Задача рассеяния для уравнения Шредингера с потенциалом типа возмущенной ступеньки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© Н.И. Плетникова

[email protected]

ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С ПОТЕНЦИАЛОМ ТИПА ВОЗМУЩЕННОЙ СТУПЕНЬКИ

Ключевые слова: оператор Шредингера, уравнение Л иппмана-Швин-гера, нелокальный потенциал, обратная задача рассеяния.

Abstract. We investigate the scattering problem for the Schrodinger operator with a non-local perturbed step potential. The uniqueness of the inverse problem is proved.

Введение

Рассматривается одномерное уравнение Шредингера

Нф = Еф, (0.1)

где Н = + Vqв(х) + А(-, ipo) ipo , а Е — спектральный пара-

метр. Здесь Vq = const < 0 (данное предположение не уменьшает общности), 9{х) — функция Хевисайда, ненулевое А € R — параметр, функция ^о(х) удовлетворяет оценке |<£о(х)| ^ Ce-a|x|

( C, а = const > 0) (далее такие функции будем называть экспоненциально убывающими).

В случае ф-Щ £ LX(R) обозначаем (ф,<ро) = /ф(х)(ро(х) dx.

R

Одномерный оператор А•,^)^о в физической литературе называют сепарабельным потенциалом [1].

Положим = + Vqв(х) . Ядро резольвенты Rv0(E) =

= (Hi — Е)— будем называть функцией Грина. Вид функции Грина Gi(x,y,E, Vo) оператора H приведен в работе [2].

Рассеяние микрочастиц на потенциале описывается уравнением Липпмана-Швингера

ф(х) = ф0(х) - А(ф, ы I&(х, У,Е + *0, Уа)фа{у) Лу, (о.2)

К

Фх ратора Н.

Далее будем считать, что Е > 0. В записи функции Грина символ +г0 для краткости будет опускаться. В работе изучается задача рассеяния для оператора Н. Доказана (при определенных условиях) единственность обратной задачи рассеяния.

1. Прямая задача рассеяния

Фх

яния, и коэффициенты рассеяния находим с помощью интегрального уравнения Липпмана-Швингера (0.2) (см., напр., [3]).

Согласно [4] волновая функция фо(ж) во всей области х > 0 имеет вид фо(х) = , где к = л/Ё, к = \/Е — Ро ; а в

области х < 0 — фо(х) = егкх + щ^е~гкх ■

Теорема 1.1. При 1 + ЦЕу0(к)^о, ^о) Ф 0 решение •уравнения Липпмана-Швингера (0.2) существует, единственно и имеет вид

ф(х) = А(к, к)етх + щ{х), х > 0, ф(х) = в*кх + Б(к, к)е—1кх + %(х), х < 0,

где

=&+< * Т *+

о

+ I ?‘тМу)Лу+щ^ I е-‘к>Ми)Лу),

о —те

В(М) - fe£ + ^

+ SE / e‘k“m{y)dy- м;*+“) / e~ikyi£o(y) dy)

— Ж — Ж

— коэффициенты прохождения и отражения соответственно, а щ{х), щ{х) —экспоненциально убывающие функции.

Доказательство. Уравнение (0.2) имеет вид ф(х) = ф0(х) - А(ф, <po)RVo(k)^o, (1.1)

где Rv0(k)^0 = f Gi(x,y,k,K)ip0(y)dy . Если C = -А(ф, щ0), то

R

ф(х) = фо(х) + CRv0(k)^>o • Подставив получившееся выражение снова в (1.1), получим равенство

^oH+CRvq(k)^0 =ф0(х)-А((ф0,Ы + C(Rv0(к)щ0,Ы) Rv0(k)^o-

Следовательно, С = — 1+Л^д ^ ■ При ж > 0 функция Гри-

на оператора И имеет вид

Согласно лемме 1 [5] получим

+ Ж + Ж

JW*)w>-(-5fc / / ^л,-

о о

“ipfeby / e“ifc?Vo*/)eira + r?i(x),

— Ж

где ^(х) — экспоненциально убывающая функция. Осталось записать ф(х) в виде ф(х) = A(k, к)егкх + ^г(х). Аналогично рассматривается решение ф(х) при х < 0 .

Лемма 1.1. Коэффициенты прохождения А(к,к) и отражения В (к, к) (см. теорему 1.1) удовлетворяют равенству |А(к, к)\2 + |В(к, к)\2 = 1.

Доказательство. Как известно, для нормированного решения ф(х, £) нестационарного уравнения Шрединге-ра выполнено равенство

/|ф(х,£) |2 йх = 1, £ € М, ^2)

к

а функция ф(х, £) представима в виде

Ф{х, 1) = ~Ь I к) <1к, |М| = 1,

у к

где ф(х,к) — решение уравнения Липпмана-Швингера. Далее считаем, что функция <р(к) € СЖ(М) и отлична от нуля в некоторой малой окрестности произвольной точки ко > 0. Согласно методу стационарной фазы [6] при £ — интегралы с убывающими по х функциями обращаются в пуль. Поэтому при х < О и £-» +оо

1 Г 0-гкх„-гк1г

фх(х,£) / <р(к)В(к,п)е е

йк

1

о

В (ко, ко) / <р(к) е 1 йк,

а при х > 0 и £ ——

-СЮ

ф2(х,£)^-^= / ф)А(к,к)е-^хе~*кЧ

-Ж

г*-^А(к0,к°) / (р(к)е^КХ~^Чк. Так как к2 = к2 + V), то

йк

-СЮ

ф2(М) » е~г^А(к0,к0) ^ • -7= / <р^к2 + У0)егкх-гк2Чк,.

7ГV=Vo

Подставим решение нестационарного уравнения в равенство (1.2)

О +ж

/ |ф1 (х,£)|2 йх + / |^(х,^|2 йх = 1.

—ж о

+оо _______ 9 +оо

Учитывая, что / \<р(\/к2 + Ц)) | йк я ^ / |<£>(&;)|2 (й; =

л/=*Ъ ° 0 °

и рассматривая функции ^, носители которых стягиваются к

точке /со , получаем | В (ко, к0)|2 + Ц • «0)|2 = 1.

2. Обратная задача рассеяния

Обозначим через £о множество экспоненциально убывающих функций : М — М таких, что бирр^о € [ 0, + то) . Положим

^(к) = - е-гкх^(х)йх

к

— преобразование Фурье функции <^о(х) •

Лемма 2.1. Для щ(х) € справедливо равенство

{Щ,(Фо,<Ро) = £ (*тг|^о(«)|2 +У.р./^§^ф)-

к

~2Гф+К) (Ы-к))2.

Доказательство. Пользуясь предположением леммы и видом функции Грина С\(х, у, к, к) , получаем

(*№ (*)<*><*> = -1(ш е‘ф~‘' + зйрЙт »

к2

х <р0(х)<р0(у)йхйу.

Так как функция — ^ ет —это функция Грина оператора Я0 = — ^ , то можем записать

(Пу0{к)уо,Ы = (До(«)¥>о,Ы - ък\к+к) (^о(~^))2-

Согласно равенству Планшереля справедливо

(Щ(к + гО)<£о,^о) = ((Яо(к + ге)ро)А,^),

где

(До(к + геЫЛ = рТ^+ЩТ^О = 2(к+1ё) • ,

а формулы Сохоцкого [7] завершают доказательство:

(Яо(Фо,<Ро) = £ (мг|^(к)|2 + У.р./^ф).

к

Очевидно, что (фо^о) = к) Для любого <ра(х) € 5о .

Если а = а(к, к) = А(к, к) - ^ , /3 = (3(к, к) = В(к, к) - ,

д(к) = (^(—к))2 , /(к) = 1^(К|2 ; т0 в соответствии с леммой 2.1 коэффициенты прохождения и отражения (см. теорему 1.1) неявно удовлетворяют системе уравнений

( к -I ^ I fc(-fc+к) / ч

_ _Д; + К/(К)+ (к + К) 2 й(К)______

^ -7т/(К)+гу.р./^йр-^ф^а(К) ’

(2.1)

2кк / ч

о _ ___________(А:+к)2 __________

гк ч . • г /(р) , —к+к , ч ’

^ х-7г/(К)+гу.р./—ф-2(Щй(«)

Из системы видно (см. также формулы для коэффициентов прохождения и отражения), что картина рассеяния полностью определяется функцией |^(к) |2 .

В дальнейшем исследуется обратная задача рассеяния в следующей формулировке: по заданным функциям А(к) = А(к, к) и В(к) = Щк, К ( к здесь выражено через к ) найти информацию о функции |^(к) |2 ■ Положим

м — м( к\ — В(к)(к+к)-к+к А(к)(к-к)

Ш — — Б(к)(д.+к)_2 к В(к)(к-к)+к+к’

а* = а* (к) = -2 + 2М---------------= -2 + 2М - , , 0.,

' ' ап(к+к) п(А(К(к+К_2к)

__ к(—Нтгк, А(к)-{-(4:7т—1)(В(к)(к—к)-\-к-\-к))

тг(А(к)(к-\-к)—2к)(В(к)(к—к)-\-к-\-к) ?

ь* =Ь*(к) = --

к

тт(А(к)(к-\-к)—2к) '

Из второго уравнения системы (2.1) выразим #(к):

^(к) = + i у-р- / йар) >

к

а первое приведем к виду

т - (^ + ^ ¥-Р-/ Й * = ^

к

Следовательно,

и-")? - (1-м + #/(*)-1#..р./=Й?Ф-а

к

(2.2)

Это уравнение рассматривается далее в пространстве £2 (М2) .

Из (2.2) следует, что величина 1 — М стремится к нулю при | к | ^ то быстрее любой степени | к | .

Под тёк а*(к) будем понимать приращение аргумента функции а*(к), деленное па 2п , тогда к пробегает М.

Лемма 2.2. Пусть выполнены условия

Л(к)(к + к) — 2к ф О,

В(к)(к — к) + к + к ф О,

—8пк Л(к) + (4п — 1)(В(к)(к — к) + к + к) ^ 0.

Еслм тёк а*(к) = 0, то уравнение (2.2) имеет единственное решение. Если тёк а*(к > 0, то уравнение (2.2) имеет не более одного решения.

Доказательство. Введем следующие обозначения: Р = |(/ + 5) И <5 = |(/ — Б), где I — единичный оператор, а Б — сингулярный интегральный оператор, определяемый формулой Б£ = ^ у.р. [ с1т . В новых обозначениях

к

уравнение (2.2) имеет вид

(1 _ м) f + а*(«)Р(тг/(«)) + Ь*(«)<Э(тг/(«)) = 0. (2.3)

По теореме 6.1 [8], для того чтобы оператор Е = а*Р + Ь*<^ был обратим в пространстве Ь2 (М) с какой-либо стороны, необходп-

а* к Ь* к

следующим условиям:

а* к Ь* к

а* к Ь* к .

,

к а* к

равным нулю или положительным. Утверждение леммы следует из упомянутой теоремы.

Под решением обратной задачи рассеяния для уравнения Шредингера (0.1) понимаем функцию /(к) = Щ(к)|2, удовлетворяющую уравнению (2.3).

Теорема 2.1. Пусть щ € Б и выполнены условия

Л к к к — к ,

В(к)(к — к) + к + к ф 0,

—8пк Л(к) + (4п — 1)(В(к)(к — к) + к + к) ф 0, тёк а*( к) ^ 0.

Тогда решение обратной задачи рассеяния для уравнения Шре-

ЬМ

Доказательство следует из леммы 2.2.

Список литературы

1. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 240 с.

2. Чубурин Ю. П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки // Теор. и мат. физика. 1999. Т. 120, I" 2. С. 277-290.

3. Фадеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов математиков. М.; Ижевск: Изд-во РХД, 2001. 256 с.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1963. 704 с.

5. Сметанина М.С., Чубурин Ю. П. Об уравнении Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом // Вестн. Удм. ун-та. Сер. гМатематнкаС. 2003. С. 19-30.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 448 с.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 436 с.

8. Гохберг II.П.. Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. Кишинев: Изд-во Штиинца, 1973. 428 с.