CC BY
9= — I), где t = t(k,l) G {1,2,... ,Т}. В этом случае соответствующая теорема примет
следующий вид.
Теорема 4. Пусть функции {^t}f=i С Lk[0,1), T < ж, удовлетворяют условиям \\^>ь|| = 1
п—1
(t = 1, 2,... ,T), lim maxt mk/mn) < ж, где U2(p, 5) — интегральный модуль непрерывности в
k=1
1
Lk[0,1), и J ^¡t(x)dx = 0 для всех t. Тогда орторекурсивное разложение по системе сжатий и сдвигов о
функций {^}Т=1 сходится в норме L%[0,1) к разлагаемой функции для любой функции из L2[0,1).
Отметим, что при T = ж доказательство тем же методом требует дополнительных ограничений на
{}<рt{x)dx}r=i. о
5. Несмотря на то что по теореме 1 система сжатий и сдвигов является системой представления, для некоторых порождающих функций существуют элементы, ОРР которых по соответствующим системам сжатий и сдвигов не сходятся к разлагаемым элементам (пример построен А.Ю. Кудрявцевым).
В заключение отметим важное свойство систем сжатий и сдвигов, дающее им преимущество перед ортонормированными базисами.
6. В отличие от ортонормированных базисов системы сжатий и сдвигов функций, удовлетворяющих условиям теоремы 2, устойчивы к ошибкам в разложении. Если ошибки не очень большие и ОРР по такой системе сходится к разлагаемому элементу, то ОРР с такими ошибками по-прежнему будет сходиться в точности к разлагаемому элементу (подробнее об этом см. в [9]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лукашенко Т.П. Об орторекурсивных разложениях по системе Фабера-Шаудера // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 10-й Саратов. зимней школы. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2000. 83.
2. Лукашенко Т.П. О свойствах орторекурсивных разложений по неортогональным системам // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2001. № 1. 6-10.
3. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. 1910. 69. 331-371.
4. Daubechies I. Orthonormal bases of compactly supported wavelets // Communs Pure and Appl. Math. 1988. 41, N 7. 909-996.
5. Meyer Y. Wavelets and operators. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.
6. Oswald P., Filippov V.I. Representation in Lp by series of translates and dilates of one function //J. Approx. Theory. 1995. 82, N 1. 15-29.
7. Кудрявцев А.Ю. Орторекурсивные разложения по системам сжатий и сдвигов фиксированной функции // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронеж. зимней матем. школы. Воронеж, 2001. 161-162.
8. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. 2-е изд., доп. М.: Изд-во АФЦ, 1999.
9. Галатенко В.В. Об орторекурсивном разложении с ошибками в вычислении коэффициентов // Изв. РАН. Сер. матем. 2005. 69, № 1. 3-16.
Поступила в редакцию 29.12.2008
УДК 514.774.8, 519.176
ДЛИНА МИНИМАЛЬНОГО ДЕРЕВА ЗАДАННОЙ ТОПОЛОГИИ: ОБОБЩЕННАЯ ФОРМУЛА МАКСВЕЛЛА А. О. Иванов1 А. А. Тужилин2
Классическая формула Максвелла вычисляет длину плоского, локально минимального, бинарного дерева по координатам граничных вершин и направлениям приходящих в
1 Иванов Александр Олегович — доктор физ.-мат. наук, доцент, проф. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aoiva@mech.math.msu.su.
2 Тужилин Алексей Августович — доктор физ.-мат. наук, доцент, проф. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tuz@mech.math.msu.su.
них ребер. Однако, если для заданной бинарной структуры соответствующее экстремальное дерево с фиксированной границей имеет вырожденные ребра, классическая формула Максвелла непосредственно неприменима: чтобы вычислить длину экстремального дерева в этом случае, необходимо знать, какие ребра выродились. В настоящей статье мы обобщаем формулу Максвелла на произвольные экстремальные деревья в евклидовом пространстве произвольной размерности: теперь для вычисления длины такого дерева не нужно знать, ни какие ребра выродились, ни направления невырожденных граничных ребер. Ответом является максимальное значение линейной функции на выпуклом компактном подмножестве евклидова пространства, образованном пересечением цилиндров.
Ключевые слова: локально минимальные деревья, проблема Штейнера, формула Максвелла.
The classic Maxwell formula calculates the length of a planar locally minimal binary tree in terms of coordinates of its boundary vertices and directions of incoming edges. However, if an extreme tree with a given topology and a boundary has degenerate edges, then the classic Maxwell formula cannot be applied directly, to calculate the length of the extreme tree in this case it is necessary to know which edges are degenerate. In this paper we generalize the Maxwell formula to arbitrary extreme trees in a Euclidean space of arbitrary dimension. Now to calculate the length of such a tree, there is no need to know either what edges are degenerate, or the directions of nondegenerate boundary edges. The answer is the maximum of some special linear function on the corresponding compact convex subset of the Euclidean space coinciding with the intersection of some cylinders.
Key words: local minimal trees, Steiner problem, Maxwell formula.
1. Введение. Настоящая работа посвящена изучению экстремальных деревьев в евклидовых пространствах. Интерес к ним вызван тем, что класс таких деревьев является естественным расширением множеств локально минимальных и кратчайших деревьев (минимальных деревьев Штейнера). Последние же могут быть интерпретированы как решения транспортной задачи и имеют большое прикладное значение. Как известно, поиск кратчайшего дерева, затягивающего данное граничное множество, алгоритмически чрезвычайно трудоемок (ЛР-трудная задача), что мотивирует активное изучение разных приближенных решений. В качестве таких решений можно выбирать как экстремальные, так и минимальные остовные деревья. Последние используются особенно часто, так как алгоритм их построения полиномиален и его быстроработающие реализации хорошо известны и широко распространены. Относительная погрешность этого приближения в самой худшей ситуации называется отношением Штейнера объемлющего пространства [1].
В настоящее время отношение Штейнера не известно ни для одного евклидова пространства начиная с двумерной плоскости. Отметим, что еще в 60-е годы прошлого века Гилберт и Поллак [1] высказали гипотезу, утверждающую, что отношение Штейнера евклидовой плоскости достигается на множестве вершин правильного треугольника и равно л/?>/2. Но, несмотря на многократные попытки разных авторов (см. обзор в [2]), эта гипотеза до сих пор не доказана. Наиболее известная попытка доказательства этой гипотезы была предпринята в 90-е годы прошлого века Ду и Хвангом [3]. Однако в их работе были обнаружены серьезные пробелы, на которые указывали в разное время как авторы данной статьи, так и другие специалисты. В результате в настоящее время гипотеза считается недоказанной.
О евклидовых пространствах размерности три и выше известно еще меньше. Доказано [4], что отношение Штейнера в этих пространствах не достигается на множестве вершин правильного симплекса. Более того, найдена быстрорастущая оценка снизу на возможное количество точек граничного множества, на котором отношение Штейнера могло бы достигаться. Поэтому для этих пространств не сформулировано даже разумной гипотезы о величине отношения Штейнера.
В настоящей работе получена новая формула, позволяющая вычислять длину экстремальной сети, затягивающей данное граничное множество, не строя саму сеть. Оказывается, что длина такой сети может быть найдена как максимальное значение некоторой линейной функции р на подходящем выпуклом компактном подмножестве S конфигурационного пространства RN. При этом функция р зависит лишь от координат граничных точек, а подмножество S полностью определяется в терминах структуры дерева, параметризующего экстремальную сеть. На наш взгляд, полученная формула позволяет по-новому взглянуть на соотношения между длинами разных экстремальных деревьев, в том числе кратчайших и минимальных остовных.
2. Предварительные результаты. Рассмотрим произвольное дерево G = (V, E) с множеством
вершин V = {vk}, содержащим фиксированное подмножество B = {vi,...,vn}, и множеством ребер E, причем будем предполагать, что все вершины степени 1 и 2 дерева G лежат в B. Такое множество B назовем границей дерева G и обозначим через dG. Вершины из dG и инцидентные им ребра будем называть граничными, а остальные вершины vn+i,... ,vn+s и остальные ребра — внутренними. Сетью типа G в евклидовом пространстве Rm будем называть произвольное отображение Г V ^ Rm. Ограничение Г на dG назовем границей сети Г и обозначим через дГ.
Каждую сеть Г полезно представить как линейный граф, сопоставив каждому ребру vkv\ дерева G отрезок [T(vk), )] (который может быть вырожденным). Этот отрезок назовем ребром сети Г. Тем самым естественно определены углы между смежными невырожденными ребрами сети и длина сети как сумма длин всех ее ребер. Сеть, у которой все ребра невырождены, назовем невырожденной. Кроме того, ребро сети назовем граничным (внутренним), если таковым является соответствующее ему ребро дерева G. Ребро дерева G назовем Г-вырожденным (Г-невырожденным), если таковым является соответствующее ему ребро сети Г.
Пусть а = {Gk} — семейство непересекающихся поддеревьев в G. Определим редуцированное дерево G/а, выбрав в качестве его вершин все Gk, а также вершины из G, не попавшие в Gk. Вершины из G/a соединим ребром, если и только если они соединялись ребром в G. Граница дерева G/a состоит из всех вершин этого дерева, содержащих элементы из dG.
Для каждой сети Г определим Г-редукцию дерева G, выбрав в качестве Gk связные компоненты подграфа, порожденного Г-вырожденными ребрами дерева G. Отметим, что сеть Г естественным образом порождает невырожденную сеть типа G/a, которую мы будем обозначать через Г и называть приведенной.
Пусть ф B ^ Rm — отображение, взаимно однозначное с образом. Рассмотрим всевозможные сети с границей ф. Тогда сеть наименьшей длины среди всех таких сетей называется минимальным деревом Штейнера или кратчайшей сетью с данной границей.
Сеть Г называется локально минимальной, если дГ взаимно однозначно с образом и углы между смежными ребрами приведенной сети Г не меньше 120°. Отметим, что степени вершин сети Г могут равняться 1, 2 и 3, причем все ее вершины степени 1 и 2 являются граничными. Локально минимальную сеть, множество граничных вершин которой совпадает с ее множеством вершин степени 1, назовем бинарной.
Каждая кратчайшая сеть локально минимальна. Локально минимальные сети в свою очередь являются кратчайшими "в малом", т.е. каждый достаточно малый фрагмент такой сети является кратчайшей сетью с соответствующей границей. Более полную информацию о локально минимальных сетях можно найти в [2] или [5].
Для произвольной сети Г типа G положим Zk = T(vk ) £ Rm. Будем отождествлять границу сети Г с точками z = (zi,..., zn) £ Rmn конфигурационного пространства Rmn.
Обозначим через (■, ■) евклидово скалярное произведение на Rmn. Пусть сначала n = 2, Zi = Z2 и v — направление отрезка [zi ,Z2], ориентированного в сторону Z2 (соответственно —v — направление этого отрезка, ориентированного в сторону Zi). Зададим в конфигурационном пространстве вектор в, составленный из направлений отрезка [zi, Z2], ориентированного в сторону его последовательных вершин,
положив в = {—и,и). Тогда (z,9) = (z\,—v) + (z2,v) = Ы2 — 21,-jp^—-77/ = \\z2 — Zi\\, т.е. (z,9) равно
\ ||Z2 — Zi ii /
длине отрезка [zi,z2].
Пусть теперь Г — невырожденная, локально минимальная, бинарная сеть с границей ф. Обозначим через р(Г) длину сети Г. Пусть Vk — направление граничного ребра сети Г, входящего в точку Zk, k ^ n. Определим вектор в направлений граничных 'ребер сети Г, положив в = (vi,..., vn). Суммируя полученные выше выражения для длины отрезка и учитывая тот факт, что скалярное произведение аддитивно по каждому аргументу, а в вершинах степени 3 суммы направлений входящих ребер равны нулю, имеем
Р(Г) = (z,e).
Последнее равенство называется формулой Максвелла (см., например, [1, 2, 6]). Формула Максвелла естественно обобщается и на локально минимальные сети общего вида. В этом случае соответствующая приведенная сеть может иметь граничные вершины степени 2 и 3, в которых встречающиеся ребра образуют углы не меньше 120°. Для таких сетей в формуле Максвелла в каждой граничной вершине нужно брать суммарные векторы направлений всех входящих в нее ребер.
Отметим, что для невырожденных, локально минимальных, бинарных сетей на плоскости вектор в может быть вычислен по направлению одного из ребер и планарной структуре сети. Это удобно сделать с помощью так называемого числа вращения. Напомним соответствующее определение. Пусть на плоскости задана стандартная ориентация, что дает возможность определить положительное вращение (в левую сторону) и отрицательное вращение (в правую сторону). Пусть ei и в2 — два ребра плоского
погруженного бинарного дерева С и 7 — единственный путь в дереве С', их соединяющий. Тогда числом вращения 1'№(в1,в2) от ребра в\ к 'ребру в2 называется разность количества левых (положительных) и правых (отрицательных) поворотов во внутренних вершинах пути 7 при движении от в! к в2. Отметим, что эта функция кососимметрическая и аддитивная вдоль путей (см. [2] или [5]).
Отождествим плоскость М2 с полем комплексных чисел С: точки хк будем рассматривать как комплексные числа, а направления V — как единичные комплексные числа вг^. Тогда конфигурационное пространство отождествляется с Сп. Вместо евклидова скалярного произведения мы будем здесь рассматривать эрмитово и обозначать его тем же образом.
Пусть ви — единственное ребро сети Г, входящее в точку хк, к ^ п, а в = (вг^1 ,...,вг^п) — вектор направлений ребер вк. Тогда число (г, в) вещественно и равно длине р(Г) сети Г. Действительно, достаточно проверить это равенство для однореберной сети с ребром [21,2:2], ¿1 = х2. Пусть вг^ — направление отрезка [¿1 ,¿2], ориентированного в сторону ¿2 (соответственно -вг^ — направление этого отрезка, ориентированного в сторону ¿1). Тогда в = (—вг^,вг^), поэтому
{г, в) = + = (г2 - ^е"^ = (г2 - ^(¿Г7^)/^ ~ = 1*2 - ¿1!-
Пусть Ьрд = 1ж(вр, вд) — число вращения от ребра вр к ребру вд. Тогда
ег-фд = _егфрещгря^
Положим ¿д, = Отметим, что к-я координата вектора ¿д, равна 1. Тогда в = —
Таким образом, зная направление только одного граничного ребра, можно найти направления всех остальных граничных ребер (и на самом деле всех ребер) дерева Г, пользуясь лишь числами вращения.
В качестве приложения приведенной выше формулы вычислим длину сети Г и направления всех его ребер дерева, не строя его явно, а используя лишь информацию о граничном отображении ф и плоской структуре сети Г (числах вращения для всех пар ребер соответствующего плоского погруженного дерева С'). Так как
р(Г) = (х,в) = (х,гк),
то р(Г) = \(х,1к)| и фк равно аргументу числа -(х,в) / (х,1к), а поскольку (х,в) — положительное вещественное число, то фк равно аргументу числа -(¿к, х). Зная фк, мы можем определить и все остальные фр по приведенным выше формулам.
Чтобы аналогично вычислить длину и направления ребер невырожденной, локально минимальной, плоской сети общего вида, нужно разбить приведенную сеть Г на бинарные компоненты, разрезав ее по вершинам степени 2 и граничным вершинам степени 3, и для каждой компоненты в отдельности произвести вычисления.
Вернемся теперь к сетям в Мт. Обозначим через [С, ф] множество всех сетей в Мт типа С с границей ф. Каждая сеть Г из [С, ф] однозначно задается образами Хк = Г(гк), к > п, всех внутренних вершин С. Записав последовательные векторы Хк, к > п, как компоненты вектора (хп+1,...,хп+3), мы отождествим множество [С, ф] с пространством Мтб\ Отметим, что длина сети представляет собой вещественную функцию рс ¡р на [С, ф]. Легко видеть, что эта функция выпукла и стремится к бесконечности при неограниченном возрастании аргумента. Поэтому множество минимумов этой функции непусто и выпукло. Каждую сеть, соответствующую минимуму этой функции, назовем экстремальной сетью типа С с границей ф.
Напомним, что если среди экстремальных сетей типа С с границей ф встречается локально минимальная, то экстремальная сеть в [С, ф] единственна [2]. Таким образом, в [С, ф] имеется не более одной локально минимальной сети. Отметим, что экстремальная сеть не всегда является локально минимальной, например она может иметь вершины степени более 3.
По определению длину экстремальной сети можно вычислить как наименьшее значение функции рс,р на Мтб\ Однако эта функция представляет собой сумму квадратных корней из многочленов второй степени от координат внутренних вершин, что осложняет исследование экстремальных сетей в терминах этой функции. В настоящей статье мы покажем, как можно вычислить длину экстремальной сети, максимизируя более простую, а именно линейную, функцию, но на более сложном конфигурационном пространстве — криволинейном выпуклом многограннике, являющемся пересечением цилиндров и линейного подпространства. Мы обобщим формулу Максвелла и сделаем ее единой для всех типов сетей, получающихся из данного типа С вырождением некоторых ребер графа С. Кроме того, в случае сетей на плоскости мы избавимся от необходимости перебирать всевозможные неэквивалентные погружения С' бинарного дерева С.
3. Обобщенная формула Максвелла. Пусть О = (V, Е) — произвольное дерево с границей В = {г>1,... ,гп} С V, состоящей из п элементов. Используя структуру дерева О, зададим на пространстве Мтп с координатами (в{,..., в™,..., вхп, ■■■, в™) систему Бс, состоящую из уравнений и неравенств относительно переменных вк. Положим в к = (в^,..., в^к) и в = (в 1,..., вп).
Пусть е — некоторое ребро дерева О. Обозначим через Ог = (Уг,ЕГ), г = 1, 2, связные компоненты графа О \ е. Таким образом, О \ е = О1 и О2, и пусть Вг = В П Уг. Полученное в результате разбиение {В1,В2> множества В обозначим через Рс(е). Выберем одно из Вг £ Рс(е), и пусть Вг = {г^,...,гк }.
2 Р вкч ^ 1, а через а — векторное уравнение ^П=1 вк = 0. Систему
Обозначим через ае неравенство
Б с составим из а и ае для всех ребер е дерева О.
Пусть |Бс | с ктп — множество всех решений системы Бс. Отметим, что |Бс | не зависит от выбора компонент В к в силу выполнения равенства а. Кроме того, каждое ае задает выпуклое подмножество в мтп, ограниченное эллиптическим цилиндром, т.е. произведение т-мерного эллипсоидального диска на мт(п_1), а 0 и близкие к 0 точки подпространства П, заданного уравнением а, являются решениями системы Бс. Поэтому |Бс| — выпуклое тело в подпространстве П.
Пусть ф В ^ мт — произвольное отображение, Хк = ф(гк) и г = (г1,..., гп). Положим р<(в) = (в, г). Теорема 1. Во введенных выше обозначениях длина каждой экстремальной сети из [О, ф] равна наибольшему значению линейной функции р< на выпуклом множестве |Бс|.
Доказательство. Пусть в £ |Бс| — произвольная точка множества |Бс|. Используя вектор в, припишем каждой паре (г,е), где е £ Е — ребро дерева О, инцидентное вершине г £ V, вектор в(г,е) £ мт по следующему правилу. Пусть Рс(е) = {В1,В2}, причем г £ В1 и В1 = {гк1,... ,гкр}. Тогда положим
Р
в(г,е) = ^ вкч.
4=1
Лемма 1. Для каждого ребра е = гш дерева О имеем в(г, е) = —в(ш, е). Доказательство. Утверждение леммы мгновенно вытекает из равенства а. Лемма 2. Для каждой граничной вершины гк, 1 ^ к ^ п, имеем вк = ^ в(гк,е).
Доказательство. Пусть е4 = гк, ц = 1,...,р, — все инцидентные гк ребра из О. Разрежем дерево О по вершине гк, и пусть О4 = (У4, Е4) — компонента, содержащая . Положим В4 = У4 п В, тогда
В = В1 и---и Вр и {гк},
откуда
р р 0 = £ вК, еч) + вк = — ^ в(гк, ед) + вк,
4=1 4=1
где последнее равенство вытекает из леммы 1, что и требовалось.
Лемма 3. Если е3, ] = 1, ..., г, — все ребра дерева О, инцидентные его внутренней вершине г, то
г
Т,в(г,е3 )=0.
3 = 1
Доказательство. Действительно, пусть е3 = г'з, тогда по лемме 1 имеем в(г, е3) = —в('з, е3). Пусть Рс(ез) = {В\,В32}, причем г £ В3 при каждом Тогда В = и3В2, поэтому
в(г, е3) = — ^ в', е3) = — вк = 0,
к=1
что и требовалось.
Лемма 4. Для каждой вершины г дерева О и каждого ребра е, инцидентного г, имеем \\в(г, е)|| ^ 1. Доказательство. Утверждение леммы равносильно выполнению неравенства ае(в) с учетом уравнения а(в).
Пусть Г £ [С, ф] — экстремальная сеть и {гп+1, ..., гп+3] — множество всех внутренних вершин дерева С. Для п + 1 ^ к ^ п + в также определим хк, положив хк = Г(гк). Лемма 5. В сделанных обозначениях имеем
(х,в) = Е (хк,в(гк,в))
(Vк,е)
Доказательство. Разобьем сумму в правой части равенства на две суммы: первая из них — по всем внутренним вершинам гк, а вторая — по всем граничным. Первая сумма равна нулю в силу леммы 3. Во второй сумме сгруппируем слагаемые, соответствующие одной и той же вершине, и воспользуемся леммой 2, что и завершит доказательство. Таким образом, по лемме 5
(х,в) = Е (хк,в(гк,в)>= Е (хк - х\,в(гк,в)),
(Vк ,е) е='"к VI
Vк ее
поэтому в силу леммы 4 имеем
(х,в) = Е (хк - хг,в(гк,в)) ^ Е \\хк - х%|| = р(Г).
Так как, напомним, в — произвольная точка из |Бс|, заключаем, что наибольшее значение функции Рр(в) на |Бс| не превосходит р(Г).
Покажем теперь, что это наибольшее значение достигается. Для каждого Г-невырожденного ребра в = гш обозначим через £(г,в) единичный вектор из Мт, который имеет то же направление, что и ребро в сети Г, приходящее в точку Г(г). Отметим, что £(г,в) = -£(ш,в). Далее, по теореме о локальной структуре экстремальных сетей (см. [2, теорема 4.1] или [5, теорема 4.1]) для каждого Г-вырожденного ребра в = гш паре (г, в) можно сопоставить вектор £(г,в) £ Мт, ||£(г,в)|| ^ 1, так, чтобы выполнялось £(г,в) = -£(ш,в), а также чтобы векторнозначная функция определенная теперь на всех парах (г, в), где вершина г инцидентна в, удовлетворяла в каждой внутренней вершине г дерева С соотношению
Е^(г,в) = 0. (1)
Положим £к = е-'ик ее £(гк, в), 1 ^ к ^ п, и покажем, что вектор £ = (£ь...,£п) £ Мтп удовлетворяет системе Бс и рр(£) = (х,£) = р(Г).
Действительно, рассмотрим произвольное ребро в = г'Ш дерева С, и пусть С \ в = С1 и С2, Сг = (Уг,Ег), причем г £ ¥1 и В1 = В п У1 = {гк1,.. .,гкр}.
Лемма 6. В сделанных выше обозначениях имеем £(г, в) = £кч ■
Доказательство. Пусть сначала г £ В и г = гк3. Так как для каждого ребра в' = г'ш' выполняется £(г',в') = -£(ш',в'), заключаем, что
0= Е (£(г',в')+£(ш',в')) = Е Е ¿К ,в')+ Е £(г,в') +
е'=у'т'еЕ1 де{1,..,р}\{в} е'еЕ^л^ ее' е'еЕ^лее'
+ Е Е £(г',в')= Е ^ + (к - £(г, в)) + Е Е £(г',в').
V' еУ1\Б1 е' еЕгл' ее' де{1,..,р}\{в} ь'еУ1 \В1 е'еЕул'ее'
Из того что, согласно равенству (1), последняя сумма равна нулю, получаем утверждение леммы для граничной вершины г.
Пусть теперь г — внутренняя вершина дерева С. Тогда
0= Е (£(г' ,в')+£(ш' ,в')) = Е Е £К ,в')+ Е £(г, в')+ Е Е £(г' ,в')-
е'='о'т'еЕ1 д=1 е'лкд ее' е'еЕу^ее' ^ еУ\(В1 е'еЕу^'ее'
Первая сумма в последней формуле совпадает по определению с ^pq=l Скч, вторая в силу равенства (1) равна —С(v, e), а третья по тому же равенству (1) зануляется, откуда и вытекает требуемое для внутренней вершины v. Лемма доказана.
Лемма 7. Имеем ^n=1 Ск = 0.
Доказательство. Снова учитывая тот факт, что для каждого ребра e = vw выполняется £(v,e) = —£(w,e), получаем
n
0= £ (£(v,e)+£(w,e))=£ £ С^к,e)+ £ £ C(v,e).
e=vweE k=1 e:vkee ve(y\B) eeE:vee
Первая сумма в последнем равенстве совпадает по определению с ^П=1 Ск, а вторая в силу равенства (1) зануляется, что и требовалось.
Из леммы 6 и условия ||£(v,e)|| ^ 1 вытекает, что С удовлетворяет каждому неравенству ae. Из леммы 7 заключаем, что С удовлетворяет также условию а. Таким образом, С S |Sg|. Далее
n n n+s
Pv(0 = (z,0 = Y1Z ,Ск ) = Y1 Y1 (zk ,С(хк,e)) = Y1 Y1 (zk ,С(хк,e)) =
к=1 к=1 e:vk ee k=1 e:vkee
= E {Zk — zi,СЫ, e)) = E e=:k%eE(zk — Z,С(vк, e)> =
e=vk vieE
= ^ = £ ii*-«ii = /<r).
e=vk vieE e=vkvieE
zk =zi zk=zi
Теорема доказана.
Замечание. Отметим, что по леммам 2 и 4 каждая координата вектора в S |Sg| ограничена, поэтому ISgI является компактным подмножеством Rmn. Таким образом, с учетом вышесказанного |Sg| — выпуклый компакт.
Пусть, как и выше, G = (V, E) — дерево с границей B = {v1,... ,vn} С V и Ed С E — некоторый набор ребер дерева G. Обозначим через а = {Gk} семейство непересекающихся поддеревьев в G, такое, что объединение всех их ребер совпадает с Ed. Предположим, что каждое из G к пересекает B не более чем по одной вершине. Такие семейства Ed будем называть допустимыми. Рассмотрим редуцированное дерево G/а и выберем в качестве его границы те вершины, которые пересекаются с B. В силу ограничений, накладываемых на деревья Gk из а, полученное граничное множество состоит из того же числа точек, что и B, что позволяет отождествить его с B. Таким образом, для произвольного отображения ф : B ^ Rm определены два пространства: [G, ф и [G/а, ф]. Если Г s [G, ф вырождает все ребра из Ed, то Г естественным образом порождает сеть из [G/а, ф], которую мы обозначим через Г/а.
Как и выше, определим систему Sg, состоящую из равенства а и неравенств ae, и выкинем из нее все неравенства, соответствующие ребрам e S Ed. Полученную систему обозначим через S g \ Ed.
Теорема 2. В сделанных выше обозначениях длина экстремальной сети Г/а S [G/а,ф равна наибольшему значению линейной функции pv на множестве |Sg \ EdI решений системы S g \ Ed.
Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что Sg\Ed = SG/a, так как для каждого ребра e из G/а имеем PG/a(e) = pG(e).
Таким образом, выбрасывание из системы S g неравенств вида ae равносильно факторизации дерева G по соответствующим ребрам e. Авторы надеются, что полученная формула для вычисления длин экстремальных деревьев может оказаться полезной при исследовании отношения Штейнера евклидовых пространств.
Замечание. Результаты данной работы могут быть обобщены по следующим направлениям. Во-первых, теорема о локальной структуре экстремальной сети из [2] и [5] доказана и для случая экстремальных сетей с весами. Классическая формула Максвелла также легко переносится на этот случай (а именно в качестве вектора направления взвешенного ребра следует брать вектор, длина которого равна весу этого ребра). Поэтому приведенные выше результаты легко обобщаются на случай деревьев с весами.
Во-вторых, классическая формула Максвелла остается справедливой и для экстремальных сетей с циклами. Поэтому, по-видимому, несложно обобщить теоремы 1 и 2 на случай произвольных экстремальных сетей в Rm, а также произвольных взвешенных экстремальных сетей в Rm (а не только деревьев, как это сделано в настоящей статье).
Наконец, в [2] получены теоремы о локальной структуре для экстремальных сетей в нормированных пространствах. Было бы интересно установить аналог формулы Максвелла для этого случая в терминах так называемого р-импульса и затем обобщить на этот случай и результаты настоящей работы.
Авторы пользуются случаем выразить свою признательность академику А. Т. Фоменко за постоянное внимание к работе.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 07-01-00648, 05-01-22002 НЦНИ), программы "Ведущие научные школы РФ" (проект НШ-660.2008.1), программы Эйлера ДААД, а также проекта РНП 2.1.1.3704.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Gilbert E.N., Pollak H.O. Steiner minimal trees // SIAM J. Appl. Math. 1968. 16, N 1. 1-29.
2. Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей. М.; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2003.
3. Du D.Z., Hwang F.K. A proof of Gilbert-Pollak conjecture on the Steiner ratio // Algorithmica. 1992. 7. 121-135.
4. Du D.Z., Smith W.D. Disproofs of generalized Gilbert-Pollak conjecture on the Steiner ratio in three or more dimensions //J. Combin. Theory. 1996. 74. 115-130.
5. Ivanov A.O, Tuzhilin A.A. Branching solutions to one-dimensional variational problems. Singapore; New Jersey; London; Hong Kong: World Publisher Press, 2001.
6. Handbook of Combinatorial Optimization / Ed. by D.Z. Du, P.M. Pardalos. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1998.
Поступила в редакцию 02.02.2009
УДК 519.95
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НИЖНИХ ОЦЕНОК СЛОЖНОСТИ САМОКОРРЕКТИРУЮЩИХСЯ СХЕМ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ БАЗИСА
Н. П. Редькин1
В статье представлен метод получения новых нижних оценок сложности реализации индивидуальных булевых функций, основанный на переходе от рассматриваемого базиса к другому базису, для которого уже известны хорошие нижние оценки сложности данных функций. Эффективное использование этого метода демонстрируется на примере получения асимптотики для сложности реализации пороговых функций самокорректирующимися схемами из многовходовых элементов.
Ключевые слова: булевы функции, самокорректирующиеся схемы, сложность реализации функций.
A method for obtaining new lower estimates for the implementation complexity of individual Boolean functions is presented in the paper. The method is based on the transition from some considered basis to another one possessing already known good lower estimates for the complexity of those functions. The effective use of this method is illustrated on the example of obtaining the asymptotic value for the implementation complexity of threshold functions by self-correcting circuits composed of multiple-input elements.
Key words: Boolean functions, self-correcting circuits, implementation complexity of functions.
1. Введение. При нахождении минимальных схем из функциональных элементов [1] для конкретных булевых функций наибольшие затруднения чаще всего приходится преодолевать на этапе доказательства минимальности схем, т.е. при доказательстве нижних оценок сложности схем. Эти затруднения только возрастают при переходе к самокорректирующимся схемам [2, 3]. Кроме того, некоторые важные свойства
1 Редькин Николай Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: npredkin@yandex. ru.
