Аналитическое продолжение решения задачи теории рассеяния для оператора Шредингера с магнитным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.227

раздел МАТЕМАТИКА

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С МАГНИТНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

© А. Н. Галимов*, Х. Х. Муртазин

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (34 7) 273 73 34.

E-mail: [email protected]

В работе изучено аналитическое продолжение решения задачи теории рассеяния в верхнюю полуплоскость для оператора Шредингера с магнитным потенциалом.

Ключевые слова: компактность, оператор Шредингера, уравнение Липпмана-Швингера, интег-ро-дифференциальной оператор.

Первые результаты о разложениях по собственным функциям оператора Шредингера [1-4] с электрическим потенциалом получил А. Я. Повзнер в работе [3], связь этих разложений с теорией рассеяния установлена им же в работе [4]. В дальнейшем этой теме было посвящено большое количество работ Т. Икэбе, Л. Д. Фаддеева, Д. М. Эйдурса, С. Куроды и других авторов (с достаточно полной библиографией можно ознакомиться в [2, с. 367-370]). Итоги этих исследований подведены в книге [2].

Известно, что при а(х) ° 0, т.е. отсутствие магнитного потенциала, уравнением Липпмана -Швингера называется интегральное уравнение

1 :в ' "

р(х,Л,а>) +----h------¡-V(у) р(у,Л,а>)dy = t

\x - у

где 1 - вещественный параметр, we S2. В частности, в книге [2] изучается условие Рольника:

|x-у|~2V(x)V(у) e L(R6), Ve L(R3). (2)

Введем однородное уравнение

f + K (1) f = 0, (3)

где K(l) - интегральный оператор с ядром

il x- y|

e

K (x, y,1) =---;--г V (x)

4px - у

уравнения (1). Изучение особенностей по параметру 1 решения р(x,1,w) уравнения (1) сводится к исследованию множества £ тех 1, при которых однородное уравнение (3) имеет нетривиальное решение, а также асимптотическое поведение самих решений f (x). В теореме XI.41 работы [2] было доказано, что в классе вещественных потенциалов (2) множество £ ограничено, замкнуто и имеет лебегову меру нуль. Далее, в работе [5, теорема 2.4, с. 51] было доказано, что для потенциалов Рольника (2) множество £, на самом деле, конечно и если 1е £ \ {0}, то 1 - собственное значение оператора Шредингера конечной кратности. Кроме того, в работе [5, теорема 2.5, с. 53] для данного класса потенциалов установлено, что при каждом d > 0 для 1 e R имеет место неравенство

sup j\V(x)| j(x,1, w)\ dx <¥, где we S2.

il\ x-y|

Далее, в работах [6-7] было доказано отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения задачи теории рассеяния для оператора Шредингера с магнитным и электрическим потенциалом.

В данной статье обсуждается вопрос об аналитическом продолжение функции j(x,1,w) по параметру 1 в верхнюю полуплоскость Iml > 0. Для простоты изложения мы потребуем, что потенциалы удовлетворяли условиям (i) [7, с. 403] и (iii), где

(i) |ф(х)|е L(R3) , |a(x)|е L(R3), где

3

Ф(x) = V(x) + а2 (x) + idiva(x), a2 (x) = Za2( x)

k=1 ■

(ii) для всех i > 0 функции

fs( x) = jlx - y\ — \Ф(У)\^

| x—y| <3

gi(x) = |x — y\ 2 |a(У)|^

| x—y| <3

ограничены в R3 , причем

lim(sup fd (x)) = lim(sup gd (x)) = 0 ’

3®0 xeR3 3®0 xeR3

(iii) lim sup f|x — y| — (|a(y^ + |Ф(y))dy = 0.

3®0 xeR x—y<3

Условие (iii) позволяет изучать уравнение Липпмана-Швингера в пространстве непрерывно дифференцируемых функций С (1)(r 3), где норма определена равенством

Э f(x)

.(1) = sup

d:

При выполнении условий (i) и (iii) для вещественных Ц уравнение (51) (см. [7, с. 413])

j(x,1, w) + I(4px — y|)-1 e1 У [Ф(у) + 2(A|x — y| 1 +

+ i|x — y\ )(x — y, a(y))] • j(y, 1, (O)dy _ e

можно записать в виде

i Ц x— y|

1 il x — VI

1 ce

<р(х,Х,а) +----------1^----¡- W j(y,1,w) dy _ e

4p R-з \x — y\

іЦ x,w (4)

3 ____ Д

где W _ 2]T ap + Ф, pk _ i— —.

k_1 k

k _1

k

R

* автор, ответственный за переписку

Положим

(р(х,Л,ю) = y( x,1,w) ei1 х°. (5)

Легко проверить, что

W (р(х,1,т) = e‘1x,W\Wy(x,1,a) + 2 Л^х), w) y (х, Л, w)], (6) и из (4)—(6) заключаем, что для всех we S2 и Ле R функция y (х, Л, w) есть решение интегрального уравнения

j(x,1,w) + I (4p х - y\) 1exp il(x - y\ + (y - х,ю))х

R3

(7)

х [wy(y, Л, w) + 2Л(a(y), w) y (y, Л, w)]dy = 1. Если ввести интегро-дифференциальный оператор M (Л, а) в пространстве С (i)(r 3) равенством

M(1,w)y(x) = I(4px -y|) 1 expil(x -y| + (y - x,w))x

R3

x[wy(y) + 2Л(a(y),w) y(y)]dy, то (7) можно записать в виде

y (Л, w) + M (Л, w) y (Л, w) = yo, (8)

где y(1, w) = y(x, Л, w), yo ° 1. Отметим также, что если ввести оператор умножения

E(1,w)y(x) = e1x’"wy(x), (9)

то оператор M (Л, w) представляется в виде

M (1,w) = E ~'(Л,&) Mo (Л) E(1,w), (10)

где M (Л) есть интегро-дифференциальный оператор M „ (Л) = Go (l)W, (11)

где Go (Л) = (4px - y|)-1 е‘Л x- y|.

Вначале покажем, что оператор M (1,w) допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость 1шЛ> 0. Справедлива

Лемма 1. Пусть выполнены условия (i) и (iii). Тогда для всех we S2 оператор M(Л,о) допускает аналитическое продолжение в верхнюю полуплоскость как компактный оператор. Причем, в окрестности Л0,1шЛ0 > 0, оператор M (1,w) допускает разложение в степенной ряд

M (Л, w) = ^ Al (w)(1-1o )l, (12)

l=0

где для всех l операторы At (w) - компактные в пространстве с(1)(r3 ), такие, что ряд (12) сходится в круге |Л - Ло | < 8, 8 <8o = Іш Ло в равномерной операторной топологии.

Доказательство. Ограничимся доказательством аналитичности. Для всех coe S2 имеем оценку d(х,y,w) = |х - y| + (y - х, 0. (13)

Воспользуемся разложением

eild(х,y, w) gi1° d(х,у, w)ei(Л-Л0)d(х,y,w)

=Z

і1єлd ( x, у,о) d1 ( x, y, о)(Л - Л0 )l

l=0 l!

Тогда в (12) операторы Al (w) имеют вид

a,(°)y(x) = j j(4px - y|) 1еЛ-d(x’y’°) x

(14)

x dl ( x, y,а)[W y( y) + 2 Л a(y), (à)y( y)]dy,

Оценим норму оператора А1 (о) в пространстве С(1)(я3). Для этого положим а,(х,о) = А,(о)у(х),

где

= 1. Используя то, что d(х, y,w) > 0, мы

получим оценку д

Эxk

[(4px - y| )-1єл d ( x, y,°)dl ( x, y, о)

< (4p)-1e

1 -i„d ( x, y, о)

[I x - y| 2 d1 (x, y, о) +

+ | x - У (Л |dl (x, у,о) + ld1 1)] S

. ce~lel > -2 і |-1

(| x - y| +| x - y| ), l > 1,

(15)

где с - положительная постоянная. Кроме того, имеем

(16)

Wy(у) + 2Лa(y), w y(у)| £

< с(| a+Ф| )iy (i) £ c (| a+ФІ),

где с - положительная постоянная. Из (15) и (16) следует оценка

. J

-2

lia(о)11с(1) <:::77il^sup J(lx-y|~2 + lx-У {)

ni

x (|a(y) + |Ф(y)|)dy S

x

(17)

л/1+1 il

J > 0,

где с - положительная постоянная, не зависящая от о. Здесь для оценки мы использовали формулу Стирлинга [1]. Из неравенства (17) следует, что при |Л - Ло| <3, где 0 <3<3о, ряд (12) сходится по норме операторов. Причем сходимость равномерна по ае £2. Лемма 1 доказана.

Согласно лемме 1 к уравнению (8) мы можем применить теорию Фредгольма, согласно которой уравнение (8) имеет единственное решение в пространстве С (1)(л3), если соответствующее однородное уравнение

у+ М (Л,о)у = 0 (18)

имеет только нулевое решение. Поэтому остается изучить множество тех Л и о при которых однородное уравнение (18) имеет нетривиальное решение в С (1)(л3).

Справедлива

Лемма 2. При 1шЛ> 0, ае £2 однородное уравнение (18) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда однородное уравнение

<р+ М„ (Л)р = 0 (19)

имеет нетривиальное решение в С(1)(л3), причем у и р связаны равенством

у(х) = р(х)е~'Лх’°.

Доказательство. 1) Если 1шЛ = 0, то ввиду равенства |е-¡Л(х,°)|= 1 оператор Е(Л,о) унитарен.

R

C

R

С

Так что в этом случае для любого we S2 оператор M(1,w) унитарно эквивалентен оператору м„ (1) и утверждение леммы в этом случае тривиально.

2) Пусть теперь Iml > 0. Подобно лемме 3 [7, с. 405], мы можем показать, что решение уравнения (19) удовлетворяет оценке

|р(x)| < ce-Im1|x|, (20)

где с - положительная постоянная. Тогда функция y(x) = e x, wp(x) e С(1) (r 3) является решением уравнения (18).

Обратно, пусть y(x) есть решение уравнения (18). Мы хотим показать, что функция j(x,1,w) = y(x,1,w)e,л1'x’w удовлетворяет оценке

Imllxl I х ч|

sup e |р(x)| <¥ и является решением уравне-

ния (19). Для этого введем функцию

в(г) є Є(2) [0, ¥), такую, что в(г) = 1 при 0 < г < 1, 0(г) = 2 - г при 1 < г < 2 и в(г) = 0 при г > 2. Пусть @ есть оператор умножения на функцию

в

УІ в пространстве С (1)(r 3). Легко

показать, что

в равномерной операторной топологии в пространстве С (1)(r 3)

lim0nM(1,a)0n _M(1,w)

равномерно относительно ae S2, то есть

lim sup0nM (1, w)0n — M (1,w)|| _ 0.

n®¥ aeS2

Тогда, согласно теории компактных операторов, при каждом ae S2 существуют последовательность \yn (x)}j_1 с С (1)(r 3) и последовательность чисел t }J_i e r , такие, что при каждом n e N

t Уп + QnM(1, a) 0пУп _ 0, (21)

причем lim tn _ 1, в пространстве С ^(r 3)

п®¥

limy (x) _y(x). Из (21) видно, что при каждом п

П®¥

функция yn (x) - финитная в С(1) (r 3), так что функция j (x) _ y/n (x) e11'x’W также финитная функция в С (1)(r 3), причем jn (x) есть решение уравнения

t j +0M (1) Qnjn _ 0. (22)

Кроме того, также легко показать, что в с (1) (r3 )

lim||0nM„ (1)0n — Mo (1)|| _ 0. (23)

n®¥M

Тогда к соотношениям (22) и (23) можно применить те же рассуждения, которые были использованы при доказательстве леммы 3 [7, с. 405]. В результате покажем, что в с(1)(r3 ) lim jn (x) _ j(x),

n®¥

где j(x) _ y(x) e1 x,w, причем

sup e

xeR3

Лемма 2 доказана.

V

x) < ¥.

Таким образом, построенная нами функция У(х,Л,№) существует для всех we S2 и ненулевых Л из полуплоскости ІшЛ > 0, за исключением точек множества e [7, с. 404], которые расположены на мнимой оси и квадраты которых являются отрицательными собственными числами исследуемого оператора Н [7, с. 403]. Пусть Ло = it, (т„ > 0) - некоторая точка из e1, n - размерность решений однородного уравнения

f + Go (Ло )Wf = 0. (24)

Согласно лемме 3 [7, с. 405]) каждое решение экспоненциально убывает, точнее

sup e МЛ° ^\f (х)| < ¥. (25)

*eR3

Также как в §4 (см. [7, с. 413] мы построим аналог оператора В (Л) для анализа поведения функции у(х, Л, w) в окрестности точки Л0 .

Пусть 5 > 3, \fk (х)} - базис решений уравнения (24), нормированным условием

- fk , fm )= J(1 + N) Vk (х) fm (х)^ = 8km , (26)

R3

где 8km - символ Кронекера. Пусть El есть опера-

1 i Л I х| f-r

тор умножения на функцию e 11. Положим B(Df = Go d)Wf -

— І (x s/2Ef, X-s/2E—1fm )Go (1)X-sExEl1fm

(27)

Пусть теперь

Б(Л,а)у=Еч(Л,о)В(Л)Е(Л,о). (28)

Согласно определению (28), имеем

Б(Л,а)у = М (Л, о) у-£ (X -/2 Е^Е(Л,о)у, X ^/2 Е^/т )х

т=1

х Е-1(Л,а)Оо (Л) X -*ЕлЕ-1/^ (29)

Оператор е-1Оо (Л)X-ЕЛ при у(х) е С(1)(я3) имеет вид:

Е-1Оа (Л)X -Еу(х) = | (4рх - у\)-1 е‘Л( х-У+У-| х '(1 + \у\)-у(э^.

Я3

Так как |х-у| + |у| - > 0, то при 1шЛ > 0

iX(\x—y| + y| — x\)

< 1,

Откуда следует, что

\\е--1Оо (Л)X-*Еу\с(!) < у с(,),

где с - положительная постоянная. Следовательно, оператор Б(Л,а) ограничен в с(1)(я3 ) и по аналогии с §4 (см. [7, с. 413-416]) справедлива

Лемма 3. Для всех ае £ оператор

1 +Б(Ло,о) ограничен и обратим в С (я ), следовательно, аналогическое утверждение верно и для

оператора 1 + Б (Л,о) в некоторой окрестности Л°.

xeR

n

m_1

Данная лемма позволяет схему, изложенную в §4 (см. [7, с. 413-416]), применить для анализа поведения функции у(х,Л,о) в окрестности точки Л . На основании которой покажем, что имеет место Теорема 1. Пусть потенциалы удовлетворяют условиям О)-(И) (см. [7, с. 403]) и (111). Тогда решение задачи теории рассеяния р(х,Л,о) представляется в виде р(х,Л,о) = еЛх°у(х,Л,о), где функция у(х,Л,о) для всех Ле[0}и£1 и для всех ае £2 принадлежит классу С(1)(я3 ), непрерывна по о по норме пространства С (1)(я 3), аналитична по всем Л, 1шЛ > 0, Лг{0}ие и непрерывна вплоть до вещественной прямой по норме пространства С(1)(я3). Кроме того, в точках Ле е1 у(х,Л,о) имеет простые полюсы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. 181 с.Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3: Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 443 с.

2. Повзнер А. Я. О разложениях произвольных функций по собственным функциям оператора - Д + с // Мат. сб., 1957. Т. 32. №1. С. 109-156.

3. Повзнер А. Я. О разложениях по собственным функциям, являющихся решениями задачи рассеяния // Докл. АН СССР. 1955. Т. 104. С. 360-363.

4. Муртазин Х. Х., Садовничий В. А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера. М.: изд-во МГУ, 1988. 229 с.

5. Муртазин Х. Х., Галимов А. Н. Спектр и рассеяние для операторов Шредингера с неограниченными коэффициентами // Докл. АН. 2006. Т. 407. №3. С. 313-315.

6. Муртазин Х. Х., Галимов А. Н. Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле // Матем. заметки. 2008. Т. 83. №3. С. 402-416.

Поступила в редакцию 08.09.2010 г. После доработки - 06.05.2011 г.