Об одномерном уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом типа возмущенной ступеньки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© Н.И. Плетникова

[email protected]

ОБ ОДНОМЕРНОМ УРАВНЕНИИ ШРЕДИНГЕРА С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ ТИПА ВОЗМУЩЕННОЙ СТУПЕНЬКИ

Ключевые слова: уравнение Шредингера, нелокальный потенциал, собственное значение, резонанс, асимптотика

,2

Abstract. We consider a Schrodinger operator of the form H = — +V

acting in L2(R) where V = Vo0(x) + e(-,<^0)^0 is non-local potential. We prove that the unique level (i.e. eigenvalue or resonance of the operator H ) exists for all sufficiently small e and Vo = Vo(e) . We investigate the asymptotic behaviour of this level. (If Vo(e) is separated from zero the levels are absent.) We study the asymptotic behaviour of eigenfunctions for |x| —— .

Введение

В статье рассматривается уравнение Шредингера

Нф = Еф, (0.1)

где Н = — -^2 +V — оператор Шредингера с потенциалом V вида V = Vq0(x) + е(где Vq < 0 (данное предположение не уменьшает общности), е € R — параметр, щ{х) удовлетворяет неравенству вида |<^о(ж)| ^ Се-"!®!, причем а > д/ГЙэТ > 0; и Q{x) - функция Хевисайда. Потенциал такого вида является простой моделью кристаллической поверхности; в данной модели периодическое распределение заряда при x > 0 усредняется (таким образом, периодическая при x > 0 функция заменяется константой), а поверхностные эффекты описаны одномерным

возмущением (ґсепарабельньїм потенциаломЄ — см. [1]). Потенциалы такого вида используются в физике, например, в рамках теории псевдопотенциала [2] . В работе [3] исследовался аналогичный оператор с локальным потенциалом.

В дальнейшем под обобщенными собственными функциями оператора Н понимаются ненулевые решения уравнения (0.1), где Е Є С, ф удовлетворяет условию

ф • Ро Є ^(11), (0.2)

а (ф(х),(ро) обозначает, вообще говоря, не скалярное произведение, а / ф(х)<ро(х)(іх. я

Н

собственных значений и резонансов данного оператора при малых є и V), а также описана асимптотика (обобщенных) собственных функций оператора Н при х ^ .

Обозначим Но = — Ні = — + Уов(х), тогда уравне-

ние (0.1) можно переписать в виде

Нір + є(ф,р0)Ро = Еф. (0.3)

НН

лагая Щ(Е) = (Щ — Е)— , Яі(Е) = (Ні — Е)— . В дальнейшем ядра этих резольвент (являющихся интегральными операторами

Е

второй лист соответствующей римановой поверхности, будем для краткости называть функциями Грина. Спектр (существенный спектр) оператора Н будем обозначать через ст(Н) (аеаз(Н)). Нормы, которые будут в дальнейшем встречаться, — это нормы в Ь2(11) .

1. Предварительные результаты

Имеет место следующее утверждение (см. [3]; в приведенной в статье формуле не хватает скобки).

Лемма 1.1. Функция Грина оператора И имеет, вид Су{х,у,Е,У<>) = -в(х)в(у)[-7^ег'т^Г°1х-у1 +

I____—т/Ё+т/Е—Уо гу/Е—Уо(х+у)-1

2г^/Е-У0{у/Е+^/Е-У0) ]

— Й(гГ\Й(_гП\____1_____ г^Е-У0х-гу/Ёу_

У)^+л/Е~щ)е

— Й( — 'г\Й(п\___^_____ г^Ех+г^Е-У0у_

^ ХР\У) 1{^Ё+л/Ё-%)е

й( г)й( ?ЛГ 1 г1^\х~у\ -УЕ+УЕ-Уо -гУЕ(х+у)1 /1 ц

ХРК У>12гУЕе 2 г^Е{^Е+^Ё=У0)е

Теорема 1.1. Имеют место равенства

ае88(Я) = а(Я1) = [Уо,+ ГО. (1.2)

Доказательство. Докажем второе равенство. Пусть Е € [V), +го), докажем, что Е € а(И{) . В силу замкнутости спектра можем считать, что Е > V) • Достаточно доказать (см. [4]) существование такой последовательности фп из области определения оператора И, что

У |фп(х) |2йх = 1, п € N (1.3)

и

и

1КИ - Е)фп||^0 (п ^+го). (1.4)

Выберем последовательность фп в виде фп(х) = Сп<р(^)ф(х), где Сп — нормировочные константы, ф(х) € С^(х) — неотрицательная функция С носителем В [0, + ГО 1 11^(х) || = 1 и фо(х) — решение уравнения

+ у09(х)ф = Еф (1.5)

вида

мх) =

+^7ЁгЛще~''/1^%’■ (1'6)

Е > ф х

.

вочные множители Сп , п € N , имеют

вид Сп = ® итоге получим последовательность

Ых) =

Проверим выполнение второго условия. Если Р = ^ ’ т0

(т-ЕМп = -^(-Ду'(|)ф(ж) - У(--)Ф'(Х)-~^)ф''{х) + Уов(х)<р(%Щх) - Е<р(%Щх)) =

= - М|№'(ж))- (!-7)

Имеем

/\^г(-^"(^шх))\1(1х =

н.

= ^г/\<р"{%Жх)\2(1х = £ ! \1р"(г)ф(пг)\2йг ^ и и

^ ! у [г)\2<1Х ^ $ (п->го). (1.8)

и

Аналогично доказывается, что

/(^Шх))\2Лх го). (1.9)

и

Из ц.7)— (1.9) вытекает, что ||(И — Е)фп|| ^ 0 при п ^ го. Докажем утверждение в другую сторону. Пусть Е € ст(И) . Предположим противное, что Е € [V), + го) • Но дая таких Е,

И

тегральный оператор, действующий в Ь2(И) , и, таким образом, для данного Е существует резольвента ^(Е) - противоречие. Произведение операторов е(-,^о)^о и ^г(Е) > гДе Е € ^(И), является одномерным и, следовательно, компактным оператором. В силу теоремы об относительно компактных возмущениях [5, раздел XIII.4] справедливо ае88(И) = а(Их) . Очевидно, что аев8(И1) = , тем самым теорема доказана.

При условии Е € [V), + го) приведем уравнение (0.3) к интегральному виду

ф = -е(ф,^0) J ^(х, у, Е, И)<^о(у)йу. (1.10)

и

Для того чтобы рассматривать кроме собственных значений также и резонансы, будем в дальнейшем функцию С продолжать Е

Под резонансом оператора И будем понимать такое Е € С , для которого существует решение уравнения (1.10), удовлетворяющее (0.2) и не принадлежащее Ь2(И) (см. [6]).

Уровнем Е оператора И в дальнейшем будем называть собственное значение или резонанс данного оператора (а также соответствующее Е число к = \[Ё).

Сделаем замену к = л/Ё, к = \/Е — Уо . Соответственно в дальнейшем пользуемся обозначениями вида С(х,у,й,к) вместо Сг(х, у, Е, л/Е — Уо) . Тогда уравнение (1.10) можно записать в виде

ф = -е(ф,<£о) У С1(х,у,&,к)<£о(у)йу. (1.11)

и

Лемма 1.2. Для функции Грина С(х,у,й,к) имеет, место представление

Сг(х,у,к,к) = ц^щ[0{х)в(у)е^х+у^ + в(х)в(-у)е™х~'1ку+

+0{-хЩу)е-кх+*ку + в{-х)0(-у)е-*к(ж+у)] - С2(х,у,к,к), (1.12)

где С(х,у,й,к) обладает следующим,и свойством: для любых функий а(х); Ъ(х) таких, что |а(х)I ^ Се-а|х| , |Ъ(х)I ^ ^ Се-а|х| , г<9е а,а > о, функция ^хС(х,у,й, К^у) для достаточно малых |к| , IV)I является Ь2(И2) -значной аналитической функцией параметра к в некоторой достаточно малой окрест,пост,и, пуля.

Доказательство. Приведем функцию Грина С(х,у, к, К оператора И (см. лемму 1.1) к виду

Сх{х,у,к,к) = -щщШе(УУк{х+У) +в(х)в(-у)егкх-гку+ +в{-х)%)е-*га+^ + в{-х^-у)е-*к(ж+у)] -

в(х)в(у) ( гк\х-у\ _ гк(х+у)\ _ в(-х)в(-у) / Ак\х-у\ _ гк(х+у)\

2гк Vе е > 2 гк Vе е

Обозначим

С2(х,у,к,к) = ЩМ(е^\х~У\ _ег<х+У)) +

I в(-х)в(-у) ^сгк\х-у\ _ егк(х+у

Для того чтобы доказать, что а(х)С2(х, у, к, к)Ъ(у) является £2(Л) к

точно (см., например, [7]) доказать, что

(а(х)С2(х,у,к,к)Ъ(у),<р(х,у)) =

= JJ а(х)02(х, у, к, ф(у)ср(х,у)г1хг1у в?

является аналитической функцией для любой функции <^(х, у) € € Ь2(И2) . В свою очередь для этого достаточно доказать равно-к

JJ а(х)дС2{х^’к’к)Ь(у)р(х,у)(1х(1у в?

(см. подробные рассуждения в [8]). Воспользовавшись неравенством Коши-Буняковского, оценим

и2

\

J! I

и2

2 | сЮ‘2(х,у,к,к,) |2

дк I

| Ь(у) I2 йхйу

\

JI \р{х,У)\2йх(1у =

в?

= С

\

II |а(х) |21 |21%) 12(1х(1у

в?

Поскольку, очевидно, для достаточно малых |к| , | V)| справедлива оценка

\9с^уМ\ <: СМ^Ш+Ы) + С2\у\е6(М+М\

где 8 > 0 произвольно, то интеграл сходится. Тем самым теорема доказана.

Теорема 1.2. Число к из некоторой достаточно малой окрестмост,и нуля является уровнем тогда и только тогда, когда справедливо равенство

к = —к + е(Е(х, к, К, ^о),

(1.13)

где

Р(х,к,к) = I (\[е{х)в{УуфЛу) +в(х)в(-у)е

1кх-1ку

И

в(-х)в(у)в-*кх+*ку + в(-х)в(-у)е-^х+у ] . +С2(х,у,к,к)(к + ^]щ{у)Лу.

.

Доказательство. В соответствии с (1.14) за.

^(ж) = ^ ку (L15)

Так как (ф, <^о) = C = const, то получим следующее выражение для функции ф(ж):

Ф(х) = к, к). (1.16)

..

1 = k^(F(X’k,n),V о), откуда и следует требуемое равенство.

2. Асимптотика уровней

Теорема 2.1. Для всех достаточно малых е оператор H не имеет уровней в окрестности нуля.

Доказательство. В соответствии с теоремой 1.2 наличие уровня эквивалентно существованию решения уравнения (1.13) . Положим S = {k : |k| < р} , где р > 0. В предположении противного выберем последовательность еп —— О (и — го) . Поскольку функция F(x,k, к), в силу леммы 1.2, ограничена равномерно по k € S, то еп(F(x, k, к), <^о) — 0 равномерно по k € S при и — го. Обозначим через kn решение уравнения (1.13) , отвечающее еп . Подставляя в (1.13) k = kn и к = д/кп‘2 — Vq , получаем

кп + \/кп2 ~ V0 = en(F(x, к, п),щ).

Взяв достаточно малое р, получаем противоречие при еп — 0. Теорема доказана.

Из равенств к = у/Е — Vq и к = л/Ё выразим

к = у/*2 - F0 = kyj 1-f = к( 1-$+ оф)).

Отсюда и из (1.13) получаем уравнение

к = %(Р(х,к),<р0) + Ц + оф). (2.1)

Будем считать, что Уо = Уо (е) - функция параметра е, причем согласно теореме 2.1 для существования уровня следует предположить, что при е —— О и ^(е) —— 0. Будем предполагать, что имеет место зависимость Уо от е гада Уо(е) = /(еа), где а > 0, /(Х _ вещественно-аналитическая функция такая, что /(0) = 0 . Раскладывая /(х) в ряд Тейлора в окрестности нуля, получаем равенство

<Л _ г, ,-та , _(т+1)а , _ „ -та . ( та\

Уа{е) — ате + йт+1 е + ... — Яте + О(е )•

Введем обозначения ат = — А, где то предположению А > 0, и

та = 7 . В результате получим И(е) = — Ае1 + Ое7) • Положим

Т(к) = (±Р(х,к),<р0), тогда Т(0) = ^|/^>0(ж)сгж|2 .

и

Теорема 2.2. Пусть / щйх ^0,7>2;К>0;

и

V = тт(7 — 1,2) , 8 € (1, V) . Уравнение (1.10) при всех достаточно малых |е| имеет единственное с точностью до множителя ненулевое решение для уровня к, удовлетворяющего неравенству |к — еТ(0)| ^ К|е|6 . При этом для к справедливо соотношение

к = й н.

а>

щ(х)йх + 0(еа+2),

Тк

Тейлора:

Т(к) = Т(0) + Т '(0 )к + о{к).

Тк

У.

к = еТ{0) - ^ + оф + еТ'(0)к + ео{к). (2.2)

Обозначим

д(к) = — + о(^г) + еТ'(0)к + ео(к), (2.3)

тогда

к = еТ(0) + #(к). (2.4)

Покажем, что

|е|С2 < |к| < |е|С, (2.5)

где С, С > 0, т.е. к = О(е) > к-1 = О(е). Имеем

|к| < |к — еТ(0)| + |еТ(0)| < К|е|6 + |еТ(0)| =

= |е|(К|е|6^ |Т(0)|) < |е|С.

С другой стороны,

|к| = |к — еТ(0) + еТ(0)| ^ ||к — еТ(0)| — |еТ(0)|| = |о(е) — |еТ(0)|| =

= N • - |Т(0)|| ^ 14\Т(0)\ > \е\С2.

По условию 7 > 2, поэтому в силу (2.3)

5(к) = 0(к2). (2.6)

.

мающих отображений. Обозначим

Я(к)=еТ(0) + <7(к). (2.7)

Докажем, что отображение Л(к) действует в круге

5 = {к : |к — еТ(0)| < К|е|6}.

Это означает, что если |к — еТ(0)| ^ К|е|6 , то должно быть выполнено неравенство |Я(к) — еТ(0)| ^ К|е|6 или, что согласно (2.7) то же самое, |д(к)| ^ К|е|6 . Но это очевидно в силу (2.6) и

неравенства 8 < 2 , которое вытекает из условий теоремы. Докажем, что отображение Щк) является сжимающим в круге, т.е. что |Щ(кх) — Щк2)| ^ д|кх — к21 , где д < 1 . Оценим

|Щк) — Щк2) | =

J Щ'(в)^в

[кькг]

^ тах |Щ'( в) ||к2 — к\ |. (2.8)

«€ [к\,к-2]

Положим д = тах |Щ'(в) | . Достаточно доказать, что Щ'(в) — О

«€ [к\,к2]

при е — 0 равномерно по в € 5. Пользуясь аналитичностью

..

Щ'(в) = (еТ(0)+д(в))' = д'(в) =

= + 0($) + еТ'(О) + еО(в) = 0(£“), (2.9)

где а > 0 и в неравенстве |0(еа) | ^ С|е|а константа С не зависит от в € 5, откуда вытекает требуемое утверждение. Воспользуемся рекуррентной формулой для принципа сжимающих отображений кп = Щ(кп—), где в качестве ко выберем ко = еТ(0) , .

кх = Щк0) = еТ(0) + д(к0) = еТ(0) + е2 = О(е). (2.10)

Вследствие известной формулы для погрешности в принципе сжимающих отображений имеем

|*1-*:*|<1^|к1-ко|. (2-П)

Очевидно, что = О(д), поэтому |к\ — к*| ^ 0(д)\к\ — ко| • В силу (2.8) и (2.9) д = 0(еа) . Из (2.10) и (2.11) окончательно получаем

к* = кг + 0(е2+“) = еТ(0) + 0(е2+а).

3. Асимптотика собственных функций

Теорема 3.1. Обобщенные собственные функции оператора Н имеют следующий вид:

ф(х) = в{х)Ріеі^Щх + в(-х)Р2е~^х + ф),

где 0(ж) ' функция Хевисайда, р , р - константы, а ^(ж) удовлетворяет, оценке вида |п(ж)I ^ Се-в|х| , где в > 0 .

Доказательство. Из (1.10) и (1.1) вытекает равенство

ф(ж) = -е(ф, <£0)(Л + /2 + /3 + ^), (3.1)

где

1г = ~1 1'-»1 +

И

к = -[

[„ = _ і ц-х)тц^+^^ю+'^-пуыу)лУ,

R

It = - je(-x)e(-y)

R

Полагая A2 = f 9(—у)е~г^уіро(у)сІу = const, запишем выраже-R

НИЄ /2 го (3.2) в виде

т _________А-2в{х) г^/Е—Урх

2 г(л/Ё+\/ Е—Vq)

Аналогично /3 приводится к виду

7- _ А3в(-х) r-iy/Ex

3 i(VE+VE^Vo) ’

где A3 = f 6(y)e~l^E~v°y(po(y)dy = const. Воспользовавшись R

/

получим

Т _ ( в(х)Ац м в(х)АГ2(-УЁ+УЕ-Уо) \Jy/E-V0x ^

1 ^2iy/E-Vо "Г 2WE-V0{VE+^E-V0)) /U h

Ац = J 6(у)е~гу/E~VoyLp$(y)dy = const,

R

М2 = J в(у)е~гу/Е~УоУ(ро(у)с1у = const,

где

R

|^i(x) | ^ Ce e|x| , где в > 0. Наконец,

j _ ,e(x)AA 1 е(-ж)А42(-\/Е+УЕ-Уо) гл/Ех , „

“ l2iVE + 2iVE(VE+VE=Vo) e +Г1ПХ>

где

A41 = J e(-y)etv^yipo(y)dy = const,

R

M12 = [ 0(-y)e z^yipo(y)dy = const,

J R

|%(x) I ^ Ce-ft |x|, где в > 0. Осталось подставить выражения для Д , /2 , /3 , /4 в (3.1) и обозначить

R = —£(Ф 1ПП)( Ли_________А12(-УЁ+УЕ-Уо) ,

1 [<Р, rO)\2i^E-V0 2iVE-Vo(VE+VE-Vo)

А2_

i(VE+^/E-%)h

О _ ,„ \( А41 _ А42(-УЁ+л/Е-Ур)

2 \yi ^РО) V 2i^/E 2iVE(VE+y/E-V0)

Ж.

г(л/Е+\/Е—Vo)'

И ^(х) = ^l(x) + ^г(х).

Список литературы

1. Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 240 с.

2. Хейне В., Коэн М., Уэйр Д. Теория псевдопотенциала. М.: Мир, 1973. 560 с.

3. Чубурип Ю.П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки // Теор. и мат. физика. 1999. Т. 120, 1“2. С. 277-290.

4. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. 488 с.

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 432 с.

6. Чубурип Ю.П. О малых возмущениях оператора Шредингера с периодическим потенциалом // Теор. и мат. физика. 1997. Т. 110, 1"3. С. 443-453.

7. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. 1072 с.

8. Сметанина М.С. Об уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом // Известия Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2002. Г13(26). С. 99-114.

9. Сметанина М.С., Чубурин Ю.П. Об уравнении Шредингера для кристаллической пленки с нелокальным потенциалом // Вестн. Удм. ун-та. Сер. Математика. 2003. С. 19-31.