О рассеянии для оператора Шредингера с нелокальным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© М.С. Сметанина

[email protected]

О РАССЕЯНИИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Ключевые слова: уравнение Липпмана-Швингера, нелокальный потенциал, волновые операторы, асимптотика.

Abstract. We consider the Schrodinger operator of the form H = = — d2fdx2 + V acting in L2(R) where V = eW(x) + A(•,^)ip(t is nonlocal potential and W(x), ^o(x) are decreasing functions for | x |^ to . The existence and completeness of the wave operators is proved. We investigate the asymptotic behaviour of solutions of the Lippmann-Schwinger equation and study the scattering amplitude.

Введение

Рассматривается оператор Шредингера H = -d/ dx2 + V, где V = eW(x) + А( ^0)^0 (0.1)

— нелокальный потенциал с вещественными параметрами e, А , Wx

| W(x) |^ Ce-“|x| , где C, а > 0 - некоторые константы, ^о(х)

- заданная функция, для которой выполнено аналогичное неравенство | ^о(х) |^ Ce-a|x|, C,а > 0. В дальнейшем функции, удовлетворяющие оценкам такого рода, будем называть экспоненциально убывающими. Потенциалы вида (0.1) представляют собой сумму локального потенциала (оператора умножения на функцию) и одномерного оператора Vs = А(•,^)^о, называемого в физической литературе сепарабельным потенциалом [1];

такие потенциалы возникают, например, в теории псевдопотенциала [2].

H -d /dx

бодной частицы. Обозначим через R(E) = (Но — Е)-1 , R(E) = = (Н — Е)— резольвенты операторов Н и Н. Как известно, ядро Rq(E) имеет вид G(x,y,k) = —(2ik)~letk^x~y^ где к = \[Ё (разрез выбираем вдоль полуоси [0, +оо)). Через а(А) (aess(A) ) обозначается спектр (существенный спектр) оператора А. Если фср € Ll(R) , то через будет обозначаться

интеграл f ip(x)(p(x)dx . п

Рассеяние микрочастиц на потенциале описывается уравнением Липпмана-Швингера

#х) = eikx — J G(x, y, k) V^(y)dy, (0.2)

R

здесь функция G(x,y,k) продолжена по параметру k в точки непрерывного спектра E € (0, +то) . В работе [3] было доказано существование и единственность решения уравнения Липпмана-Швингера для потенциала вида (0.1), установлена связь между различными модификациями этого уравнения.

В первом разделе данной работы используется нестационарный подход к изучению рассеяния. Доказывается существование и полнота волновых операторов fi±(H, Ho) (см. по этому поводу

М).

Во втором разделе задача рассеяния исследуется на основе стационарного подхода. Получена асимпотика решений уравнения Липпмана-Швингера при x ^ ±то и при достаточно малых e и А = Kea + o(e“), где K = const, а € (0, + то) . Исследованы амплитуды прохождения и отражения частицы. (О связи стационарного и нестационарного подходов см. замечание после теоремы 2.1.)

1. Существование и полнота волновых операторов

Обозначим через I и Х^ множества операторов со следом и операторов Гильберта-Шмидта соответственно.

Теорема 1.1. Волновые операторы П±(Н, Но) существуют, и полны.

Н,Н

ся самосопряженными, поэтому согласно теореме Куроды-Бир-мана [4] достаточно доказать, что Я(г) — Яо(*) € Х ■

В силу резольвентного тождества имеем

Я(г) — М^ = —ЩЩУЩг). (1-1)

Воспользовавшись (0.1), правую часть (1.1) запишем в виде еЯ0(*)Щж)Я(г) + АЯ0(*) (-,Ра)т{у)Щг) =

= е(П0{г)л/Ш{х)){л/Ш{х)К{г)) + \{П{%){-), (р0)К0(1)(р0(у). (1.2)

Вначале рассмотрим оператор Щ{г)л/№(у), ядро которого имеет вид С(х, у, к)\/\¥(у) с к = \/^Т. Имеет место оценка

I\С(х,у,к)^цЩ\2с1хс1у = !\^^л/Щу)^йхйу ^ и2 и2

< [ \ л/\¥(у)\2(Шу < +оо. (1.3)

и2

Из (1.3) следует, что оператор (у) € Хч (см. [5]).

Оператор л/Ш~(х)Д(г), опять используя (1.1), представим в виде

л/шЩЩг) = л/Ш(х)К0(г) - л/Ш(х)К0(г)УЩг). (1.4)

Применяя те же рассуждения, что и выше, получим •\/\¥(у) х € Х2 • Имеем, далее,

л/Щх)Щ{г)УЯ{г) = ел/Щх)П0{г)Ш{х)П{г) +

+\л/\¥(х)(К(г)(-), ра)Ка(1)ра.

Произведение -\/}У(х)1{о({))(\¥(х)И({) ЕЪ2 в силу теоремы VI.22 [5], поскольку ^Ш(х)Ко({) € , а Ш(х)К(г) является ограни-

ченным оператором.

Оператор

\л/]¥(х)(П(1)(-),(ро)По(1)(ро = \(-,П*(1)(р0)П0(1)л/}¥(у)(р0

является, очевидно, одномерным оператором с суммируемым с квадратом ядром. В силу теоремы VI.22 [5] и (1.4) получим, что

лЩх)К(г) € Х2-

В силу той же теоремы

Щ{г)л/Щу) л/^(х)К(г) € Хъ

Докажем теперь, что А = АЯо(*)(#(*)('), $о)$о € Х\ . Имеем А = (•, <р\)<р2 ; где $1, $2 € £2(И) . Пусть {еп}^=1 — произвольный ортонормированный базис в Ь2(И) . Тогда

ГО ОО

^ | (Авп,вп) |= ^ | (бп,$1)($2,вп) |^ пп

1 (бп,$1? ^ ($2,бп) |2) = 11$1 II ■ 11$2 II <

пп

Согласно [5] А €Х\.

Сумма операторов со следом является оператором со следом

(см. теорему VI.19 [5]). Отсюда и из (1.1), (1.2) следует утвержде-

ние теоремы.

2. Асимптотика решений уравнения Липпмана-Швингера для нелокального потенциала

Теорема 2.1. Пусть Е > 0 достаточно близко к нулю, тогда решение ф уравнения Липпмана-Швингера (0.2) такое, что у/\¥ф € Ь2(К) , имеет, следующий вид:

ф{х) = Аегкх + п+{х), х > 0,

ф(х) = егкх + Ве—гкх + п{х), х < 0, (2.1)

где

А = 1 + ЩЁГ1 / е'г%^0 Шу е~гкуШф(1у,

и и

В = 1 егкущ(у)йу + 4-к I егку\¥фс1у.

и и

Функции п+{х) и п—(х) экспоненциально убывают, при этом

ф'{х) = Агкегкх + п+ {х), х > 0,

ф'(х) = гкегкх — Вгке-гкх + п— {х), х<0 (2.2)

и п+ {х) , п— (х) — также экспоненциально убывают.

Доказательство. Рассмотрим уравнение Липпмана-Швингера

ф(х) = е'1кх + У ^^(е\У{у)ф{у) + \{ф,^)щ{у))(1у н.

при х ^ +то и при х ^ —то. Поскольку фупкцпя $о(х) экспоненциально убывает, а произведение Шф представимо в виде ^М^Мф , где у/\Уф € Ь2(И), а у/\У — экспоненциально убывает, можно воспользоваться леммой 1 [3]. Имеем

ф{х) = егкх + ^ ! е~гку(е\¥(у)ф(у) + Х(ф,1ро)(ро(у))йу+ н.

и

ф{х) = егкх + *-щ- / егку(еШ(у)ф(у) + Х(ф,1ро)(ро(у))йу+ н.

п— х х < , .

п х п— х

из доказательства леммы 1 [3], имеют следующий вид:

Г ±ГО ,

Г)±(х) = ±етгкх йщ-(ЦФ,Ы<Ро(у) + ^{у)ф{у))(1ут

х

Г ±ГО

те±гкх §щ!-(ЧФ,<Ро)<Ро(у) +е]У(у)ф(у))(1у. (2.4)

х

Дифференцируя равенства (2.3), получим с помощью (2.4) при

х>

Ф'{х) = гкегкх{\ + I е~гку^оШу+

в,

+ Ш I е.~гку\¥{у)ф{у)(1у} - 1ке~гкх I ^(\(Ф,ро)Му)+

К

-ГО

+е\У{у)ф{у))(1у-1кегкх I ЧФ,ЫМу) + £Ш(у)ф(у))(1у.

Осталось доказать, что

х

/* + ГО

г/+(х) = -ъке~гкх ш{х(Ф,ЫЫу) +еУУ(у)ф(у))<1у-

х

Г + ГО

-%Ыкх ^^{\{ф,щ)щ{у)+еШ{у)ф{у))<1у

также экспоненциально убывает. Это следует непосредственно из вида функции п+ (х), так как входящие в ее состав слагае-

пх

—гк гк ф'{х) при х < 0 :

ф'(х) = гкегкх — гке—гкх х

х( I ^(Х(ф,ЫЫу) + ^(у)ф(у))ёу)+г]/_(х), н.

где п— (х) экспоненциально убывает.

Теорема доказана.

Замечание 2.1. Результаты теоремы 2.1 позволяют перенести на случай нелокальных потенциалов рассматриваемого вида обычные утверждения теории рассеяния (см. [6]): во-первых, что при Ь ^ решения нестационарного уравнения Шредингера с оператором Н стремятся к решениям нестационарного уравнения с оператором Н ; во-вторых, о вероятност-

А, В

доказательство равенства | А |2 + | В |2= 1 см. ниже в теореме 2.2.

АВ

ваются амплитудами прохождения и отражения частицы; | А |2 ,

| в |2 — это соответственно вероятности прохождения и отражения частицы.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Амплитуды, отражения и прохождения связаны следующим, соотношением:

| А |2 + | В |2= 1.

Доказательство. Рассмотрим ГМ

7

N ^+ГОУ/—N J—N

/ Г" ____ Г" ____ х

Нт / Нф(х)ф(х)йх — ф(х)Нф(х)йх) =

!^+го\_1м ./— N )

NНт ^Е J | ф{х) |2 йх — Е J | ф{х) |2 йх^ = 0 (2.5)

в силу того, что

{Нф, ф) = (Еф, ф) = Е(ф, ф) = (ф, Еф) = (ф, Нф). Преобразуем, интегрируя по частям, выражение

(~ф"(х) + \(ф,(ро)(ро + е}¥ф)ф(х)с1х =

J—N

= —гк | А |2 +гк + Вгке~21Ш - Вгкемш - \ В |2 гк+

/И гИ _____ /*Л^

I Ф' |2 (1х + Х(Ф, (ро) (ро(х)ф(х)с1х + е | ф |2 (1х

N J—N J—N

(2.6)

(используем, что п±(х), п±(х) — экспоненциально убывающие функции).

С другой стороны, имеем

г N

{—ф"(х) + \(ф, <ро)<ро + е\¥ф)ф(х)(1х =

J—N

=| А I2 гк - гк - Вгкеиш + Вгке~21Ш + | В |2 гк+

/И гИ

| ф' |2 (1х + Х(ф, (ро) Щф(1х + е | ф |2 с1х. (2.7)

^ J—N J—N

Вычитая из (2.6) равенство (2.7) и устремив N ^ +то, получим

в силу (2.5) равенство

0 = —2гк | А |2 + 2гк — 2 | В |2 гк.

Отсюда следует требуемое равенство. Теорема доказана.

Пусть <р(х) — вещественно-аналитическая функция, определенная в окрестности нуля. Далее предполагаем, если не оговорено противное, что параметры Л и £ связаны друг с другом

соотношением А = <р{еа°), а > 0 . Рассмотрим случай ^>(0) = 0 . Тогда, разлагая ^ в ряд Тейлора, получаем А = Кеа + о(еа), где К = const ф 0, а > 0. Для простоты выкладок всюду в последующих доказательствах полагаем А = Кеа , хотя все рассуждения справедливы в общем случае. Будем также предполагать, что решение уравнения Липпмана-Швингера ф ищется в классе функций, удовлетворяющих условию

л/Щх)ф{х) <Е L2(R). (2.8)

В формулировке следующей теоремы O(ea) понимается в том смысле, что \\\Щ^О(еа)\\ьЧщ < Се0, С = const.

Теорема 2.3. Пусть E > 0 находится в достаточно малой окрестности нуля вещественной прям,ой. Предположим,, что f (fio(y)dy ф 0, тогда справедлива следующая форму-п

ла для решения ф(х) уравнения Липпмана-Швингера:

«(x) = eikx - Ke“(eifcx,^0(x)) J G(x,y,k)<poWy-

R

-e/G(x,y,k>W(y>eikyф + 0(еП „«« О,

R

«М = e‘kx - eJ Gx,y, цW'(y)e‘k»d^ , а > i.

R

Доказательство. В силу теорем 2, 3 [3] для нахождения асимптотики решения уравнения Липпмана-Швингера можно воспользоваться уравнением

А((eikx, <ро) - е( / G(x, y, k)W{y)«{y)dy, <p0(x)))

Jjfx\ _ eilex____________________________________________R_x

1 + \(f G(x,y,k)<po(y)dy,<po(x))

R

ху С{х,у,к)^{у)йу - ^ С{х,у,к)Ш{у)ф{у)йу. (2.9)

и и

Переходя в этом уравнении к новой неизвестной функции <^(х) = = д/И^(х)гр(х) € Ь2(И), получим:

<р{х) = л/\¥(х)егкх - е ! л/\¥(х)0(х,у,к)л/\¥(у)ср(у)с1у-

в.

-\[(егкх,(ро(х)) -е(! С(х,у,к)л/\¥(у)(р{у)(1у,(ро(х))^х в.

Х(х + А(/ О(х,у,к)^о(у)с1у,^о)^ х J л/Ш(х)О(х,у,к)^0(у)с1у. и и

Из рассуждений, проведенных в лемме 6 [3], следует, что Ь2(Ш,) -значная функция

Т(к)<р(х)=е У ^(х)в(х, у, к)л/]У(у)р(у)(1у-в.

Хе( I С(х,у,к)л/]¥(у)(р{у)(1у,(ро(х) чн.

1 + М/ С{х, у, к)^{у)йу, (ро(х) ув,

х I тУ\¥(х)С(х, у, к)(ро(у)(1у (2.10)

и

к

личной от нуля.

Уравнение (2.9) с учетом (2.10) примет вид

(1 + Т(к))ф) =

Х(е^х, <ро(х)) / л/Щх)С(х, у, к)1р0{у)(1у

= ^Пх)егкх---------- *--------———---------------------—-. (2.11)

1 + Ли с{х,у,к)щ{у)йу,щ{х)) в,

При условии, что ||Т(к)|| < 1, которое выполнено для достаточно малых е, существует обратный оператор (1 + Т(к))-1 . Обозначим правую часть (2.10) через д(х, к); это аналитическая Ь2(И) -зпачпая функция. Применяя к обеим частям (2.11) опера-Т к -

(1 + Т(к))-1д(х, к) = д(х, к) + Т(к)д(х, к) + О(е)

Т к -

е (здесь и до конца доказательства О(•) понимаем в смысле нормы в Ь (И)). Используя равенство Л = Кеа ив свою очередь д х, к е

д(х,к) = \/\¥(х)егкх — Кеа(егкх ,сра(х))х

х J {х)С{х, у, к)<р0(у)<1у-в.

-еI v/й7ЩС(х,у,к)Ш(у)е^Чу + 0(ет'ш{2а’а+1’2}). в.

Учитывая, что а € (0, +то), имеем:

<р(х) = л/шЩе1кх - Кеа(^кх,1р0(х))х

X J у/УУ{х)С{х, у, к)<р0(у)<1у-в.

-е У л/шЩ0(х,у,к)\¥(уУкус1у + 0(е2а), в,

если 0 < а ^ 1, и

Ф) = у/цуще1кх-е I уй7Мс,(х,у,к)ил(у)е^у(гу+

и

+О{еш{ п{2 ’а}), если а > 1. Отсюда вытекает утверждение теоремы.

Положим

<Ро(к) = J е-гкуЫу)Лу н.

— преобразование Фурье функции (ро(х) .

Теорема 2.4. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы. Предположим, кроме того, что <ро = у/Шц>\ , где € Ь2(^) . Тогда при достаточно малых |е| решение уравнения Липпмана-Швингера имеет следующий вид: х>

ф(х) = е“'(1 + | Ык) |2 +* I №Шу) +

В,

+еап+(х) + О{е2а), 0 < а < 1,

ф(х) = егкх (1 + I Ж(у)йу) + £Г]+(Х) + 0(етш{2’"}), а > 1; и

х<

+ +*/***<»)*) +

и

+еаП-{х) + О{е2а), 0 < а < 1,

«*>“е"’+ '*(*/**•"'»*)+^+

и

а > .

Функции п±(х) в данных формулах экспоненциально убывают, а О(е) понимается в смысле нормы в Ьте(И) .

Доказательство. В правой части уравнения Липпмана-Швингера перейдем от функции ф(х) к функции <р(%) = л/ЙДх)ф(х) € Ь2(И) в силу (2.8). С учетом условия теоремы уравнение примет вид

ф(х) = егкх + ! «У + £\/^(у)(р(у))йу. (2.12)

и

Воспользуемся выражением (см. теорему 2.3)

ф) = л/Щх)е1кх + 0(етк1{1’а}). (2.13)

Вследствие (2.13) уравнение (2.12) можно записать в виде

ф(х) = егкх + I ^^[А(УЙ%)е^ + 0(ет1п{“’1}),Ыу)Ыу) + и

+ел/Щу) (у/Щу)е^ + 0{еш{п{1'а}))](1у. Рассмотрим отдельно выражения

/ + 0{е™^)^1{уЫШу (2.14)

И

И

/ {л/Щу)егку + 0{е^^))(1у. (2.15)

и

Первое из них в силу экспоненциального убывания функции ^о(х) и леммы 1 из [3] при х ^ примет вид

^ I + ч<ч (х))+

н.

+К,.(0(.„Н...)),У„У), I =

н.

гк

В,

+^®Ч^М)г(1) (ж))+

1 е^Ыу)Лу,

В,

где

н-го /•+те

^(х)) = е-гкх / егкуЫу)^ - егкх / е-гкуЫу№у,

ЛХ ОХ

а значи^ и

^“(^“’#1(9)) „(1)/„Л

2гй '/+ Vх/

экспоненциально убывают. Далее, выражение

у,.(о,Iе,ф-,1Му)Лу

в,

есть О^1 п{а+1’2а}) в смысле нормы в Ьте (И.), поскольку в силу неравенства Коши-Буняковского имеем:

в,

егк\Х-у\щ{у)(1у

гк

В,

<

тт{2 а,а+1}

И

Таким образом, выражение (2.14) при х ^ +то можно записать в виде

[Х{л/Щу)егку + 0(е™^), <р1(у))<роШу =

гк

в.

= К£УЩ^р}Ш^кх [ е-гку^уу1у + л(1)^ + 0^шт{2а,а+1}^

гк

В,

Аналогично выражение (2.15) при х ^ +то имеет вид Лкх [ е-*у ^^(Ууку(1у + ег](2)(х) +

гк

и

+«- / !т^И7(9УО(£”“11’“))ф,

2 г к

В,

где

Г+те Г+те

^ (х) = е-гкх е2гкуШ{у)йу — егкх Ш{у)йу

экспоненциально убывает. Оценим, далее,

е^У[ л/Й%)0(ет1п{1,"} )(1у

н.

ргк\:

£ I

<

< I I к I -\\^Щу)\\ • ЦО(ет1п{1’"})|| < Сет1п{2а’а+1}.

Таким образом, асимптотика решения при х ^ +то и доста-| е|

ф(Х) = е“*(1 + у е-‘к\~аШу+

В,

+ Ш / УУШу) + етк1{1’а}г]+(х) + о(етк1{2а’а+1}), (2.16)

и

где О{е1Шп{2а>а+1}) понимается в смысле нормы пространства

£те(К), ц+{х) = Щ\х) + П+{х) ■

Асимптотика решения при х ^ —то находится описанным выше способом. При х ^ —то имеем соотношение

ф(х) = екх + е-гкх(еЧ^тУ)^утЫ) I егку^уу1у+

гк

в.

+ ш/ е1ікуШ{у)(1у^ +єтіІі{1’а}г]_(х) + 0(єт'т{1’а}), (2.17)

где П-(х) экспоненциально убывает.

Асимптотическое поведение ф{х) в зависимости от а, указанное в формулировке теоремы, следует из (2.16), (2.17).

Замечание 2.2. Полученные результаты первого и (с соответствующими изменениями) второго разделов можно перенести на случай трехмерного оператора Шредингера — Д+ +еШ(х)+\(-,(ро)(ро в ячейке (ОД)2хИ,где Ш(х) и ^о(х) экспоненциально убывают при |хз | ^ ТО И, Кроме ТОГО, функция ^о(х) является блоховской по переменным х\,х2 • Такие операторы появляются при разложении периодического ПО хі,х2 с периодом единица оператора Шредингера, отвечающего кристаллической пленке в прямом интеграле пространств Ь2(П) (см. также статью [31).

Список литературы

1. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 240 с.

2. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М.: Мир, 1973. 560 с.

3. Сметанина М.С., Чубурин Ю.П. Об уравнении Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. 2003. С. 19-31.

4. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.З. Теория рассеяния. М.: Мир, 1982. 448 с.

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

6. Фаддеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой механике для студентов - математиков. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 200 с.