О конечномерности ядра оператора, порождаемого функционально-дифференциальным уравнением, содержащим производные дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

О КОНЕЧНОМЕРНОСТИ ЯДРА ОПЕРАТОРА, ПОРОЖДАЕМОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ, СОДЕРЖАЩИМ ПРОИЗВОДНЫЕ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

© 2011 г. Р.Г. Алиев, И.С. Эмирова

Дагестанский государственный университет, 367025, Махачкала, ул. Гаджиева, 43а, [email protected]

Dagestan State University, 367025, Makhachkala, Gadjiev St., 43a, [email protected]

Получены условия на операторные коэффициенты, отклонения аргумента и резольвенту, обеспечивающие конечномерность ядра оператора, порождаемого исследуемым функционально-дифференциальным уравнением в гильбертовом пространстве, содержащим дробные производные.

Ключевые слова: ядро, оператор, функционально-дифференциальный, дробная производная, оператор сдвига, измеримая, гамма-функция, компактный.

Conditions on operator coefficients, the argument deviation and resolvent, providing finite — dimensionality of the operator kernel generating by investigated functionally — differential equation in the Hilbert space, containing fractional derivatives are obtained.

Keywords: kernel, operator, functionally differential, fractional derivatives, operator of shift, dimensional, gamma function, compact.

В работе [1] исследован на непрерывную обрати-

мость оператор L : X

1,a,ß

R'o

0 га

^ , порождаемый

функционально-дифференциальным уравнением Lu(t) =

Dßu(t )=■

А

u(t) = f (t), (1)

n m г

Dt - Z Z [Akj + Akj (t)]jhkj(t)D\

V k=0j=0 1 d_ i dt

циентами Akj, Aj): Y ^ Y \\(Akj + Akj(t)Ut)|X , Y = pkj + j^lY < C||u(t)|

u(t), ß = 0,

(iß Ä (1 -ß))-1 j(t-5) ßu'(s)ds, 0 <ß< 1,

—TO

t-1 -, ß = 0, dt

Dt =- —, с замкнутыми неограниченными коэффи-

где A (z) - гамма-функция Эйлера, X1^ = ju(t), u(t) = 0, t < /0,

V'0

k=0

(t)|| = У exp(2at)| Z Dßku(t)

X

Dtu

(t)

л 12

\dt

C = const; Ц^^ ^ IHIx->y ' X,Y - гильбертовы пространства; Sh - оператор сдвига; S^u(t) = u(t - h); у0,a_ I hkj = const; hkj (t) - абсолютно непрерывные скалярные R

hkj

функции; h'k]-(t )< r < 1 - естественное условие на отклонение аргумента, означающее, что hjt) может расти не

быстрее, чем t; hio (t ) = hoo = hio = hoo = fo = 0; 0 <Pk < 1; k = o, 2, ...,n; Akj = const; Akj(t) - измеримые по t оператор-функции, k = 0,1,...n, j = 0, 1, . ..,m; f (t) - измеримая функция со значениями в пространстве У ; Dfk - дробная производная [2]

u(t), u(t )= 0, t < tn

\u(t)\\ = j exp(2at)| |u(t)|| 1 dt

л12

V '0

a =

= const, R+0 =['0,+to) - гильбертовые пространства,

представляющие область определения и область значений оператора Ь из (1).

Кроме того, мы будем пользоваться еще гильбертовым пространством

2

2

+

u

Y

Г (

L2(R,X) = Ш ||u(t)|| = Л|u(t12Xdt I KR

< да

В случае Лк] (г) = Нк] (г) = 0, к = 0,1,...и,

] = 0Х---т , т.е. когда рассматривается уравнение с постоянными операторными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента

( ,, Л

;(t)|X1,a,ß <6, R—N = (—да;—N]

r—n

i(t)| w <6, RN = [N;+W),

Riv

(3)

(4)

для любого 6 > 0 и Ж = N (б).

В силу условия а) теоремы для любого 61 > 0 существует N (б!) такое, что имеют место неравенства

Lpu(t )-

Dt — S S Ak]Sh, D\

kj

u(t) = f(t), (2)

'kj

) )| <6Ь )<е для |/| > N (б1). Пусть

к=0 ]=0

в [3] получены необходимые и достаточные условия в терминах резольвентного оператора

\ —1

г1 >Ж(б1)+к° + 6Ь где к° = тах \кЛ} и ц(г)

к=0,1,,..,и П

]=0Х-т-

бесконечно дифференцируемая неотрицательная функция

. \ —i Ii» i - i

Rp ЫяЕ — Z Z AkjXßk exp(— iXhJ : Y ^ X для

l k=0 j=o J n(t) = J°, t < ti, ,/4

K 7 Ii, t > ti + N1, 0 <n'(t)<eb ti < t < ti + N1, Ni

n m о

глтг^ятгтя V V H^k . V чУ ^QAiPTUAf UTA D ТТРТТРТТЗЛГСТ ЛГТА1ЛОТЛПЛЛ Г T TT) TT О Длл - TTT

оператора 2 2 Лк$к Щк : X ^У. Заметим, что в

к=0 ] =0 к кк

силу вложения X с У оператор Яр (х) можно рассматривать и как оператор Яр (х): У ^ У . В случае «малых» в некотором смысле ) и ) получены достаточные условия непрерывной обратимости оператора Ь : X^ ^ У^а.

В силу неограниченности операторных коэффициентов полученные результаты приложимы к уравнениям в частных производных и к бесконечным системам, а также к дифференциальным уравнениям без отклонения аргумента.

В данной работе уравнение (1) рассматривается на всей оси Я = (— да; да). Полагая вложение X с У компактным и снимая условие «малости» ) и к^), —да <г <да, к = 0,1,.../?, } = 0,1,...т , получим достаточные условия на операторные коэффициенты, отклонения аргумента и резольвентный оператор Я(х), обеспечивающие конечномерность ядра оператора Ь : X^Р ^ У

R'0

0,а R'0 '

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

а)

Y ^ Y - замкнутые операторы,

k = 0,l,...,n, j = 0,l,...m, Akj : X ^Y - вполне непрерывные операторы, lim \Akj(t) = 0, hL(t)< r < l,

(t ) = 0;

,}!т М) =

И ^да1 1

б) резольвента Яр (х) регулярна,

ХЯр(х) = 0(1), |Х|^да , 1тX = а .

Тогда ядро оператора Ь : Xдa,Р

Rr

(Xi= °(l)'

^ Y^'a конеч-

номерно.

Доказательство. Для нормированных единицей решений однородного уравнения (1) докажем справедливость неравенств

> и + N, 0 <^'(/)<е1, и < И < и + N, N > 0. Действуя оператором Ьр из (2) на функцию &(/) = ц(и]и(И), где и(и) - решение однородного уравнения (1) Ьы(г) = 0, прибавляя и отнимая от полученного выражения слагаемое

2 2 \Лъ + Лк](Ж^ч-к^[гр^иО, получим к=0]=0

LpS(tu(t )Dt n(t)

+

+ 2 2 Лк^%^+ккАри(}) — (л(/)и(/))

к=0]=0

+ 22 2 Лк,(гМ4\,+кк.(г)$ки() = . (5) к=0 ]=0

Из определения ^(г) следуют соотношения ^(г)<е1(г — г1), г1 <г<+ ^<6^, г> 1 + N.

Так как ) отличается от и (г) на интервале

(¿1,+ N1) и и(г) е x]Ja,Р, то к уравнению (5) применимо преобразование Фурье, что приводит к равенству ~(Х) = Яр (Х)~Х), причем ~(х)е Ь2 (1т Х = а, X)

согласно теореме Планшереля, где ~(х) - преобразование Фурье функции ехр(а/)$(/); Ь2(1т Х = а,X) -пространство суммируемых с квадратом и с весом ехр(а/) функцией со значениями в пространстве X. По теореме Планшереля

11ехр(аг Ь я x)=||ехр(аг )э(/ Ь (Я+п, x)=

=R

2

L2 (lmX=a,X) '

L2 (,m,=a. X )= C(l ^(')

(t1.t1+Nl)

< С Г Dt n(t )(|| u(t )Dt n(t)

p(at )n(t )Shkj+ hjt )D?ku(t | ^2 )

n m

+ S S

k=0 j=0

2

<

0,a —

Y

R

+

+

Akj(t ^ )sh,.+ hkj(t )DN(t)

L2 (r^Y )

C = const.

Оценивая каждое слагаемое в правой части в отдельности, имеем

(

(t)Dt,(tIo,a 1 = s?" +Ap(2at|M(t|2 dt < ||x~(x)|L (imX=a Y) = i||ö'(t)x0,a,ß 1

<b2

<ti.ti+Ni) \2

u(t 1

"Y

(1.1+Nl),

exp(at )r(t )shk.+hkJ(t )Dß ku(t)

< Cb2

Л2

j(r_+ , X)"

Dßku(t)

< Cb2

4) X i

,a,ß

exp(at)Shk.D?k (,(t)u(t))??^ < 2exp(l| a|| hkj |)jexp(2at)

rTilMs)

! (t - s)pk

■ds

Таким образом, имеем окончательно

||ехр(аф(/|Ь2(дх) = ||ехр(а/)9(/|Ь2 х) < Се2. (6)

Умножая далее обе части равенства ~(х) = Яр (х)/7(х) на X, затем интегрируя его вдоль

прямой 1т X = а и применяя теорему Планшереля, будем иметь

2 ^

= XR

L2 (lmX=a,Y) '

2

< C.....lJ№LoAp I < C2B (7)

X

р V %

где - постоянная, зависящая от нормы опе-

ратора ХЯр (X).

Так как &(() = и(/) для / > + Л^ , то выбрав

е1 =е(С1 + С2 )-12 и полагая Л (е1 )> + Л1 из (6), (7) получим неравенство (3).

Совершенно аналогично, рассматривая функцию

^Л-11' 1 <-1 - Л1,

^(Г)=[0, / >-/1, 0 <|^'(/)<е' - Л1 - /1 < / <-/1'

докажем неравенство (4).

Легко видеть, что множество решений и() уравнения Ьи(/) = 0, ||м(/) 1 а р = 1, равномерно ограниче-

П1 +N T(s)u'(s)

t l (t - s fk

Sl llDßk "(t\x +

X,

f

dt < C J exp(2at)>

VI

tl + vi ds Y2 f п1 v 2

J (t - s)2ßk

J IKslXds

dt <

< Се 2

u(t)

X 1>a.P

Ri

^xp(at )AkJ(t )T(t )shk.+hJt )DN(t | l2 ^^) s? f exp(2at Цт(г )Shjj+ hkj(t )Dßku(t) 2 dt =

: е2Техр(2а(/-Ик] -кк](Г))ехр(2а(кк] + кк](/)))х

Производя далее замену ^ = / - Н^ - (/) = Фк/ (),

t = Ф-1(^)

1 1

<-, получим

JVV' 1 - hkj(t) 1 - г

exp(at )Dfku(t)

Csi

T-T

2(r+? , X )

< CsT\|u(t!X 1,a,ß .

Из доказанных неравенств следует справедливость (3).

но по норме пространства Г(-ЛГЛ) вместе со своими производными, причем множество таких решений

0 а

образует подпространство пространства , так

как ядро Кег Ь - замкнутое подпространство. Отсюда и из теоремы Арцела следует компактность решений и(/) е г^д,), что означает существование конечной е -сети: и1(/), и2(/), ..., ип(/) в ^-Л^). Продолжая функции и^ (/) нулем на всю ось, получим функции и1*(/), и2(), ип*(?), принадлежащие 7д 'а . По определению е -сети имеет место неравенство ||и(^) — щ (/^0 а <е для любого решения и(/) и некоторого г = 1, 2, ... п. Тогда

u(t)- u*(t) + П |u(t)- u (t)

^L f

Y

u(t ^ 0,a

' rn R+ J

'R J

(-N ,N)

4)

W 0,a

F0,a

R-N V R-

<3s2 = s? ,

Таким образом, функции и1*(/), и^ (/), ..., ип*(/) образуют е0 -сеть для множества решений и() в пространстве 7д'а . Отсюда следует компактность семей-

+

+

2

u

0,a

2

L

<

0,a

R

2

R

<

+

V

2

+

1

x

v 'i

/

2

<

<

2

+

0,a

X

+

0,a

+

1

L

ства {u(t)} в пространстве Y^'a и конечномерность

ядра оператора

Ь : X 1,а,Р ^ У°'а. Теорема доказана.

я'0 я'0

Аналогичные вопросы для уравнения (1), не содержащего дробные производные, рассмотрены в [4].

Таким образом, известны необходимые и достаточные условия для непрерывной обратимости оператора Ь : X1,a,Р ^ в случае уравнения (2) с постоянными операторными коэффициентами и отклонениями аргумента; достаточные условия непрерывной обратимости оператора Ь из (1) в случае «малых» в некотором смысле операторов Л^(г) и отклонений

аргумента к^ ('), к = 0,1,2,.. и, ] = 0,1,2,.. т.

Для уравнения (1), снимая условия «малости» переменных составляющих коэффициентов и отклонений аргументов, получены достаточные условия конечномерности ядра оператора Ь из (1). Остается от-

крытым вопрос о конечномерности коядра оператора Ь : из (1) и фредгольмовости этого оператора, другими словами вопрос о нормальной разрешимости уравнения (1).

Литература

1. Алиев Р.Г. О нормальной разрешимости функционально-

дифференциального уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // Диф. уравнения. 1991. № 9, т. 17. Р. 1487-1493.

2. Самко С.Г., Кильбас А.А., Маричев О.Н. Интегралы и

производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 287 с.

3. Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения

в гильбертовом пространстве. Махачкала, 2010. 348 с.

4. Алиев Р.Г. О разрешимости функционально-дифферен-

циальных уравнений, содержащих производные дробного порядка // Диф. уравнения. 2001. № 2, т. 37. С. 154-163.

Поступила в редакцию

22 сентября 2010 г.