CC BY
38
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
О ЗАДАЧЕ ТИПА ДИРИХЛЕ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛУПОЛОСЕ ДЛЯ ДВУОСЕСИММЕТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА
А.А. Абашкин
Самарский Государственный Архитектурно-строительный Университет
ул. Молодогвардейская, 194, Самара, 443001, Россия, e-mail: samcocaa@rambler.ru
Аннотация. Для обобщенного двуосесимметричного уравнения Гельмгольца исследована краевая задача, граничные условия которой зависят от значения параметров уравнения. Доказана ее однозначная разрешимость. Методом разделения переменных, используя разложение в ряд Фурье-Бесселя и преобразование Ханкеля, найден явный вид решения.
Ключевые слова: уравнение Гельмгольца, ряд Фурье-Бесселя, преобразование Ханкеля, функции Бесселя.
1. Постановка задачи
Поставим следующую задачу для уравнения
2ß 2р
H^ pii = ихх + Uyy Н---их Н-----иу — А2 и = 0 , р > 0 , А > 0 . (1)
х у
Найти функцию и(х,у) G С'([0,а] х [0,оо)) П (72((0,а) х (6, оо)) при ¡л,р < | и и(х,у) G C((0, а] х (0, то)) П C2((0, а) х (b, то)) при других значениях параметров p и ß, удовлетворяющую условиям:
H^vu(x,y) = 0, и(а,у) = q2(y) , lim u(x,y) = 0 при х G (0,1) ; (2)
^ у^<х>
и(х, 0) = tp(x) при х G [0, а] , р < - ; (3)
lim у2р_1и(х,у) = ip(x) при х G [0, а] , р > - ; (4)
у^о+ 2
и(х,у) 1
lim —-------= <р(х) при х G 10, а , р = - ; (5)
у^о+ ln у 2
и(0, у) = qx(y) при у G (0, то) , ц < ^ ; (6)
lim x2ß~lu{x, y) = qi(y) при у G (0, то) , ß > - , (7)
ж^о+ 2
и(х,у) . . . 1
lim —------= q^y) при у £ (0, оо) , ß = - , (8)
х—0+ ln х 2
где q^(y) и <^(х) - известные функции достаточной степени гладкости, такие, что qi(0) = <^(0) при p < 1/2 и ß < 1/2, q2(0) = <^(а) при p < 1/2, а также lim q*(y) = 0, i = 1, 2.
у—
Отметим, что краевая задача в четверти плоскости для уравнения (1) была исследована в публикации [1], нелокальная краевая задача в полуполосе для частного случая уравнения (1) при ß = 0 - в статьях [2,3], однозначная разрешимость задачи подобной
задаче (2), (3), (6), но для уравнения утихх + иуу Н-----иу — Х2ути = 0, т > 0 была
доказана в работе [4]. В монографии [5] рассмотрены краевые задачи для уравнения
2ß 2p 2
^>хх Н- У'цц Н- —Н- —^у + А и — 0 . ху
2. Единственность решения
Теорема 1. Если решение задачи с условиями (2)-(7) при p < 1/2, ß = 1/2 существует, то оно единственно.
□ Для начала рассмотрим случай ß < 1/2.
Допустим, что решение решение задачи (2), (3), (6) при <^(х) = 0, q»(y) = 0 принимает наибольшее значение, не равное нулю во внутренней точке (х0,у0) полуполосы [0,а] х [0, то). Тогда их(х0,у0) = 0 и иу(х0,у0) = 0. Точно также имеет место Ди(х,у) < 0. Поскольку на границе области решение равно нулю, то и(х0, у0) > 0. Откуда следует, что НЛ, ри(х0,у0) = Ди(х0,у0) + Аи(х0,у0) < 0, что указывает на имеющееся противоречие.
Применяя аналогичные рассуждения, можем утверждать, что решение не может принимать наименьшее значение во внутренней точке области. Таким образом, мы получили, что наибольшее и наименьшее значения функция и(х, у) принимает на границе или при у ^ то. Поскольку на границе и в бесконечности решение тождественно равно нулю, то и в области D решение равно нулю. Что и доказывает единственность решения задачи (2), (3), (6).
Ввиду второго из принципов соответствия для оператора Н^р [5, c.164],
Н^у^Мх у)) = Hti-pH^ у)), нЛ)Р(х1-2Ми(х, у)) = ^-^Нх у)), (9)
существует биекция между решениями краевой задачи с условиями (2), (3), (6) и краевой задачи с условиями:
Н_ и(х,у) = 0 , и(а,у) = а2м_^2(у), lim и(х,у) = 0 , при х £ (0,1); (10)
у—^
lim и(х,у)= х2м-1^(х) , при х £ [0, а]; (11)
у—0+
lim х2м 1и(х,у) = q1(y) , при у £ (0, то) . (12)
x——0+
Условия (10)-(12) после соответствующих переименований обретают вид (2), (3), (7). Вследствие этого доказанная выше единственность решения задачи (2), (3), (6) влечет единственность решения задачи (2), (4), (6). I
Теорема 2. Решение задачи с условиями (2)-(7) и дополнительным условием на искомую функцию
lim у2р-1и(х,у) = 0 (13)
у—^
единственно при Р > \-
□ Первый из принципов соответствия (9) приводит во взаимно-однозначное соот-
ветствие решения краевой задачи с условиями (2), (3), (6) и решения краевой задачи со следующими условиями: Первый из принципов соответствия (9) приводит во взаимнооднозначное соответствие решения краевой задачи с условиями (2), (3), (6) и решения
краевой задачи со следующими условиями:
Н1 и(х,у) = 0, и(а,у) = y2p-1q2(y) , lim и(х,у) = 0 при х £ (0,1) ; (14)
^ ’ р у—^
lim у1-2ри(х,у) = <^(х) при х £ [0,а] ; (15)
у—0+
lim и(х,у) = y2p_1q1(y) при у £ (0, то). (16)
x—0+
После соответствующих переименований, при выполнении условия (13), задача (14) -(16) превращается в задачу с условиями (2), (4), (6) и дополнительным условием (13). I
3. Существование решения
Теорема 3. Если функции хт <^(х) и ypiq*(y), i = 1, 2, где ß1 = ß — 1/2, p1 = p — 1/2, непрерывны, первая из них имеет ограниченную вариацию на любом интервале (b, c), 0 < b < c < а, а вторые - на любом интервале (0, R), и выполняются условия:
а +^
J |хм^(х)|^х < то , J |ypq^(y)|dy < то , i = 1, 2 ,
00
то решение задачи (2)-(7) существует.
□ В силу принципа соответствия (9), достаточно рассмотреть случай p > 1/2, ß > 1/2. Будем искать решение задачи с условиями (2), (4), (7) в виде
и(х, у) = >1(х,у) + >2(х,у) ,
где Т4(х,у) и V2^,y) удовлетворяют условиям:
НрУЦх,у) = 0 , ^(а,у) = q2(y), lim >1(х,у) = 0 прих £ (0,1); (17)
^ у—^
lim y2p-1Vi(:r,y) = 0 при х Е [0,а], р > \ ; (18)
у—0+ 2
V (х у) 1
lim —-—-— = 0 при х G [0, а], р = — ; (19)
у—0+ ln у 2
lim x^-Wi (х,у) = qx{y) при у G (0, оо) , Ц>\\ (20)
x—0+ 2
V (х у) 1
lim —-— = qxty) при у G (0, оо), ß = - ; (21)
x—0+ ln х 2
НЛрУ2(х,у) = 0, У2(а,у) = 0, lim >2(х,у) = 0 при х £ (0,1) ; (22)
^ у—ю
lim y2p~1V2(x,y) = ip(x) при х G (0, а] , р > ^ ; (23)
у—0+ 2
lim ^ = ip(x) при х G (0, а] , р = - ; (24)
у—0+ ln у 2
lim x2ti~1V2(x,y) = 0 при у G (0, оо) , ^ ; (25)
x—0+ 2
V (х у) 1
lim —-—-— = 0 при у G (0, оо) , ß = - . (26)
x—0+ ln х 2
Вычисление функции У1(х,у). Функцию ^(х,у) будем искать в виде
СЮ
^(х^ = J х_М1 [b1(Y)Kmi (С(Y)х) + b2(Y)1mi (С(Y)х)]У_Р1 Jpi (7y)d7 , (27)
0
где i(7) = \/72 + A2, ./„(') - функция Бесселя первого рода [6, с.132],
(-ir(f)
m=0
(z), (z) - модифицированные функции Бесселя [6, c.139],
, v+2fc
00 i — l)m (z\2m+v
J„(z) = V Ы-----, иф 0,-1,-2... , (28)
vW ^mir(m + v +1)’ ^ 7
fc=Q
Г(к + 1)Г(к + v +1)
n I (z) — I (z)
KJz) = — • -=^------------^, 1/ £ Z, AT„(z) = lim /i,(z), n G Z ,
2 Sin Vn
^1(7), b2(Y) - неизвестные функции, подлежащие определению.
Формула (27) получается, если искать решение уравнения (1) с разделенными переменными, удовлетворяющее условиям (18), (19) и третьему равенству условия (17) с последующим интегрированием этого решения по константе разделения. Поэтому функция У[(ж,у) будет соответствовать условию (18), (19) и первому и третьему равенствам условия (17) при равномерной сходимости соответствующих интегралов.
2
Подставим формулу (27) в условия (20), предполагая интеграл равномерно сходящимся, с учетом асимптотики модифицированной функции Бесселя [6,с. 173]:
ад) ^ ¿гад • - ->0 • (29>
при > 1/2 получим
Дп\+х21-1~1Щх, у) = у~Р1 ! Ъ1^У 3Р1(уу)<1у = дг(у).
0
После применения к последнему равенству формулы обращения для преобразования Ханкеля [6, с.166] имеем:
Ь^СгЬ0 = / тР1+1^’7р^с1т'
0
откуда
&1(т) = ¿-1Г(^) / тР1+1Я1(т)'7Р1Ы)с1т. (30)
0
Таким же образом, при ^ =1/2 получаем:
ь1(7) = —7 J тР1+1?1(г)^Р1 (7Т)^т- (31)
0
Аналогично, используя второе равенства в условии (17), находим выражение для ь2(7):
+сю
ат 7 J пР1+1?2(П)^Р1 (7П)^П - Ь1(7)КМ1 (С(7)а) 1
6г(7) =-------5-----------т (£( \ \-----------------’ ^ > о • (32)
^ (С (7)а) 2
Для того чтобы интеграл (27) являлся решением уравнения (1), достаточно чтобы равномерно сходились интегралы от частных производных 1-го и 2-го порядков подин-тегральной функции интеграла (27) на множествах [е1,а — 8] х [е2, то), где е1,е2, 8 -произвольно малые положительные постоянные.
Найдем интеграл от производной по х подинтегральной функции в (27), используя формулу дифференцирования для модифицированной функции Бесселя [6, с. 141]:
(*—К(г))' = —г-"К^г), (33)
разобьем его следующим образом: / = х-ту-Р1 (—11 + /2 — /3), где
СМ1+1(7)7 2р1_1Г(р1)
71= / 1,к 1*1+1 (£(Ф))^Р1 Ы) I .
h = J aw7?(7) J ПР1+1Я‘2(п) Jin (m)dvJpі (7У)^7 •
СЮ + Ю
/з = / 2Pi-iro!^) (е(7)а) Jpi (7У) ( / rPl+1«1(r)JPi^r)dr)d7-
о о
Функция Kv(z) положительна и убывает при z > 0, поэтому при x > £i верно неравенство Kw+i(f (7)ei) > Kw+i(£(y)x). Пусть j = sup | JP1 (z)|. Тогда
z>0
+o
С w+1(y)7
+0
2pi-1r(pi)
Kmi+i(C(7)x))jPi(7УМ tP1+15i(t)Jpi(7T)dT
dY <
+0
< / j
0
+ 0
2pi-1r(pi)
T pi+1qi(r )Jpi (yt )dr
KMi+i(C(7)ei))d7 •
Интеграл стоящий справа сходится, в силу асимптотики
Kv(z) ~ —¡=, z —У то Vz
(34)
и стремления к нулю функции
при 7 ^ то. По признаку Вей-
+ (»
/ гР1+151(г)/Р1 (7Т)^г 0
ерштрасса интеграл /1 сходится равномерно.
Интеграл /2 сходится равномерно, так как его подинтегральное выражение состо-
+ (»
ит из интегрируемой функции 7^ (7у) / ПР1+1?2(П)^Р1 (7П)^П и множителя, имеющего
1 0 1
экспоненциальный характер убывания на бесконечности при х € [0,8], что следует из асимптотики [6, с.173]
z —У ТО •
(35)
\J~2t\z
Равномерная сходимость интеграла /3 и интегралов от второй производной по х и первой и второй производных по у доказывается аналогично.
Нахождение функции V2(x,y). Будем искать функцию V2(x, у) методом разделения переменных:
^>(х,у) = V(х)Ж(у).
В результате приходим к следующим уравнениям:
V" + —Vі + 7V = 0 , x
W" + —И'" - (у2 + А2)»' = 0 У
(36)
о
—z
z
e
2
где y2 - константа разделения.
Уравнение (36) заменой V(x) = x-M1F(yx) сводится к уравнению Бесселя, общее решение которого можно записать в виде [6, с. 132-135]:
F(z) = CJ (z) + (z) ,
где YV (z) - функция Бесселя второго рода,
Yv(z) = J^(-)cos ^ ^ ^ ^ = lim ^ n G z _
sin vn
Тогда общим решением уравнения (36) будет функция
V(x) = Cix-W (yx) + C2X-W YM1 (yx) .
В силу условия (25) и асимптотик функций Бесселя первого и второго рода [6, с.172],
xV
М:) " 2-Г(1 + V) ■
2V r(v)
i;(z) ~ , /у > о,
nxV
необходимо положить С2 = 0.
Для того чтобы функция u(x,y) удовлетворяла второму равенству условия (22), необходимо выполнение равенства JM1 (y«) = 0. Если обозначить посредством rn, n = 1, 2,... все положительные корни уравнения JM1 (x) = 0, пронумерованные в порядке возрастания, то 7а = гп для некоторого номера п, откуда получаем 7 = т3"- Тогда V(x) принимает следующий вид:
Vn(x) = Anx~ßlJßl •
Уравнение (37) заменой V(x) = x-m F(yx) сводится к модифицированному уравнению Бесселя [6, с. 141], его общим решением будет функция
Wn(y) = Сзу-Р1 KP1 (£„y) + С4У-Р1 /Р1 (£„y),
где = \/(т)2 + Л2-
Для того, чтобы выполнялось условие (22), в силу асимптотики в функций KV(z) и 1V(z) при z ^ то (34), (35) необходимо положить С4 = 0. В результате, мы можем составить ряд
ГО
v2 (х, у) = Bnxßl y~Pl KPi (СпУ) • (38)
Определим коэффициенты так, чтобы ряд (38) являлся решением задачи (22) -(26). Подставив этот ряд в условия (23), (24) с учётом асимптотики функции К(г) (29) получим:
Х^ф) = , р > 1 ,
п=1
со 1
= -^2 RnJ/XI (-^х) ’ Р = 9
П=1
При выполнении условий теоремы 3 можно разложить жМ1 <^(х) в ряд Фурье-Бесселя [6, с. 165]:
хт(/?(х) = \~х) ’ (39)
П=1
где сп определяются по формуле [6, с.164]
а
С,г = 2 2 " ,—Г [ 1р(х)х^1+1.1^ (—х) сЬх , '/?, = 1,2,.... (40)
а ^«1+1(Гга^ \ а /
0
Тогда имеет место следующие равенства:
У'с 7 (IV) „>1.
а х) 2^ 2Р1+1&+1 т V а / ’ Р 2 ’
П=1 П=1
~'Пи щ \ ^ / / 1±-"П
\ а ) '
П=1
о о
°п J!-4 (■Г-^Х) = - Rn Jm (■, Р = \
n=1 n=1
Выразив из этого равенства Bn, получим
tpi 1
Вп = С„—^------ , р>~; (41)
Вп — —с-п , р — — , (42)
где коэффициенты cn определяются равенством (40).
Для того, чтобы формальное решение в виде ряда (38), коэффициенты которого определяются по формуле (41), было решением уравнения (1), необходимо доказать равномерную сходимость на множествах [е1, a — 8] х [е2, го), где е1, е2, 8 - произвольно малые положительные постоянные ряда (38) и ряда, получающегося почленным его дифференцированием по x и по у.
Пусть j = sup JM1 (x). Принимая во внимание, что Kpi (x) убывает при x > 0, имеем
ж>0
следующие оценки:
£
n=1
Sn
T(pi)2Pi-lX~*ly~P1J~^a^Kpi (^пУ)
<
о
____ £Pl
- ^2 Iе”! Г(р1)2Р1-1 £l ^1<£211jIxpl ^п£'2^
c
n
Ряд, стоящий справа, сходится, вследствие экспоненциального убывания последовательности КР1 (£га£2) при п ^ то и стремления к нулю коэффициентов сп. Таким образом, равномерная сходимость ряда (38) доказана.
Доказательство сходимости рядов, получающихся почленным дифференцированием ряда (38) по х и по у, проводится аналогично.
Чтобы решение, выражаемое формулой (38), удовлетворяло условию (25), достаточно равномерной сходимости ряда, получающегося умножением ряда (38) на х2^1, этот факт также доказывается аналогичным способом.
Для того чтобы выполнялось условие (23) для ряда (38), достаточно доказать равномерную сходимость ряда
^2сп(у)^ 1 ' (43)
П=1
где сп(у) = ВпуР1 КР1 (£пу). Ряд (43), в котором у мы рассматриваем как параметр, является разложением функции хМ1 у2р1 и(х,у) по ортогональной с весом системе функций ^. Ряд, получающийся из ряда (43) предельным переходом при у —> 0, сходится равномерно, если выполняются условия теоремы.
Изучим поведение коэффициентов сп(у) при изменении у. Для этого найдем производную по у от коэффициентов сп(у), используя формулу дифференцирования (33)
(В„уР1 КР1 (£гау))' = В„£„уР1 КР1_1(£пУ).
Выражение, стоящее справа, не имеет положительных корней, так как их не имеет функция К(г). Принимая во внимание, что К(г) убывает экспоненциально при г ^ то, можно сделать вывод, что коэффициенты как функции от у монотонно убывают на всей положительной полуоси, стремясь к нулю. Поэтому из равномерной сходимости ряда (38) при у 0 следует равномерная сходимость ряда (43) при всех остальных значениях у, а из этого факта следует сходимость ряда (38).
Таким образом, существование решения задачи (2)-(7) для ^ > 1/2, р > 1/2 доказано. А значит, вследствие формулы (9), и для значений параметров ^ > 1/2 и (или) р > 1/2. Чтобы получить формулы, явно выражающие решение краевой задачи с условиями (2), (3), (7), необходимо в формулах (27), (30), (31), (32), (38), (40), (41), (42) заменить р1 на — р1, %(у) на у2р-10г(у), 2 = 1, 2 и умножить правые части равенств в формулах (27) и (38) на у-2р1.
Аналогично для получения формул выражающих решение задачи (2), (4), (6), нужно в формулах (27), (30), (31), (32), (38), (40), (41), (42) заменить ^1 на —^1, ?2(у) на а2м-1<?2(у), <^(х) на х2^-1 <^(х) и умножить правые части формул (27) и (38) на х-2^1. ■
Литература
1. Лернер М.Е., Репин О.А. О задаче Дирихле для обобщенного двуосесимметрического уравнения Гельмгольца в первом квадранте // Вестник Самарского Технического Университета. - 1998. - 6. - С.5-8.
2. Лернер М.Е., Репин О.А. Нелокальные краевые задачи в вертикальной полуполосе для обобщенного осесимметрического уравнения Гельмгольца // Дифференциальные уравнения. - 2001. - 37. - С.1562-1564.
3. Моисеев Е.И. О разрешимости одной нелокальной краевой задачи // Дифференциальные уравнения. - 2001. - 37. - C.1565-1567.
4. Рузиев М.Х. Задача Дирихле в вертикальной полуполосе для вырождающегося эллиптического уравнения // Материалы конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», 2007. - С.268-269.
5. Маричев О.И., Килбас А.А., Репин О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с разрывными коэффициентами / Самара: Изд-во СГЭУ, 2008. - 275 с.
6. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. СПб.: Лань, 2010. - 368 с.
ABOUT DIRICHLET’s PROBLEM IN INFINITE HALF-STRING FOR BIAXIAL SYMMETRIC HELMHOLZ EQUATION
A.A. Abashkin
Samara State University of Architecture and Civil Engineering,
Molodogvardeyskaya St., 194, Samara, 443001, Russia, e-mail: samcocaa@rambler.ru
Abstract. Boundary problem for the biaxial symmetric Helmholtz equation is studied. Boundary conditions of this problem depend on equation’s parameters. Existence and uniqueness of the solution are proved. Formulas for solution of this boundary problem are found with help of Fourier-Bessel’s expansion and Hankel’s transformation.
Key words: Helmholz’s equation, Fourier-Bessel’s expansion, Hankel’s transformation, Bessel’s
functions.
