CC BY
17
УДК 517.925.4
ББК 22.161.6
Р 65
Ройтенберг Владимир Шлеймович
Кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Ярославского
государственного технического университета, Ярославль, e-mail: vroitenberg@mail.ru
О типичных полиномиальных дифференциальных уравнениях второго порядка
(Рецензирована)
Аннотация. В пространстве дифференциальных уравнений второго порядка с правыми частями, являющимися полиномами степени < n, выделено открытое всюду плотное множество, состоящее из уравнений, грубых в круге Пуанкаре и на проективной плоскости.
Ключевые слова: полиномиальные дифференциальные уравнения второго порядка, круг Пуанкаре, проективная плоскость, грубость.
Roytenberg Vladimir Shleymovich
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: vroitenberg@mail.ru
On generic polynomial differential equations of second order
Abstract. In the space of second-order differential equations with right-hand sides that are polynomials of degree < n, an open everywhere dense set is distinguished, consisting of equations that are structurally stable on the Poincare circle and on the projective plane.
Keywords: second-order polynomial differential equations, Poincare circle, projective plane, structural stability.
Введение. Полиномиальные векторные поля, заданные на плоскости R2, естественно рассматривать на компактификации Пуанкаре R2 в виде круга или проективной плоскости RP2 (см., например, [1-3]). В работах автора [4-9] изучались их типичность, грубость и бифуркации. В работе [4] показано, что в пространстве Pn полиномиальных векторных полей степени < n, определенных на плоскости, существует открытое всюду плотное множество, состоящее из векторных полей, грубых на проективной плоскости RP2. Здесь мы докажем, что аналогичное утверждение верно и для пространства PEn полиномиальных дифференциальных уравнений второго порядка степени < n, рассматриваемых на RP2, при n > 2. Случай n = 1 почти тривиален. В работе [10] описано разбиение пространства PE1 линейных уравнений на классы топологической эквивалентности в RP2, задаваемое явными полиномиальными неравенствами. В частности, уравнения из PE1 являются грубыми в RP2
тогда и только тогда, когда имеют различные корни характеристического уравнения с ненулевыми действительными частями. Поэтому они образуют открытое и всюду плотное множество в пространстве PE1 .
1. Дифференциальные уравнения второго порядка в круге Пуанкаре и на проективной плоскости
Рассмотрим полиномиальное дифференциальное уравнение второго порядка
X: x = Q(x,x), (1)
где
n m
Q(x, y) = £ Qm (x, y) , Qm (x, y) = £ bk,m-Xy ^ , n > 2,
m=0 k=0
и соответствующее ему полиномиальное векторное поле X (x, y) = yd / dx + Q( x, y) = yd / dy на плоскости R2. Уравнение (1) и векторное поле X естественно отождествляются между
собой и с арифметическим вектором (Ь00,Ь10,Ь01,...,Ьп0,..,Ь0п) е К(п+1)(п+2)/2, а множество РЕп всех уравнений вида (1), в правой части которых стоит многочлен степени < п, с пространством R(п+1)(п+2)/2 с евклидовой нормой || • ||.
Компактифицируем R2 двумя способами: вложив в круг K и в проективную плоскость К?2. Рассмотрим в R3 гладкое подмногообразие - полусферу
K := {(X, У, 7) е К3 | X2 + У2 + 72 = 1, 7 > 0}. Она естественно отождествляется с кругом Пуанкаре К = {(X, У) е К2| X2 + У2 < 1}. Окружность дК = {(X, У, 7) е К | 7 = 0} = {(X, У) е К | X2 + У2 = 1} называется экватором. Покроем К локальными картами (Ц0,£0), (Ц±), (и2,^2 ):
и0 = {(X,У,7) е К | 7 * 0}, У,7) = (х,у) = (X/7,У /7),
Ц+ = {(X,У,7) е К | X > 0}, Ц- = {(X,У,7) е К | X < 0}, £±(X,У,7) = (и,г) = (У/X,7/X), Ц+ = {(X,У,7)е К |У > 0}, и- = {(X,У,7) е К | У < 0}, 4±(X,У,7) = (у,2) = (X/У,7/У). Будем считать, что К2 отождествлено с Ц посредством отображения <^0. Так как отображение ^г1±^с21 задается формулами и = у / х, г = 1/ х, то векторное поле
где
в координатах (u, z) имеет вид
P* (u, z)d / du + Qj* (u, z)d / dz ,
ij* (u, z) = -u2 +zQ(l/ z, u / z), Qj* (u, z) = -uz.
Аналогично, векторное поле X
в координатах v = х / y, z = 1/ y имеет вид
где
Р2* (и, г)д / ди + (и, г)д / & ,
Р* (V, г) = / 2,1/ г) +1, (у, г) = — 20(у / г,1 / г).
Рассмотрим теперь в и^ ( и±) полиномиальное векторное поле Xгr ± (и, г) = р** (и, г )д / ди + 0" (и, г )д / дг ( X и ± (у, г) = Р2** (V, г )д / ду + 02** (у, г )д / дг ),
где при г * 0 Р;*=агп-1Р;, бГ=агп-10, а а = 1 в Ц+ и а = (-1)п-1 в Щ (к = 1,2). В точках экватора ( г = 0 ) оно касается экватора. Поэтому экватор состоит из траекторий. Траектории векторных полей X | ± и X ± | ± (к = 1,2) совпадают. Нетрудно убедиться,
и 0 пЛк и к и 0 пЛк
что особые точки векторных полей X +, X _, X + и X 2, лежащие на экваторе и при-
и 1 и 2 и 2
надлежащие пересечениям их областей определения, совпадают. Следовательно, совпадают траектории векторных полей X ± | ± + и X + | ± +, X ± | ± + и X | ± . На траекто-
г Г Г и± Iи±пIи±п> и± Iи±пи- Iи±пц- ^
риях, отличных от особых точек, совпадают и ориентации, заданные векторными полями. Поэтому можно определить траекторию уравнения X в К как связное подмножество К, пересечения которого с Ц, Ц± и являются, соответственно, траекториями векторных полей X в К2, X ± и X ± с ориентацией на ней, индуцированной ориентацией
1 2
на траекториях указанных выше векторных полей.
Отождествив диаметрально противоположные точки экватора, получим из К проективную плоскость КР2. Траектории векторного поля X в К при этом перейдут в тра-
и
и
ектории уравнения X в RP2.
Уравнение X0 е PEn назовем грубым в K (грубым в RP2), если существует такая
его окрестность U(X0) в PEn, что для любого уравнения X eU(X0) существует гомеоморфизм hX : K ^ K ( hX : RP2 ^ RP2), hX (R2) = R2, переводящий траектории уравнения
X в K (в RP2) в траектории уравнения X0 в K (в RP2) с сохранением ориентации на них (на траекториях, принадлежащих R2).
2. Бесконечно удаленные особые точки
Векторное поле X ± имеет вид
Ui
Xu+_ = cr(Qn (1, u) + zR(u, z))d / du -cuznд / dz,
где R(u, z) - многочлен от u, z . Пусть s0 = (u0, 0) - особая точка векторного поля Xv± , лежащая на экваторе - бесконечно удаленная особая точка уравнения X . Тогда u0 - нуль многочлена Qn (1, u) = bn0 + bn-11u +... + b0nun. Будем считать, что u0 Ф 0 и dQn (1, u0) / du Ф 0. Обозначим Ä:=dQn(1,u0)/du , c := R(u0,0). Перейдем в окрестности точки s0 в U± к координатам w, z , где w = u - u0 + (c / X)z . В этих координатах
Xv±± = c(Xw + R (w, z))д / dw + (-cu0zn -cwzn + (cc / X)zn+1 )д / dz, (2)
где R1 (w, z) - многочлен от w, z, не содержащий одночленов нулевого и первого порядков. Рассмотрим в R2 систему дифференциальных уравнений
w = sÄw + sR1(w, z), z = -su0 zn - swz" + (sc / X) zn+1, ее {-1,1}. (3)
Согласно теореме 65 книги [1], для системы (3) особая точка O = (0,0) при нечетном n будет устойчивым (неустойчивым) узлом, если sX < 0, su0 > 0 ( sX> 0, su0 < 0 ), и седлом, входящие (выходящие) сепаратрисы которого принадлежат прямой z = 0, при sX < 0, su0 < 0 (sX> 0, su0 > 0 ), при четном n - седло-узлом с устойчивым (неустойчивым)
параболическим сектором, принадлежащим полуплоскости z > 0, если sX < 0, su0 > 0 ( sX > 0, su0 < 0 ), и полуплоскости z < 0, если sX < 0, su0 < 0 ( sX > 0, su0 > 0 ).
При нечетном n особую точку s0 = (u0,0), u0 Ф 0, поля XU± назовем устойчивым (неустойчивым) полуузлом, если X< 0, u0 > 0 (X> 0, u0 < 0). При четном n особую точку s0 = (u0,0), u0 Ф 0, поля Xv+ (Xv- ) назовем устойчивым полуузлом, если X< 0, u0 > 0 (X > 0, u0 > 0 ), и неустойчивым полуузлом, если X > 0, u0 < 0 (X < 0, u0 < 0). Из поведения
траекторий системы (3) в окрестности точки O следует, что все траектории поля X + (X - ),
U1 U1
начинающиеся в достаточно малой окрестности устойчивого [неустойчивого] полуузла, а> -предельны [ а -предельны] к нему (рис. 1).
*— ак
в) г)
Рис. 1. Бесконечно удаленные особые точки: а) устойчивый полуузел; б) неустойчивый полуузел; в) и г) - полуседла
При нечетном n особую точку s0 = (u0,0), u0 ^ 0, поля Xu± назовем полуседлом с входящей (выходящей) сепаратрисой, если Я> 0, u0 > 0 (Я< 0, u0 < 0). При четном n особую точку s0 = (u0,0), u0 ^ 0, поля Xu+ ( Xu_ ) назовем полуседлом с входящей сепаратрисой, если Я > 0, u0 > 0 ( Я < 0, u0 > 0 ), и полуседлом с выходящей сепаратрисой, если Я < 0, u0 < 0 (Я > 0, u0 < 0 ). Из поведения траекторий системы (3) в окрестности точки O
следует, что для полуседла s0 с входящей (выходящей) сепаратрисой в K\ dK = R2 имеется единственная траектория, со (а )-предельная к s0 - его входящая (выходящая) сепаратриса, и нет траекторий а ( с )-предельных к s0(рис. 1).
Векторное поле X ± при n > 2 имеет вид
U2
Xu± = v(_vQn (v, 1) + zR, (v, z))d / dv - oz Q (v, 1) + zR, (v, z ))d / dz,
где R,(v, z) и R3(v, z) - многочлены.
Точка p± с координатами v = z = 0 является особой точкой поля X ± . При
и 2
Qn (0,1) = b0n ^ 0 матрица линейной части поля в этой точке имеет треугольный вид
* ^
n . Следовательно, все траектории поля X ±, начинающиеся в некоторой ок-
0 _ ob и2
V U U 0n У
рестности точки p±, или со -предельны, или а -предельны к p±. Поэтому ее тоже назовем соответственно устойчивым или неустойчивым полуузлом.
4. Основной результат
Обозначим 2PEn множество уравнений из PEn со следующими свойствами.
1) Все особые точки и периодические траектории, лежащие в R2, являются гиперболическими.
2) Все бесконечно удаленные особые точки являются полуузлами или полуседлами.
3) Не существует сепаратрис, идущих из седла или полуседла в седло или в полуседло.
Теорема. Множество £PEn состоит из уравнений, грубых и в K, и в RP2. Оно открыто и всюду плотно в PEn.
Замечание. В классическом определении Андронова-Понтрягина [2] грубости от сопрягающего гомеоморфизма hX требуется близость к тождественному гомеоморфизму. Для рассматриваемой ситуации это означает, что hX0 - тождественный гомеоморфизм, а отображение X ^ hX непрерывно в «точке» X0. Из приведенного ниже доказательства следует грубость уравнений из 2PEn и в таком «усиленном» варианте.
Доказательство теоремы. Везде далее мы будем рассматривать ориентированные траектории уравнений из PEn в K . Для уравнения (1) функции
Q(X^X) = Q(X^b0,0,V^д — bn,o,...,b0,n) := Q(х,У), Qn(х,У,X) := Qn(XУ) являются полиномами от х,y,X . Пусть X0 eZPEn и s0 = (u0,0), i = 1,...,N - его особые точки в U1±. Так как dQn (1, u0, X0) / du ^ 0, Qn (0,1, X0) ^ 0, то по теореме о неявной функции существует такая окрестность V (X0) уравнения X0, что для любого уравнения X е V(X0) его бесконечно удаленными особыми точками, принадлежащими U1±, будут точки si (X) = (ui (X), 0), i = 1,..., N, где ui (•) - аналитические функции, ui (X0) = u0.
Учитывая, что ()п (0,1, X0) Ф 0, при этом можно считать
ВВПдйп(1,иг,X)/ди = 8ВПдйп(1,и0,X0)/ди , 8ВП0>п(0,1,X) = ввпйп(0,1,X0).
Поэтому особые точки sг (X) и р± уравнения X е V(X0) имеют тот же тип, что и особые точки а® и р± уравнения X0.
По теореме о центральном многообразии [11] окрестность V (X0) можно выбрать так, что уравнение X е V(X0) имеет в и1 (в Ц-) локальные инвариантные многообразия, задаваемые уравнениями и = Пг(г,X), г е [0, р) (г е (-р, 0]), г = 1,...,N, где Ui - гладкие функции на (-р, р) х V (X0), йг (0, X) = иг (X).
Если точка а (X) - полуседло для поля X + (X -), то точка с координатами
и1 и1
и = й г(р/2,X), г = р/2 (и = Ui(-р/2^), г = -р/2) лежит на сепаратрисе полуседла а (X) и непрерывно зависит от X е V(X0).
Теперь мы можем доказать открытость 2РЕп аналогично соответствующему доказательству из [2].
Пусть ё(•,•) - какая-нибудь метрика на К . Аналогично [2] доказывается, что для любого а> 0 найдется такая окрестность V'(X0) уравнения X0 еЕЕРп, что для любого X еV'(X0) существует гомеоморфизм кх : К ^ К, отображающий уравнения X в К в траектории уравнения X0 в К, причем к0 = ¡ё и УМ е К ё(М,кх(М)) <а, то есть отображение X ^ кх непрерывно в точке X0. Таким образом, уравнение X0 е £ЕРп является грубым в К даже в «усиленном» варианте определения. При этом hх можно выбрать переводящим диаметрально противоположные точки дК в диаметрально противоположные точки и потому продолжить до гомеоморфизма ИР2 с нужными свойствами. Поэтому уравнение X0 е 2РЕп является грубым и в ИР2.
Докажем плотность £РЕп в РЕп. Пусть X е РЕп \ £ЕРп. Зададим число а > 0 . Рассмотрим уравнение
Xa,p,у,ие РЕп: х = Qa,p,у,и(x, х), где Qa,p,у,и(x, у) = Q(x, у)-Рхп +ауп-у + /у .
Выберем число 8> 0 так, чтобы X-Xа,Р,у/<а, если Ц<8, |Р|<8, |у|<8, / < 8 . Мы можем считать, что а е (0,8) выбрано так, что Ь0п + а Ф 0. Фиксируем такое а . Теперь мы можем взять такое Р е (0,8), что многочлен Qn (1, и) - Р + аип имеет только простые нули. Это следует, например, из теоремы Сарда, согласно которой Qn (1, и) + аип имеет некритическое значение Р е (0,8), или несложно доказывается непосредственно. Тогда у уравнения Xа'Р'° все бесконечно удаленные особые точки либо полуузлы, либо полуседла.
Особые точки уравнения ха,p,у,0 в И2 имеют вид (хг ,0), г = 1,..., N, где хг - нули
многочлена Qа,p,у,0 (х, 0) = Q(х, 0) - Рхп - у. Мы можем считать, что у е (0,8) выбрано так, что эти нули простые, то есть дQа,Р,у,0(xj,0)/дх Ф 0, г = 1,...,N . При любом / Qа'Р'у'м(x,0) имеет те же нули, что и Qа,Р,у,0(х, 0) . Выбрав 8, е (0,8) достаточно малым, получим, что для всех /е (0,8), г = 1,..., N,
дQа,p,у,м(хг,0)/дх = дQа'p'у'0(х,0)/дхФ 0, дО1^^^(хг,0)/ду = дО1^^»(хг,0)/ду +/Ф 0.
Но тогда все особые точки (xi,0), г = 1,...,N, уравнения Xа-Р-у-и не зависят от / и являются гиперболическими - собственные значения линейной части соответствующего век- 46 -
торного поля в каждой особой точке имеют ненулевые действительные части. Бесконечно удаленные особые точки уравнения Xа-13-г-и также не зависят от и . Так как при у Ф 0, 0 < и0 < и <5Х,
х, у)
= °-О°)у >°>
Qa,ß,Y,M(х, у)
то репер (Xa,ß,r,/0(х, у), Xa,ß,r,/(х, у)) в точках с у Ф 0 имеет положительную ориентацию, то есть в точках, не лежащих на оси у = 0, векторное поле Xa,ß,r,//(х, у) получается из векторного поля Xa,ß,r,//0 (х, у) поворотом на положительный угол.
Пусть х = (p(t), у = y/(t), t е R - уравнения T -периодической траектории Г уравнения Xa,ß,r,//0, а f (•,/) - функция последования по траекториям поля Xa,ß,r,//(х, у) на трансверсали к Г, f (0, /и0) = 0 . Согласно формуле (36) на с. 391 книги [2],
f (0, /0) = D) g (t )dQa,ß,r,/ ((t), w(t)) / d/ /=/0 ((t )dt = d)g (t )W2 (t ))dt,
0 0
где D > 0, а g(t) > 0 для всех t е [0, T]. Поэтому f (0, /0) > 0. Вследствие этого неравенства из лемм 2 и 3 на с. 404 книги [2], аналогично доказательству теоремы 71 той же книги, получаем, что если Г - цикл четной кратности, то при / , близких к /0 (/ Ф /0), он либо исчезает, либо распадается на два гиперболических (грубых) цикла, а если Г - цикл нечетной кратности, при / , близких к /0 (/ Ф /0), из него рождается единственный, причем гиперболический, цикл.
Теперь, аналогично работе [4], доказывается, что при некотором / е (0,5,) уравнение
X a-ß-r-// имеет только гиперболические периодические траектории и не имеет сепаратрис, идущих из седла или полуседла в седло или полуседло, и потому принадлежит EPEn. Тем самым плотность EPEn в PE доказана.
Примечания:
1. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1966. 568 с.
2. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. М.: Наука, 1967. 488 с.
3. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. Полиномиальные векторные поля на плоскости. Избранные вопросы. Майкоп: Изд-во АГУ, 2012. 326 с.
4. Ройтенберг В.Ш. О типичных полиномиальных векторных полях на плоскости // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. № 4 (147). С. 13-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru
5. Ройтенберг В.Ш. Грубость полиномиальных векторных полей в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Костромского государственного университета. 2014. Т. 20, № 7. С. 26-30.
6. Ройтенберг В.Ш. Полиномиальные векторные поля первой степени негрубости в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Математика и естественные науки. Теория и практика: межвуз. сб. науч. тр. Ярославль: Изд. дом ЯГТУ, 2015. Вып. 10. С. 78-91.
7. Ройтенберг В.Ш. О связных компонентах множества полиномиальных векторных полей, грубых в окрест-
References:
1. The qualitative theory of dynamical systems of second order / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A.G. Mayer. Moscow: Nauka. 1966. 568 pp.
2. Theory of bifurcations of dynamical systems on the plane / A.A. Andronov, E.A. Leontovich, I.I. Gordon, A.G. Mayer. M.: Nauka. 1967. 488 pp.
3. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. Polynomial vector fields on the plane. Selected questions. Maikop: ASU Publishing House, 2012. 326 pp.
4. Roytenberg V.Sh. On generic polynomial vector fields on a plane // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 4 (147). P. 13-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru
5. Roytenberg V.Sh. Structural stability of polynomial vector fields in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere // The Bulletin of Kostroma State University. 2014. Vol. 20, No.7. P. 26-30.
6. Roytenberg V.Sh. Polynomial vector fields of first order instability in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere // Mathematics and Natural Sciences. Theory and practice: coll. of scientific works. Yaroslavl: YaSTU Publishing House, 2015. Iss. 10. P. 78-91.
7. Roytenberg V.Sh. On connected components of the set of polynomial vector fields, structurally stable in a
ности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2015. № 4 (171). С. 22-29. URL: http://vestnik.adygnet.ru
8. Ройтенберг В.Ш. О рождении предельных циклов полиномиальной системы из «бесконечности» // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2017. № 1 (196). С. 13-18. URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. Ройтенберг В.Ш. О бифуркациях бесконечно удаленного тройного предельного цикла полиномиального векторного поля // Continuum. Математика. Информатика. Образование. 2017. № 4. С. 16-25.
10. Ройтенберг В.Ш. О стратификации пространства линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами // Чтения Ушинского. Математика и информатика, астрономия и физика, экономика и технология и совершенствование их преподавания: материалы междунар. конф. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2017. С. 30-37.
11. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1 / Л.П. Шильников, А. Л Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. Москва; Ижевск: ИКИ, 2004. 416 с.
neighborhood of the equator of the Poincare sphere // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2015. No. 4 (171). P. 22-29. URL: http://vestnik.adygnet.ru
8. Roytenberg V.Sh. On the generation of limit cycles of a polynomial system from the infinity // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2017. No. 1 (196). P. 13-18. URL: http://vestnik.adygnet.ru
9. Roytenberg V.Sh. On bifurcations of the infinitely far triple limit cycle of a polynomial vector field. // Continuum. Mathematics. Information Science. Education. 2017. No. 4. P. 16-25.
10. Roytenberg V.Sh. On the stratification of the space of linear second order differential equations with constant coefficients // Ushinsky Readings. Mathematics and information science, physics and astronomy, economics and technology and perfecting their teaching: materials of International conference. Yaroslavl: YaSPU Publishing House, 2017. P. 30-37.
11. Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. Part 1 // L.P. Shilnikov, A.L. Shilnikov, D.V. Turaev, L. Chua. Moscow; Izhevsk: IKI, 2004. 416 pp.
