О рождении предельных циклов полиномиальной системы из «Бесконечности» Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.9:517.742.4

ББК 22.161.6

Р 65

Ройтенберг В.Ш.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: [email protected]

О рождении предельных циклов полиномиальной системы

из «бесконечности»

(Рецензирована)

Аннотация. Рассматривается полиномиальная система дифференциальных уравнений на плоскости, зависящая от параметра и имеющая при нулевом значении параметра бесконечно удаленный устойчивый односторонний двойной предельный цикл. При изменении параметра на плоскости появляется устойчивый предельный цикл. Найдена асимптотика этого цикла.

Ключевые слова: полиномиальная система дифференциальных уравнений, проективная плоскость, бифуркации, предельный цикл.

Roytenberg V.Sh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State

Technical University, Yaroslavl, e-mail: [email protected]

On the generation of limit cycles of a polynomial system

from the infinity

Abstract. The paper examines the polynomial system of differential equations on the plane, depending on a parameter and having the infinitely far stable one-sided double limit cycle for zero value of the parameter. The stable limit cycle appears on the plane under variations of the parameter. We have found the asymptotics of this cycle.

Keywords: polynomial system of differential equations, projective plane, bifurcations, limit cycle.

Фазовые портреты полиномиальных векторных полей (полиномиальных систем дифференциальных уравнений), заданных на плоскости R2, естественно рассматривать на ком-пактификации R2 в виде проективной плоскости RP2. Грубость и бифуркации полиномиальных векторных полей на проективной плоскости изучались в работах автора [1-7].

В настоящей работе мы рассматриваем полиномиальные векторные поля нечетной степени n > 3 , для которых экватор Е = RP2 \ R2 является односторонним двойным циклом, и их бифуркации в окрестности экватора.

На плоскости R2 рассмотрим семейство векторных полей, зависящих от параметра / :

ХМ (x, y) = P(x, y, /)д / dx + Q(x, y, /и)д / dx ,

P(x, y, /)=z m=o z m=o /xkym-k, Q(x, y, /)=z m=o z m=o ь^ /¿г*

где п > 3 - нечетное число, акт-к (•) и Ъкт-к (•) - Сш -функции, определенные в некоторой

окрестности точки 0 е Я.

Пусть для векторного поля Х0 экватор Е является замкнутой траекторией [1, 2, 4] и

/(5) ^ /(/(5)), /(0) = 0 - отображение последования по траекториям векторного поля Х0 на трансверсали /7:(-1,1) ^ КР2, г](0) еЕ, к экватору. Пусть /'(0) = -1, тогда /(/(5)) = 5 + &3 + о(53). Величина I не зависит от произвола в выборе трансверсали 77. Если I ^ 0, то будем называть экватор (односторонним) двойным циклом. При I < 0 экватор устойчив, а при I > 0 неустойчив.

Множество Z!,Pn полиномиальных векторных полей степени < n, для которых экватор является двойным циклом, является, согласно [4], вложенным аналитическим подмногообразием коразмерности один в пространстве Pn всех таких векторных полей.

Перейдем к координатам r,p: x - cosp/ r, y - sinp/ r . Точки с координатами (r,p) и (-r, p + ж) отождествляются. В этих координатах

XM - R(r, р, /)б / dr + Ф(r, р, /)б / бр,

где

R(r, р, /) - -r 2(P(cos р / r,sin р / r, /) cos р + Q(cos р / r,sin р / r, /sinp), Ф(г, р, /) - r(-P(cos р / r,sin р / r, /sin р + Q(cos р / r,sin р / r, /) cos р). Обозначим

Am - Am (P, U) = «m,0 ^+' р + («m-l,l + ^m,0) ^ P sin P + ... (1)

+ Km + b1,m-1 ) cos р sin " р + b0,m sin"+1 р

Bm - Bm (P, U) - bm,0 cosm+1 P + (bm-1,1 - am,0 )cosm P sin P + ... (2)

/7 \ ' m • m+1

+ (b0,m - a1,m-1)cosPsin P- a0,m sin P. В окрестности экватора E ( r - 0 ) траектории задаются векторным полем

X/ - R* (r, р, /и)б / 6r + Ф* (r, р, /)б / бр,

где

R* (r, P, /) - rn-1R(r, р, /) - -Anr - An-1r2 - An-2r3 -... - Arn+1,

Ф* (r, р, /) - rn-1Ф(г, р, /) - Bn + Bn_r + Bn-2r2 +... + B0rn.

Будем предполагать, что экватор является замкнутой траекторией поля X0. Тогда Vp Bn(р,0) Ф 0 . Следовательно, и Ф*(r, р, /) Ф 0 при достаточно малых |r|, / и всех р, то есть экватор - замкнутая траектория при любом таком / . Перейдем к уравнению dr / dp- R* (r ,p, /и)/ Ф* (r,p, /и). Разложим его правую часть в ряд:

R* (r, р, /и) / Ф* (r, р, /и) - c (р, /)r + С2 (р, /)r2 + С3 (р, /)r3 + С4Р, /)r4 +...,

где

A ABA AAR + A B A B2

С1(р, /) --A, c2(p, /) - ^B-L - An-L, c3(p, /) ---^ + .AnBn-2 + An-1Bn-1 AnBn-1

В ' В2 В ' в В2 В3

п п п п п п

г (р и) -- Ап-3 + АпВп-3 + Ап-1Вп-2 + Ап-2Вп-1 2АпВп-1 Вп-2 + Ап-1 Вп 1 + АпВп-1

с4(р, и)- В + В2 В3 В4 •

п п п п

Пусть

Г - Г (р, /) - /1 (р, /)5 + г2 (р, /2 + гз (р, /)53 + / (р, /4 + ... (3 )

- решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию г (0,5, /) — 5 . Тогда

р р

Г1 (р /) - ехр | г1 (в, ив, Г2 (р, /) - Г1 (р, /)| г2 (в /) Г1 (в /^в,

0 0 р

г3 (р, /) - /1 (р, /) | [2Г2 (в, /) /2 (в, /) + Г3 (в, /) Г12 (в, /)] dв,

У

/■>, /) = г(ф, /)J[c2(0, /)( ^(9, /и)г;\в, /) + 2 тъ(в, /)) +

0

+ 3Сз (9, / (9, (9, и)+c4 (9, и) т13 (9, /)] d9.

Обозначим

2ж

h(/u) = J сх(фр, ju)dp, K = h'(0) , L = —т3(2ж,0), M = т2/(2ж,0), tf = т4(2ж,0).

0

Заметим, что числа K, L, M и # теоретически можно вычислить по заданным коэффициентам ai j (/), bi j (/), n - 4 < i + j < n, с любой точностью.

Функция f (•, /) = —r (ж,-,/) является функцией последования по траекториям поля X а f (f (s, /и), /) = r(2ж, s, /и) . Если при / = 0 экватор является устойчивым односторонним двойным циклом, то r (2ж, 0) = 1 и h(0) = 0, r2 (2ж, 0) = 0, L = —r2 (2ж, 0) > 0 .

Равенство r2 (2ж, 0) = 0 нетрудно получить и из приведенного выше выражения для r2 (ф, /и), используя то, что c2 (ф + ж,0) = —c2 (ф, 0), а также c1 (ф + ж,0) = c1 (ф, 0),

ж 2ж ф

J c1(9,0)d9 = (1/2) J c1(9,0)d9= 0, а потому J c1(9,0)d9 - функция с периодом ж.

0 0 0

Теорема. Пусть экватор является устойчивым двойным циклом векторного поля X0 и пусть K = h'(0) > 0.

Тогда найдется такая окрестность V : |r| < y экватора и такое число 5 > 0, что при 0 < / <5 векторное поле Xи имеет в V две замкнутые траектории: грубый неустойчивый предельный цикл Е и грубый устойчивый предельный цикл Ги, задаваемый в полярных координатах р,ф (x = р cos ф, y = р sin ф) уравнением

p = Uina (ф) + Ь(ф) + /1/2а(ф, /), (4)

где

и

а(ф) = (L /K)1/2 exp Jcx{0,O)d0

Ъ(ф) = - ехр | с (в, 0)ёв -2 (К-1М + V-1N) +1 с2 (в, 0) ехр | с1 (р, 0)ёр ёв

ф _ 0 0

2ж -периодические функции, а сг(ф, у) - непрерывная функция на Я х [0,5), 2ж -периодическая по ф. Период цикла Г равен

Т(у) = Ту(п-1)/2 + о(л( п-1)/2), (5)

где

( р \

To = (K/L)(n-1)/2 J B>,0)exp (1-n)JAn(0,O)B-\0,O)d0

0

V o

йф.

Доказательство. Траектория г = г(ф, 8, ¡¡) будет замкнутой, если 8 - решение уравнения г (2ж, 8, ¡л) - 8 = 0. Это уравнение равносильно уравнению ё (8, ¡л) = 0, где

ё (8, у) = (г (2ж, у) -1) + т2 (2ж, у + г, (2ж, у2 + гЛ (2ж, у)83 +..., (6)

а

Гх (2ж, у) -1 = К у+ О(у2), г2 (2ж, у) = М у + О (у2), (7)

ф

и

Г (2ж, /) = -L + O/), г4 (2ж, /) = N + O/) . (8)

Так как d"ss (0,0) = -2L < 0, то числа Г > 0 и 5Х > 0 можно выбрать так, что d"s (s, /) < 0, если |r| < Г, | /и\<51. Поэтому d (,/), | /и\<51, имеет на интервале (-Г, Г) не более двух нулей, а векторное поле Хи в окрестности V: |r| < Г - не более одной замкнутой траектории, отличной от экватора.

Так как d's (0,0) = r2 (2ж, 0) = 0, d's (0,0) = -2L Ф 0, то по теореме о неявной функции

мы можем выбрать так, что уравнение d's (s, /и) = 0 имеет решение s = S (/), |U<5,, где S е Cш, S(0) = 0 . Функцию d„ (s, /и) = d(s + S(/), /) можно записать в виде

d„ (s, /) = (K + v(/))/ - (L + w(s, /)) s2,

где v е Cш, w е Cш, v(0) = w(0,0) = 0. Отображение s ^ s = JyjL + w(s, /) - локальный диффеоморфизм в нуле. Обратный диффеоморфизм имеет вид s ^ 's = s(L-1/2 + w(s, /)), где w е Cш, w(0,0) = 0. Теперь d„ (s, /) = (K + v(/))/- s2.

При достаточно малом 5е (0,5,) уравнение d„ (s, /) = 0, 0 </<5, имеет два решения

s =±( K + v(/))1/2( L-1/2 + w ((K + v(/))1/2 /1/2, /))/1/2 = ±(( K / L)1/2 +«(u1/2)u1/2)u1/2,

где a() - Cш -функция на [0,52). Соответственно, уравнение d(s, /) = 0 имеет два решения

s = s± (/) = ±( K / L)1/2 //2 + s1/ +l± (v)/2, (9)

где s± = S '(0) ± a(0), а l± () - непрерывные функции на [0,5). Через точки с координатами r = s± (/), p = 0 проходит одна и та же замкнутая траектория Г/. Подставляя (9) в (6) и учитывая (7)-(8), получаем, что

(MK1/2L-1/2 + NK3/2L-3/2 - 2K 1/2L1/2s1)/3/2 + O(/2) = 0.

Поэтому MK1/2L-1/2 + NK3/2L-3/2 - 2K1/2L1/2s+= 0. Выразив отсюда s+ и подставив в (9), получим:

s+ (/) = K1/2L-1/2//2 + у (ML-1 + KL-2N)/ +1+ W'2. Выбрав 5 достаточно малым, будем иметь 0 < s+ (/) < Г. Подставляя s = s+ (/) в (3), получим уравнение Г в координатах r , p:

г = K1/2 L-1/V1(p,0) V2 + [ KL-1r2(p, 0) + -1 (ML-1 + KL-2 N) r1(p,0)]/ + q^p, /)/3/2 = = K1/2 L-1/2r1 (p, 0) //2 [1 + (K1/2 L-1\(p, 0)r1-1 (p, 0) +

+ -2( K-1/2ML-1/2 + K1/2 L-3/2 N))//2 + q2(p, /)/]

где ^ (р, /) и q2 (р, /) - непрерывные функции на Я х [0,5) . Переходя к полярным координатам, будем иметь уравнение

р - к-1/2^ V (р, 0) /1/2[1+(К(р, 0)/1-1 (р, 0)+

+ К-1/2МГ1/2 + К1/2 Г3/2 # ))/ + q2(р, и)/]1,

которое можно переписать в виде

р-К-1/2Г1/2/1-1(р,0)/1/2 -Г1-1 (р,0)[-2(К-1М + Г-) + Г1-1(р,0)/2(р,0)] + о(р,/)/1/2, где сг(р, /) - непрерывная функция на Я х [0,5) . Подставляя сюда выражения для г1 (р, 0) и г2 (р, 0), получим уравнение (4).

Функция а в формуле (4), очевидно, 2ж -периодическая. Покажем, что функции Ь и

о также 2ж -периодические по р. Поскольку функция (4) 2ж -периодическая, то при всех р е [0,2ж] и / е (0,8)

Ъ(р + 2ж) + /112о(р + 2ж, /) = Ъ(р) + /112о(р, и). (11)

Переходя к пределу при / — 0, получаем Ъ(р + 2ж) = Ъ(р), то есть 2ж -периодичность Ъ . Теперь из (11) следует и 2ж-периодичность о(-,/). Для периода T (/) цикла Ги имеем формулу

¿.л

t (м) =/■

dp _2f ^(ф, (м), М) dy

0 Ф(г(ф, s+ (л), л), л) 0 Ф (r(ф, s+ (л), л),ф, л)

Отсюда из выражения для Ф* и из уравнения (10) для цикла следует, что

2л

T(л) = л ("-1)/2(K / L)("-1)/2 • j r"1 (Ф, 0)B- (Ф, 0)dp + о(л("-1)/2).

0

Подставляя сюда выражение для г1(ф, 0), получим (5).

Так как h(0) = 0, h'(0) > 0, то можно считать, что при 0 < л < 5 h(¡) > 0 и гД2л, 0, л) = exp h(¡) > 1, то есть экватор - неустойчивый грубый цикл поля X¡.

Поскольку r'(2л, s, л) = Г (2л, л) + 2r2 (2л, ¡)s + 3r3 (2л, ¡)s2 +..., то, используя (7)-(9), при достаточно малом 5 получаем гД2л, s+ (л), л) = 1- 2Kл + о(л) < 1, то есть Гл - устойчивый грубый предельный цикл.

Теорема доказана.

Замечание. Из [4] следует, что условие h'(0) ^ 0 означает трансверсальность отображения л Хл к бифуркационному многообразию Z!,Pn в точке л = 0 . Тем самым мы рассматривали типичную бифуркацию.

Пример. Рассмотрим семейство полиномиальных векторных полей третьей степени

Хл = (х-л*3 - x 2y - лху2 - y 3)д / dx + (y + x3 - лх2 y + xy2 - лу3)3 / dy.

Для него

a30 =-л, a21 =-1, a12 =-л, a03 =-1, b30 = 1, b21 =-л, b12 = 1, b03 =-л,

ar,} = Kj = 0 пРи 1 + j = ^ a1,0 = b0,1 = 1, a0,1 = b1,0 = 0, a0,0 = b0,0 = 0.

Поэтому

A3 = -л cos4 ф-2л cos2 ф sin2 ф- л sin4 ф = -л, B3 = cos4 ф + 2 cos2 ф sin2 ф + sin4 ф = 1,

A2 = B2 = 0, A = 1, B1 = 0, A = B0 = 0, c1 =л, c2 = 0, c3 =-1, c4 = 0,

h(л) = 2лл, h(0) = 0, K = 2л, L = 2л, M = N = 0.

Условия теоремы, очевидно, выполняются; в уравнении цикла (4) a^) = 1, Ь(ф) = 0, в формуле (5) для периода T0 = 2л . Таким образом, для рассматриваемого примера теорема дает при л > 0 существование устойчивого цикла с уравнением р = л 12 +ст(ф, л)л12 и периодом T(л) = 2лл + о(л) . В полярных координатах векторное поле Хл принимает вид

р(1 - лр2)д / др + р2д / дф, и потому, на самом деле, при л> 0 оно имеет единственный цикл р = л 12, а его период T(л) = 2л/(л 12 )2 = 2лл .

Примечания: References:

1. Ройтенберг В.Ш. О типичных полиномиальных век- 1. Roytenberg V.Sh. On generic polynomial vector fields торных полях на плоскости // Вестник Адыгейского on a plane // Bulletin of Adyghe State University. Ser. государственного университета. Сер. Естественно- Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014.

математические и технические науки. 2014. Вып. 4 (147). С. 13-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Ройтенберг В.Ш. Грубость полиномиальных векторных полей в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Костромского государственного университета. 2014. Т. 20, № 7. С. 26-30.

3. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях сепаратрисных контуров полиномиальных векторных полей на плоскости // Труды XIII Международных Колмо-горовских чтений: сб. ст. Ярославль: Изд-во ЯГ-ПУ, 2015. С. 106-111.

4. Ройтенберг В.Ш. Полиномиальные векторные поля первой степени негрубости в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Математика и естественные науки. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Ярославль: Изд. дом ЯГТУ, 2015. Вып. 10. С. 78-91.

5. Ройтенберг В.Ш. О связных компонентах полиномиальных векторных полей, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2015. Вып. 4 (171). С. 22-29. URL: http://vestnik.adygnet.ru

6. Ройтенберг В.Ш. Грубость и бифуркации векторных полей на проективной плоскости, полученных продолжением линейных векторных полей // Математика и информатика, астрономия и физика, экономика и технология и совершенствование их преподавания: материалы Междунар. конф. «Чтения Ушинского». Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2015. С. 20-26.

7. Ройтенберг В. Ш. О бифуркациях периодических траекторий линейных неоднородных дифференциальных систем с периодическими коэффициентами // Математика и естественные науки. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Ярославль: Изд. дом ЯГТУ, 2016. Вып. 11. С. 66-71.

Iss. 4 (147). P. 13-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru

2. Roytenberg V.Sh. Structural stability of polynomial vector fields in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere // The Bulletin of Nekrasov Kostroma State University. 2014. Vol. 20, No. 7. P. 26-30.

3. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of separatrix contours of polynomial vector fields on the plane // Proceedings of XIII International Kolmogorov Readings: coll. of paper. Yaroslavl. YaSPU Publishing House,

2015. P. 106-111.

4. Roytenberg V.Sh. Polynomial vector fields of first order instability in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere // Mathematics and Natural Sciences. Theory and practice: coll. of scientific works. Iss. 10. Yaroslavl. YaSTU Publishing House, 2015. P. 78-91.

5. Roytenberg V.Sh. On connected components of the set of polynomial vector fields, structurally stable in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere // Bulletin of Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2015. Iss. 4 (171). P. 22-29. URL: http://vestnik.adygnet.ru

6. Roytenberg V.Sh. Structural stability and bifurcations of vector fields on the projective plane, obtained by extension of linear vector fields // Mathematics and information science, physics and astronomy, economics and technology and perfecting their teaching: materials of Intern. conf. ''Ushinsky Readings" Yaroslavl. YaSPU Publishing House, 2015. P. 20-26.

7. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of periodic trajectories of linear non-homogeneous differential systems with periodic coefficients // Mathematics and natural sciences. Theory and practice: coll. of scientific works. Iss. 11. Yaroslavl. YaSTU Publishing House,

2016. P. 66-71.