
л-
< оо
следует, оценка,
&=0 3=тк+1
&=0
л-
< оо
(5)
(6)
(здесь мажоранты 3*к(гтк] х) берутся по последовательности подпространств {Нп}п>тк).
Доказательство. Если орторекурсивиое разложение функции / € Ь2(0) по последовательности подпространств Нк С Ь2(П), к € М, сходится к / (в Ь2(П)), то согласно (4) орторекурсивиое разложение любого остатка гга(/) по последовательности {Нк} сходится к (в Ь2(П)). По-
этому, пользуясь леммой 1, имеем оценку
(^й {гтк ! х) || ^ 2 +
Е
3=тк+1
и
Значит, из оценки (5) следует оценка (6). Лемма доказана.
к-1
Лемма 3. Пусть т0 = 0, тк = Е ^ = ~ !); к € М, а, <х,- ^ 0, ] € N. Тогда
э=о
Е2* Е а; = £«;£2*<2>/з£>/7«;-
А;=0 .7 = 1 .7=1
Доказательство. Самый большой элемент в множестве натуральных чисел Е = {к : тк = 1(4к — 1) < ^ не больше 1с^4 Ъ] = \ log2 поэтому ^ < 2л/ЗУ- Лемма доказана.
кеЕ
Теорема. Если орторекурсивиое разложение функции / € Ь2(П) по последовательности подпространств Нк С Ь2(0), к € М, сходится, к / (в Ь2({})) и сходится, ряд
Е^ ш
к=1
оо
то орторекурсивный ряд Фурье Е Л(ж) сходится к /(ж) почти всюду на, О, и,
к=1
вир к
а:
/(^)-Е
¿¡=1
<
Е
¿¡=1
Доказательство. Пусть то = 0, тк = Е ^ = |(4;г — 1), /г € N. Докажем сначала, что
э=о
подпоследовательность частичных сумм Зтк(/,х) сходится к /(ж) почти всюду на О. Так как то по леммам 2 и 3
&=0 &=1 к=0 .7=1
Л-0*0
< оо
(по условию теоремы). Согласно теореме Б. Леви (см. [6, с. 136] или [7, с. 305]) ряд Е 1/(ж) ~~ £>тк(/,
к=1
сходится почти всюду, а значит, почти всюду
При этом
вир]/(ж) (_/>)!
к
1/(я)-й»к(/,аО| --^0.
к—>оо
2 оо оо
к=О ;/=1
Л-0*0
< оо.
(8)
(9)
(Ю)
Если т,к ^ I < Шк+\, то
|/(ж) -ЭД,ж)| < |/(ж) "¿^(/,ж)| + |^(/,ж) - ЭД,ж)| , где -£г(/,ж)| < \$*4к(Гтк]х)\-
ОО „
Из (7) и теоремы Б. Левп следует, что ряд Е ; ж) | сходится почти всюду, а значит.
к=1
почти всюду р^Дгт^ж) -^ 0. Отсюда и из (8), (10) получаем, что почти всюду
> оо
/(ж)-ЗД,ж) --^ 0.
4—>00
На основании (10) заключаем, что
вир|/(ж) -5"г(/,ж)| < вир|/(ж) - 5"т?с(/,ж)| + вир (гтк; ж) .
I к к
Так как согласно (9) п (7)
вир|/(ж) - ж)|
2 ОО
«8Е
3=1
ш
вир |5"*4гт?с;ж)| к
2 оо оо
тк 1
¿=1
Л-0*0
то
вир|/(ж) — 5г(/, ж)|
^ 2
вир|/(ж) -к
+ 2
вир |54\(гт,;ж)| к
3 = 1
Теорема доказана.
Как отмечалось, ОРР по последовательности одномерных подпространств совпадает с ОРР по задающей подпространства последовательности нормированных элементов. Поэтому из теоремы получаем
Следствие. Если орторекурсивное разложение функции / € Ь2(П) по последовательности нормированных элементов {ек}, к € М, сходится к / (в Ь2({})) и сходится ряд
Е
к=1
Л
то орторекурсивный ряд Фурье Е сходится к /(ж) почти всюду на О- и
к=1
вир
а:
а:
- Е
¿¡=1
к=1
Л
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-00417) и программы НШ-7461.2016.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лукашенко Т.П. Рекурсивные разложения, подобные ортогональным // VII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование". Междунар. симпозиум "Ряды Фурье и их приложения" (26 мая-1 июня 1999 г.): Тез. докл. Ростов н/Д. Ростов н/Д: РГЭА, 1999. 331.
2. Лукашенко Т.П. Об орторекурсивных разложениях по характеристическим функциям промежутков // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат-лы школы-конф., поев. 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. Казань: Изд-во Казан, мат. о-ва, 1999. 142-143.
3. Лукашенко Т.П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 6-10.
4. Лукашенко Т.П., Садовничий В.А. Орторекурсивные разложения по подпространствам // Докл. РАН. 2012. 445, № 2. 135-138.
5. Лукашенко Т.П., Садовничий В.А. О рекурсивных разложениях по цепочке систем // Докл. РАН. 2009. 425, № 6. 1-6.
6. Богачев В.П., Смоляное О.Г. Действительный и функциональный анализ. Университетский курс. М.; Ижевск: НИЦ РХД, 2009.
7. Колмогоров А.П., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматлит, 2004.
8. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: Изд-во АФЦ, 1999.
9. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: ГИФМЛ, 1958.
10. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Наука, 1984.
11. Галатенко В.В., Лукашенко Т.П., Садовничий В.А. Об условии сходимости орторекурсивных разложений функций почти всюду // Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Мат-лы Двенадцатой междунар. Казанской летней научной школы-конф. (Казань, 27 июня-4 июля 2015 г.). Тр. Матем. центра им. II. II. Лобачевского. 2015. 51. 135-141.
Поступила в редакцию 25.03.2016
