CC BY
29
УДК 517
О комплексификации интегралов при изучении свойств решений дифференциальных уравнений
М.Я. Спиридонов
§0. Введение
Иногда в математике задачу, первоначально сформулированную в терминах исключительно вещественных чисел, удается решить (порою даже очень элегантно), привлекая теорию функций комплексного переменного (ТФКП).
0.1.
В университетском курсе математики подобные задачи встречаются, например, при изучении ТФКП, когда вычеты применяются к вычислению несобственных интегралов от вещественнозначных функций вещественного переменного. Напомним, как это делается.
Пусть функция f(z) является аналитической в верхней полуплоскости, включая вещественную ось (то есть в полуплоскости Imz ^ 0), за исключением конечного количества особых точек zl, z2, ...» zn, расположенных в полуплоскости Imz > 0. Обозначим через Сд полуокружность с центром в начале координат и радиусом Л, находящуюся в верхней полуплоскости:
39
Cr = {-г G С : \z\ = Я, Im z ^ 0} .
Тогда при достаточно больших Я (при Я ^ Rq, где Rq — некоторое положительное число) все особые точки /(г) окажутся внутри полукруга, ограниченного полуокружностью Сд и отрезком [—R, Я] вещественной оси. Будем считать, что граница Сд U [—R, Я] этого полукруга положительно ориентирована. Тогда в соответствии с основной теоремой о вычетах
п.
J f(z)dz — J /(x)rfx-f J f(z)dz =
С+и[-Я,Я] -я с+
= 27гг ^rez^ /(г). (0.1)
fc=i
Поскольку правая часть равенства (0.1) от Я не зависит, то в (0.1) можно осуществить предельный переход при Я -4 оо. И здесь важно поведение интеграла по полуокружности Сд. Если он стремится к нулю при Я -> оо, то из (0.1) получаем
/ f(x) dx = 27Гге5Ч А2) •
~ к=1
(0.2)
Равенство (0.2) и представляет собой один из способов вычисления «вещественного» несобственного интеграла.
Функции f(z), для которых
Пт
Я-Н-оо
J f(z) </2 = 0,
(0.3)
/7+
также можно указать. К ним относятся, например, функции, убывающие на бесконечности быстрее, чем 1 /г, точнее, если
l/(2)l ==0(]^jTTr) при 121^°°> £>0-
Еще один класс функций f{z), для которых справедливо утверждение (0.3), описывается известной леммой Жордана: f(z) = ettz ■ fQ{z), *>0,
где функция /о(z) аналитична в области Im z ^ 0, имеет конечное количество особых точек в полуплоскости Imz > 0 и
40
lim f0{z) = 0.
z-юо
Так, с помощью (0.2) несложно показать, что dx (2m)!
+00
/
= 7Г
тп = О, 1, 2,
(1 + x2)m+l " (ш!)2 • 22”
—00
Использование методов ТФКП позволяет также доказать,
что
+ 00
О
В последнем случае нужно взять f(z) = e,2/z и теорему о вычетах применить к области, ограниченной двумя полуокружностями Сд, С~ = —С+ и отрезками [—Л, —г] и [г, 7?] вещественной оси (0 < г < R, г —► О, R -+ оо).
0.2.
В настоящей статье приведены два примера исследования свойств решений уравнений с частными производными, где целесообразно от возникающих интегралов по промежутку вещественной оси переходить к интегралам по специальным образом выбранным контурам в комплексной плоскости (ком-плексификация интегралов). Целью такой деформации области интегрирования служит, как правило, стремление добиться как можно более быстрого (например, экспоненциального) убывания подынтегральной функции. Последнее обеспечивает, скажем, при интегрировании по частям «обнуление» внеинте-гральных членов, а при дифференцировании интеграла но параметру — внесение этой производной под знак интеграла.
0.3.
Первый пример — это задача Дирихле (первая краевая задача) для уравнения Гельмгольца во внешности бесконечного цилиндра в трехмерном пространстве Щх>гу где х = (х1? х2). Внешность цилиндра представляет собой прямое произведение
41
неограниченной области Г2 на плоскости R£, границей которой служит гладкая конечная кривая Г, и вещественной прямой Rj (таким образом, образующая цилиндра параллельна оси Ог).
Используя преобразование Фурье F = Fz_¥c по переменной z и обратное к нему F~l = F~\z, решение и = и(х, г) уравнения Гельмгольца
во внешности бесконечного цилиндра И х R* можно представить в виде ,
где функция v = v(x, а) является решением двухмерной задачи
во внешности ограниченной области (здесь Лх — оператор Лапласа по переменной х, а вещественное число а выступает в качестве параметра).
Свойства решения v задачи (0.5) зависят от значения параметра а (или Л). Если \а\ < к, то такое решение однозначно выделяется двухмерными условиями излучения Зоммерфель-да, если же \а\ > к, то достаточно требования погашаемости при |х| —> оо.
Для исследования свойств решения и с помощью формулы (0.4) выясним вклады в указанный там интеграл «особых точек», которыми, очевидно, служат о = ±к и бесконечность. С этой целью рассмотрим бесконечно дифференцируемые функции h± = h±(a) и = h^cr), первые две из которых имеют носители в достаточно малых 6-окрестностях точек а = ±к соответственно и равны единице в чуть меньших окрестностях этих точек, а функция hж равна единице при \а\ > к + 2 и нулю при |ст| < к + 1; кроме того, положим
(А + к2)и = 0, к > 0,
(0.4)
—ОО
(Ax + \2)v = 0, 1бП, \2 = к2 — а2 > 0, (0.5)
h0 = h0{a) = 1 - h+(a) - h_{o) - h^o).
42
Пусть г = |(а;, z)\ = у/|х|2 + г2, Я = Я^ — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка. Из формулы (0.4) получаем
и = F~l{v) = F-1[(/i+ + h_ + hQ + h^v] =
= F~l[(h+ + h_+ h0)v] + F'^/i^t;] =
= F-< [ h* th: +. h° V ■ Я(А|х|)1 + F~'{h„v] =
Я(Л|х|)
-I- h_ + hQ ^ elkr i—.—1 rL 1
= F Л НШ) V4^ + F |л“',| =
h_v
= 1 lF~l( h+V \ 4- F~l( h~V \ + F~l ( h°V \\
m[ 1я(А|х|)/ \Я(А|х|)/ \Я(А|х|)/
nikr
НШ)'- г + F-‘[h„v), (0.6)
где * — знак свертки но переменной г.
Используя убывание функции v по |х| при а € supp/i^, с помощью многократного интегрирования по частям доказывается, что
F_1[/i0ov) — 0(г~°°), г —> оо.
Несложно оценивается и обратное преобразование Фурье от функции h0v/H(\\x\) в (0.6). Здесь переменная интегрирования а принадлежит носителю финитной функции /г0, который, отметим, не содержит точек о = ±к; в этом случае функции и(х, о) и Я(А|х|) являются гладкими по переменным х и о. Доказывается, что при хбПиг^О
где m - целое неотрицательное число, а = (ац, о2) — мультииндекс, |о| = + а2.
Наиболее сложно исследовать обратные преобразования Фурье функций h±v/H(X\x\) в (0.6). Здесь переменная интегрирования а меняется в окрестностях точек а = ±к (а А = 0 при о = ±А;), где особенности имеют и решение v(x, а) задачи (0.5), и функция Ханкеля Я(А|х|).
43
Пусть, например, |х| ограничено (необходимо также рассматривать и другой случай, но он во введении будет опущен). Тогда при о —> к можно использовать следующее (вытекающее из полученного R.C. МасСагау в 1965 году разложения резольвенты задачи Дирихле) представление для решения v(x, а):
где 1>о, Vi — гладкие функции, Л = \/к2 — a2 G С, 0 ^ arg А ^ однозначная ветвь функции ln£, С G С, определяется неравенством |1ш 1п£| < 7г. (Аналогичная формула (разумеется, с другими Vo, ui) имеет место и при о —> —к.) Тогда
Я(А|*|).
v, F-‘(
In А • #(А|х|)
)+F-(
*+•0(1) In2 А • Я(А|х|)
)•
Для исследования первого (и, как показывают дальнейшие расчеты, главного по вкладу в асимптотику) члена этого разложения следует воспользоваться асимптотикой функции Ханкеля в нуле:
Я(А|х|) = -^-(1п(А: — <т) + 1п(А: + о) + 21n |х| -I- с) + 0(|А|2 In |А|),
где с = const. Тогда при z
F~'
(я(А|х|))
т^О
+00
= J_ Г К(о)е-™ 2тг J Я(А|х|)
-оо
da =
+оо
J_ f____________h+{a)e-lz,Tda / 1 \
2i J ln(A: - a) + In 2k + 2 In |x| + с V |г|2 /
Разобьем последний интеграл на два, соответствующие о < к и о > к, в обоих сделаем замену \к — а\ = t, через s обозначим ограниченную величину In 2Л: + 2 In |х| -f с и используем при а > к равенство 1п(А: — а) = In \к — а\ + 7гг. Получим при г / О
44
izk
21
0
/
hl(t) e
izt
dt -t-
о
/
h2(t)e
—izt
dt
+ o
(таг)-
In t + s J In t + s + 7гг
- о о
где функции hi и h2 принадлежат Со® ([0, 5)) и равны единице в окрестности нуля.
Далее, исследуем поведение обоих интегралов но промежутку от 0 до 6 при \z\ —> оо. Пусть, например, z —> —оо (случай z —> +оо рассматривается аналогично).
Заменим отрезок интегрирования [0, 5] на контур в комплексной плоскости переменного Q = t + гт, выбирая его так, чтобы входящая в подынтегральную функцию экспонента убывала на контуре при z —> —оо. Для первого из интегралов возьмем контур (в полуплоскости Im 2^0)
[0, -iff] и {С € С : ICI = ^ argC 0} и [£', 5],
а для второго интеграла — контур (в полуплоскости Im 2^0) [0, iff] U {С G С : |С| = S', 0 ^ argC ^ U [6', 5], где число ff, 0 < S' < 5, выбирается так, чтобы = 1 при
<€[0, <FU = 1,2.
Соответствующие интегралы по контурам, состоящим из дуги окружности и отрезка [<$', <5] оцениваются при г < 0 как 0(|г|-°°), что устанавливается с помощью многократного интегрирования по частям. Таким образом, при z < 0
h
н( х\х\).
6'
-l( h± - ) =
= i [___________
г J (1пт
dr
+ s + i -y-)(ln r + s-i |)
+ 0
Ш-
В последнем равенстве можно S' заменить на +оо, поскольку интеграл от S' до +оо с той же подынтегральной функцией экспоненциально убывает при z —¥ —оо. Далее, заменив
45
в интеграле \z\r на т (учитывая, что е обозначив е = In-1 \z\, получим
ZT _ е-\г\т
при z < 0) и
F
\Я(А|х|)
х|))
+ 0О
е_|гА: 1 f________________________е~т dr_________________
г |г|1п2|г| J [e(lnr+s-M -=у-)-1] [e(lnr+s-i о
+ О
Наконец, последний интеграл и все его производные по £ сходятся равномерно но £ при |б:| 1, поэтому он является беско-
нечно дифференцируемой функцией £. Разложив ее в ряд Тейлора по £, получим для Я'1(/г+/Я(Л|х|)) следуюн^ую асимптотику при г —> —оо:
/т-1 ( П+ \ = — е~”к I п( 1 ^
\Я(А|х|) / г |2|1п2|г| Ч*!1п3|г|/‘
Изучив свойства решения v(x, а) внешней двухмерной задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца (0.5) и свойства всех обратных преобразований Фурье, встречающихся в (0.6), доказывается, что функция и(х, z), задаваемая формулой (0.6),
1) действительно является решением исходной задачи Дирихле во внешности бесконечного цилиндра,
2) имеет асимптотику
и =
Jkr
г
г —» оо,
где функция а(х, 9) непрерывна и ограничена на своей области определения, то есть при х€Г2, О^0^7г (cos в = z/r),
3) удовлетворяет условиям излучения
и = о(—), - iku = о(—^—), г-> оо,
\ г / иг \rlnr/
причем в классе функций с условиями излучения исходная задача имеет единственное решение.
Все перечисленные в данном пункте введения результаты получены автором и изложены в §1 настоящей статьи.
46
0.4.
Второй пример — это двухмерная линейная задача о волнах на поверхности жидкости. Жидкость в каждый момент времени t занимает область
{(х, у) : — ос < у < т)(х, t), —оо < х < +оо} , где у = т](х, t) — уравнение свободной поверхности бесконечного слоя жидкости. Задача состоит в отыскании ноля скоростей (и, и).
Рассматриваются только безвихревые движения жидкости; в этом случае иоле скоростей будет потенциальным. Для линеаризованной задачи (то есть в предположении малости всех скоростей и возвышения свободной поверхности) потенциал Ф = Ф(х, у, t) является решением следующей задачи:
ДФ = 0, у < 0; Ф"+уФ; = 0, у = 0; lim Ф' = 0;
у-ч-оо у
(0.7)
(0.8)
(0.9)
(0.10)
Ф(х, 0, 0) = 0, Ф'Дх, 0> 0) = с6(х).
Здесь: Д = д1 /дх2+д2/ду2 — оператор Лапласа по переменным х, у; у — ускорение свободного падения; <5(х) — дельта-функция; с = const. Предполагается, что в начальный момент потенциал скоростей равен нулю, а возвышение свободной поверхности дельта-образно.
Задача, получающаяся из (0.7)-(0.10) в результате применения преобразования Фурье по х, явно решается, что позволяет выписать следующее представление для потенциала:
Ф(х, у, t) =
= — j № Sin(v/g|g|*}
2тг
da.
Отсюда, преобразуя последний интеграл, находим, что
ОО ОО
Ф(х, 0, t) = -^-г
7Г X
ОО оо
Im | J eiA«+«a>d$ + J eiX«~t3)dZ
‘ о о
47
Применяя к этим интегралам метод стационарной фазы (с учетом вкладов от концов интегрирования), получим асимптотику при y = 0nA = j^—>оо решения Ф задачи (0.7)-(0.10):
Ф(х, 0, t) =
ct
\/тг|х|
1
sin(V-)+0(T)
у/Х ^ 4 ) V А
Упомянутый метод стационарной фазы используется для
отыскания асимптотики при А —* оо интеграла ь
I{ А) = J f(x)eiX^x)dx, lmv? = 0, AeR.
Пусть в интеграле /(А) функции, входящие в подынтегральное выражение, удовлетворяют условиям / € С£°([а, Ь]), V? € С°°([а, b]).
Если ip'(x) / 0 при а ^ х ^ Ь, то при А —> сю и любом целом j ^ О
^)=0(Л-).
Доказывается этот факт банальным многократным интегрированием по частям.
Если же функция <р(х) имеет на отрезке [а, Ь] только одну стационарную точку х = х0, которая является невырожденной (ip'(xQ) = 0, ^"(хр) ф 0) и не совпадает с концами отрезка интегрирования (а < х0 < Ь), то при А —> +оо
/(A) ~eiV(l°) °кА"1/2-*,
к=0
где
ао — f(x о)
2тт
|¥>"Ы1
е*Т sign <р"(а:0)^
все коэффициенты ак при к ^ 1 выражаются через значения функций /, </? и их производных порядка не выше 2А: в точке
X — Хр.
Идея доказательства указанной асимптотики для интеграла /(А) (при сделанных предположениях) такова.
48
Вклад точки стационарной фазы х = х0 в интеграл /(А) может быть выражен в виде
где д € ^“([0, оо]) и q(t) = 0 при t » 1.
В последнем интеграле нужно интегрировать по частям, внося экспоненту под знак дифференциала. И в качестве первообразной (по переменной t) порядка j для ехр(гА£2) целесообразно взять функцию
где lt — контур в комплексной плоскости z, задаваемый уравнением z = t + pexp(in/A), р меняется от +оо до 0. От других первообразных (например, от аналогичного интеграла по отрезку [0, t] вещественной оси) она отличается тем, что достаточно быстро убывает при Л -* +оо.
Изложению перечисленных в данном пункте введения результатов посвящен §2 настоящей статьи; здесь автор следует, в основном, [1].
§ 1. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца во внешности бесконечного цилиндра
1.1. Постановка задачи
Точки трехмерного пространства R3, в котором изучается задача, будут обозначаться через (х, г), где х = (xv х2). Пусть П — неограниченная область на плоскости R2 переменной х, граница Г = ЭП которой является гладкой конечной кривой.
о
I,
49
(Другими словами, Q является внешностью некоторой ограниченной области.) Пусть и = и(х, z) — решение следующей задачи:
где функция = <р(х, z) задана на Г х Rj, бесконечно дифференцируема и имеет компактный носитель, к > О, Д — оператор Лапласа но переменным (я, z).
Область Q х R1 = {(х, z) : х G Г2, z (Е R}, где рассматривается оператор А + к2 Гельмгольца, представляет собой внешность бесконечного цилиндра, основанием которого служит компактное множество R2 \ Q (дополнение к П), а образующая параллельна оси Oz. Таким образом, (1.1) является задачей Дирихле (или первой краевой задачей) для уравнения Гельмгольца во внешности бесконечного цилиндра с произвольным основанием.
Эта задача имеет большое количество физических приложений: к ней приводят изучение колебаний среды во внешности шахты или электромагнитного поля вне проводника и другие задачи о распространении волн.
1.2. Формулировка теоремы существования и единственности решения
Однозначная разрешимость задачи (1.1) обеспечивается требованиями на поведение ее решения и(х, z) в бесконечности, то есть при г = |(х, z)\ = ^/|х|2 -I- z1 —► оо.
Теорема 1.1 (о существовании и единственности решения). При любой функции <р(х, z) 6 Со°(Г х R) задана (1.1) имеет и притом единственное решение с условиями излучения
Известно, что условия излучения (то есть условия на бесконечности, обеспечивающие однозначную разрешимость задачи) зависят,
(А + к2)и = 0, (х, z) € П х R1, и = <р(х, z), (х, z) € Г х R1 ,
(1.1)
г —> оо. (1.2)
50
вообще говоря, от структуры области. Так, во всем пространстве R” или в неограниченной области с компактной границей класс существования и единственности решения уравнения Гельмгольца описывается условиями излучения Зоммерфельда (см. [1], [2])
Если же неограниченная область имеет некомпактную границу, то условия излучения могут иметь форму, отличную от условий Зоммерфельда. Для областей, «близких к полупространству», разрешимость краевых задач с условиями излучения в интегральной форме исследована Д. М. Эйдусом в статье [3]. Для слоя между двумя параллельными плоскостями и для внутренности бесконечного цилиндра условия излучения имеют вид, отличный от (1.3); они — так называемые парциальные условия излучения — найдены А.Г. Свешниковым в [4]-[5].
А. А. Винником в [6] для широкого класса областей с некомпактными границами получена, в частности, однозначная разрешимость задачи в классе функций с условиями излучения в интегральной форме
Результаты работы (6) применимы к задаче (1.1), если предположить, что дополнение к П звездно.
Внешность цилиндра, как отмечалось ранее, является важным для приложений примером области с некомпактной границей. Поэтому для задач в этой области хотелось бы получить более точные результаты. Так, в теореме 1.1 нет ограничения типа звездности, то есть рассматривается цилиндр с произвольным основанием, кроме того, доказаны существование и единственность решения с условиями излучения (1.2) в локальной (а не в интегральной) форме.
Ряд результатов по рассматриваемой тематике опубликован в работах (7]-[12) автора.
Центральная идея, на которой базируется доказательство теоремы 1.1, состоит в следующем. Формула для искомого решения и(х, z) задачи (1.1) получается с помощью формального
51
применения к этой задаче преобразования Фурье по переменной z.
Обозначим через ip(x, а) преобразование Фурье по z граничной функции (р(х, г):
+0О
£(х, а) = j <р(х, z) etza dz,
а через Дх = — оператор Лапласа по пере-
менной х. Отметим, что функция ф(х, а), как преобразование Фурье гладкой финитной функции <р(х, г), бесконечно дифференцируема и убывает вместе с производными быстрее любой степени |сг|-1. Тогда (пока не заботясь об обосновании и действуя механически) для преобразования Фурье v = v(x, а) искомого решения и(х, z), то есть для
+00
-сю
получим следующую двухмерную задачу Дирихле с параметром а 6 R во внешности ограниченной области
(Дх + X2)v = 0, х е VI, v = ф(х, о), хеГ,
(1.4)
где Л2 = к2 — а2. Далее будем считать, что комплексное число Л определяется равенством Л = \/к2 — а2, в котором ветвь квадратного корня выделяется условием 0 ^ argA ^ *.
Краевые задачи для эллиптических операторов в областях с компактными гладкими границами довольно хорошо изучены. К подобным задачам относится, в частности, и (1.4).
Пусть v = v(x, о) — то из решений задачи (1.4) Дирихле во внешности ограниченной области, которое выделяется с помощью следующих условий: при тех о, для которых |сг| < к, функция v удовлетворяет двухмерным условиям излучения Зо-ммерфельда (условиям (1.3) при п = 2)
52
а при тех а, для которых |ст| > к, функция v удовлетворяет условию погашаемости (v —► 0, если |х| —► оо). Функция v, удовлетворяющая задаче (1.4) и перечисленным условиям на бесконечности, существует и определяется единственным образом.
Утверждается, что решение и(х, z) задачи (1.1), указанное в теореме 1.1, дается формулой
+00
и(х, z) = F_1[u(x, о)] = —[ v(x, o)e~xza do , (1.5)
2п J
— ОО
представляющей собой обратное преобразование Фурье по переменной а (двойственной к z) решения v задачи (1.4).
Чтобы доказать этот факт и, вообще, исследовать функцию и(х, z), задаваемую равенством (1.5), нужно знать свойства функции v(x, а), расположенной в формуле (1.5) иод знаком интеграла, то есть изучить свойства решения v(x, ст) задачи (1.4) по совокупности переменных х и о (причем а выступает в качестве параметра).
1.3. Существование решения
Функция v(x, а) является гладкой по переменной х (это следует из эллиптической теории) и гладкой по переменной а при |<т| ф к, что вытекает из гладкости по а граничной функции, которой в (1.4) является преобразование Фурье <р(х, о) финитной по z функции tp(x, г), и из аналитических свойств оператора, обратного к оператору Гельмгольца во внешности ограниченной области (см. |1]).
При этом для |crj достаточно болынйх существует оценка функции v, показывающая характер ее убывания по х и а одновременно, а именно, справедливо следующее утверждение.
Лемма 1.2. Пусть v = v(x, а) — выбранное выше решение
53
задачи (1.4). Тогда для любого е > О существует такая положительная константа 7, что для любых целых неотрицательных т и N и мулътииндекса а = (а1( а2) пРи всех я £ П и\а\^ к + е имеет место неравенство
в котором постоянная С>О от переменных х и о не зависит, {д/дх)а = (d/dxi)“i •(д/дх2)“2, аи а2 — целые неотрицательные числа.
Доказательство леммы будет приведено ниже. Идея его состоит в следующем. Когда х принадлежит компакту, оценки (1.6) получаются из известных оценок в шкале Соболевских норм для решений эллиптических задач (1.4) с параметром |А| и теоремы вложения. Для изучения свойств функции v при болыпйх |х| удобно воспользоваться интегральной формулой Грина.
Если а —> к (то есть А —» 0) и |х| ограничено, то из разложения резольвенты задачи Дирихле (см. |13]) получим
*(*,*) + + (17)
где v0, v\ — гладкие функции; аналогичная формула (разумеется, с другими v0, V\) имеет место и при а —» —к. Напомним, что А = \/к2 - а2 G С, 0 ^ argA ^ |. Здесь и всюду ниже однозначная ветвь функции In С, С £ С, определяется неравенством |1ш In С| < тг- Для более «тонких» оценок решения v при А —> 0 можно воспользоваться формулой, уточняющей (1.7). А именно, для выделенного с помощью условий излучения и по-гашаемости решения v(x, а) задачи Дирихле (1.4) справедливо при ограниченных |х| и а -* ±к (то есть А —> 0) следующее представление (см. [14]):
v(x,cr) = Vq(x) + Ul +Q(A2lnА), к = const, (1.8) 1п Л К
54
где функции Vq являются (см. |13|) ограниченными решениями «предельных» (при а = ±к в (1.4)) задач
f Д^(1) = 0, 1^=0(1), дгеП,
[ Vq(x) = <р(х, ±к), х € Г.
Используя перечисленные выше свойства функции v, легко проверить, что задаваемая равенством (1.5) функция и является решением задачи (1.1). О единственности решения и условиях излучения речь пойдет ниже.
Вернемся к доказательству леммы 1.2.
При |<т| > к функция v{x, а) является решением следующей эллиптической задачи с параметром во внешности ограниченной области (см. (1.4)):
f (Дх - |А|2)ц = 0, |А| --- у/а2 - к,2 ,
| v = ip(x, а), х 6 Г.
Для решений эллиптических задач с параметром имеются как в ограниченной (см. [15]), так и в неограниченной области с компактной границей (см. [1]) оценки в шкале Соболевских норм с параметром |А|. Эти нормы определяются в области Г2 равенством
НННя'(П) = 1М|//*(Л) + I'M* |М1я°(Л) , О О, и аналогичным равенством на границе Г области Q. Отмеченные оценки и теорема вложения позволяют получить оценки для функции v и ее производных, когда х принадлежит компакту, а именно, справедливо следующее утверждение.
Предложение 1.3. Пусть |х| ограничено. Тогда для любых целых т ^ 0, N ^ 0 и мулътииндекса а
И > к,
где постоянная С>0 от переменных х и а не зависит.
Доказательство. Известная в эллиптической теории априорная оценка применительно к задаче (1.9) дает
55
11М11я'+*(П)^ С НМ11я*+з/2(Г) ’ s^0j (1-10) где постоянная С>0 от а не зависит. Аналогично, для решения задачи
{
(Ах - |А|2К = 2аи,
приходим, с учетом (1.10), к оценкам
i6fi, х е г,
Я*+*(П)
2av
1я*(П)
£г|||я*+з/2(р)
£
+
I я*+з/2(Г)
^ С [2|<т| |||ч11я*(п)
^ С [2(1 + |ег|) |||и|||я.(п)+2(1 + |сг|) ||К|||я.+3/а(г)]<
^ С (1 + |а|) |||<?|||//а+з/2(Г) + |||</3гг|||я.+з/2(Г) ] )
в которых постоянные С>0 от а не зависят. Рассуждая по индукции, получим, что при любых ООи целых тп ^ 0
' д \т I
<да) V\
Я*+г(П)
*С{1 + \о\У
ТП л
ЕИК^
j=0
Я*+з/2(Г)
где постоянная С>0 от а не зависит.
^Далее^с помощью теоремы вложения Соболева функция (а*) (jj) v ПРИ ограниченном |х| оценивается через левую часть последнего неравенства, если |s| > Jck| — 1 (напомним, что для мультииндексов |а| = аг + «2)- Отсюда, поскольку функция !р (как преобразование Фурье финитной по z функции ip) убывает вместе с производными быстрее любой степени Н'1, получаем требуемое. Предложение 1.3 доказано. □
Получим теперь, опираясь на предложение 1.3, оценки для функции v и ее производных при |х| —> оо.
Предложение 1.4. Для любого е > 0 существуют положительные постоянные Rq и j0 такие, что для любых целых
56
т ^ О, N ^ 0 и мультииндекса а = (c*i, а2) при всех |х| ^ Rq и |а| ^ к + е справедлива оценка
е-7о\/НМ
где константа С>О от х и о не зависит.
Доказательство. Для изучения свойств функции v при болыпйх |х| удобно воспользоваться интегральной формулой Грина
дН{Х\х-у\)
дпу
-Н(Х\х-у\)
dv{y,°Y
дпу .
dS
у >
(Lit)
где Н = Яд^ — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, а д/дйу — дифференцирование по внешней относительно П нормали к Г.
В этой формуле аргумент у функции v(y, а), находящейся под знаком интеграла, меняется на компакте Г, а вся зависимость v(x,a) от х «перенесена» в аргумент функции Ханкеля, свойства которой довольно хорошо изучены. В частности, известны (см. [16]-[18]) асимптотики функции Ханкеля #(£), (еС, в нуле и на бесконечности:
Я(С) = а(С2) In С+ Ь(С ).
(1.12)
где
а(С) = ^ атС и 6(C) = ^2 6mCm — аналитические в С
тп=0 т=0
2 г 1
(то есть целые) функции, ат, bm = const, а0 = —, а1 =
27Г г
^|(с._1п2_;|)Л = -L.(c,-ln2-l-»‘^-),c. = 0,577... — постоянная Эйлера;
+<*))• (113)
, с0 = \J^~ е-1*, N — натуральное число, |С|
где ст = const отделено от нуля.
57
Заметим, что входящая в (1.11) производная по направлению дН(Х\х—у\)/дпу вычисляется по формуле
где угловыми скобками < •, • > обозначено скалярное произведение в евклидовом пространстве R*.
Поскольку аргумент у функции v(y,a) в (1.11) меняется на компакте Г и при |ст| > к -I- е
А = г|Л|, |А| = у/о2 - к2 = у/(\а\ - Л)(|сг| + к) ^ у/ёЩ,
то предложение 1.4 вытекает из (1.11) с помощью доказанной в предложении 1.3 оценки функции v и асимптотики функции Ханкеля при большйх но модулю комплексных значениях аргумента. □
Теперь лемма 1.2 является тривиальным следствием предложений 1.3 и 1.4.
1.4. Единственность решения
Докажем однозначную разрешимость задачи (1.1) в классе функций, удовлетворяющих условиям излучения Зоммер-фельда, то есть условиям (1.2) или (1.3) при п = 3.
Единственность решения вытекает из теоремы существования с помощью стандартного для такого сорта задач рассуждения. Пусть доказано, что для любой функции <р € Со°(Г х Кг) существует решение и* = ^(х, z) задачи (1.1) с условиями излучения (1.2). Надо доказать, что решение и0 однородной задачи (1.1) тождественно равно нулю.
Обозначим через Gr часть внешности цилиндра, лежащую внутри сферы радиусом R с центром в начале координат. Применим в этой области к функциям и* и и0 формулу Грина:
дН(Х\х-у 1) дпу
= А • Н'(Х\х—у\) •
< у - X, Пу >
\х~у\
(1.14)
8Gr
58
где д/дй — дифференцирование по нормали к 8Gr. Так как uv и и0 удовлетворяют условиям излучения, то интеграл в (1.14) по принадлежащей dGn части сферы стремится к нулю при R -* оо. Поэтому, переходя в равенстве (1.14) к пределу при R -> оо и учитывая, что и* = <р, и0 = 0 на границе Г х 12 цилиндра, получим
ГхК*
Из последнего равенства в силу произвольности <р следует, что ^ = 0 на Г х Rz. Отсюда и из равенства и0 нулю на границе цилиндра заключаем, что гх° = 0 (см. (19]). Единственность доказана.
1.5. Условия излучения
Для проверки условий излучения (1.2) нужно изучить поведение решения и(х, z) на бесконечности, то есть исследовать поведение интеграла (1.5) при г = |(ж, z)\ —> оо. В нем область интегрирования естественно разбить на участки, содержащие точки о = ±к и окрестность бесконечности, поскольку на этих участках функция v(x, о) обладает различными свойствами. В дальнейшем предполагается, что |а:| ^ 2 всюду в Q; это требование, очевидно, не ограничивает общности.
Пусть функция х = х(^) £ C°°(R) равна единице при |а| < А:4-1 и нулю при |<т| > к4-2. Тогда, согласно идее принципа локализации,
и = F~l(v) = F-1[xv] 4- F_1[(l - хН , причем здесь остаточный член
Е = Е(х, z) = - хИ
при г —> оо убывает вместе со всеми производными по ж и z быстрее любой степени г-1. Сформулируем соответствующее утверждение.
Лемма 1.5. Функция Е(х, z) является бесконечно дифференцируемой функцией своих аргументов х € Г2, z G R, при этом
59
для любых целых неотрицательных т и N и мультииндекса а справедливо равенство
(!НеГ«-4-°(рг)- —
Доказательство. Доказывается лемма 1.5 с помощью интегрирования по частям и оценки (1.6) для функции и(х, а). Имеем
+оо
Е = F_1[(l - х)и] = J[l- хИ] v{x, °) e~iza do,
-00
где гладкая функция 1 — х{°) равна нулю при |о| < А:+1 и единице при \о\ > к 4- 2. Интегрируя по частям (внеинтегральные члены равны нулю в силу (1.6)), получаем при любом N +°° 2
E = JJTwt /(-^+1Г10-хММ*,*)]-*-™*».
-оо
Отсюда (после оценки по модулю подынтегрального выражения с помощью леммы 1.2) следует утверждение леммы 1.5 при т = |а| = 0. Оценки производных функции Е проводятся аналогично. Лемма 1.5 доказана. □
Теперь формулу (1.5) для и(х, z) удобно преобразовать следующим образом:
и = F~\v) = F-1[xu] + F_1[( 1 - х)и] =
= МяШ-Я(А|1|)]+0(г-°°> =
= Е~1 (———'j * ---1-0(г_0°) г-> оо
чЯ(А|х|)/ тг*г ' '* ’
или
gjfcf
u = p(x,z)*---hO(r-0°), г —> оо, (1.15)
г
где Н = Hq^ — функция Ханкеля первого рода нулевого порядка, * — знак свертки по переменной г, а р = р(х, z) — первый сомножитель свертки в (1.15):
<>16>
60
Свойства функции р, определенной во внешности цилиндра, то есть при (х, z) G П х R), описываются в следующем утверждении.
I
Лемма 1.6. Функция р(х, z) является бесконечно дифференцируемой функцией своих аргументов, причем для любых целых т > 0 и мулътииндекса а = (cti, a2) справедливы равенства
■ргт
х € П, 2 € R,
(1.17)
х € Г2, |г| -> оо.
Доказательство леммы 1.6 будет обсуждаться в следующем пункте. Оно трудоемко в выкладках и громоздко по объему. Последнее связано с тем, что аргумент А|х| = у/k2 — а2\х\ функции Ханкеля в (1.16) может быть любым, так как переменная интегрирования а и величина |х| могут меняться независимо друг от друга; поэтому при выводе оценок (1.17) для р приходится рассматривать различные случаи поведения А|х| (А|х| —> 0 и А|х| —> оо). Кроме того, для функции и при А -> О нужно использовать асимптотическое разложение (1.8), а при |х| -> оо — представление (1.11) с помощью формулы Грина.
Вернемся к изучению поведения решения и(х, z) на бесконечности, то есть к исследованию формулы (1.15).
Поскольку остаток в формуле (1.15) убывает на бесконечности быстрее любой степени г-1, то для изучения поведения функции и на бесконечности надо искать асимптотику при г —> оо свертки в правой части равенства (1.15), то есть асимптотику интеграла
Р*
о ikr
Г
+оо
J р(х, О
ifc^/|z|s+(z-{)2
________= dj.
+ (* - О2
(1.18)
При этом некоторые технические сложности возникают из-за очень слабого убывания по £ функции р.
61
Интеграл (1.18) разобьем на два — по |f| < R и |f| > R, где R = г(1-е)/2; 0 < е < 1, £ может быть любым. Поскольку при |£| < R и г —> оо величина |f/r| —> 0, то
откуда следует, что
/
eiky/\x\2+(z-i)2
р{х, О j. ,п . , =5? dZ =
1€1<Я
VM2 + (z- ()г
= ^ J ,*х, О «-<*■"<£ +О (i)
*■ 1€1<я
Так как (см. лемму 1.6) при достаточно больших |г| и любых х eTi
С
IР(®, 2)| ^ , , , 2у . ,
N In* |z|
где постоянная С > 0 от х и г не зависит, то
J р{х, О
Цг/г
1£1>я
Следовательно, при г —> оо
£
/
Cdf
2С
1€1>я
Iflln^lfl In Я
/
ifcv'l*la-K*-Oa
Z7^, О у,- -,о =5? ^ =
К1<я
v/M2 + (2 - О2
+оо
I р(х, +
Перейдем к оценке части интеграла из (1.18), отвечающей области интегрирования |f | > R, и покажем, что она ведет себя при г —> оо как 0(r~l In-1 г).
Вынесем г2 из под корня в знаменателе:
e»*vW+(*-{)2
р(х’ ^ /, Тг i dZ =
у/\х\2 + (г - f)2
/
1€1>Я
62
г
= 7 / р(х>0
1€1>я
eiky/\x\2+(z-t)3
л/(¥)2 + (f - J):
Фиксируем точку (х, г); все постоянные в последующих оценках от нее зависеть не будут. Разобьем (оставляя неизменной подынтегральную функцию) последний интеграл на два: в нервом 1Х будем интегрировать по тем £, для которых стоящий в знаменателе квадратный корень не меньше во втором /2 интегрируем по оставшимся £ (если таковые найдутся).
Оценка 1Х тривиальна:
,,,, Г И*.01 f Cd( , 1 Ч
1Л1< J -~Г~'1
1€1>я 1(|>я
Здесь использовано соотношение (1.17) для р.
В интеграле /2 сделаем замену переменной £/г = 77 и воспользуемся оценкой р из леммы 1.6. Затем расширим область интегрирования, отбросив условие |£| > R и, тем самым, интегрируя по множеству
D={t,€R: v/tW+^-x)^ тЬ
Получим:
I /• №,у)\ <fc><
dj]
[_______ (___________:
d M ln2M• + (f -чУ
Так как 1 ^ |r/| ^ | при 77 € D, to
1/21 ^ In4 /
dp
2 l \A¥)2 + (; -i)2
Далее, заменяя z/r — г) на г/, получаем
if_______________________
где область интегрирования состоит из тех 77, для которых
63
или
\Д^)2 + 772 ^ \ , ИЛИ \Т)\ ^ (^)2 .
Поскольку подынтегральная функция четна по г/, то
/ *
о \/ (¥)2 + ч2
Последний интеграл вычисляется и, с учетом предположения о том, что |х| ^ 2 всюду в П, легко оценивается:
|/2К
1п 2
In
vvW)
J*L
Г
2 + I ^ 2
£
^ In2 I "ln |х| ^ln2|'ln2 ~ In у
Таким образом, при г —> оо
Г &Ьу/\*\2Н*-№ 1 / 1 \
/ *<1^ТЙ< = 7№ + У = 0(й^)-
1«1>д
В итоге для построенного решения и задачи Дирихле (1.1)
мптотика
, (°<^> + 0(ьЪ))- <1Л9>
где функция
+0О
а(х, в) = J р(х, £)e~*ktcos0cU;, cos0=-^-, (1.20)
получена при г —> оо асимптотика
eikr
и =----
является непрерывной и ограниченной при х € П, в 6 [0, 7г], что следует из оценок (1.17) для р(х, £). Добавим, что с геометрической точки зрения в — это угол между положительным направлением оси Oz и радиусом-вектором точки (х, z) трехмерного пространства.
Полученный результат выделим в качестве самостоятельного и важного для дальнейшего изучения свойств решения и задачи (1.1) утверждения.
64
Теорема 1.7. При любой функции (р(х, z) € Со°(Г х R) существует решение и = и(х, z) задачи Дирихле (1.1), имеющее при г —> оо представление (1.19), в котором функция а(х, в), определенная при х 6 Я, 0 ^ в ^ 7Г, является ограниченной и непрерывной.
Перейдем теперь непосредственно к доказательству условий излучения (1.2). Первое из этих условий есть прямое следствие асимптотики (1.19). Второе условие вытекает из возможности дифференцирования по г представления (1.19), то есть вытекает из следующего утверждения.
Лемма 1.8. Пусть и = и(х, z) — построенное выше решение задачи (1.1). Тогда
Доказательство этого факта имеется в |7).
1.6. Свойства функции р(х, z)
Этот пункт посвящен доказательству леммы 1.6. Функция р(х, z), напомним, играет ключевую роль в формуле (1.15) для решения и задачи (1.1) и определяется равенством (1.16).
В формуле (1.16) для р выделим, в соответствии с принципом локализации, точки, где А = у/к2 — а2 = 0 (то есть где |<т| = к). (Ранее отмечалось, что А является комплексным числом, а ветвь соответствующего квадратного корня выделяется условием 0 < argA ^ |.) Сделаем это с помощью функций h± = h±(o) € Co°(R), имеющих носители в достаточно малых d-окрестностях точек а = ±к соответственно и равных единице в чуть меньших окрестностях этих точек (значение 6 будет выбрано ниже). Тогда формулу (1.16) для р преобразуем следующим образом:
г оо.
65
7гг
F-'( h*v Ur'f ft-” =
\Я(А|х|)/ \H(X\x\)J \ Я(А|х|)
■Я(Л|х|)
Я(А|х|)
= -^[P++P- + Po]- (1-21)
7гг
Изучим слагаемые p± = p±(x, 2), p0 = p0(x, г)> входящие в формулу (1.21).
Проще всего исследовать функцию р0 (своего рода «остаток» в (1.21)), поскольку бесконечно дифференцируемая функция х ~ h+ — h_ имеет компактный носитель и, кроме того, тождественно равна нулю в окрестностях точек а = ±к. Для последнего слагаемого р0 в формуле (1.21) докажем следующее утверждение.
Предложение 1.9. Для любых целых m'^0uN>lu мулъ-тииндекса а справедливы оценки
• 0(1), хбИ, zGK,
2^°-
Доказательство. Положим h0 = hQ(a) = х(^) — h+(o) — h_(a). Тогда
Ро —
h0v \ Н(Л|х|)/
Ф-оо
- f-
2тг J
h0(a)v{x, a) _i Я (Л|х|) 6
’do
Здесь переменная интегрирования о принадлежит носителю финитной функции h0, который, к тому же, не содержит точек о = ±к. Поскольку для таких о величина А = \/к2 — о2 ограничена и отделена от нуля, то входящие в подынтегральное выражение решение v(x, о) задачи (1.4) и функция Ханке-ля Я(А|х|) являются гладкими функциями по х и о.
Пусть сначала х ограничено: |х| ^ шах\у\ + 1 = R0.
уег
Учитывая предположение о том, что |х| ^ 2 всюду в 12, и тот факт (см., например, (16|), что функция Ханкеля Я(С) не имеет корней в верхней полуплоскости {С : ImC ^ 0}, имеем
66
О < Cl < Я(А|х|) < с2,
где постоянные Сх, С2 от А и х не зависят. Поэтому в данном случае утверждения предложения 1.9 для р0 получаются с помощью интегрирования по частям и оценки по модулю подынтегральной функции.
Пусть теперь х не ограничено: |х| ^ R$.
Тогда, применяя к v(x, а) формулу Грина (1.11), приходим к следующему представлению для р0:
h0v дН(\\х-у\)'
Ро
4/И
Я(Л|х|) с\
— F
-1 /h0H(X\x—y\) dv{y,a) \ Я(А|х|) дпу
)]<«„. (1.22)
Из асимптотики (1.13) функции Ханкеля на бесконечности следует, что
н(0 =
(c»+0Q)-
где С £ С, |С| отделено от нуля, с0 = const Ф 0. Отсюда для любых целых т^Ои мультииндекса а получаем:
т&т
Н( А|х|) дН(\\х-у\)/длу
Щ >1*1)
___ 1
0(1),
где |х| ^ Я0, у 6 Г, а € supp h0. Используя эти соотношения, с помощью интегрирования по частям выводим утверждения предложения 1.9 для каждого из преобразований Фурье формулы (1.22), а значит, и для р0 при |х| ^ Rq. •
Предложение 1.9 доказано. □
Теперь перейдем к изучению свойств функций р+ и р_ в (1.21). Именно они определяют поведение функции р = р(х, z) при |z| —> оо.
Исследовать свойства функций р± довольно-таки трудоемко, так как при вычислении соответствующих преобразований Фурье в (1.21) переменная интегрирования сг меняется в
67
окрестностях точек о = А; и о — —к (а Л = 0 при о = ±А:), где особенности имеют и решение и(х, а) задачи (1.4), и функция Ханкеля #(А|х|). Сформулируем утверждение, описывающее; свойства функций р±.
Предложение 1.10. Для любых т = 0; 1; 2; ... и мулътиин-декса а справедливы следующие оценки:
Доказательство проведем только для р+ (поскольку для I р_ оно аналогично).
Рассмотрим сначала случай, когда |х| ограничено, то есть |х| ^ Rq, где фиксированное число Rq можно выбрать произвольно (и при рассмотрении случая |х| ^ Rq этот выбор будет осуществлен).
В случае ограниченного |х| и о —> к можно использовать разложение (1.7) решения и(х, а) задачи (1.4), что приводит к | следующему представлению для р+:
Покажем, как исследуется первый (и, что покажут дальнейшие расчеты, главный по вкладу в асимптотическое поведение функции р+) член разложения (1.26)
При А —> 0 и |х| ^ Rq имеем (воспользовавшись асимптотикой (1.12) функции Ханкеля в нуле)
4- v
Р+
00
68
Я(А|х|) = f (In A + In |x| + |) + 0(|A|2 In |A|) =
= j (ln(fc — a) + ln(A: + a) + 2 In |x| + c) -f 0(|A|2 In |A|), (1.28)
где c = const. Тогда
+oo
\Я(А|х|)/ 2i J 1
h+(a)e xzado
+
ln(A; — a) + In 2k + 2 In |x| + c
-00
+ o(-j^p ) при |x| ^ Я° H г 7^ 0. (1.29)
Здесь оценка остатка была получена с помощью двукратного интегрирования по частям, в процессе которого использовалось очевидное при о 6 supp h+ равенство
1 1 _ / к — а
= о( —-—-—'j
Vlnlfc-ffl /’
Я(А|х|) -^-(1п(/г — а) + ln2fc + 2 In |х| 4- с) Vln|fc
а также неравенства 0 < In 2 ^ In |х| ^ const (в силу предположения |х| ^ 2 всюду в Г2).
Разобьем последний интеграл на два, соответствующие а < к и а > к, ив обоих сделаем замену |/с — сх| = t. В результате, обозначив через s ограниченную величину In 2к + 2 In |х| -I- с и использовав при а > к равенство ln(A: — а) = In \к — сг\ + 7гг, будем иметь
1 ( ———'j =
\Я(А1хП/
Я(А|х|)
2 г
J Ф^; х, z)dt + J Ф2(£; х, z) о
о о
+ 0(тГр)’ г*0' (L30)
где
X, z) =
/ij(£) е
izt
, . . h2(t)e lzt
Ф,(£; х, z) = -— ---------: ,
’ ’ ’ In V+■ s + m
\nt + s
функции h\ и h2 принадлежат Cq°([0, <5)) и равны единице в окрестности нуля.
Исследуем поведение F-1 (/г+/Я(А|х|)) при |z| —> оо. Пусть сначала z —> —оо. Заменим отрезок интегрирования [0, <5] в каждом из интегралов равенства (1.30) на контур в комплексной плоскости переменного £ = t + ir, выбирая его
69
таким образом, чтобы входящая в подынтегральную функцию экспонента убывала на контуре при z —>■ —оо.
Для первого из интегралов в (1.30) возьмем контур (он изображен жирной линией на рис. 1.1), состоящий из отрезка [0, — гй'] и кривой 7Х в нижней полуплоскости, соединяющей точки —i5' и 6' по дуге окружности и далее идущей по вещественной оси до точки S. Здесь число 6', 0 < 8' < 5, выбирается так, чтобы hj(t) = 1 при t € [0, 5'], j = 1, 2.
* Разрез In С 4 Im£ = т 0 f 6 -Rc C-t
-iS' Ъ = (С е С : Id J 71 ReC % "'71 = S', -f < argC ^ 0} и [£', £] Рис. 1.1
Тогда
f Ф^х, z)dt = f <S>l(C,x,z)d(;+^l{Qx,z)dQ = о [о,-.*] 7,
= -*} +/*l(C;Z- Z)dC
о 71
Для второго интеграла в равенстве (1.30) берем контур (он изображен жирной линией на рис. 1.2), состоящий из отрезка [0, гб'] и кривой 72, симметричной 7г относительно действительной оси.
iS' Im C = r i 72 ■ Rc C — t
t 0 Разрез ln£ 72 = {C G C : Id 6- s Rc( ‘ = S', 0 < argC ^ §} и [£', J] Рис. 1.2
70
Получим
6
S'
/Ф,«; x, z)dt = if ,nr;7;^ + /Фг(С; X, *)<*<. о о ъ
С помощью многократного интегрирования по частям интегралы по 7j и 72 оцениваются при z < 0 через const • |z|_/v с любым натуральным N, где константа от х и z не зависит.
Таким образом, равенство (1.30) при z < 0 преобразуется к виду
А = —e~izk [------
\Я(Л|х|)/ i J (Inт
егт dr
+ s + i -у-)(1п т + s - i у)
+
+оШ- (1-31)
Очевидно, интеграл от 6' до +оо с той же подынтегральной функцией, что и в (1.31), экспоненциально убывает при г -+ —оо равномерно по х. Значит, равенство (1.31) сохранится, если в нем 8' заменить на +оо. Имеем:
+00
е-|2|т dr
(lnr -I- s + г -^-Д1пт + s - г
+°(w) =
р-U h+ ) = [____________е MTrfr
\Я(Л|х|)/ i J (lnr -I- s + i y-)(lnr + s - i y)
+00
= *,,-** ± [__________
г \z\ J (lnr-
e T dr
In |z|+s+i ^)(ln r- In |z|+s—i f)
• +0(w) =
7Г
= — e
-izk
+oo
In2 Izl I [e(ln
e T dr
z|ln2lz| J [e(ln т+s+i y-)—l] [e(ln T+s-г y)-l]
+
+ o
где e = In 1 |z|. Последний интеграл и все его производные по в сходятся равномерно по в при |е| <£. 1 (и по х, |л;| ^ Я0), по-
71
этому он является бесконечно дифференцируемой функцией е. Разложив ее в ряд Тейлора по е, получим для F~l (/i+/#(А|х|)) асимптотику при z —> — оо (ограничимся выписыванием главного члена):
h+ \ Н(Х\х\))
7Г
г
е-хгк
RWl
+
1
)■
(1.32)
где |х| ^ Rq, z —> — ex».
Пусть теперь z —> +оо. Оба интеграла в (1.30) исследуются так же, как и в случае z —► —ос, только для первого из них нужно брать контур в верхней полуплоскости (то есть контур [0, i6'] U72, изображенный на рис. 1.2), а для второго — в нижней (то есть контур [0, —г<5'] U 71? который изображен на рис. 1.1 жирной линией). Получим:
s 8'
J Фу{Р, х, z)dt = i J --Те--~гт + J фх(С; X, z) dt,
О О 2 ъ
8 S'
J Ф2(£; х, г) dt = -i J Д_ g ^ х + J <MC; *) •
О 0 2 7,
Здесь интегралы по 7j и 72 оцениваются, как и выше, и при z > 0 не превосходят const - |z|_7V с любым натуральным N, где константа от х и z не зависит. Это вместе с (1.30) дает
^(н£Ы=0(|^)’
Тем самым поведение при \z\ —► оо главного члена (1.27) разложения (1.26) выяснено. Втрое и третье слагаемые в правой части формулы (1.26) исследуются при \z\ —> оо с помощью тех же приемов, что и первое, и, как показывают вычисления, равны
°(йТ?й) и °(-рг)
Очевидно, что р+ = 0(1) при |х| ^ Rq, z € R.
72
Итак, оценки (1.23)—(1.25) для функции р+ при |х| ^ R0 и тп = |а| = 0 доказаны. Аналогично рассуждая, можно показать, что те же оценки справедливы и для производных по х и z функции р+. Доказательство предложения 1.10 в случае ограниченного |х| завершено.
Перейдем к доказательству предложения 1.10 в случае, когда |а:| не ограничено: |х| ^ Rq, где достаточно большое число Rq будет выбрано позже.
Имеем:
Р+ =
К” \
Ц[«мт~'{
h+ дН(Х\х—у\)\ Я(Л|х|) дп )
h,
дН(Х\х—у\)
дп.
)-
In Л • Я(А|х|) г
1//1+Я(Л|х-у|)ч дьг(у)л
~F Ua■«№])' ЭЯ, JdS« + -- (1М)
Здесь под знаком обратного преобразования Фурье функция v = v(x, о) представлена с помощью формулы Грина (1.11), в которой v(y, а) расписана с помощью разложения (1.7). Кроме того, оператор F-1 внесен под знак интеграла по Г. Последнее можно сделать, так как переменные интегрирования у и а принадлежат компактам. Многоточием в формуле (1.33) обозначено слагаемое, отвечающее третьему члену в разложении (1.7) для функции v(y, о) при о к (здесь у € Г).
Таким образом, предложение 1.10 будет доказано полностью, если доказать следующее утверждение.
Предложение 1.11. Существует число Rq такое, что для любого целого m ^ 0 и любого мультииндекса а справедливы оценки:
73
/ д \»"/ д \а !//|+Я(Л|ж-у|)\ _
\dz) \дх) V Я(А|х|) )
= liw'0(1)’ zeR- (134)
/ д yw д \Qr.1(h+H{X\x-y\)\ Удг) \дх) У Я(А|а:|) /
|t^'°(w1^w)’ |1|гд»’ 2_>_00'
\ljjra •o('j^r) . М ^ До, 2 -> +оо.
(1.35)
Такие же оценки справедливы, если под знаком преобразования Фурье дописать множитель In-1 А или 0(1п-2 А). Во всех этих случаях также можно заменить в числителе функцию И(Х\х - у\) на дН(\\х-у\)/дпу.
Доказательство предложения 1.11. Докажем только оценки (1.34)—(1.35), так как оценки для остальных функций, указанных в формулировке предложения 1.11, доказываются совершенно аналогично.
Разобьем интеграл
F-\(h+ Н{Х\х-у 1)\
V Я(А|а?|) )
2ТТ
+оо
J К(°)
Н{Х\х - у!) Я(А|х|)
da
на два, соответствующие а < к и а > к, ив обоих сделаем замену |к2 — а2\ —t. Получим:
г>-\(К Н(Х\Х~У\)\ _
(
Я(Л|х|)
)=
й’ й'
= -^~ j G1(t;x,z,y)dt + -^ J G2(t-x,z,y)dt, (1.
36)
где
0,(1;х,г,У) = fc.fr) . аг8Д = 0,
74
G2(t\x,z,y) = h2(t)
H(y/—t \x - y|) H(V=i\x\)
g-iizy/kt + t
TTfiTt ’
arg yf^t = f ,
функции hi, h2 принадлежат классу Co°([0, 6*)) и равны единице в окрестности нуля, 6* = 0(6). Схема изучения свойств интегралов в (1.36) примерно такая же, как и интегралов в (1.30). Ниже при переходе в интегралах равенства (1.36) от интегрирования по t к интегрированию по комплексной переменной Q будем считать, что однозначная ветвь квадратного корня (входящего в функции G{ = Gy(t-,x,z,y) и G2 = G2(t\x,z,y)) определяется неравенством | arg >/С| < у ДЛЯ Gy и неравенством -f < argv/C < у1 для G2.
1°) Оценки (1.34)—(1.35) при z ^ 0.
Меняя контур интегрирования в (1.36) так же, как это делалось для интегралов в (1.30), при z < 0, получаем:
Ь‘
J Gy(t;x,z,y)dt =
о
. Г Н(Уе ** т \х у|) / H(Ve~'^T |х|)
e-izy/k2+ir
2 у/к2 + гт
dr + G\(x,z,y),
i•
J G2(t-,x,z, у) dt =
о
где
Н(\/е * т \x - yl) H(>Je~*T |x|)
g-i zy/k2+ir 2 yjk2 + ir
dr -f G2(x,z,y),
Gj(x,z,y) = J Gj(C,\x,z,y)dC>, j = 1;2.
Ъ
Следовательно, равенство (1.36) при 2^0 преобразуется к ВИ-
ДУ
75
о
+-^-{G\(x,z,y) + G*2(x,z,y)), (1.37).
где
г,/______ч н{е' * I*-2/1) Я(е '4 у/т |х-у|)
* IT"» ■£> У/ ; 3w . _j_S_ _
Н(е * ^/7\х\) Н(е 4 у/т\х\)
Покажем, как оцениваются интегралы по 7, и 72 в равенстве (1.37). А именно, докажем, что при достаточно большом Rq для любых целых m ^ 0 и N > 1, любого мультииндекса а и j = 1, j = 2
Доказательство этих оценок не представляет затруднений, поскольку аргумент функций Ханкеля, стоящих под знаком интегралов по гух и 72, отделен от нуля. Докажем соотношения (1.38)—(1.39).
Поскольку при т —► 0 (т > 0)
то при достаточно малом S (а значит, и 6') и т € [0, 5']
-^•0(1), |х| ^ Ло, г$0, (1.38)
|фт-0(^). *<0. (1.39)
Следовательно,
Очевидно, что при Rq > шах |у|
76
1*-»1 = М(1 + о(-Дг)) =М + 0(1), |х|г R,, уе Г. (1.41)
Далее, учитывая (1.41) и справедливое, когда С € или С € 72, неравенство |£| ^ 51 > 0, можно для входящих в подынтегральное выражение функций Ханкеля воспользоваться асимптотикой (1.13) при большйх значениях аргумента, если Rq достаточно велико. Это дает при ( € и любых целых т^Ои мультииндексов а
Н(у/£\х-у\) УдО \дх) H{yft\x\)
1
•0(1),
уег,
и аналогичное равенство при Q £ 72. Тогда, дифференцируя по х, z под знаком интеграла и оценивая подынтегральную функцию по модулю, получим (1.38). Если же после дифференцирования под знаком интеграла N раз проинтегрировать по частям и применить (1.40) при оценке внеинтегральных членов, то получим (1.39).
Оценим теперь первое слагаемое в (1.37).
Для функции F(t, х, у) ниже будет установлена при любом мультииндексе а оценка
= <Ы2>
где |х| ^ i?0, 0 < т ^ S', у £ Г. Из нее, принимая во внимание (1.40), для любых целых т^Ои мультииндексов а получаем
|Ш'(37г""1
0-| zv'fca+ir
dr
IT
6'
e-izy№T*dT
£
S'
^ |X|H ’ f In2T + 1 dr ’ Iх! (l-43)
77
где постоянная С от х и z не зависит. Отсюда, из (1.38) и (1.37) следует (1.34) при z ^ 0. Далее, используя рассуждения, которые привели от интеграла в (1.31) к асимптотике (1.32), имеем:
S'
I
In2 т + 1
dr ^
+оо
/
In2 Т + 1
dr =
\z\
+00
/
г
те
(In т — In |z|)2 + 1
dr =
_ 1 N In2 |z|
где e = In-1 \z\. Это вместе с (1.43), а также с (1.39) и (1.37) приводит к оценке (1.35) при z —► — оо.
Осталось доказать оценку (1.42), после чего оценки (1.34),
(1.35) при z ^ 0 будут доказаны. Аргументы функций Ханкеля, входящих в выражение для F, по модулю эквивалентны у/т\х\ (см. (1.41)). Поскольку т близко к нулю (0 ^ г < 5' < 1), а г к бесконечности (|х| ^ Rq ;» 1), то — в зависимости от соотношения между тих — величина у/т\х\ может быть как бесконечно малой, так и бесконечно большой. Поэтому рассмотрим два случая: 1) у/т|х| < 0,1; 2) у/т\х| > 0,1.
1) Пусть у/т|х| < 0,1. Для функции Ханкеля воспользуемся представлением (1.12). Обозначим через £ и соответственно величины —гт|х|2 и —гг|х — у|2. Тогда получим
/
е ш dr
1
(elnr - l)2 +е2 \z\ In2 \z\
0(1), z —> —oo,
F(r, x, y) =
q(CMC) • (In у/т\х - y\ - In у/т\х\) + а(СЖС') ~ q(CXC) г H(e * у/т \x\) ■ H(e ' * </т \x\)
Так как при достаточно большом Rq (с учетом (1.41))
In у/т\х — у\ — In у/т\х\ = In ^ =
78
=1п(1+0(м))=0(м)’
a a(CWC') = 0(1), то
“«МО • (In у/т\х — 2/| — In у/т\х\) = o(-j^j-)
при \х\^ Rq, 0 < т ^ 6', у £ Г.
Другие слагаемые в числителе F(r, х, у) оцениваются так:
О(СЖС') - о(С')МС) = К' - 00(1) = т(\х - у\2 - |х|2) • 0(1) =
= тх
(1+°(м))г-1] = ('/?|1|)2-Им)]=0(Й)
Наконец, учитывая, что
|Н(е * у/т |х|)|, |Я(е ‘4 у/т М)| ^ 0|ln у/т\х\\
при |х| ^ Rq, 0 < т ^ 6', у/т\х\ < 0,1, где положительная постоянная С от х и т не зависит, получим для F(r, х, у) следующую оценку:
F(r’х’у) = I I 1 2 Г\ I °М ’ (*-44)
|х| \п у/т\х\
где |х| ^ До, 0 < г ^ 6', у £ Г.
Далее, замечая, что функция у 1п2г/ возрастает при изменении г/ на интервале 0 < т] < е~2, а также, что у/т < у/т\х\ < 0,1 < е~2 при Rq > 1, приходим к неравенству
у/т \п2у/т ^ у/т\х\ \п2у/т\х\ .
Следовательно,
1 ^ 1 const ,
|х| \li у/т\х\ 1П у/Т In Т + 1 1
Значит, в этом случае оценка (1.42) с |а| = 0 доказана.
В случае 2) у/т|х| >0,1 воспользуемся равенством (1.13) при N — 1, то есть асимптотической формулой
*(C) = -^(e0 + OQ),
где £ € С, |С| отделено от нуля, с0 = const Ф 0. Получим
79
Я(е 'Sr\x у|) =1 + Q(N/f)) ja-i ^ jRoj О < r O', уе Г. Я(е 4 л/т»)
То же имеет место и для второй дроби в выражении для функции F{r,x,y). Поэтому
F(r,x,y) = 0{у/т), |х|^Яо, 0 <тО', у е Г. (1.45)
Значит, в рассматриваемом случае для F(r,x,y) справедлива оценка (1.42) с |а| = 0.
Оценки для производных функции F(r,x,y) получаются аналогично.
Таким образом, оценка (1.42) и, значит, оценки (1.34),
(1.35) при z ^ 0 получены.
2°) Оценки (1.34)—(1.35) при z ^ 0.
Контур интегрирования в (1.36) меняем так же, как это делалось для интегралов в (1.30) при z > 0. Получаем:
О
J Gx{t-x,z,y) dt =
о
} Н{\/е^т |х — у\) e-i*№-iT г
=г /------------------0 /,2 . dT+ / C?i(C;^z,y)dC,
{ H(Ve *T |x|) 2vk2-ir J
S'
J G2(t,x,z,y) dt =
о
} H(Ve^T |x-y|) e-i*y/*9-iT r
= -* / ------fj¥=------—= dr + / G2{C,x,z,y)dC
{ H(Ve¥r\x\) 2VF^rr У
Поэтому равенство (1.36) при z ^ 0 примет вид
F-i(h+ н(Мх~У\)\ =
\ Я(А|х|) )
= ^г[/ G1 (C,x,z,y)dC + J G2(C,x,z,y)dC .
ъ
80
Для интегралов по 7г, 72 справедливы оценки типа (1.38) и (1.39) при 2^0иг>0 соответственно. Отсюда следует справедливость оценок (1.34) и (1.35) при г ^ 0.
Итак, предложение 1.11 (и следовательно, предложение 1.10) доказано. □
Замечание 1.1. Полученная при доказательстве предложения 1.10 асимптотика (1.32) показывает, что оценка (1.24) не улучшаема.
Лемма 1.6 (доказательству которой и был посвящен настоящий пункт 1.6) является очевидным следствием предложений 1.9, 1.10 и формулы (1.21).
§2. Метод стационарной фазы. Двухмерная задача о волнах на поверхности жидкости
2.1. Метод стационарной фазы
Метод стационарной фазы позволяет выписать асимптотику интеграла
6
I(\) = J f(x)eiX*Wdx, lm<p = 0, А € R, (2.1)
а
при Х—¥оо. Интеграл вида (2.1) и необходимость исследовать его поведение при А —» оо возникают в большом количестве теоретических и прикладных задач.
Если подынтегральная функция в (2.1) описывает какие-либо колебания, то f(x) — амплитуда этих колебаний, А<р(х) — фаза, а А<^'(х) — частота. Тогда при А —► +оо и <£>'(х) ф 0 можно говорить об изучении высокочастотных колебаний. (Заметим, что изменение фазы на величину, кратную 27т, не меняет подынтегральной функции.)
Приводимые ниже утверждения показывают, что вклад в асимптотику интеграла (2.1) при А —> оо дают стационарные точки (где <//(х) = 0), концы а и b области интегрирования и
81
точки, в которых подынтегральная функция имеет особенности.
Теорема 2.1. Пусть в интеграле /(А) вида (2.1) функции, входящие в подынтегральное выражение, удовлетворяют условиям f е Со°([а, b]), уз € С°°([а, 6]) и <р'(х) / 0 при а ^ х < 6. Тогда при X оо и любом целом 7 > О
(Здесь и далее через 0(Х °°), Л —► оо, будут обозначаться такие функции аргумента Л, которые при Л —> оо равны 0(X~N) для всякого целого неотрицательного N.)
Доказательство. Проинтегрировав по частям, получим
,(Л) = Т / Ш) ie>kriz> = -J /ш
а а
где fx{x) = (f (х) / (i<p'(х)))' G Со°([а, Ь]). Последний интеграл имеет ту же структуру, что и исходный, и его можно еще раз аналогичным образом проинтегрировать по частям. Повторив эту процедуру N раз, получим
ь
/(А) = (~тГ //*
а
где fN(x) 6 Со°([а, 6]). Следовательно, |/(А)| ^ ConstN • |А|_Л/, то есть /(А) = 0(Х~°°) при А —> оо.
Те же рассуждения справедливы и для d?I{X)/dX\ если производную предварительно внести под знак интеграла. Тем самым, теорема 2.1 доказана. □
Точка xQ <Е R называется тонкой стационарной фазы (или стационарной тонкой) для функции ф(х), если (р'(х0) = 0. Точка х0 стационарной фазы называется невырожденной, если <р"{х0) ф 0.
Теорема 2.2. Пусть в интеграле /(А) вида (2.1) функции, входящие в подынтегральное выражение, удовлетворяют услови-
82
ям f е Со°([а, Ь]), <р € С°° ([а, Ь}), причем функция (р(х) имеет на отрезке [а, 6] только одну стационарную точку х = х0, которая является невырожденной {ф'(хй) = 0, 4>"{xQ) /0) и не совпадает с концами отрезка интегрирования (а < х0 < Ь). Тогда при А —У +оо
/(А) ~ ^afcA-1/2"fc,
k—O
где
ао = /(*<>)
27Г
„'Т eignv>"(*o)
(2.2)
(2.3)
. 1^(*о)1
все коэффициенты ак при к ^ 1 выражаются через значения функций f, (р и их производных порядка не выше 2к в точке х = х0. Соотношение (2.2) можно любое количество раз дифференцировать почленно по А.
Замечание 2.1. 1. Здесь символ ~ в (2.2) означает, что (2.2) представляет собой асимптотическое разложение (асимптотику) функции /(А) при А -У -foo по асимптотической при А —у +оо последовательности {afcA_1/2_fc}£f^.
00
Напомним, что формальный ряд £ Рп{х) называется асимп-
п=о
тотическим разложением (или асимптотикой) функции f(x) при
х -у х0, если 1) последовательность {</?„} является асимптотической
при х —У х0 (то есть все <рп(х) определены в некоторой окрестности
точки х0 и |<£n+i(x)| = o{\ipn(x)\) при х —► х0 и при всех целых п ^ 0)
и 2) для любого целого N ^ О N
/(*) ~ Е 4>п(х) = 0(¥>/v+i(x)), х-ух0.
п=0
Подчеркнем, что здесь ряд 4>п не обязан сходиться. Смысл асимптотического разложения состоит в том, что оно позволяет изучать
N
поведение функции / в окрестности точки х0: сумма Y1 фЛ1) дает
п=0
некоторое приближение к функции f{x) при х -у х0, причем тем более точное, чем больше N (функции рп выбираются, как правило, достаточно простыми).
83
2. В теореме 2.2 утверждается, что асимптотическое разложение (2.2) допускает почленное дифференцирование. В общем случае дифференцировать почленно асимптотические разложения нельзя, даже если почленное дифференцирование соответствующих асимптотических последовательностей будет приводить вновь к асимптотическим последовательностям.
3. Функция sign — функция знака: sign(f) = 1, когда t > О, sign(£) = 0 при t = 0, sign(f) = —1, если t < 0.
Доказательство теоремы 2.2. Пусть сначала <р"{х0) > 0.
Возьмем произвольную функцию h 6 Со°([а, 6]) такую, что h(x) = 1, если \х — х0| < 6/2, и h(x) = 0, если \х — х0| >6. Положительная константа <5 будет выбрана ниже.
Тогда при любом целом j ^ 0 и Л —> +оо ь
-jjj /[1 - Mi)] /М dx = 0(Л'“). (2.4)
а
Для доказательства (2.4) нужно последний интеграл представить в виде суммы двух интегралов по отрезкам [а, х0 — 6/2] и [х0 + 5/2, Ь] и воспользоваться теоремой 2.1.
Итак, утверждение теоремы 2.2 достаточно доказать для интеграла
Л (Л) =
еа*(1) dx =
а
eiX^x) dx
где
гр(х) = ч>{х) - <^(х0) = -~~ {х - х0)2 + 0{|х - х0|3) (2.5)
при X —> х0.
Из (2.5) следует существование в некоторой окрестности стационарной точки х = х0 такой невырожденной замены переменной х = x(t), при которой точке х = х0 отвечает точка t = 0 и xl>(x{t)) = t2. Действительно, д(х) = гр(х)(х — xQ)~2 € С°° и g(xQ) = <р"(х0)/2. Следовательно, указанную замену переменной можно определить равенством t = (х — xQ)\Jg{x). Так
84
как t'x(x0) = y/<pf'{x0)/2 ф О, то предложенная замена переменной будет невырождена в некоторой окрестности точки х = х0. Константу 6 выберем такой, чтобы отрезок \х — х0| ^ S лежал в этой окрестности. Тогда
+оо
/,(А) = е<А*х°>/2(А), /2(А) = J h{x(t))f(x(t))D(t)eiXt2dt,
— ОО
где D(t) = x[(t) 6 С°° и D(0) = y/2/ip"(x0). Последний интеграл запишем в виде
+0О
I2(X)=[qV)eM’dt, (2.6)
О
q{t) = h(x(t)) f(x{t)) D(t) + h(x(-t)) f(x(-t)) D(-t).
00
Пусть f(x(t)) D(t) ~ c*^> * —► 0, — разложение функ-
fc=0
ции fD в ряд Тейлора по степеням t. Тогда (учитывая, что h = 1 в окрестности точки х = х0)
ОО
?(0~2^С2kt2k, t-> 0. (2.7)
к=О
В интеграле (2.6) произведем интегрирование по частям, внося экспоненту под знак дифференциала. Положим при целых j ^ 1
Ф}{А, <) = J exXz2 dz,
it
где — контур в комплексной плоскости г, изображенный на рис. 2.1.
85
Очевидно, что функция 'ipj является первообразной (по переменной t) порядка j для ехр(Ш2). От других первообразных (например, от аналогичного интеграла по отрезку [0, f] вещественной оси) она отличается тем, что достаточно быстро убывает при А —> +оо. В сёмом деле, если z = t + рехр(г'7г/4), то
о
V»j(A, t) = jjTIjr / ^“l еа^+21ре'’/л+^ dp (2.8)
+oo
и при t ^ 0
+oo
')! * jfTTy I a
0
+oo
0
Сделав теперь замену \/A p = f, получим
|^(A, t)\ < Const-A''72, f)fl, (2.9)
Это вместе с формулой (2.6) дает при А -> +оо и любом целом N ^ О
2N+2
Ш= (-l)1'1 я¥Л*)*,&,*) + ОСА-"'-1). (2.10)
j = l
Так как h 6 Cq^R1), то g(f) = 0 при * » 1. Поэтому из (2.10) и (2.7) получаем следующее равенство:
N
/2(А) = - £ 2 (2*)! Va+, (Л, 0) + OfA-"-1).
к=0
Чтобы найти величины ^2fc+1 (А, 0), в равенстве (2.8) положим t = 0, а затем в указанном там интеграле сделаем замену Ар2 = г}. В результате находим
^2fc+l
1
е*-5-(2к+1)д-1/2-^
(2.11)
86
где Г(-) — гамма-функция. Следовательно,
А —> +оо. (2.12)
к=О
Это приводит к формуле (2.2) для /х(Л) и, значит, для /(А). Утверждения теоремы 2.2 о коэффициентах ак легко проверяются.
Для доказательства возможности почленного дифференцирования соотношения (2.2) достаточно (в силу (2.4)) доказать возможность почленного дифференцирования соотношения (2.12). Для этого дифференцируем равенство (2.6):
+оо
J qj{t)etKt2dt, q^t) = (it2)jq{t). (2.13)
о
Далее, так же, как из (2.6) было получено (2.12), получаем асимптотическое разложение для интеграла (2.13). После этого непосредственно проверяется, что полученное асимптотическое разложение совпадает с разложением, получаемым почленным дифференцированием соотношения (2.12). Последнее делается совсем просто: надо только заметить, что вместо (2.7) теперь справедлива формула
ОО
Ф~ 2(<)'£ca‘“+*<. г_0,
к=О
а значит, для eP/2(A)/dAJ будет справедливо разложение (2.12), в котором вместо с2к стоит d2k, где
4* = О ПРИ к < j и с^к = (i)Jc2(jt-j) при к ^ j . Теорема 2.2 в случае <р"(х0) > 0 доказана.
В случае ip"(x0) < 0 можно от /(А) перейти к /(А) и, получив для /(А) асимптотическое разложение, затем перейти еще раз к комплексно-сопряженным функциям.
Теперь теорема 2.2 полностью доказана. □
Замечание 2.2. Суть дела, отраженную в теоремах 2.1-2.2, раскрывают следующие примеры.
87
b
1. Рассмотрим интеграл f f(x) cos[A<^(x)] dx, где / 6 Co°([a, 6]),
a
Im/ = 0, v? € (^([a, 6]) (указанный интеграл равен Re/(А) при вещественнозначной /). Будем считать, что ip'{x) ф 0 при а ^ х ^ 6, то есть выполнены условия теоремы 2.1.
Если xlt х2 — два соседних нуля функции cos[A</j(x)], то расстояние между ними может быть оценено следующим образом: AMxi)-у>(х2)] = тг |xi -х2| « я-/[А ^'(х!)!].
Довольно очевидно, что в данной ситуации на графике подынтегральной функции площади фигур, ограниченных «горбиками косинусоиды» и расположенных выше и ниже оси абсцисс, должны компенсировать друг друга, и интеграл будет убывать при А —> +оо быстрее, чем А-1 (в теореме 2.1 показано, что он убывает быстрее X~N при любом натуральном N).
2. Рассмотрим тот же интеграл с <р{х) = х2, то есть интеграл
6
//(х) cos[Ax2] dx. В этой ситуации <р'(х) может обращаться в нуль:
а
функция х2 имеет единственную стационарную точку хо = 0, причем невырожденную.
Легко проверить, что ширина основания «горбика косинусоиды», содержащего начало координат (единственную стационарную точку), равна \/2ж/Х и его площадь не компенсируется площадями соседних «горбиков», ширина оснований которых имеет, как мы выяснили ранее, порядок 0{ 1 /А). Поэтому рассматриваемый интеграл ведет себя при А -> +оо как 0(1/\/А). Последнее соответствует утверждению теоремы 2.2.
Теперь коснемся случаев, когда подынтегральная функция в /(А) имеет особенности, а также вклада в асимптотику интеграла концов отрезка интегрирования.
Пусть М — подмножество отрезка [а, 6], состоящее из точек, в которых функция / или <р не бесконечно дифференцируема, из точек стационарной фазы функции ip и концов а и b отрезка интегрирования.
Нейтрализатором в точке х0 называется вещественнозначная функция /iIq класса Co°(R), равная единице в неко-
88
торой окрестности точки х0 и нулю вне некоторой большей окрестности.
Вкладом точки х0 в интеграл /(А) называется интеграл
ь
/,0М = / h,t(x)Hx)^dx,
а
если носитель нейтрализатора hx не содержит точек Л4, отличных от х0.
Следующее утверждение носит название метода локализации и позволяет разделить трудности при отыскании асимптотики интеграла /(Л), если множество М состоит из конечного количества точек.
Теорема 2.3. С точностью до слагаемого порядка 0(А-00) при А -> оо интеграл /(А) вида (2.1) равен сумме вкладов точек стационарной фазы, концов отрезка интегрирования и особенностей подынтегрального выражения, то есть
i
/(Л) = £уЛ) + 0(А-“), А->оо, j= 1
где М = Это разложение можно любое число раз
дифференцировать по А.
Доказательство. Утверждение теоремы получается, если к интегралу
f(x) dx
'(А)-Е7*,(А)= /['-ixw
{ L j=i J
применить теорему 2.1 (см. формулу (2.4)). Теорема 2.3 доказана. □
Вклад концов интегрирования в асимптотику интеграла /(А) описывается следующей теоремой.
Теорема 2.4. Пусть в интеграле /(А) вида (2.1) функции, входящие в подынтегральное выражение, удовлетворяют условиям / 6 С°°([а, b]), ip € С°°([а, Ь}) и <р'(х) Ф 0 при а ^ х ^ Ь. Тогда при А —> оо
89
\
/(А) ~ Y1 Ск(ЪУЫЬ) А-1'* - скШЫа) А-1-*, (2.14)
к=О
fc=0
где
{х)-( 1
b \ — ivj'(x) dx ) \ i${x) )
Соотношение (2.14) можно любое число раз дифференцировать почленно по А.
Доказательство. Утверждение об асимптотике интеграла /(А) доказывается интегрированием по частям точно так же, как доказывалась теорема 2.1. Возможность почленного дифференцирования доказывается точно так же, как и аналогичное утверждение в теореме 2.2. Теорема 2.4 доказана. □
2.2. Задача о волнах на поверхности жидкости
В этом разделе в качестве примера применения метода стационарной фазы будет проведено асимптотическое исследование решения двухмерной линейной задачи о волнах на поверхности жидкости. Напомним постановку задачи.
Будем обозначать через R2 двухмерное пространство с координатами (х, у), а через Dt — область в R2, занимаемую жидкостью. Эта область зависит от времени L Мы остановимся только на случае
Dt — {(х, у) : — оо < у < г)(х, t), —оо < х < оо}.
Здесь у = т)(х, t) — уравнение свободной поверхности бесконечного (как в глубину, так и по ширине) слоя жидкости.
Задача состоит в отыскании поля скоростей (и, v) в области Dt. Предполагается, что массовая сила состоит только из силы тяжести. В этом случае уравнения движения жидкости имеют вид (см. [20])
| и[ + и • и'х + v • и'у = -±р/х,
\ v't + u-v'x + vv'y = -jpfy-9,
(2.15)
где р — давление, р — плотность, g — ускорение свободного падения. Так как жидкость считается несжимаемой, то ее плот-
90
ность р постоянна. К этим уравнениям следует добавить еще уравнение неразрывности
< + i>; = o. (2.16)
Итак, для определения трех неизвестных функций и, v, р имеем систему (2.15)-(2.16) из трех уравнений.
В дальнейшем мы будем рассматривать только безвихревые движения жидкости, то есть такие, для которых u'y—v'x = 0.
Лемма 2.5. Если движение жидкости является безвихревым в начальный момент времени, то оно остается таким и во все последующие моменты времени.
Доказательство. Перепишем систему (2.15) в виде
f и[ + [|(ц2 + v2) + z + gy\ +vR = 0,
г V (2Л7)
[ v't + [у(“2 + и2) + £ + ду^ - uR = 0,
где через R = R(x,y,t) обозначена функция и'у — v'x. Продифференцируем первое уравнение системы (2.17) но у, а второе — по х; затем вычтем одно из другого. Тогда, учитывая (2.16), нолучим для R уравнение
R!t + vR'y + uR!x = 0. (2.18)
Предполагается, что область Dt получается из области D0 сдвигом вдоль траекторий поля скоростей (и, и).
Пусть х = х(£), у = y(t) — одна из таких траекторий. Тогда уравнение (2.18) приводит к тому, что
-^Д(х(0, y(t), t) = 0.
Вместе с начальным условием последнее уравнение означает, что R(x(t), y(t), t) = 0. А так как в каждую точку (х, у) области Dt приходит какая-то из траекторий, то R(x, у, t) = 0. Лемма доказана. □
Заметим, что приведенное рассуждение справедливо для любого потенциального поля сил. Из леммы 2.5 вытекают два
91
следующих следствия. Далее через V будет обозначаться вектор (д/дх, д/ду), а через Д — оператор д2/дх2 -I- д2/ду2.
Следствие 2.6. В случае безвихревого движения существует потенциал скоростей, то есть существует такая функция Ф = Ф(х, у, t), что (и, v) = УФ. Функция Ф определяется с точностью до слагаемого Ф = Ф(£).
Следствие 2.7. В случае безвихревого движения существует интеграл Коши—Лагранжа, то есть для любых решений системы (2.15)—(2.16) справедливо соотношение
ф; + 4-(“2 + v2)+ -+Я/ = С((). (2.19)
I р
При этом потенциал скоростей Ф можно выбрать так, чтобы C(t) = 0.
Доказательство. Обозначим левую часть в (2.19) через L. Тогда из (2.17) и условия R = 0 следует, что VL = 0, то есть L = C(t). Взяв произвольно потенциал Ф и добавив к нему функцию Ф(£) = / C(t)dt, получим потенциал скоростей, для которого справедливо соотношение (2.19) с C(t) = 0. Доказательство завершено. □
Окончательно, в случае безвихревого движения задача сводится к отысканию потенциала скоростей Ф.
Под потенциалом скоростей мы будем понимать тот из потенциалов, для которого правая часть в (2.19) тождественно равна нулю. Подчеркнем еще раз, что от выбора потенциала (в смысле выбора слагаемого Ф(£)) поле скоростей не зависит.
Для определения функции Ф получаем следующую задачу:
уравнение
ДФ = 0, — оо < у < г)(х, t); (2.20)
граничные условия на свободной поверхности у = tj(x, t)
Ф'Л-^'у+ч', = о, ф; + \ ((ФУ2+(Ф'„)2) + 1 + От = 0; (2.21)
i р
условие на бесконечности
92
(2.22)
Ф^ —> О при у —> —оо; начальные условия
Ф(х, 77, 0) = Ф°(х), т]{х, 0) = г]°{х). (2.23)
Действительно, уравнение (2.20) получится, если вектор (и, v) = УФ подставить в (2.17). Далее, если граница S жидкости задается уравнением s(j, у, t) = 0, то на S должно выполняться соотношение
^ = s'xu + s'yv + s't = 0. (2.24)
Оно носит название условия непротекания. В частности, если граница неподвижна, то есть s't = 0, то условие (2.24) означает, что вектор скорости (и, v) направлен по касательной к границе. Если бы слой жидкости кончался на глубине у = — Н, то из (2.24) следовало бы, что Ф'у = 0 при у = —Н. Устремляя Н к бесконечности, получаем условие (2.22). Первое из условий (2.21) также является прямым следствием (2.24). Второе из условий (2.21) следует из (2.19).
На свободной поверхности заданы два граничных условия. Это не удивительно, поскольку эти условия содержат дополнительную неизвестную функцию г]. Давление р на свободной поверхности считается известным.
Мы остановимся дальше только на линеаризованной задаче, которая получится, если предположить, что все скорости и возвышение свободной поверхности малы. Точнее, пусть
Ф = еФх -I- е2Ф2 + ..., т] = ещ + е2т]2 + .... (2.25)
Тогда из (2.20)-(2.23) следует, что
ДФ!=0, т/ < 0; (2.26)
+ = О- M + ^ + </771=0, т/ = 0; (2.27)
lira (Ф^ = 0; (2.28)
у—►—ос ы
Ф,(х, 0, 0) = Ф?(ж), щ(х, 0) = rfx{x). (2.29)
93
Заметим, что задача (2.26)-(2.29) отличается от (2.20)-(2.23) не только тем, что в ней выброшены все квадратичные члены, но и тем, что вместо области Dt теперь рассматривается полупространство у < 0. В силу (2.25) область Dt зависит от е, и, для того чтобы линеаризовать задачу (2.20)-(2.23), надо предварительно сделать замену переменных (х, у) —► (х, z), где z = у — г)(х, t). В новых переменных область Dt перейдет в полупространство z < 0, операторы д/дх и д/ду перейдут соответственно в д/дх — (ет?j 4- е2т]2 + ...)d/dz и d/dz.
Если функции Ф,(х, у) = ФДх, z + 77) разложить в ряд Тейлора в точке z по второму аргументу и, воспользовавшись разложениями (2.25), собрать вместе члены при одинаковых степенях е, то получим формальный ряд
Ф(х, у) = еФ^х, z) + £2Ф2(х, z) + ..., (2.30)
в котором Ф^х, z) = Фх(х, z).
Подставим теперь второе из разложений (2.25) и (2.30) в (2.20)-(2.23) и оставим в соответствующих равенствах только старшие члены по е. Если теперь переменную z обозначить через у, то получим равенства (2.26)-(2.29).
Далее, можно считать, что р = р0 = const на свободной поверхности. Тогда, перейдя от потенциала Фх к Ф = Ф1 + t, избавимся от слагаемого р/р в формуле (2.27). Затем, продифференцировав второе из уравнений (2.27) по t, исключим из уравнений (2.27) функцию щ. В условиях (2.29) также заменим 77х с помощью равенства (2.27). Окончательно получим для
потенциала Ф следующую задачу:
ДФ = 0, у< 0; (2.31)
Ф"-Ь^Ф; = 0, у = 0; (2.32)
Нш Ф' =0; (2.33)
у-*-оо ы
Ф(х, 0, 0) = 0, ф;(х, о, 0) = с6(х), (2.34)
где 6(х) — дельта-функция, с = const. Предполагается, что в
94
начальный момент потенциал скоростей равен нулю, а возвышение свободной поверхности дельта-образно.
Теорема 2.8. При y = 0uA = -j^ —> оо решение Ф задачи
(2.31)-(2.34) имеет следующий вид
, (2.35)
Ф(х, 0, о = 1[Щ- sinful- - 4 +0(4-)'
у/ъ\х\ [у gt2 V 4|х| 4 / V gt2 )
где для второго слагаемого в правой части формулы (2.35) при всех целых j > 0 и А —> оо справедлива оценка
d>
d\i
- 0(A_1) = 0(A_1)
Доказательство. После применения к задаче (2.31)-(2.34) преобразования Фурье по х приходим к новой задаче, которая явно решается. Получаем, что образ Фурье Ф(ст, у, t) функции Ф равен ce^v sin(y/g\a\t)/y/g\a\. Следовательно,
ОО ----
Ф(*,у,1) = 4 (гМУ do.
2тг У
— 00
Так как функция Ф четна по переменной а, то этот интеграл можно переписать в виде
00
Ф(х, у, t) = — [ еау 5Ш(^° cos ах da.
* J s/go
о
Подынтегральная функция не изменится, если заменить в ней х на |х|. Положив еще у = 0 и сделав замену переменных по формуле \fajg = s, получим
Ф(х, 0, t) = —
7Г
оо
J s\n(gst) cos(ys2|x|) ds = о
с
7Г
ОО
J s\n(gst + ys2|x|) ds + о
ys2|x|) ds =
95
с
fi-
lm
J eig(st+S\x\)ds + J ei*(,t-.a|z|)ds
0 0 Сделаем теперь замену переменных по формуле s = в
которой параметры а и 0 подберем так, чтобы уравнять порядки по t и х слагаемых в показателях экспонент. Очевидно, для этого следует взять а = 1, 0 = — 1. Получим
Ф(х, 0, t) =
ct
Im
fi \x\
(2.36)
[ + f
0 0 Применим к интегралам (2.36) метод стационарной фазы. У подынтегральной функции в первом интеграле нет точек стационарной фазы при £ > 0. Во втором интеграле такая точка одна — это f = 1/2. Поскольку интегралы в (2.36) имеют бесконечные пределы, то необходимо вычислить вклад от бесконечности. Для этого зафиксируем какую-либо функцию h 6 C°°(R) такую, что h(£) = 0 при ( < 1 и h(£) = 1 при £ > 2. Тогда
00 00
т
iX{ 1 + 20
00 _ 7( мо,
0 J\iX( 1 + 20У
Внеинтегральный член равен нулю, так как (1 + 20-1 —► 0 при £ —> оо и h(0) = 0. Если этот прием интегрирования по частям повторить N раз, то получим, что
ОО ОО
I = J h(0eiA(«+«J) dt = X~N J hN (^)e,A{€+«J) d£.
о 0
Здесь важно отметить, что при N ^ 1 функции hN и h'N ведут себя при £ —> оо как 0(£~2N). Поэтому внеинтегральные члены все время будут обращаться в нуль и, кроме того, hN
96
будет суммируема при N ^ 1. Но тогда последний интеграл не превосходит CNX~N.
Также доказывается, что \d?I/dXJ\ ^ CNjX~N. Для этого надо сначала проинтегрировать, как и выше, по частям N + j раз, после чего, дифференцируя по Л, внести производные иод знак интеграла. Таким образом, d4/dXj = 0(Х~°°) при Л —► оо.
Аналогично исследуется вклад от бесконечности для второго слагаемого (второго интеграла) в правой части формулы
(2.36).
Наконец, остается с помощью теорем 2.2-2.4 учесть для интегралов из равенства (2.36) вклад от концов интегрирования и от точки стационарной фазы. Получим в точности утверждение теоремы 2.8. Тем самым эта теорема доказана. □
Из теоремы 2.8 вытекает следующее следствие прикладного характера.
Поскольку в силу второго из условий (2.27), где, напомним, от слагаемого р/р мы избавились за счет произвола в выборе потенциала, возвышение ц свободной поверхности жидкости равно — Тф^(х, 0, t), то из теоремы 2.8 следует, что фаза ср колебаний свободной поверхности, вызванных точечным возмущением, равна <р = (Л — 7г)/4, Л = gt2/\x\ —> оо. Значит, частота колебаний и = gt/{2\x\) стремится к бесконечности в любой ограниченной области при t —> оо и убывает с увеличением |х|. Далее, фазовая скорость V поверхностных волн растет линейно по времени. Ее можно определить, проследив за движением локального максимума волны. Из (2.35) следует, что он движется так, что gt2/(4\x\) = с = const, то есть |х| = gt2/(Ac), и V = х[ является линейной функцией t.
Таким образом, если в большом водоеме (море, океане) изучаются волны, пришедшие издалека и вызванные каким-то локальным возмущением (например, штормом), то эти волны будут иметь большую длину волны (если t не слишком велико, но А —> оо) и большую фазовую скорость. Поэтому, несмот-
97
ря на их весьма малую амплитуду, с помощью усредняющих приборов эти волны можно зафиксировать на фоне тех более коротких волн, которые постоянно наблюдаются на поверхности данного водоема. Еще в 1949 году американские ученые провели исследование, устанавливающее связь между случаями штормов в Атлантике, местоположение которых известно из метеорологических наблюдений, и длинными волнами, которые движутся из штормовой области и достигают побережья США в относительно короткое время.
Список литературы
1. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. — М.: Изд-во МГУ, 1982.
2. Тихонов А.Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М., Наука, 1977.
3. Эйдус Д. М. Принцип предельной амплитуды // УМН. 1969. Т. 24. Вып. 3. С. 91-156.
4. Свешников А. Г. О принципе излучения // ДАН СССР. 1950. Т. 73. №5. С. 917-920.
5. Свешников А. Г. Принцип предельного поглощения для волновода // ДАН СССР. 1951. Т. 80. У*3. С. 345-347.
6. Винник А. А. Об условиях излучения для областей с бесконечными границами // Изв. вузов. Математика. 1977. JV*7. С. 37-45.
7. Спиридонов М. Я. Уравнение Гельмгольца во внешности цилиндра. — М.: Депонировано в ВИНИТИ. 19.12.1984. У«8157-84Деп. С. 1-34.
98
8. Спиридонов М. Я. О свойствах решения уравнения Гельмгольца во внешности бесконечного цилиндра // УМН. 1985. Т. 40. Вып. 5. С. 206-207.
9. Спиридонов М. Я. О главном члене асимптотики на бесконечности решения уравнения Гельмгольца во внешности цилиндра // XXV науч. конф. фак-та физ.-мат. и естеств. наук: Тезисы докладов. — М.: Изд-во РУДН, 1989.
10. Спиридонов М. Я. Принцип предельного поглощения для внешности бесконечного цилиндра // XXXIII науч. конф. фак-та физ.-мат. и естеств. наук: Тезисы докладов. Мат. секции. — М.: Изд-во РУДН, 1997.
11. Спиридонов М. Я. Об асимптотике решения задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца в бесконечной цилиндрической области // Математика: фундаментальные вопросы, приложения, преподавание: Межвед. сб. науч. тр. Вып. 1. - М.: Изд-во МГУП, 2001. С. 173-192.
12. Спиридонов М. Я. Об одной эллиптической задаче с параметром во внешности ограниченной области// Математика: фундаментальные вопросы, приложения, преподавание: Межвед. сб. науч. тр. Вып. 3. — М.: Изд-во МГУП, 2003. С. 68-85.
13. Mac Сату R. С. Low frequency acoustic oscillations // Quart. J. Appl. Math. 1965. V. 23. No. 3. P. 247-255.
14. Муравей Л. А. Аналитическое продолжение по параметру функций Грина внешних краевых задач для двухмерного уравнения Гельмгольца. III // Матем. сб. 1978. Т. 105(147): 1. С. 63-108.
15. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // УМН. 1964. Т. 19. Вып. 3. С. 53-161.
99
16. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Т. 1. — М.: ИЛ, 1949.
17. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. — М.: ИЛ, 1963.
18. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1977.
19. Ландис Е. М■ О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений // ДАН СССР. 1956. Т. 107. ,V*5. С. 640-643.
20. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. I. — М.: Наука, 1973.
Московский государственный университет печати имени Ивана Федорова.
E-mail: [email protected].
Поступила 22 апреля 2013 г.
100
