Об уровнях оператора Шредингера на границе непрерывного спектра Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:530.145.6

© Н.И. Плетникова

[email protected]

ОБ УРОВНЯХ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ГРАНИЦЕ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА

Ключевые слова: уравнение Шредингера, нелокальный потенциал, ступенчатый потенциал, собственное значение, резонанс, асимптотика

Abstract. We consider the one-dimensional Schrodinger operator H with the non-local perturbed step potential. We prove that there exists

H

neighborhood of the boundary of the essential spectrum of the operator H

Введение

Рассматривается уравнение

Нф = Еф, (0.1)

где Н = --^i + Vq9(x) + X(-, (Pq)'-Pq ! а Е € С . Полагаем, что функ-

ция <^о(ж) экспоненциально убывает, т. е. выполняется неравенство |<^о(ж)| ^ , где С,а = const > 0, причем а > 2д/|Vo| •

Считаем V0 = const < 0 (случай Vq > 0 аналогичен).

Введем следующие обозначения: 9{х) - функция Хевисайда, А(- одномерный оператор (^сепарабельный потенциал6, см. [1]), А € R - параметр. Рассматриваются (обобщенные) собственные функции оператора H , т. е. ненулевые решения ф(х) уравнения Шредингера (0.1), удовлетворяющие условию

ф ■ ^ € L(R). (0.2)

Обозначим (ф,(ро) = //ф(х)<ро(х) сіх , положим іїі

к

и запишем уравнение (0.1) в виде

Иф + А(ф, ^о)^о = Еф.

(0.3)

Ядро резольвенты (И — Е)-1 будем для краткости называть функцией Грина. Вид функции Грина С\{х,у,Е) оператора И приведен в работе [2], там же доказано, что спектр ст(И) оператора И равен существенному спектру аеаз(И) оператора И и равен [Н,+ то).

В работе исследуются собственные значения и резонансы, которые находятся рядом с границей V) существенного спектра И

И при условии, что V) мало. Подобное исследование в трехмерном случае для локального потенциала и малого V) проведено в статье [3].

Пусть Е Є [^о,+ то), тогда уравнение (0.3) приводимо к интегральному виду

И

будем понимать такое Е Є С, для которого существует решение уравнения (0.4), удовлетворяющее условию (0.2), причем выполняется условие ІШу/Е — Уд < 0 .

ЕИ

дем называть собственное значение или резонанс оператора (а также соответствующее Е число к = у/Е — Уо ).

Вместо С\{х,у,Е) в дальнейшем будем применять обозначение Сі(х,у,к) . Уравнение (0.4) принимает вид

ф(х) = — А(ф,<£о)/Сі(х,у,Е)^о(у)^у.

.

к

ф(х) = -А(ф,<р0)/Сі(х,у,к)<р0(у)^у,

.

к

где

С1(х,у,к) = -0(х)0(у)(±-ке™\х-*\ +

— у/'к2+Уо+к ік

2гк(у/ к2+У0+к)

2гл/ к2+Уо(у/ к2+Уо+к)

-л/и2+У0+и

1. Существование уровня около границы непрерывного спектра

Лемма 1.1. Функция Е(к) = (/ кС1(х,у, К)^(у)йу,^0)

к

является аналитической функцией в некоторой достаточно малой окрест,ност,и точки к = 0 .

Доказательство. Приведем функцию Грина С\{х,у,к) оператора И к виду

Сг{х, у, к) = \giix, у, к) + д2(х, у, к),

где

1 с~гу/к'2+У0х+гку

-л/и2+У0+и 2г^ к2+Уо(\/ к2+Уо)+к)

Для доказательства аналитичности функции Е(к) достаточно доказать равномерную (по к из окрестности нуля) сходимость интеграла

I ш(дАх’У’к) + ид2(х,у,к))^о(у)^о(х)с1хг1у.

к2

Согласно неравенству Коши-Буняковского справедливо

I I ш{дЛх>У’к) + ид2(х,У, и))Ыу)<£а{%) йх с!у | <

к2

^ Л / / \ш(91(х,у,к) + кд2(х,у,к))\2\(ро(у)(ро(х) \ (1х(1у х

V к2

X ,/1 \(ро{у)Мх)\(1х(1у.

V к2

Специфика функций и д2 и условия на ^>о обеспечивают сходимость данных интегралов.

Для функции Е(к) из леммы 1.1 получаем

Г(0) = / [-<%)<%) (1^ - - 2а±2)-

к2

-0(х)0(-у)фое~^у _ 0(_ж)0(у)_1_е-^_

_0(^)0(_у)(^е^1-у| + ^е-^^))]^о(у)^М^^,

Е"(о) = / - 4 + + ^)-

к

-2в(х)в(-у)е~^у~1+^х - 2в(-х)в(у)е~^х ~1+^у-

-2\д(-хЩ-у)\<р0(у)<р(х)<1ус1х.

Предположим, что Е'(0) ^0 и обозначим Ао = — ■

Теорема 1.1. Пусть Е'(0)^0, Е"(0)^0. Существует, такая окрестность Ао , что для любого А из этой окрестности оператор Н имеет единственный уровень к = \/Е — Ц) в достаточно малой окрестности нуля.

Доказательство. Согласно лемме 1.1 уравнение (0.5) можно записать в виде

ф(х) = к) + кд2(х,у,к))ір0(у)(іу. п п

к

Пусть С = (ф,щ0) и /(х,к) =/(ді(х,у,к) + кд2(х,у,к))щ0(у)йу,

к

тогда уравнение (1.1) принимает вид

ф(х) = ~^1(х,к). (1.2)

Подставляя выражение (1.2) в уравнение (1.1), получаем

к = — А(/(х, к), Що) = Е(к). (1.3)

Функция Е(к) является аналитической функцией при к, близких к нулю (см. лемму 1.1), поэтому уравнение (1.3) можно записать в виде

к = -А(Е(0) + Ґ(0)к + |Е"(0)к2 + о(к2)), (1.4)

где, как легко проверить, Е(0) = 0. Разделим обе части уравнения на к , тогда уравнение (1.4) приобретает вид

1 = -А(Е'(0) + ІҐ'(0)к + о(к)), (1.5)

а из теоремы Руше следует требуемое утверждение.

2. Асимптотика уровней

Теорема 2.1. В условиях теоремы 1.1 для уровня оператора Н справедлива следующая асимптотическая формула

к = Й — А0) + о(А — Ао).

Р///П\ су

Доказательство. Пусть к(к) = 21 ЛрК + о(к)

- аналитическая функция в окрестности точки к = 0. Уравнение (1.5) можно записать в виде Л — Ао = Л(к) . Пусть т = А — Ао . Поскольку Л/(0) ф 0 , то в окрест пости т = 0 существует обратная функция к = Л-1 (т) . Разложим правую часть этого уравнения по формуле Тейлора: к = Л-1(0) + (Л-7(0)т + От) • Так как /*-1(0) = 0 И (/Г7(0) = щу = !?77Щл2 , то

к = ^"(о)л§т + °(т) = 2(ДоГ (Л~Л°) + ^(л ло)-

Замечание 2.1. Как легко видеть, Е;(0) - число вещественное, а Е/;(0) - чисто мнимое, отсюда вытекает, что

а) если г%щ (А — Ао) > 0, то к - резонанс;

б) если (А — Ао) < 0, то к - собственное значение.

АА значение превращается в резонанс (или наоборот) (ср. [4]).

Список литературы

1. Демков Ю. Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. 240 с.

2. Плетникова 11.11. Об одномерном уравнении Шредингера с нелокальным потенциалом типа возмущенной ступеньки // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. Ижевск, 2004. Вып. 3(29). С. 95-108.

3. Чубурин Ю.П. Об операторе Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 120, I" 2. С. 277-290.

4. Чубурин Ю. П. О попадании собственного значения (резонанса) оператора Шредингера на границу зоны // Теор. и матем. физика. 2001. Т. 126,1" 2. С. 196-205.