Задача рассеяния для одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© Л.Е. Морозова

[email protected]

ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ДИСКРЕТНОГО ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С УБЫВАЮЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Ключевые слова: дискретный оператор Шредингера, убывающий потенциал, задача рассеяния.

Abstract. We consider the one-dimensional discrete Schrödinger operator H + V acting от the space l (Z), where V is a decreasing potential. The theorem of existence and uniqueness of the corresponding Lippmann-Schwinger equation is proved. We study the asymptotics behaviour of solutions of this equation.

Введение

Рассматривается одномерный дискретный оператор Шредингера H = Щ + V, действующий в пространстве l2 (Z) . Здесь (см. [1])

Щ{ф{п)}n& = {ÿ(n + l) + ф(п - l)}nez •

Оператор (потенциал) V = y/\V\VV, где VV = уТЙ sgnF , отождествляемый с последовательностью {V(n) }nez € lœ(Z), действует в l2(Z) то формуле V[ф{п)}neZ = {У{п)ф(п)}neZ ■ Предполагаем, что {V(n)} —ненулевая последовательность, удовлетворяющая неравенству

|V(n)| < Ce-“|n|, n € Z , (0.1)

где C, а > 0 — некоторые константы. Последовательности, удо-

влетворяющие оценкам такого вида, будем называть экспонен-

H

дает с отрезком [—2,2]. Обозначим через Щ(Е) = (Щ — Е)-1

резольвенту оператора Щ . Ядро Go(n,m,E) этой резольвенты, возможно продолженное по параметру E на интервал (—2,2) , будем называть функцией Грина. При всех n,m € Z имеет место формула (см. [3; 4])

G0(n,m,E) = G0(n-m,E) =

Операторы такого вида встречаются, например, в теории спиновых волн [3], в задаче рассеяния в модели сильной связи [5]. (В последней работе исследовано поведение матрицы рассеяния вблизи резонанса.) Рассеяние на потенциале как и в г'непрерыв-ном€ случае [6] описывается уравнениями Липпмана-Швингера

0±(n, E) = 0o(n, E) — ^ Go(n — m,E ± iO)V0±(m,E,

где E € (—2,2), 0o(n, E) — некоторая последовательность (см. ниже), удовлетворяющая уравнению Щфо = E0о •

В первой части работы доказано существование и единственность решения уравнения Липпмана-Швингера. Во второй получена ассимптотика решений этого уравнения при n ^ Исследованы амплитуды прохождения и отражения.

1. Существование и единственность решения уравнения Л и п п м а н а III винге р а

Положим q = E-v^2-4 _ грак как ^ ^ (—2,2), то | q \ = 1. Перейдем к новой переменной в = argq. Считаем, что в € (0, 2п), в ф п, тогда соответствие между E € (—2,2) и в будет взаимно

G n—m, в

GQ(n — m,E). В новых переменных G(n — m,9) = 2sLg еге\п~т\, n, m € Z , а уравнение Липпмана-Швингера принимает вид

0(n, в) = 0o(n, в) — ^ G0(n — m,e)V(m)0(m,e). м -n При ЭТОМ, очевидно, 0o(n, в) = .

Следует заметить, что в силу свойств аналитической функции и) = г — \/— 1, обратной к функции Жуковского, изменению в в промежутке (п,2п) соответствует предел Е + ¿0, а изменению в € (0, п) — предел E — ¿0 . Для определенности будем считать, что в € (0,7г) . В уравнении (1.1) сделаем замену, полагая <р = \J\V\ ф, тогда в операторном виде имеем

Если К(в)} = -л/ЩС0(в)^ , то уравнение (1.2) принимает вид

Будучи оператором Гильберта-Шмидта [7], оператор К(в) является компактным в 1 (Ъ) .

Будем называть дискретным множеством в П С С множество, не имеющее предельных точек в П . Понятно, что дискретность по отношению к переменной в € (0, п) означает дискретность по отношению к Е € (—2, 2) .

Теорема 1.1. Для любого в € (0,п); за исключением, возможно, дискретного множества точек, существует единственное решение уравнения (1.3) в классе 12(И) .

Доказательство. Положим Б = (0,п) х (—5, то) С М2 = С, где 5 > 0 — достаточно мало. Уравнение (1.3) можно рассматривать для в € Б, причем оператор К (в) остается в Б компактным оператором, аналитически зависящим от в. Последнее вытекает из теоремы Вейерштрасса об аналитичности ряда, составленного из аналитических функций, применительно к векторозначным последовательностям. В силу аналитической теоремы Фредгольма [2] достаточно доказать, что ||К(в)У < 1 в

Пусть в = а + гв, где а € (0, п), в > 0 . В силу (0.1)

<Р = <Ро~ а/МС0(в) \[У (р.

(1.2)

(1.3)

ЦК(в)\Цт < £ №)||Со(и — т,в) |2Щт)| <

<Г с р—а\п\ р—(3\п—т\р—а\т\ С ( _а|п|\/

^ \егв_е-гв\2 2-^ ^ ^ е ^ \егв_е-гв\2 \ 2^ ^ ) '

п,ш£Ъ п£Ъ

Так как |егб — е-гв| ^ |ев| —|е-в| ^ то при в ^ то , то ||К(в) || < 1 для достаточно больших в и любых а € (0, п) .

Следствие 1.1. Для всех в € (0, п), за исключе-

нием, возможно, дискретного множества точек, существует единственное решение уравнения (1.3) в классе Щ.

Доказательство. Пусть ф = Покажем, что

ф € ¿00(Z) . (Если У(п) = 0, то ф определяется правой частью уравнения (1.1), в котором Уф заменено на \Z\V\ <р .) Перепишем

уравнение (1.2) в виде ф = ф0 — Со(9)^\У\ <р . Тогда

|ф(п,в)| ^ |фо(п,в)| +

+ ( Е \С0(п-т,в)\2\У{т)\У2 ( Е 1^(т)$)|2)5 < оо.

ш£ Z ш£Ъ

2. Асимптотика решений уравнения Л и п п м а н а III винге р а

Теорема 2.1. Решение уравнения (1.2) имеет вид

ф(и, в) = А+(в)ег6>п + п+(п), п> О,

ф(п, в) = егвп + А- (в)е-г9п + п- (п), п < 0,

где А+(в) и А^в) — амплитуды прохождения и отражения:

А+(в) = 1 + Е е-гвшро(т), А-(в) = Е егвтщ(т),

ш^Ъ ш^Ъ

а функции П+{п) и п) экспоненциально убывают соответ-

ственно при п ^ +то и при п ^ —то .

Доказательство. Уравнение (1.1) при п > О имеет вид

ф(п, в) = егвп + 2Jd0 егвп Е е~гвт V(т) ф(т)+

m€Z

^ ^e-i^n-m) _ ei^n-m^ у{ш)ф{ш).

2 sin#

m>n

Если последнее слагаемое обозначить через п+(0), то в силу (0.1)

l»?+(n)l < 121БГ01 Е | sin(0|n — т\) \ \ V(m) \ \ф(т)\ ^ е~а^,

m>n

где С — некоторая константа.Таким образом, п+ экспоненциально убывает при n ^ то . С л учай n < 0 симметричен.

Теорема 2.2. Справедливо равенство |A_|2+|A+ |2 = 1. Доказательство. Очевидно,

N _ N _

Е (Нф)(п) • ф(п) - Е Ф(п) ■ (Нф)(п) =

n=—N n=—N

N N

= E Е №(n)|2_ E Е |ф(п)|2 = о,

n —N n —N

а с другой стороны,

/ w _ w _ \

Jim ( Е (Нф)(п)-ф(п) - Е Ф(п) ■ (Нф)(п)) =

N n=-N n=—N J

= lim fap(-N + l)ip(-N)-

N

+0(-iV) - 1) + ^(iV + 1) Ф(И) - ф(И) Ф(И + 1)) =

= |A—|2 (eie _ e—ie) _ (eie _ e—iö) + |A+|2 (eie _ e—ie) =

= (eiö _ e—iö)(|A— |2 + |A+|2_ 1).

Ссылка на условие 0 ф п завершает доказательство.

Список литературы

1. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М: Мир, 1977. 360 с.

3. Wolfram Т., Callaway J. Spin-wave impurity states in ferromagnets // Physical Review. 1963. V. 130. i" 6. P. 2207-2217.

4. Морозова Л. E., Чубурин Ю. П. Об уровнях одномерного дискретного оператора Шредингера с убывающим потенциалом / / Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2004. Вып. 1 (29). С. 85-94.

5. Арсеньев A.A. Резонансы и туннелирование при рассеянии на квантовом бильярде в приближении сильной связи // Теор. и матем. физика. 2004. Т. 141, i" 1. С. 100-112.

6. Березин Ф.А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. М: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 392 с.

7. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Физматлит, 2002. 488 с.