О росте решений обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О росте решений обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

Э. Ш. Шамов

Кафедра высшей математики Дагестанский государственный технический университет пр. И.Шамиля, 70, 367015, Махачкала, Дагестан, Россия

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение п-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве. Доказывается теорема о существовании решений, убывающих быстрее экспоненты.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, резольвентный оператор, обратимый оператор, неограниченный оператор, вполне непрерывный оператор, замкнутый оператор, операторные коэффициенты.

Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не обладают решениями, убывающими быстрее экспоненты, поскольку их решения имеют вид екхРп(х), где Рп(х) — многочлен, степень которого на единицу меньше кратности корня характеристического уравнения или егах, а £ К. Что касается уравнений в частных производных, то хорошо известно решение задачи Коши для уравнения теплопроводности

,2

/ ч Г фо(£) а-*)2 Г <ро(£) ^

.] 2а\Лп"£ .] 2 ау-^

убывающее как е~х , то есть быстрее экспоненты е~х.

Обыкновенные функционально-дифференциальные уравнения могут обладать решениями, убывающими быстрее экспоненты, например, как нетрудно прове-

ш

рить, и'(Ь) — Е аз — Из) = 0 имеет своим решением функцию е~г , если

3=0

ш

аз(£) = азЬе~\ Е аз = —2. Эти простые примеры и факты показыва-

=0

ют важность вопроса о росте решений уравнений с запаздывающим аргументом. Впервые этот вопрос в случае уравнения первого порядка с неограниченным операторным коэффициентом Ьи = 1 — Аи = 0 был рассмотрен в работе [1]. В

работе [2] рассматриваются вопросы о существовании решений функционально-дифференциального уравнения п-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами

п— 1 ш

ипюи(€) = БПи(г) — ЕЕ + Ш ^+нк] ( и(Ь) = / (Ь), I > и, (1)

к=о 3=0

1

убывающие как экспонента и быстрее. Здесь Вк = —^, (Акз + А^(1)) : У ^

У — замкнутые операторы, к = 0,п — 1, ] = 0,т, Акз : X ^ У — вполне непрерывные операторы, к = 0,п — 1, ] = 1,т, X, У — гильбертовы пространства, X с У, И^^) < г < 1, к,] > 0, I > 10 > —<Х). На отклонения аргумента

Икз, Икз^) накладывается условие Ик0(Ь) = Ик0 = 0, к = 0,п — 1, позволяющее

Статья поступила в редакцию 1 марта 2010 г.

включить в уравнение (1) уравнение без отклонения аргумента как частный случай. Порождаемый уравнением (1) оператор LR0 рассматривается как оператор

Lpo ■ XnR?0 ^ , где а = const, R+ = [i0, то),

XnRta0 = u(t), u(t) = 0,t < to, ||и

( J e2at(j2 Hu(k)(t)fx + H^WHy) dtj < то j

= j u(f), u(f) = °,f ^ fo, 1И*)И = ( J < то I

Для уравнения (1) рассматривается задача с начальными условиями

и(к)^) = дкЦ), t < ^, и(к)(^ + 0) = дк(^), к = 0,п — 1. (2)

Доказываемая ниже теорема может быть истолкована как результат, аналогичный классической теореме Фрагмена-Линделёфа [3], которая для гармонической в полуполосе 0 ^ х ^ 1, t > 0 функции и(х^), удовлетворяющей граничным условиям и(0, Ь) = и(1,Ь) = 0, t ^ 0, утверждает, что если она ограничена в данной полуполосе, то она убывает экспоненциально (по

В данной статье продолжены исследования, начатые в работе [2], получены условия на операторные коэффициенты Ак^, Ак^ (Ь), на отклонения аргумен-

п— 1 ш

^Е -Е Т,АЫ хк е

к ^ — iXh,

kj

та Икj(t), на резольвентный оператор Щ,(Х) =

к=0 j=0

У ^ X, при которых решение и^) задачи (1), (2), принадлежащее Ь2(Я++ ,Х), к = 0,п — 1, вместе со своими производными и'(Ь),и"(Ь),... ,и(п-1)(Ь) убывает быстрее экспоненты. В дальнейшем нам понадобятся следующие утверждения.

Теорема 1 (Теорема Планшереля [4]). Преобразование Фурье переводит, функции Ь2(Я,Н) в Ь2(К,Н). Более точно, если /(^ е Ь2(К,Н), то функция ¡(X) существует и ¡(X) е Ь2(К,Н). При этом 11Х(^) И( пн) = II/Шь2( я,н),

N

/и) = Иш [ еш¡(ХШ.

— N

Из этой теоремы следует, что, если 1ш Л = а, то ||/(Л)||Ь2(1тХ=а,н) = II/(^Ия™. Лемма 1 (Лемма Римана-Лебега [4]). Если /(^ е Ь1(К,Н), то

ж

lim if(f){ SinP\ )dt = 0.

р^ж J у cos pt J

— oo

Лемма 2 (лемма 1.2.1 [4]). Если А : У ^ У — замкнутый оператор, А :

X ^ У — вполне непрерывный оператор, то для любого е > 0 существует константа хА(£), что имеет место неравенство ||Ам||у < £|М|х + Ха(е)|М|у, для любого и е X С У.

Заметим, что приведённое неравенство можно получить и для квадратов норм, т.е. оно верно и в виде неравенства ||Ам||у < £2|М|Х + Ха(£)1М1у. Доказана следующая

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

а) Ак^ : У ^ У — замкнутые операторы, ] = 0,т, к = 0,п — 1, Ак^ : X ^ У — вполне непрерывные операторы, к = 0,п — 1, ] = 1,т; для любого 5 > 0 ИАкзШг = о (е-61), г ^ ж, з = 0/т, к = 0,п — 1;

б) резольвента Яр(\) регулярна в полуплоскости 1т Л > 0,

ЦЕ;(\)ЦХ < Сехр{ р-!)*-1^)*} , а > 0, а > 1;

в) /(Ь) € У0±о для любого 5 > 0; н+

г) Ь'^(Ь) ^ г < 1, ¿о < I < ж, ! е251 х2Ак. {е-51 )|Ьк]< ж, для любого 5 > 0,

] = 1,т, к = 0,п — 1;

д) и(!) — решение уравнения (1), и(€ Ь2 ,Х), к = 0,п — 1

¿2 = тт I Ь1, тт — ) I , Ь = тт М{^^(Щ, Укз(к) = —

0^к^п-1 / 0<к<п—1

сю

+ Р ,, /.ч ,,2 т. . ^ А 25+,, / лп2 11

Тогда [ е2(а—е)гР ЦиШХ¿г < С [ е2н||/М, - + ^ = 1, £> 0. .] .] ар

Доказательство. Так как при изучении поведения решений при £ ^ ж вклад начальной функции является незначительным, то можно облегчить решение задачи, переходя от решения и(^ начальной задачи (1), (2) к новой функции

= ф)и(£), где ф) = \ 0 1 ^ ^, ф) € Сс, 0 < ф) < 1. Для новой

11, Ь > Ьо + 1,

функции §(!) получим уравнение

п— 1 ш

иПот = ЩШи(€)) — + Ак3(г)]зккз+Нкз Ши(г)) =

к=0j=0

п— 1 п— 1 ш

= Е сппп-и(€)+ф)ВПи(€) — Е Е 1Акэ +Ак3(фн„ +нк]( * )Вк(ф)и(€)).

-и=0 к=0 3=0

Прибавляя и вычитая в правой части полученного равенства слагаемое

п- 1 ш

^ ^ ^ [Ак3 + Акз(^)] Ян^+Нк, (1)В>к U(t), получим

к=о =о

п—1 п—1 ш

,пРот = (€) + е с

-и=0 к=0 3=0

ьпоЩ) = Ф)/(I) ^ спи(г) + Е Е+ Акз(г)] х

к ШФ))

X

Перенося с левой части последнего равенства сумму

п— 1 ш

ЕЕ[Л%- + Ак3 (г)]зНк а^кт

^ко + лко (Ч\°ькз +кк, (1)^к" к=0 ] = 0

п— 1 ш

в правую часть и вычитая из обеих частей выражение ^^ А^Я}1к^>кгд(1) =

к=0 j=0

п 1 ш

Е Е (у(~£)и(~£)), получим выражение Ь^'^) через и(1):

к=0j=0

п— 1 п— 1 ш

цт = ф)№ + Е ^яп-^ №?и(г) + ЕЕ + Ак, (г)] х

v=0 к=0¿=0

п—1 ш

х Ф)8}Ък] +}к](г)Пки(Ь) — ^Т.АкзЗнк,Вк{ф)и(1)). (3)

к=0 =0

Применяя к уравнению (3) преобразование Фурье, получим

{п—1 п—1 ш к п—1 ш Л

1п (X) + Е (X) + Е Е Е С1Ак3-п (X) + ЕЕ *кт Щ , (4)

и=0 к=0j=0v=0 к=0j=0 )

ж сю

где ь (х) = -Ь Iе—г А1М) , ^ (х) = е—г хгпГ"г т-и^йг,

0 0

сю

1

Ак^(Х) = -2= у е—шАк3(Ь)ф)Бнк1 +Нк]{1)Вки(т, <0

^ / к \ (Х) = / е—'^ +нк,0)Якги(1) — ^Скк8НкЯк—Ф)Щи(1)у1.

Ь о -=0

Заметим, что интегралы в выражениях преобразований Фурье в (4), в которых встречаются производные от функции ( ), фактически взяты по конечному интервалу ( 0, 0 + 1), что будет учтено в дальнейшем. При этом они являются финитными функциями.

Покажем регулярность в верхней полуплоскости 1ш Л ^ 0 всех функций в фигурных скобках в правой части равенства (4), полученных применением преобразования Фурье к уравнению (3). Согласно определению бесконечно дифференцируемой функции г/^) все интегралы, которые содержат к ^ 1, являются интегралами по конечному промежутку (^, ^ + 1), ввиду того, что Бккг(1) = 0 вне этого интервала. Преобразования Фурье таких функций являются целыми функциями экспоненциального типа, а потому регулярны в верхней полуплоскости 1ш Л ^ 0.

Для производной функции / г! (X) имеет место оценка

а/, (Л)

ал У

сю

1 Г „ — Ш

л/2к У

0

е — г А * (—

У

^ \ 2 / СЮ

-2еЦ ,\2

< е—2е1у¡(Щ2у< то, 1тЛ + е = 5 > 0,

£ > 0 достаточно мало. Отсюда в силу условия в) теоремы следует регулярность функции (Л) в полуплоскости 1т Л ^ 0.

Аналогично можно показать регулярность и слагаемых, содержащих А^ (£).

сю

В частности, для (Л) =2 е-гХ1г](1)А0^1)3Но] +Но](^и{Ь)а имеем

¿0

дАозг, (А)

ал

е-Л (— 1)ф)А0з(1)3Н0] +Но3 а)и(г)

0

У

< с

2 ОО

У\\и(Ъ — Иоэ — hoj(t))\\^с I\\и(Ь — — hoj(t))\

0 0

х'

а(í - На - На (г)) с

X —-:-; ; тТ\-- ^

1 - НО, (г) в силу условий а) и д) теоремы.

1 — г } 11 ||х Ь—Но^ — Но ( í )

22 и(1)\\х( < С \\и(1)\\х( < то

2

Для оценки слагаемого (Л) применим лемму 1 о характеристической функции с е = е(Ь) = е—(1шЛ+1), ^ > 0. Для (Л) из (4) при к = 0 имеем

а ¿о, (л) 1

ал У

^У е '(—it)А0j(v(t)Sh0J +Но3( I) —Яно,Ф))и(1)&

^ I I е

¿о

¿о

2 +ГО

<

У

I е-2^I I I е2(1тЛ+^) \^(ф)3но, +Но,(г) — Яо,Ч^НЩ^ (

¿о / V <о )

В силу условия ^ > 0 первый интеграл в правой части полученного неравенства является сходящимся. Оценим второй интеграл. Для этого применим лемму 1 о характеристической функции се = е(Ь) = е—г (1шЛ+7)4, ^ > 0, к норме под знаком последнего интеграла. Имеем

ОО

/ е2(1тЛ+^ (е2^^) \\(^)Яо3 +Но, (о — Яо, Ф))и(г)\\1

+ / Х\0,е2(1тЛ+^){е2(1тЛ+^))\\(^)Яо3 +но,(*) — Яо,Ф))и(1)\\1а

ж сю

У \\и^ — hoj — hoj(t))\\2х ( + С1 ! ||и(1 — hoj)\\2х (+

о

<

о

о

2

2

сю

+ С2 I е2(1шА+^хА0Де2(1шА+^) — Ч- — (г)) — П (1 — ко3)\\\=

юю х ю

[\\ и т, т, - - 1г0] (¿) Г ^,N2 = с] \\и(г — Ноз — \\х-1 - н ^-+ С1 ]

Ъ о — Но^

02(\шА+у)г 2 (р2(1т\+у)г

+ с2 ^........-хАо Л е

^е2(1шА+7)^

í—Но^ —Но^ (Ь)

и' (в)

£ о — Но^

¿г <

у

<

1 — г

J \\и(^)\\Х+с1 / \\^\хх

Iо — Но^ — Но^ (í )

и(

Ъ о — Но^ Ь— Но^ — Но^ (Ь)

+ ! е^^хА^е2(1шА+^)1Но3Ц)1 I \\«'(з^зЫ

сю сю

< С3 I\Ш\Х^ + ! е2(1шА+^)1хА^ [е2(1шА+^)х

<

х \Но

t—Ноj —Ноj ( Ь)

Ци' (8)|у ¿я^

= I.

¿о — Но^'

Изменяя порядок интегрирования в последнем интеграле, получим

I = с3/\\^(^)\Х+/ КШг^ I ешхА0з {е^оЛтг <

¿0 I 0 5+Но^

юю юю юю

< С3 I\\и(Щ\Х<И + А4 I Ци'(8)||^8 < съ I (\\и(Щ2Х + Ци'

где фоз(Р) = t — Но ] — Но ^(1), (р) — обратная к фо^^) функция. Отсюда, в силу условий г) и д) теоремы, следует регулярность функции (Л) для 1т Л ^ 0. При к ^ 1, г/^) — финитная функция, что существенно при доказательстве требуемых неравенств. Вводя обозначения

А'кэп(X) = / АФ)Ак3(€)вНкл+Нко^и(€)Ы, ¿0

имеем

аД^ (Л)

ал

< / е1шХгЩф) \\Ак3(1)БНк]+Нк]а)Вки(Щ\у ¿1 <

2

С

к ÍQ

7 \ 2 / 7

— 2еí| ,\2

f е-2 4 |í|2dí ) U е2(lmX+s)t \\Ak0(t)fY \\Shkj +hkj {t)Dku(t)\\2x dt

Q Q

Сходимость первого интеграла в правой части полученного неравенства очевидна. Поэтому оценим второй интеграл. Имеем

i e(-5t)2 е2(1шХ+е)1 Щи(t - hko - hkj(t))\\X dt € j-^J WD'tuWWX dt €

Q Q

7

J \\-Dku(t)\\X dt для любого k, 1 <k €n. d A'kJV (A)

Отсюда в силу условий а) и д) теоремы следует

dA

€ с < оо.

Y

При оценке д (z< (\ w - d 1 J „-iхt

Q

di (^v (A)) = ¿ f е-г XtAkj {V(t)Shkj +hk] (t) -Shk0 v(t)Shkj )Dktu(t)dt

имеем

f е-гх 1 (-it) {Shk0V(t) - v(t)Shkj +hk]( t))Dku(t)dt

ÍQ

€ ^c Je-2**|í|2dí) x

í 7

x ij е2(1шх+^ \\Ak. (Shk0 V(t)Shkj - v(t)Shkj +hkj (t)) Dttu(t)\\2Y dt

Q

Оценим второй интеграл в правой части полученного неравенства:

С

I е2(imX+1)te2(imX+1)t \\ф - hk3)Dku(t - hk3) - v^Dkuit - hk3 - hkj(t))\\2X +

Q

+ XAkj e-(lmX+l) \\v(t - hkj )Dku (t - hkj(t)) - v(t)Dku{t - hkj - hkj(t))\\2Y dt €

С С

У \\Dku(t - hkj)\\X dt + ci j \\Dku{t - hkj - hkj(t))\XX dt+

7 / t—hkj

+ ¡ e2(lmX+*)tx2Ak]e-(lmX+*) j Dk+lu{s)ds

íq \ \,-hkj-hkj (t)

d

dt €

Y

2

2

ю ю ю

€ с/ \\вки(г)\\Х <и + с3 I Щ+1и(1)\у ¿1 € с/ \\Б1ки(г)\\2Х

+ С3

п 1 ш

Е Е [^ + Ак0т Ян^+Нк]а)П'ки(г) + /(г)

к=о =о

<И €

У

ю ю

€ С2 У \\Б'ки(г)\\2Х ¿ + Сз !

У

<и.

Таким образом, выражение в фигурных скобках в правой части равенства (4) в условиях теоремы представляет собой регулярную функцию в верхней полуплоскости 1т Л ^ 0. Отсюда и из условия б) теоремы следует регулярность функции $(Х), определяемой равенством (4) в 1т Л ^ 0, поскольку мы доказали оценки для случая любой функции О^и^), к = 0, 1, ..., п — 1.

Покажем теперь, что все функции в фигурных скобках в правой части равенства (4) стремятся к нулю равномерно при |А| ^ ж в любой полосе 0 € 1т Л € Т < ж, Л — плоскости.

Справедливость утверждения для функции (X) следует из представления

и (*)

ет [с°8 — ъ ^п оЦ .

Так как

1ш А<

ю

у ^ € I ет11| f(t)||Y М €

ю \ 2 / ю

€ I [ е—2>' М I I I

о 2(т+1)1

У

I < ж

для любого ^ > 0 ив силу леммы Римана-Лебега, то отсюда и из приведённого выше представления (X) следует, что ||(А)||у ^ 0 равномерно при |А| ^ ж по прямой 1т А = т, следовательно, в полосе 0 € 1т А € т и подавно. Что касается функции

Акт (У = _/ е—гА1ф)Ак3 (€)вНкл+Нко ^ифМ, ¿0

то

Акт(*) = ^ / ^(<т+т)4ф)АкЛ^Нк, +Нкз«)П'ки№ = <0

ю

= —;= етг А^^Б^ии — Н^ — — ^тст^^

у2тт .]

Далее имеем

2

2

1

2

I ет11ф) ЦАк,ф||у Щи{1 — кк, — Нк3(^)\\х €

1

^юю \ 2 / юю

I е—2^I П е2(т+1)1 ЦАк3(т2у \\Вки(г — Н^ — Нк3(Щ\Х ¿1

Оценивая интеграл в последней скобке, получим оценку

2(т+-у)г

ЦАкАШу \\п>ки^ — Нк3 — ккз(г))\\Х€

ю ю

€ \\и(*)\\Х €с I \\Вки(1)\\Х

с учётом условия теоремы на и(1).

Отсюда и из леммы Римана-Лебега следует равномерное стремление к нулю функции Акзч(Л) при |А| ^ ж в верхней полуплоскости 1т А > 0 по норме пространства У.

Аналогично имеем

(Х) = Ж / А1Ак° ^Ч^Ны — +Нк0(1))Вк1чт1 = I ет< х

х Аку (г]^ — — Н^) — г](1)В]ки{Ь — Н^ — [c°s О — г siп о1] dt.

Далее имеем

ю ю

I \\ет 1 {Ф — Нк3)Вкки{1 — Нк3 — Нк3(г)))\\у € I / е—2^

(ц^ -*№ -*,- ^ ^*)

х

где

2(т+у)г

¿ €

Ак^Ф — Нк3)в'ки(г — Нк3) — ■п^в'ки^ — Нк3 —

€ с у \\вки(Щ2Х+у \в'ки(г)\\Х! \\вк+1и(8)\\Х¿вх

х ! е2(тх\к] е—(тк.Ш ¿г € \\{Вк, + Вк+1) и(ЩХ в силу условий теоремы на и(1).

2

Таким образом, \\(А)\\х ^ 0 равномерно в верхней полуплоскости 1т Л ^ 0 при |Л| ^ то. Далее из представления

(Л) = J ет1А^(г)Б11+1и(г — hkj — hкj(t)) [сов аЬ — г вш аЬ]

<о

и из

еТ 11т • ЦАкэШу \\ок+1и{г — — (¿))\\х ^

€

о

€с \1 е-"211 ( | ( J е2(т+1) \\Ак3(Щ2у \\0к+1и{г — — кф))\х (

о о

I е2не-25* \\ Бк^и^ — к» — ( €

о

€с / \\ок+1и{г — кк3 — hkj(t))\\2х ( €с

о

о

следует наше утверждение для функции (Л). При к = п — 1

(Л) = тЬ / еТ*АФ)х

о

лп— 1

— h к0 )вп—1и(1 — hkj) — ф)БП—1и{1 — — h

х

( € то

о1 — г вш аЦ

и из оценки

т

А

к

— h 1и(г — hкj) — ф)Щ 1и(г — hkj — к'о

о

2 ОО

€ С е

-211 ( I х(| е2(т+1)гх

о

А

— кк0)Бп—1и(1 — hkj) — ф)БП—1и{1 — — к

к

а €

у

2 ч 1

2 N 2

(

У

о 2(т+1)1

А

— кк0)Бп—1и(1 — hkj) — ф)БП—1и{1 — — к

к

а €

о

€ с / \\БП—1и(1 — К'^х ^ + С1 \\вп—1и(1 — К'з — к'3(1))\х

о

о

2

2

х

X

2

+ / е2( 5+1)гх\к,{е—(т+1)г) \\Щ—1и(1 — кк3) + вп—1и{1 — ккэ — кк3(Щ\1 ( €

о

ю Ю

€ с I \\Бп—1и(Щ2х \Бп—1и(1)\х

о о

СЮ t — hkj

+ / е 2(т+1)4Х2лк^е~(т! опиШ*

tо \-hbj — ккз (I)

СЮ СЮ

€С2 ! Щ- 1и(1)\\2х ! е2(т+1)*х2лк^-(т+1)1)

( €

х ^ к,•

1—нкз~ нкз (г)

\\Впи^)ёв\\у ёв

СЮ

( €с2 у \ \ и'(г) \ \ х

о

+ I \ \ щи(в)\\1 ёз I е2(т+1)\2лк^е-(т+1)^ •к, (^ ( €

¿о в+Ны

С С С

€с2 У Щ- 1и(1)\х ^ + с^ \\Впи(Щ\1 ( €с2 У \\Бп~ 1и(1)\х

+ сз

п— 1 ш

Е Е [Ак, + Ак3(Щ Бнк]+Нк]а)В'ки(г) + ¡(1)

к=0,=0

ё <

У

следует равномерное стремление к нулю в полосе 0 € 1т Л € т для любого т > 0 функции г'к(Л) по норме пространства У.

Так как для фиксированного значения 1тЛ = т величина \\Лп(Л)\\х ограничена в силу условия б) теоремы, то из (4) следует, что \\$(Л)\\х ^ 0 равномерно при |Л| ^ то в любой полосе 0 € 1т Л € г < то.

Поскольку и(1) и отличаются друг от друга только на отрезке [1 о, 10 + 1] и и(г) е ь2((¿2,то),х), то в силу теоремы Планшереля \\$( Л)\\х е Ь(1т Л = 0 на действительной оси.

Поэтому, согласно теореме Коши,

т =

е*Л Ч(Л)(1Л =

1шЛ=0

1

—2= I егЛ гК;(Л){ и (Л) + и„п (Л) + Ак3п (Л) +

1шЛ=0

Отсюда по теореме Планшереля

+Ю +С

ё Л.

У \\етЧ(Щ2х а= У е2т1 ^(¿)\\х ^ =

2

1

+ю

Щ(х)\ ¡V(х) + (X) + Акт(Х) +

У

¿Л, Л = о + гт

или

ехр

/ 1 / х ахп +ю

(^Г (^))] ю

е2т 111 т 11 Х €

+ю

€

,(X) + йиг, (X) + Акт (х) +

¿X,

у

где 1т Л = т и последний интеграл в правой части полученного неравенства взят вдоль прямой 1т Л = т слева направо.

Перейдя от интервала интегрирования (Iо, ж) к интервалу (I, ж), £ > 0, £ > ¿о, мы лишь усилим последнее неравенство. Таким образом,

ехр

1 / х «п +ю

--—(^ Г (^)] ю

+ю

€

| | #(*) 11 Х d5 €

,(X) + йиг, (X) + Акт (х) + *кт

¿X.

у

О-Л 1 С^

Так как £ > 0 фиксировано и 1т Л > 0, то, полагая 1т Л = -- К*-1, В = --,

а — 1 а — 1

получим

ехр < 2

аа 1 I а — 1 а — 1 \ а

у—1( , ,0011)1

) \а. — 1 а)

ех^2,* [(^) — (^(^)"]}

ехр 2

-1

аа

а — 1 а — 1

„2аЬ ?

Таким образом, получили неравенство

+ю +ю

2 а

е2а" J 11#(з) 11Х d я € _/

í —ю

Из этого неравенства следует

+ю +ю

2

,(Х) + и„.п (X) + Акт (Х) + *кт

¿X.

у

е2а(I 110(з)11Х ё § € / {Л( \) + й^(Х) + Акт(X) + Ьт

г + ] —ю

Ь+0 + 1

2 а( I + — М( 1+] + 1)^

е^ 11 $(8) 11 Х ё я €

+

2

2

2

2

+ю

€

V (А) + йиг) (Х) + Ак^+ (\1 ¿А, (5)

у

где ^ — произвольная положительная константа. Покажем связь последних неравенств. Имеем

Ь+0 + 1

а 2 а( I + — *( 1+3 + 1)^

+

е^ 11 §(в) 11 Х ё я €

Ь+0 + 1

€ е2а(г+^ У | | #(8) 11Х ё8 € е2а(1+^ I 11 #(8) 11Х ¿8.

+ +

В данном случае ехр^—ц((1+] + 1)3 — я 3€ 1, так как < я < Ь+] + 1, Ь+] + 1 > 8. Полагая ^ = 2(а — е) и учитывая, что 0 > 1, имеем 2а(1 + з)3 — ц ^ + + 1) >

£ / 1 \ 3

+ З,3. Это неравенство можно получить из неравенства I 1 + --г) < 1 + А,

2 V 1 + ])

А > 0 и £ + ] =Т — достаточно большое.

Таким образом, неравенство (5) можно написать так

Ь +0+1

+ю

е2

I (1+з)Г:

е*^ 11 §(8) 11 Х ё я €

V (\) + йи,п (Х) + Ак]-п (Х) + ¿км

+

ё X,

у

Ь+0 + 1

+

2(а—е)11 §(8) 11 Х ё8 €

€ е— I ( 1+з)Г:

+ю

V (Х) + йи,п (Х) + Ак]-п (Х) + ¿кт

¿X.

у

Суммируя по = 0, 1, 2, . . ., получим

+ю

+ю

| е2(а—е)8^|ф(8)11Х€ с I \\{IV(Ь) + й^(Ь) + Акт(х) + акт(А)}\\у ¿А, (6)

ю

ибо ряд ^ ехр ^ — 2( + з)^ сходится.

=о

Для завершения доказательства теоремы остаётся показать сходимость интеграла

+ю

п 1

п 1 ш к

п 1 ш

и(*) + £ (V + £ £ £ С"кАкт(\) + £ £

и=о

+ю

к=оз=ою=о

к=о =о

ё X €

С +Г 2 п—1 +ю

€ с1 / IV (о + гт) ё о +Е / 11(а + & ¿о+

1-ос У и=о-СЮ

2

2

2

2

п—1 т k 2 п—1 т }

+ / Akjv (a + it) da + / W^kjr (a + \Y

da У

k=0j=0^=0 Y k=0j=0 —tt )

с = const.

Для каждого слагаемого из фигурных скобок, используя теорему Планшереля, получим

+tt

2

+tt

+tt

fv (a + ir) у da £ J e2т Ш12 \\f(t)\\ Y dt £ J e2Tt \\ f(t)\\ Y dt < ж, — tt t 0

J ||mq„ (а + гт)\\1 da £ | e2 Tt|v(t)\2 d* £ / e2Tt |№(*)||Х dt < ж,

J | | (a + iт) \ \ 2y da = J e2 т>'(*)!2 Щ

t 0+1

2 11 "" 1u(t)\fY da =

e2 Tt \\-D" 1«(i)\X dt < ж.

0

Все остальные интегралы, в которых встречаются производные от функции Г]^), будут интегралами по конечному интервалу (Ьо, Ьо + 1).

Что касается остальных интегралов, то, используя условия а) и д) теоремы, имеем

+tt

+tt

Ao3V (a + гт) y da £ / e2Tt \\Aojr,(t)'r](t)Shol +ho3(t)u(t)\\Y dt £

tt \ 2 / tt — 2et

£ I I e-2 dt

0

J e2(\\ Aoj(t)\\Y \\Shoi+ho3(t)u(t)\\2x dt I £ 0

tt

2

£ T—: J \\u(t)\\xdt < ж

t2

Аналогично доказывается и сходимость остальных интегралов, связанных с

Akjr(А), при оценке которых слева получится интеграл

А

T

\Dku(t)\\x dt <

0

то, к = 1,2, ..., п — 1. Для оценки оставшихся интегралов от (Л) используем лемму 1 о характеристической функции Х ( ) оператора А. Имеем

+tt

У \ \ Zo jv (a + гт)\\Y da £ tt

+tt

£ j e2T 1 \\V^t - hoj)u(t - ho j) - r](t)u(t - hoj - hoj(t))\\X dt+

+ X2A0le Tt \\n(t - hoj)u(t - hoj) - r](t)u(t - hoj - hoj(t))\\Y dt £

£c2 j'\\u(t)fx dt + c?J J \ \ u'(t) \ \ X dt < ж. t2 t2

2

Как видно из выражения для г^ц (А) при появлении производной от под соответствующим интегралом окажется финитная функция, равная нулю вне (¿о, ¿о + 1). Поэтому доказательство сходимости соответствующих интегралов не представляется трудной задачей. Таким образом, после приведённого доказательства неравенство (6) принимает вид / е2^ Ц^)^<1* < с / е'« ||/(*)|£ «*.

¿0 ¿0 Теорема доказана. □

Литература

1. Алиев Р. Г. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты // Вестник МГУ. — 1974. — № 5. — С. 3-7. [Aliev R. G. O differencialjnihkh uravneniyakh v banakhovom prostranstve, resheniya kotorihkh ubihvayut bihstree ehksponentih // Vestnik MGU. — 1974. — No 5. — S. 3-7.]

2. Алиев Р. Г., Шамов Э. Ш. Об одной теореме типа Фрагмена-Линделёфа для функционально-дифференциального уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Сборник «ФДУ и их приложения». — 2009. — № 5. — С. 43-47. [Aliev R. G, Shamov Eh. Sh. Ob odnoyj teoreme tipa Fragmena-Lindelyofa dlya funkcionaljno-differencialjnogo uravneniya s operatornihmi koehfficientami v giljbertovom prostranstve // Sbornik «FDU i ikh prilozheniya». — 2009. — No 5. — S. 43-47.]

3. Лакс П. Д. Теорема Фрагмена-Линделёфа в гармоническом анализе и её применение к некоторым вопросам теории эллиптических уравнений // «Математика», сб. переводов. — 1959. — Т. 3, № 4. — С. 107-132. [Laks P. D. Teorema Fragmena-Lindelyofa v garmonicheskom analize i eyo primenenie k nekotorihm voprosam teorii ehllipticheskikh uravneniyj // «Matematika», sb. perevodov. — 1959. — T. 3, No 4. — S. 107-132.]

4. Алиев Р. Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. — Махачкала, 2001. [Aliev R. G. Funkcionaljno-differencialjnihe uravneniya v giljbertovom prostranstve. — Makhachkala, 2001.]

UDC 517.9

About Growth of Solutions to Ordinary Differential Equation

with the Delay Argument

E. Sh. Shamov

Department of Higher Mathematics Dagestan State Technical University 70, I. Shamil avenue, Makhachkala, 367015, Dagestan, Russia

The functional-differential n-order equation with unbounded operational coefficient and deviations of arguments is considered. The existence theorem of the existence of solutions decreasing rapidly compared to exponent, is proved in the article.

Key words and phrases: functional-differential equation, resolvent operator, invertible (recoverable) operator, unbounded operator, completely continuous, closed operator, operational coefficient.