CC BY
30
МАТЕМАТИКА MATHEMATICS
УДК 517.925
ББК 22.161.6
Р 65
Ройтенберг В.Ш.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: vroitenberg@mail.ru
О типичных полиномиальных векторных полях на плоскости
(Рецензирована)
Аннотация. Множество полиномиальных векторных полей, грубых в круге Пуанкаре или на проективной плоскости, открыто и всюду плотно в пространстве плоских полиномиальных векторных полей степени < п.
Ключевые слова: полиномиальные векторные поля, круг Пуанкаре, проективная плоскость, грубость.
Roytenberg V.Sh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: vroitenberg@mail.ru
On generic polynomial vector fields on a plane
Abstract. The set of polynomial vector fields, which are structurally stable on the Poincare cycle or on the projective plane, is open and everywhere is dense in the space ofplanar polynomial vector fields of degree < n.
Keywords: polynomial vector fields, Poincare cycle, projective plane, structural stability.
Как хорошо известно [1], С -гладкие (г > 1) векторные поля на плоскости, грубые в компактной области на плоскости, типичны - они образуют открытое и всюду плотное множество в пространстве всех векторных полей с С -нормой. Мы докажем аналогичное утверждение для пространства полиномиальных векторных полей степени < п, рассматриваемых на всей плоскости.
На плоскости R2 рассмотрим полиномиальное векторное поле
Х{х,у) = Р{х,у)д!дх + Q{x,y)d/dy,
где
п т
Р(х, у) = X (х, у), Рт (х, у) = X ak,m_kxkу"
rn—k .
лк,тп-кл J
m=0 *=0
п гп
в(х,У) = £0,(*,>0, вт(х,у) =
тп-к
\т-кЛ У
т=0 к=0
Векторное поле X естественно отождествляется с арифметическим вектором (а00,600,а10,а01,...,6п0,...,60п)е К(п+1)(п+2), а множество Ри всех полиномиальных векторных полей степени <п с пространством К("+1)("+2) - с евклидовой нормой || • ||.
Компактифицируем К2 двумя способами - вложив в круг К и в проективную плоскость КР2. Рассмотрим в К3 гладкое подмногообразие - полусферу К := {{X, У, Z) е К31X2 + У2 + Z2 =1, Z > 0}. Она естественно отождествляется с кругом Пуанкаре К = {(Х,У)е К2 \Х2 +У2 <1}. Окружность ЭК = {(Х,7,2)е К| г = 0} =
{{Х,7)& К| X2 +У2 =1} называется экватором. Покроем К локальными картами (С/0,4), (£/*,£):
ио={(Х,7,г)еК\г*0}, &(Х,7,г) = (х,у) = (Х/г,7/г), и? ={(Х,7,г)еК\Х>0], и~ = {(Х,7,г)е К|Х<0}, £(х,¥,г) = (и,2) = (¥/х,г/х), и+2={(х,г,г)ек|у>о}, и~={(Х,¥,г)е К|У<0}, £(Х,7,г) = (у,2) = (Х/7,г/7). Будем считать, что К2 отождествлено с С/0 посредством отображения . Так как отображение ^^ задается формулами и = у/х, г = 1/ х, то векторное поле X в координатах (и, г) имеет вид Р* (и, г)д 1ди + 0* (и, г)д / дг, где
Р* (и, г) = -игР(1 / г,и/ г) + г()(1/г,и/ г), 0* (и, г) = -г2 Р{ 1 / г, и! г). Рассмотрим теперь в £/* полиномиальное векторное поле
X ± = Р" (и, г)д / ди + («, г)Э / Эг,
где при гФО Р**(и,г) = <тхгп~хР* (и,г), О" (и,г) = (м, г), а О", =1 в С/^ и
<Т[ = (-1)"-1 в Щ. В точках экватора (г = 0) оно касается экватора. Аналогично определим в и2 полиномиальное векторное поле Хи±. Траектории векторных полей X \и и Хи± \и ^ (к = 1,2) совпадают. Нетрудно убедиться, что особые точки векторных полей X+, X , Xгт+ и X , лежащие на экваторе и принадлежащие пересечениям их
и^ и^ и 2 и 2
областей определения, совпадают. Следовательно, совпадают траектории векторных полей ХиГ и Хи+г Хи±г \и±^ и Хщ На траекториях, отличных от
особых точек, совпадают и ориентации, заданные векторными полями. Поэтому можно корректно определить траекторию векторного поля X в К. как связное подмножество К, пересечения которого с С/0, 17* и 17\ являются, соответственно, траекториями векторных полей X в К2, X ± и X ±, с ориентацией на ней, индуцированной ориентаци-
ц иг
ей на траекториях указанных выше векторных полей. Более того, используя разбиение единицы, подчиненное покрытию К множествами 170, 17* и 17^ [2, с. 59-61], можно
построить гладкое векторное поле X: К —»ТК, такое, что векторные поля X \щ и
Л
X ± получаются из векторных полей X и X ± умножением на гладкие положитель-
Щ "к
ные функции. Тем самым, ориентированные траектории векторного поля X в К совпадают с ориентированными траекториями векторного поля X, заданного на всем круге Пуанкаре К.
Экватор является инвариантным множеством - он состоит из траекторий. Траектории, принадлежащие экватору, будем называть бесконечно удаленными. Весь экватор может быть целой траекторией при нечетном п.
Отождествив диаметрально противоположные точки экватора, получим из К проективную плоскость ИР2. Траектории векторного поля X в К при этом перейдут в траектории векторного поля X в ИР2.
Векторное поле Хе Рп назовем грубым в К (,грубым в М*2), если существует та-
кая его окрестность и(X) в Рп, что для любого векторного поля X е и(X) существует гомеоморфизм к: К —» К (/г: М*2 —» ИР2), /г(И2) = И2, переводящий траектории поля X в К (в КР2) в траектории поля X в К (в КР2) с сохранением ориентации на них (на траекториях, принадлежащих К2).
Пусть .у0 - особая точка векторного поля Хтт± (Хтт±), лежащая на экваторе. Координата и = и0 (у = у0 ) точки л"0 является нулем многочлена
ЗД^-иВДиНаДи) (^(у):=-уеи(у,1) + Ри(уД)).
В точке ,у0 матрицы линейной части поля X ± в координатах и, г и поля X ± в
их иг
координатах у, г имеют треугольный вид, соответственно,
4 =
\
О -0-^(1, и0\
и 4 =
ч
0 -öifi.O'o.l),
Хотя точка ,у0 находится на крае К, мы будем для нее пользоваться той же терминологией, что и для внутренних особых точек. Точка Л"0 - гиперболическая особая
точка поля X ± (X ±), если диагональные элементы (собственные значения) матрицы
иг
Л* (Л^) ненулевые. Если они одного знака, то Л"0 - узел, если противоположных знаков, то .у0 - седло.
В точках £/* п и2 векторное поле Хи± получается из векторного поля Х^ умножением на положительную функцию. Поэтому корректно следующее определение. Точка л"0 е ЭК п£/* (к = 1,2) - гиперболическая особая точка (седло или узел) для векторного поля X, если она гиперболическая особая точка (седло или узел) для векторного поля ХТГ±.
Пусть экватор является замкнутой траекторией. Рассмотрим вложение г]: [0,1) —» К, 77(0) е ЭК, трансверсальное ЭК, и функцию последования по траекториям векторного поля X в К : г](т) —» г]{/(г)), /(0) = 0. Производная /'(0) не зависит от выбора трансверсали. Экватор - гиперболическая замкнутая траектория, если
Обозначим £Ри множество векторных полей из Ри со следующими свойствами:
1). Все особые точки и замкнутые траектории, включая и бесконечно удаленные, являются гиперболическими;
2). Не существует сепаратрис, идущих из седла в седло, и не принадлежащих экватору.
Теорема. Множество £Ри состоит из векторных полей, грубых ив К, и в КР2. Оно открыто и всюду плотно в Ри.
Доказательство. Доказательства грубости векторных полей из £РИ и открытости £РИ аналогичны соответствующим доказательствам в [1].
Докажем плотность £Ри в Ри. Везде далее мы будем рассматривать ориентированные траектории векторных полей из Ри в К .
Пусть Х°еРи\ЕРи. Зададим число £ > 0. Выберем векторное поле X = (а0
о^Ь0о,а10,а01,...,Ьп0,...,Ь0п)ЕРп так, чтобы а0п Ф 0 и ||х X II < £ / 8. Тогда точка
(0,0) не является особой для векторных полей X ±.
иг
Пусть сначала X имеет на экваторе особые точки. Рассмотрим векторное поле X = X + ¿их"д /дх + ух"Э / ду е Рп. При достаточно малых |/г| и |у| все его особые точки,
лежащие на экваторе, принадлежат 171. Ограничение поля Хи± на дугу г = 0 имеет вид
сг1^1(ы))Э/Эы, где Д(м)) = V- 1Ш + Ях{и). Мы можем выбрать сколь угодно близкие к нулю, но не равные ему, числа ^ и у так, чтобы многочлен Ях{и) имел нули и они были простыми. Пусть 5° = (м0,0) - особая точка поля Хи^, т.е. и0 - нуль Д (м). При достаточно малом матрица линейной части поля Хи^ в точке 5° имеет ненулевые собственные значения <тхЁ.[{м0) и сгД-Р (1,м0)-//), следовательно, гиперболическая особая точка. Таким образом, у и ^ можно выбрать так, чтобы все особые точки поля X, лежащие на экваторе, являлись гиперболическими, т.е. X е Е°Ри. При этом можно
считать
Х-Х
<Е/А.
Так как полиномиальное векторное поле X имеет в К2 только конечное число особых точек, то они все находятся внутри некоторого открытого круга
/) := {(х, у) е К2 | х2 + у2 < Я2}. Так как особые точки X, принадлежащие экватору,
являются гиперболическими, то найдется такое число Ех е (0, £/4), что для любого век-
торного поля Je Ри,
Х-Х
< ех, все особые точки в К \D принадлежат пересечению
экватора с 17^ и 17х и являются гиперболическими. Согласно [1, с. 179] векторное поле
X при этом можно выбрать так, что все его особые точки, принадлежащие И, также являются гиперболическими.
Чтобы не усложнять обозначений, мы далее будем считать, что уже векторное поле X = (а00,600,а10,а01,...,6и0,...,60и) имеет только гиперболические особые точки,
а0пФ 0, |Х-Х°| <е 12. Рассмотрим векторное поле Х^еРи, полученное поворотом
векторного поля X на угол агс^[1: XЦ=(Р-//0Э/Эх + + ЦР)Э/Э_у. Его особые
точки, принадлежащие К2, совпадают с особыми точками векторного поля X. Бесконечно удаленные особые точки зависят от ц. Мы можем выбрать столь малое 8 > 0,
что при < 8 \хц < £ и Xц имеет в К только гиперболические особые точки, причем бесконечно удаленные особые точки принадлежат 17^ и 17[.
Лемма. Пусть 5,0 = (м0,0) - седло векторного поля Х^ . Тогда при достаточно малом 8 векторное поле X ± , \ц\<8, имеет седло §(и) = (и(и),0), й(-)& Са,
I I
м(0) = и0, м(-) е С®, причем и{ц) < 0.
Доказательство. Так как л0 - седло, то Л'(и0)Р (1,и0) > 0. Особые точки (м,0) поля ' лежащие на экваторе, находим из уравнения
^ (и) + цШп (1,«) + Р„ 0,«)) = 0.
По теореме о неявной функции получаем, что при достаточно малом £ > 0 это уравнение имеет решение и = й(р), < 8, где м(-) е С®, м(0) = и0,
гГ(О) = -U°Qn(1'+ Р"(1'U°). Используя равенство Я,(и0) = -и0Рп(1,м0) + ß„ (1, м0) = 0, R(u0)
получаем и'(0) = -(ц^+1)/^(1,и0)/7?'(и0)<0. Если 8 достаточно мало, то при \ß\ < 8 s(ß) = (ü(ju), 0) - седло, a ü'(ß) < 0. Лемма доказана.
Далее будем считать 8 выбранным так, что утверждение леммы выполняется для любого седла на экваторе. Мы можем пронумеровать все седла s¡(j¿), z е {1,.., N}, векторного поля Xß, \ß\ <8, так, чтобы si (ß) не зависело от ß, если si (ß) е R2, и непрерывно зависело от ß, если si {ß) лежит на экваторе. Мы можем также считать, что для любой сепаратрисы L0 седла í.(0) поля X, не лежащей на экваторе, существует такая дуга Г] с R2, что для любого ß, \ß\ < 8, существует сепаратриса L(jí) седла st (ß) поля Xß, совпадающая при ß = 0 с L0 и трансверсально пересекающая дугу г] в единственной точке c(ß), непрерывно зависящей от ß. Ясно, что L(ß) не зависит от выбора трансверсали г]. Будем называть L(ß) - продолжением по параметру ß сепаратрисы L0 и любой сепаратрисы L(ß0), \ßü\<8.
Покажем, что если векторное поле X имеет экватор замкнутой траекторией, то при достаточно малом 8 экватор является гиперболической замкнутой траекторией вектор-
„ /Г» TT " COS^ SÍn^ Т
ного поля X , ß Е (ü,o). Переидем к координатам г, ср: х =-, у =-. Тогда:
г г
д д X = R(r, (p,ß) — + Ф (г, (p,ß)~, И дг дф
R{r,(p,ß) = -r2[P{x,y)cos(p + Q{x,y)ún(p +
+ ß{P{x, y)úrup- Q{x, y) eos miplr'
Ф(г, (p, ß) = r[Q{x, y) eos (p - P(x, y) sin (p +
+ ß{P{x,y)cos(p + Q(x,y)sin(P)]x^/r^siav/r'
Обозначим
A{(p) = Pn (eos (p, sin cp) eos (p + Qn (eos (p, sin cp) sin cp,
B(<p) = -Pn (eos (p, sin cp) sin (p + Qn (eos (p, sin cp) eos (p,
R* (r, cp, ß) = rn~lR(r, cp, ß) = -r(A((p) - ßB{(p)) + r2R(r, cos (p, sin cp, ß),
Ф* (r, cp, ß) = гп_1Ф(г, (p,ß) = B((p) + ßA{cp) + гФ(г, cos (р, sin cp, ß),
где R(r,g,rj,ß) и Ф(r,^,rj,ß) - многочлены от r,g,r],ß.
Так как экватор - замкнутая траектория, то для любого ме R R1(u)¿0. Отсюда, учитывая, что а0 п Ф 0, получаем В{(р) ф 0. Тогда числа 8 > 0 и г* > 0 можно считать выбранными так, что Ф* {г, (р, ß) Ф 0, если 0< г <rt, \ß\<8. Пусть г = r(cp, p,ß) - pernear R*{r,(p,ß) ст ние уравнения — = —-— , удовлетворяющее условию r(Q,p,ß) = р. Ясно, что dtp Ф (r,(p,ß.)
r((p,0,ß) = 0. Функция fß(-) = -r(n,-,ß) является функцией последования на трансверсали к экватору по траекториям векторного поля Xц (- Xß) при В((р) >0 (В((р) < 0). Производная гр(ср,0,ß) удовлетворяет уравнению в вариациях
d г = {В*)'г{Ъ,(р,11)р d<p р Ф*(0,(p,ß) Р и начальному условию ^(0,0,^) = 1. Поэтому (/^)'(0) = -exp h(ju), где
h(ji) = -[{А{(р)-yB{(p))l{B{(p) + yA{(p))d(p.
Так как /г'(0)= ^(А2(<р) + В2(<р)) / В2(<p)d<p > 0, то при достаточно малом S для любого ß е (0, S) h(ju) Ф 0, т.е. экватор - гиперболическая траектория поля Xц.
Пусть векторное поле X , е (0, S), имеет сепаратрису Lx, идущую из седла sa(ß„) в седло sm(/О и не лежащую на экваторе. Выходящую сепаратрису седла sa{ß), являющуюся продолжением по параметру сепаратрисы Ц, будем обозначать Ц (ß). Согласно [3] существует единственная последовательность сепаратрис L0,LvL2,...,Lk, такая, что при г'е {0,1,...,£-1} LM является ¿у-продолжением L с положительной стороны, при iE {1,...,&-1} L идет из седла в седло и либо (А) все сепаратрисы в этой последовательности различны, а Lk не является входящей сепаратрисой седла, либо (Б) L, г'е {0,1,...,£-1}, различны, Lk = L0 и L = LX vj...vjLk является или (Ei) предельным множеством для траекторий поля X^ , или (Бг) топологическим пределом последовательности замкнутых траекторий поля X .
Рассмотрим случай (А). Пусть сначала Lk ¿у-предельна к узлу или фокусу (рис. 1 и рис. 2).
Выберем точки ае Ь0, се Ьк и гладкие дуги аЪ и cd, трансверсальные траекториям поля X^ и расположенные с положительной стороны соответственно, от Ь0 и Ьк. При этом мы можем считать, что положительные полутраектории поля X^ , начинаю-
п п
щиеся в точках аЬ\{а}, пересекают дугу ей. Согласно [1, с. 85] существует гладкое вложение #:[0,1]х[0,1]^К2, такое, что #([0,1]х{0})с аЪ\{а], #(0,0) = а,
^([0Д]х{1})с с<1, а Уте [0,1] £({г}х[0,1]) - дуга траектории поля X^ . Обозначим аах
п п п
аах - часть дуги аЪ между точками а и ах := g(l,0), сс, - часть дуги сс1 между точками с и с, :=£(0,1) и ахсх :={я(1 -г,т):те [ОД]}. Пусть ¿1 (/,") - положительная (отрицательная) полутраектория поля X , начинающаяся в точке а (с). Обозначим
____п п п
4 и...и!ы и^. Континуум дС := аахи ахсхи сс,и Д, является границей об-
ласти О, состоящей из (открытых) дуг траекторий поля X , один из концов которых
п п п п п
принадлежит аахи ^^{а,^}, а другой - ссх\{с,сх}. В точках а^иад векторное поле
п
X' направлено внутрь С, в точках ссх - направлено вовне С. Мы можем выбрать такой интервал (//„»А. +у) с (0> 3) > что при //е (д,, + у) векторное поле Xц направлено
п п
внутрь С в точках аах^ахсх, Ь^, 17к \{с}, в точках сепаратрис Ц, не лежащих на эква-
п
торе, и направлено вовне О в точках ссх.
Покажем, что не существует положительных полутраекторий поля Xц,
¿/е А + у)> принадлежащих С. Пусть такая полутраектория Ь+(р) существует. Тогда она является продолжением по параметру входящей сепаратрисы 1X седла :=5/(^) = <у(^.), г'е {0,1,...,&-1}, поля X^ . Логически возможны следующие случаи: 1) е Ы2, IX, = Ь; 2) е К2, IX не совпадает ни с одной из сепаратрис из последовательности {Ц}; 3) ^ е ЭК.
Рассмотрим сначала случай 1). Выберем гладкое вложение 77: [—1; 1] —> И.2, транс-версальное полю X^ так, чтобы /7(0) е Ь, //:(0;1]сС. Обозначим Ц - положительную полутраекторию траектории Ц, начинающуюся в точке 77(0). Если у достаточно мало, то г] трансверсально и полю Хц, ¿/е +у)- Пусть Ь+(/1) содержит положи-
тельную полутраекторию Ь++ (//), принадлежащую С. Тогда при достаточно малом у IX {¡л) пересекается с 77(0; 1] в точке т}(тм). Положительная полутраектория поля Хц, начинающаяся в любой точке Ц, не выходит из области, ограниченной простой замкнутой кривой Ц и Ь++ (р) и ^[0, ] и {.?,.}, и потому должна быть ¿у-предельна к ^. Но
это невозможно. Поэтому случай 1) не реализуется.
Рассмотрим случай 2). В этом случае, согласно [1, с. 91], существует треугольник А с вершиной в точке ^, для которого А п С = }, и при достаточно малом у сепаратриса Ь+ (р), /ге + у) , содержит положительную полутраекторию, целиком
принадлежащую А. Но это противоречит выбору ¿+(/г). Следовательно, случай 2) невозможен.
Рассмотрим случай 3). Если сепаратриса Ц принадлежит экватору, то обе входящие сепаратрисы седла /г е (/4, + у), также принадлежат экватору и потому не совпадают с ¿+(/г). Пусть сепаратриса Ц не принадлежит экватору. Тогда экватору принадлежит сепаратриса Ьм. Если точка ^ принадлежит их (Щ), то точки с поло-
жительной стороны от Uf n LM {Щ n LM) имеют координату z > 0 (z > 0). Так как якобиан отображения ^^ (^^) перехода от карты (U0,£0) к карте
положителен (отрицателен), то ориентация на LM определятся направлением возрастания координаты и. Тем самым, если точка st имеет координату и=щ, то все точки U^ nLM (U[ nLM) имеют координаты и>щ. Вследствие леммы при достаточно малом v точка Sj (ju) имеет координату и меньше щ и не принадлежит LM. Потому ее единственная входящая сепаратриса содержит положительную полутраекторию, не имеющую общих точек с G. Таким образом, случай 3) также невозможен. Следовательно, положительных полутраекторий поля Хц, jug (ju^ju,, +v), принадлежащих G,
не существует.
Пусть седло sa(juJ не принадлежит экватору (рис. 1). Из [1, с. 106-108] следует, что при jug (ju„ju,+v) некоторая отрицательная полутраектория сепаратрисы щрс) принадлежит G. Рассмотрим теперь случай, когда седло sa(pix) принадлежит экватору (рис.2). В силу леммы 2 можно считать, что при (//„,+ v) точка sa(ju) лежит внутри Zg. Поэтому некоторая отрицательная полутраектория ее выходящей сепаратрисы L~(ju) принадлежит G.
Поскольку сепаратриса Ц([Л) целиком G принадлежать не может, то она выхо-
п
дит из G в точках дуги щ. При достаточно малом v все траектории поля Xц,
п
[j, G + v), проходящие через точки дуги сс,, и, в частности L~(ju), также как и Lk,
¿y-предельны к узлу или фокусу.
Пусть ¿у-предельное множество ú)(Lk) - цикл или сепаратрисный контур. Тогда
через точку, принадлежащую Lk и достаточно близкую к ü)(Lk), можно провести замкнутую трансверсаль Г векторного поля X^, не пересекающуюся с L,. По теореме Жордана R2 \Г состоит из двух связных компонент. Точка sm{[íx) и множество ü)(Lk) принадлежат разным компонентам. При достаточно малом v > 0 Г - трансверсаль и для векторного поля Xц, // е (//„,//„+ v), и, как и выше, доказывается, что сепаратриса
L~(ju) также пересекает Г. Но тогда sa(ju) и множество ú)(Lx(//)) также принадлежат разным компонентам и потому не совпадают.
В случае (Bi) существует замкнутая трансверсаль Г векторного поля X^, а в
случае (Бг) - замкнутая траектория Г, такие, что Г и L ограничивают область G, го-меоморфную цилиндру и не содержащую особых точек. При достаточно малом v > 0 кривая Г является трансверсалью для поля Xц, ¿/е +v)- По теореме Жордана
R2 \ Г состоит из двух связных компонент С, и С2. Континуум L и область G принадлежат одной из них, для определенности - Q. Как и выше доказывается, что сепаратриса L~ (ju) содержит отрицательную полутраекторию, принадлежащую G, и выйти Ц (ju) из G может только через точку Г; если Ц(/и) не выходит из G, то она не может быть ¿у-предельной к sw(¿¿); если Ц(р) пересекает Г, то ее со -предельное множество принадлежит компоненте С2 и также не совпадает с sm{[í).
Пусть по-прежнему Ц - сепаратриса, идущая из седла sa(jut) в седло sa(juJ, а Lü,Lx,...,Lk теперь такая последовательность сепаратрис, что LM является (О-продолжением L с отрицательной стороны. Аналогично предыдущему доказывается, что при достаточно малом v > 0 сепаратриса Ц(ц), //е (ßf - v,//„), не совпадает с входящей сепаратрисой седла sw(ß).
Таким образом, если имеются значения параметра //£ (0,S), при которых существует траектория поля Xß, идущая из седла sa(ß) в седло sw(ß), не лежащая на экваторе, то они изолированы. Поскольку число пар седел конечно, то существует такой интервал {ß,ß) с (0, S), что для любого ß из него векторное поле Xц не имеет сепаратрис, идущих из седла в седло.
Возьмем число ß е (ß, ß). Из того, что векторное поле Х^, аналитическое, не
имеет сепаратрис, идущих из седла в седло, а экватор, если является для него замкнутой траекторией, то гиперболической, следует, что X » имеет конечное число замкну-
ß
тых траекторий Г\,г'е {1,...,т}. Далее будем действовать аналогично [1, с. 181-182]. Выберем непересекающиеся между собой (замкнутые) канонические окрестности Ui циклов Г с границами dUi, состоящими из двух замкнутых трансверсалей, если Г <z R2, и из одной замкнутой трансверсали, если Г совпадает с экватором. Векторное поле X » в К \ U™ ] Ui не имеет замкнутых траекторий и потому является грубым. №
Следовательно, существует такое р> 0, что (ß* ,ß* +уО) с (ß,ß), векторное поле Хц, ßG (ß*,ß* + р), трансверсально U™=iЭС/,. и не имеет в К \Ut замкнутых траекторий. Из [1, с. 406-407] следует, что при достаточно малом р все замкнутые траектории поля Xß, ß е (ß*, ß + p), принадлежащие U"i Ut, являются гиперболическими. Так как замкнутые траектории не пересекаются с замкнутыми трансверсалями, то других замкнутых траекторий у Xß нет. Следовательно, Xß е ЕРи. Поскольку -Х° | < е, то мы
доказали плотность £Ри в Ри.
Отметим, что при доказательстве были использованы некоторые идеи из работы автора [4].
Примечания: References:
1. Теория бифуркаций динамических систем на 1. The theory of bifurcations of dynamical systems плоскости / A.A. Андронов, E.A. Леонтович, on a plane / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. И.И. Гордон, А.Г. Майер. M.: Наука, 1967. Gordon, A.G. Maier. M.: Nauka, 1967. 488 pp. 488 с.
2. Хирш М. Дифференциальная топология. М.: 2. Hirsch М. Differential topology. М.: Mir, 1979. Мир, 1979. 280 с. 280 pp.
3. Качественная теория динамических систем 3. The qualitative theory of second-order dynamical второго порядка / A.A. Андронов, E.A. Леонто- systems / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. вич, И.И. Гордон, А.Г. Майер. M.: Наука, 1966. Gordon, A.G. Maier. М.: Nauka, 1966. 568 pp. 568 с.
4. Ройтенберг В.Ш. О типичных уравнениях Лье- 4. Roytenberg V.Sh. On generic Lienard equations // нара // Ярославский педагогический вестник. Yaroslavl Pedagogical Bulletin. 2013. Vol. 1П 2013. Т. Ш (Естественные науки), № 1. С. 74- (Natural Sciences), No. 1. P. 74-78.
78.
