О связных компонентах множества полиномиальных векторных полей, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

ББК 22.161.6

Р 65

Ройтенберг В.Ш.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ярославского государственного технического университета, Ярославль, e-mail: [email protected]

О связных компонентах множества полиномиальных векторных полей, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре

(Рецензирована)

Аннотация. Описаны связные компоненты и классы топологической эквивалентности множества полиномиальных векторных полей степени < n, грубых в окрестности экватора сферы Пуанкаре.

Ключевые слова: полиномиальные векторные поля, проективная плоскость, сфера Пуанкаре, грубость, связные компоненты.

Roytenberg V.Sh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Higher Mathematics Department, Yaroslavl State Technical University, Yaroslavl, e-mail: [email protected]

On connected components of the set of polynomial vector fields, structurally stable in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere

The paper examines connected components and classes of topological equivalence of the set of planar polynomial vector fields of degree < n , which are structurally stable in a neighborhood of the equator of the Poincare sphere.

Keywords: polynomial vector fields, projective plane, Poincare sphere, structural stability, connected components.

1. Введение

Давно известно описание множества Z° грубых векторных полей на ориентируемых замкнутых двумерных многообразиях [1] и классов топологической эквивалентности таких векторных полей [2]. Изучались также связные компоненты [3, 4]. Фазовые портреты полиномиальных векторных полей, заданных на плоскости R2, естественно рассматривать на компактификации R2 в виде проективной плоскости RP2 -сфере Пуанкаре векторного поля. Хороший обзор результатов изучения полиномиальных векторных полей имеется в книге [5]. Необходимые и достаточные условия грубости в RP2 полиномиальных векторных полей степени < n к настоящему времени неизвестны. В работе [6], однако, доказано, что в пространстве всех полиномиальных векторных полей степени < n векторные поля, грубые в RP2, всюду плотны. В связи с имеющимися трудностями представляется естественным изучить множество 2°Pn полиномиальных векторных полей степени < n, грубых в окрестности экватора проективной плоскости. В работе автора [7] получены необходимые и достаточные условия грубости. В настоящей работе будут описаны классы топологической эквивалентности и связные компоненты множества 2°Pn.

Далее будем пользоваться, по большей части без специального упоминания, обозначениями и терминологией работ [6, 7].

2. Определения. Формулировка результатов

На плоскости R2 рассмотрим полиномиальное векторное поле

X ( х, y) = P (х, y )д / & + Q( х, y )д / 5х,

где

Р(Х' У) = Е 1=0 Рт (X, У) , Рт (X, У) = Е 1=0 *к,т-**У,

в(*> У) = Е 1=о в„ (х, у), <2т (х, у) = Е 1=о ьк,т-кхкут-к.

Векторное поле X естественно отождествляется с арифметическим вектором (а00,Ь00,а10,а01,...,Ъп0,...,Ь0п) е к(п+1)(п+2), а множество Рп всех полиномиальных векторных полей степени < п с пространством Я(п+1)(п+2) с евклидовой нормой || • ||.

Определение 1. Пусть V и V - некоторые окрестности экватора Е. Фазовые портреты векторного поля X е Рп в V и векторного поля X е Рп в V топологически эквивалентны, если существует гомеоморфизм к : V ^ V, к(Е) = Е, переводящий траектории поля X в V в траектории поля X, сохраняющий ориентацию на траекториях, принадлежащих Я2.

Определение 2. Векторные поля X е Рп и X е Рп топологически эквивалентны в окрестности экватора, если существуют такие окрестности V и V экватора, что фазовые портреты векторного поля X е Рп в V и векторного поля X е Рп в V топологически эквивалентны.

Определение 3. Векторное поле X е Рп - грубое в окрестности экватора Е, если существует такая его окрестность и(X) в Рп и такая окрестность V экватора, что фазовый портрет любого векторного поля X е и(X) в V топологически эквивалентен фазовому портрету векторного поля X в V .

Обозначим Е°Рп - множество векторных полей из Рп со следующими свойствами:

1) если на экваторе есть особые точки, то все они являются гиперболическими; 2) если экватор является замкнутой траекторией, то она является гиперболической.

В работе [7] доказана

Теорема 1. 1. Векторное поле из Рп является грубым в окрестности экватора тогда и только когда, когда оно принадлежит Е°Рп.

2. Множество Е0Рп открыто и всюду плотно в Рп.

Для описания связных компонент и классов топологической эквивалентности множества Е0Рп понадобится ряд обозначений.

Для нечетного п = 2к -1 обозначим Тп множество упорядоченных наборов Т = (Т1,т2,...,т2т), где т = 2г, 1 < г < к, т = (тт), тп,тг2 е{-1,1}, г = 1,2...,2т , удовлетворяющих условиям

Т +11 = Тг1 , (1)

Т = (т,Т2,...,Т2(п+1)) ёТп, если тт2 =-1 при всех г = 1,2...,2(п +1), (2)

и таких, что при 1 < г < т +т = .

Для четного п = 2к обозначим Тп множество упорядоченных наборов

т= (т1,т2,...,т2 т ), где т = 2Г - 1, 1 < Г < к + 1, Т = (Тг1,Тг 2^ Тг1,Тг 2 е{-1,1}, г = 1,2...,2т ,

удовлетворяющих условиям (1) и (2), и таких, что при 1 < г < т т+т = -тг .

На множестве Тп введем отношение эквивалентности Набор

Т = (т[,т'2,...,т'2т) еТп эквивалентен набору Т = (т1,т2,...,т2т) еТп: Т ~ Г, если он получается из Т циклическим сдвигом, то есть для некоторого р е{1,...,т} тТ = г1+(; + _Г)той2т , г = 1,...,2т . Соответствующий класс эквивалентности будем обозначать т = [Г]. Пусть

Т := Т /~.

п п

Нам будет удобно, как и в [6], рассматривать «продолжение» поля X е Е°Рп не только на проективную плоскость ЯР2 - сферу Пуанкаре, но и на круг Пуанкаре К .

Пусть е° - особая точка поля X е Е°Рп, принадлежащая экватору круга Пуанкаре

К и карте и2 (Ц2), где ее {+, -}. Пусть (и°,°) ((v°,°)) - ее координаты. Тогда ^(и°) = ° (Я>(у°) = °), где Щи):=-иРп(1,и) + <2п(1,и) ((v,1) + Рп(v,1)). Матрица линейной части поля Хце (Хце) в точке е° имеет ненулевые собственные значения Я^£=аК1(и°) и А?е = -арп(и°,1) (Л2е=^^2(и°) и Ле=-а<2п(u°,1)), где а =1 при е = + и а = (-1)п-1 при е = -. Если е° е Ц2 п ие2 , то Л2 = ЛЛ2е (] = 1,2 ). Поэтому для любой особой точки е° , лежащей на экваторе, однозначно определена упорядоченная пара чисел ^п ЛЛе, ЛЛ2), где г = 1,2 и е е {+, -} выбраны так, что е° е и2. Эту пару будем называть типом особой точки е°.

Пусть Т = (т1,т2,...,т2 т) еТ п. Рассмотрим множество векторных полей из Е°Рп, имеющих на экваторе круга Пуанкаре 2т особых точек е1,е2,...,е2т, пронумерованных в циклическом порядке, задаваемым на экваторе направлением убывания координаты и так, что т - тип точки ег, г = 1,2..., 2т . Ясно, что оно не изменится, если набор Т

заменить на эквивалентный. Следовательно, это множество можно обозначить Е°Рп, где т = [Т]. Ниже докажем, что Е°ТРп ^ 0 для любого т = [т ] еТп.

Для Г = (т1,т2,...,т2 т ) е Т „ обозначим Т := (т1, Т2 ,...,т2*т ) е Тп , ^ Т = т2 т-г+1 . Если

т' ~ т 2 , то (Г1)* ~ (Г2)*. Поэтому можно определить отображение Тп э [Т] ^ [Г]* е Тп, положив [Г]* = [Г* ]. При некоторых т е Тп множества Е°ТРп и ЕТ,Рп могут совпадать.

Пусть п нечетно. Тогда определено множество Е°,гРп (Рп) векторных полей из Рп, имеющих экватор в качестве устойчивой замкнутой траектории, на которой ориентация, заданная векторным полем, совпадает (противоположна) ориентации, индуцированной из Я2. Заменяя здесь слово «устойчивой» на слово «неустойчивой», получим определения множеств Е°игРп и Е°и!Рп.

Сформулируем результаты статьи.

Теорема 2. 1 При нечетном п множества Ъ([г Рп, Рп, Кг Рп, Е°и1 Рп , ЕТРп , тетп,

и только они являются связными компонентами множества Е°Рп.

При четном п множества Е0ТРп, т е Тп, и только они являются связными компонентами множества Е°Рп.

2. Векторные поля X и X из Е°Рп топологически эквивалентны в окрестности экватора тогда и только тогда, когда они оба принадлежат одному из множеств Е° Р Р , Е° Р ^Е°,Р или Е0Р , Р , т еТ .

яг п п ' иг п и1 п Т п п'п

3. Доказательство теоремы 2

Лемма 1. Для любого т еТп множество Е0тРп не пусто.

Доказательство. Пусть т = [т], где т = (т1,т2,...,т2т).

Рассмотрим сначала случай т1 = (1,1). Зададим числа и1 > и2 > ... > ит. Пусть

Б(и) := ё0 + ё^и +... + ёпип + ип+1 := ё(и)(и -и1)...(и -ит),

где ё(и) = 1 при т = п +1 и ё(и) = ып-т+1 +1 при т < п +1. Можем выбрать последовательность натуральных чисел и' > и'2> ... > и'п, не совпадающих с числами из последовательности и1,и2,...,и2т, так, чтобы и'<и1, а между числами иг и иг+1 (г = 1,...,т-1) было ровно одно число из этой последовательности, если тi+12 = -тi2, и не было ни одного числа, если т{+12 = т{2. Пусть

С (и) := с0 + с1и +... + сп-1ип-1 + ип := (и - и1')...(и - и'п).

Рассмотрим векторное поле X = Рп (х, у)д / дх + Qn (х, у)д / ду, где Рп (х, у) = -0хп - С1 хп-1 у -... - Сп-1 хуп 1 -уп, Q„ (х, у) = ёхп + (ё - С0)хп-1 у +... + (ёп-1 - Сп-2)хуп-1 + (ёп - Сп-1)уп.

Бесконечно удаленные особые точки поля X лежат в картах и1± и имеют координаты, являющиеся нулями многочлена ^(и). В рассматриваемом случае ^(и) = Б(и). Так как п-т +1 четно, то нулями ^(и) являются числа иг, г = 1,...,т . Ясно, что R2(ui) = (-1)г-1 = тг1. Учитывая, что -Рп (1, и) = С(и), индукцией по г получаем 8§и(-Рп (1, ui)) = т2. Отсюда следует, что X е Е0тРп.

При т = (1,-1) построение поля X е 2ТРп аналогично, только берем и' > и1 и учитываем условие (2).

Если т1 = (-1,0) или т = (-1,-1), то, по доказанному выше, существует X еЕ0_т]Рп и тогда -X еЕт^.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Для любого т еТп множество Е0тРп связно.

Пусть т = [т ], т= (т1,т2,...,т2т). Рассмотрим сначала случаи т1 = (1,1) и

т = (1,-1).

Пусть векторное поле X еЕ°тРп, т = [т ], и е1, е2,..., е2т - последовательность особых точек, фигурирующая в определении ЕтРп. Будем говорить, что векторное поле X еЕ0тРп, т = [т], правильно соответствует т , если точки ei, г = 1,2...,т, лежат в карте и+. Пусть и1 > и2 > ... > ит - координаты этих точек, а и' > ... > и' - действительные нули многочлена Рп(1,и). Так как X е Е0Рп, то числа ui, г = 1,2...,т, не совпадают с числами и2, ] = 1,2...,I. Будем говорить, что векторное поле X еЕТРп, т = [т], стандартно соответствует т , если оно правильно соответствует т , и1 > и' при т1 = (1,1) и и1 < и' при т = (1,-1), и если Рп (1, ui) и Рп (1, иг+1) одного знака (это равносильно тому, что т2т+12 = 1), то между ui и иг+1 нет нулей Рп (1, и), а если Рп (1, ui) и Рп (1, иг+1) разных

знаков, то между и{ и и{+1 находится единственный нуль.

Для доказательства связности Е0тРп достаточно доказать следующие утверждения.

1) Любое векторное поле из Е0тРп можно соединить путем в Е0тРп с векторным

полем, правильно соответствующим т .

2) Любое векторное поле, правильно соответствующее т, можно соединить путем в Е0тРп с векторным полем, стандартно соответствующим т .

3) Любые два векторные поля, стандартно соответствующие т , можно соединить путем в Е0тРп.

Докажем сначала утверждение 1). Все бесконечно удаленные особые точки векторного поля X е Е0тРп лежат в картах и± на К тогда и только тогда, когда коэффициент а0п ^ 0 . Множество Е0тРп открыто, и потому любое поле из Е0тРп можно соединить путем в Е0тРп с полем, у которого все бесконечно удаленные особые точки лежат в картах и±. Поэтому утверждение 1) достаточно доказать для векторного поля X е Е0тРп, т = [т], у которого все бесконечно удаленные особые точки лежат в картах и±. Пусть е1,е2,...,е2т - последовательность бесконечно удаленных особых точек поля X, фигурирующая в определении X, как поля из Е0тРп. Предположим, что в карте и1+ лежат точки ег = (иг,0), г = 1,...,г, и е]+т = (и},0), ] = г +1,...,т , где

иг+1 > ... > ит > и1 >......> иг. Пусть (р1 = агС£и1, ф е (агС£иг+1, ж/22), а Т" : Я2 ^ Я2 -

поворот на угол 0* = *(ф - ф1) :

Т(х,у) = (хсо$9* + у бш^, -хбш^ + у совв*) .

Отображение Т индуцирует диффеоморфизм Т* : ЯР2 ^ ЯР2, Т* (Е) = Е . Векторное поле X* е Рп, задаваемое равенством X* (х, у) := TX(Т 1 (х, у)), принадлежит Е0тРп, при этом X0 = X, а X1 правильно соответствует т . Для X1 последовательностью особых точек, фигурирующей в определении Е0тРп, является е] = Т 1(е1),...,е2т = Т 1(е2т). Точки е^,...,е1т лежат в карте и1+ и имеют координаты и1 > ... > ит , где и1 = tg(фi + #,). Таким образом, [0,1] э * ^ X* - путь в Е0тРп, соединяющий поле X е Е0тРп с полем X1, правильно соответствующим т .

Докажем утверждение 2). Пусть X - векторное поле, правильно соответствующее т . Многочлены Я1 (и) и Рп (1, и), соответствующие полю X, можем представить в

виде Я1 (и) = ё0 + ё1и +... + ёпип + ёп+1ип+1 = ё (и )(и - и1)...(и - ит ) и

Рп(1,и) = -с(и)(и-и[)п1...(и-и')п, где многочлены ё(и) и с(и) положительны, причем

их коэффициенты при старших степенях совпадают.

Пусть и'....,и2 - нули Рп(1,и), лежащие между ui и им, г = 0,1,...,т (считаем

и0 =+оо, ит+1 = -00), рг 1,...,ргг - их кратности, рг = рг1 +... + р гг. Положим

а) 8г1 (и):= (и - и21)р 1. (и - и2г )р = ир + (и) , ёг2(и) = ^ если рг четно;

б) ёгМ ):= (и - игу* -1(и - и22)р2...(и - и']г )ргг = ир-1 + (и), &2(и):= и - и2 если рг нечетно;

в) gi1(u) := gi2(и) := 1, если Рп (1, и) не имеет нулей, лежащих между иг и иг+1.

Запишем Рп (1, и) в виде Рп (1, и) = -с(и)g°1(u)g°2(u) — gт1 (и)gm2(и) . Обозначим

gsil (и):= иРг + (1 - я)gi1(u) + я, в случае а), g*1 (и) := иРг-1 + (1 - я)(и) + я в случае б) и g*1(u ):= 1 в случае в). Многочлен С (и) := с(и) ^(и) g12(u)••• gsm 1(и) gm 2(и ) можем представить в виде С*(и) := с° + с*и +... + с*-1ип-1 + с"пип, где с"п = ёп+1. Рассмотрим векторное поле Xя = Р*(х,у)д/дх + О*(х,у)д/су, я е[°,1], где

Р* (х, у) = £ Р (х, у), О* (х, у) = £ О* (х, у), (3)

Р(х,у) = Р] (х,у), О*(х,у) = О].(х,у) при ] = °,1,....,п-1, (4)

Р (х, у) = -с°*хп - с*хп-1 у -... - <-1 хуп-1 - с*уп, (5)

О (х, у) = ё° хп + Ц - с°*) хп-1у +... + (ёп_1 - сп-2) хуп-1 + (ёп - п уп. (6)

Ясно, что поле X1 стандартно соответствует Т. Так как у поля X* при всех * е [°,1] многочлен Я^и) тот же, что и для поля X° = X, а gsi1(ui) > °, gsi1(ui+1) > °, то V* е [°,1] X* е Е°ТРп. Таким образом, [°, 1] э * ^ X* - путь в Е°ТРп, соединяющий поле

X, правильно соответствующее Т с полем X1, стандартно соответствующим Т.

Докажем 3). Пусть X и X - векторные поля, стандартно соответствующие Т. Многочлены Я^и) и Рп (1, и), соответствующие полю X, можем представить в виде Я1(и) = ё(и)(и - и1)...(и - ит) и Рп (1, и) = -с(и)(и - и[)...(и - и'), где многочлены ё(и) и с(и) положительны, причем их коэффициенты при старших степенях совпадают (они равны -а°п). Для X все обозначения, введенные для X, будем сопровождать тильдой сверху. Многочлены Рп(1,и) и Рп(1,и) имеют одинаковое число нулей и для их нулей с одинаковыми номерами и'. е (иг+1, ui) о ие (им, иг). Обозначим

и* := (1 - s)ui + *йi, и' := (1 - *)и' + *и'. ё* (и) := (1 - *)ё(и) + *ё(и) , с* (и) := (1 - *)с(и) + *с(и), Б* (и) := ё°* + ё*и +... + ё*ёп + ё6п+1ип+1 := ё* (и)(и - и" )...(и - и6т ), С* (и) := с°* + с"и +... + < 1ип1 + су := с* (и)(и - и[* )...(и - и'*), * е [°,1].

Рассмотрим векторное поле X* = Р* (х, у)д / дх + О* (х, у)д / ду, * е [°, 1], определяемое формулами (3)—(6), с тем отличием, что числа di надо заменить на ё* . Учитывая, что ё* (и) > °, с* (и) > °, ё*+1 = сп, получаем Я* (и) = Б* (и), - Р* (1, и) = С* (и). Ясно, что V* е [°,1] X* е Е°ТРп. Так как X° = X, а X1 = X, то [°,1] э * ^ X* - путь в Е°ТРп, соединяющий X и X.

Отображение X ^ -X переводит Е°Г]Рп в Е°-Г]Рп. Поэтому случаи т1 = (-1,1) и Т = (-1,-1) сводятся к случаям т1 = (1,1) и т1 = (1,-1).

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Множества Е°*гРп, Е*Рп, Е°игРп и Е°и1 Рп не пусты и связны.

Доказательство. Для векторного поля X = Рд / дх + Од / ду е Рп обозначим А($) = Рп (СОБ^, + Оп (СОБ^, $\пф)$\пф,

B(p) = -Pn (cos p, sin p) sin p + Qn (cos p, sin p) cos p,

Если экватор - замкнутая траектория, то VpE[0,2 л] B(p) ^ 0. При B(p) > 0 (B(p) < 0) ориентация, заданная на экваторе векторным полем, совпадает (противоположна) ориентации, индуцированной из R2. Согласно [6, 7], экватор устойчив (неустойчив), если величина

h( X)=-j Bp dp 0 B(p)

отрицательна (положительна).

Пусть n = 2m +1. Введем векторные поля

Y = x(x2 + y2)mд/dx + y(x2 + y2)mд/, Z = -y(x2 + y2)m5/dx + x(x2 + y2)m5/dy . Для поля Y + Z функции A(p) = 1, B(p) = 1, и потому h(Y + Z) = -л < 0 и Y + Z e Pn. Аналогично, -Y + Z e Е0игPn, Y - Z e E0,Pn и -Y - Z e E^Pn.

Для доказательства связности E0srPn достаточно показать, что произвольное векторное поле X e E0srPn можно соединить в E0srPn путем с полем Y + Z . Выберем число Д > max | A(p) |. Для поля X + дY, д е [0, Д], функция B(p) та же, что и для поля X .

pE[0^]

Поэтому

Vи е [0, Д] h(X + ¡YY) = -¡App) dp = -)-Д-dp + h(X) < 0,

0 B(p) o B(p)

и [0,1] э О i—> X + 6¡Y - путь в E0srPn, соединяющий поля X и X + ДY. Для поля X + ¡Y + vZ, V е (0,1], величина B(p) изменится на положительное слагаемое v. Отсюда и из неравенства Д > max | A(p) | получаем, что при всех p е [0, л] Д + A(p) > 0.

pe[0^] v + B(p)

Поэтому h(X + ¡Y + vZ) = -)Д + A(p) dp < 0 и [0,1] э v — X + ДY + vZ - путь в

0 v + B(p)

E0srPn, соединяющий поля X + ДY и X + ДY + Z .

Так как при всех p е [0, л] и А е [0,1] ¡¡ + (1—А)A(p) > 0, то

1 + (1 - А)B(p)

h{XX + ДУ + Z) = -ГД + ДА(р) dp< 0 и [0,1] эДв (1 -X)X + ДУ + Z - путь в Е0Р, со-01+XB(p)

единяющий поля X + /7 + Z и /7 + Z . Ясно, что поля /7 + Z и 7 + Z также можно соединить путем в Е0*гРп. В итоге получаем, что X е Е*гРп можно соединить в Е*гРп путем с полем 7 + Z , то есть Е0„„Рп связно.

Аналогично доказывается связность Е^Рп, Е0игРп и Е0и1 Рп. Лемма 3 доказана.

Для любого векторного поля X е Е0Рп, имеющего бесконечно удаленные особые точки, последовательность т = (т1, т2,..., т2 т) их типов очевидно удовлетворяет условию (1). Условие (2) также выполняется. Действительно, в противном случае Рп (1, и) меняло бы знак п +1 раз, что невозможно. Таким образом, X е Е0Рп при некотором т еТп. От-

сюда и из лемм 1-3 следует утверждение 1 теоремы.

Рассмотрим отображение Т : Я2 ^ Я2, Т(х, у) = (-х, у) . Оно индуцирует диффеоморфизм Т : К ^ К , переводящий траектории поля X е Е°Рп (соответственно, X е Е°гРп и X е Е°гРп) в К в траектории поля X* е Е°, Рп (соответственно, X* е Е° Рп и X еЕ°Рп) в К , где X* (х, у) = TX(Т-1(х, у)) . В силу связности множества Е°Рп (соот-

ветственно, Е*г Рп и Е°г Рп) любые два векторных поля, ему принадлежащие, топологически эквивалентны в окрестности экватора. Поэтому топологически эквивалентны в окрестности экватора и любые два векторных поля из Е°ТРп ^ЕТ» Рп (соответственно, из

Е°*гРп ^Е*Рп и Е0игРп ^Е0и1 Рп). Ясно, что если поля X и X из Е°Рп топологически эквивалентны в окрестности экватора, то для соответствующих последовательностей типов Т и Т либо [Т ] = [Г], либо [Т ] = [Г]*. Получили утверждение 2 теоремы.

Примечания:

1. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. Vol. 1, No. 2. P. 101-120.

2. Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems. Academic Press, 1973. P. 389-419.

3. Gutierrez C., Melo W. The connected components of Morse-Smale vector fields on two-manifolds // Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1977. Vol. 597. P. 230-251.

4. Ройтенберг В.Ш. О связных компонентах множества векторных полей Морса-Смейла на двумерных многообразиях // Труды вторых Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. С. 352-358.

5. Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. Полиномиальные векторные поля на плоскости. Избранные вопросы. Майкоп: Изд-во АГУ, 2012. 326 с.

6. Ройтенберг В. Ш. О типичных полиномиальных векторных полях на плоскости // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2014. Вып. 4 (147). С. 13-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru

7. Ройтенберг В.Ш. Грубость полиномиальных векторных полей в окрестности экватора сферы Пуанкаре // Вестник Костромского государственного университета им. Н.А. Некрасова. 2014. Т. 20, № 7. С. 15-18.

References:

1. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. Vol. 1, No. 2. P. 101-120.

2. Peixoto M. On the classification of flows on two-manifolds // Dynamical systems. Academic Press, 1973. P. 389-419.

3. Gutierrez C., Melo W. The connected components of Morse-Smale vector fields on two-manifolds // Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1977. Vol. 597. P. 230-251.

4. Roytenberg V.Sh. On connected components of multiplicity of Morse-Smale vector fields on two-dimensional manifolds // Proceedings of the Second Kolmogorov Readings. Yaroslavl: YaSPU Publishing House, 2004. P. 352-358.

5. Tlyachev V.B., Ushkho A.D., Ushkho D.S. Polynomial vector fields on the plane. Selected issues. Maikop: AGU Publishing House, 2012. 326 pp.

6. Roytenberg V.Sh. On generic polynomial vector fields on a plane // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2014. Iss. 4 (147). P. 13-21. URL: http://vestnik.adygnet.ru

7. Roytenberg V.Sh. Structural stability of polynomial vector fields in a neighborhood of the equator of Poincaré sphere // The Bulletin of Nekrasov Kostroma State University. 2014. Vol. 20, No. 7. P. 15-18.