О существовании быстро убывающих решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О СУЩЕСТВОВАНИИ БЫСТРО УБЫВАЮЩИХ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n -го ПОРЯДКА С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© 2011 г Э.Ш. Шамов

Дагестанский государственный технический университет, Dagestan State Technical University,

пр. Имама Шамиля, 70, г. Махачкала, 367015, Imam Shamil Ave, 70, Makhachkala, 367015,

[email protected] [email protected]

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве. Приводятся примеры уравнений в частных производных и с отклоняющимся аргументом, решения которых убывают быстрее экспоненты. Доказывается теорема о существовании решений, убывающих как экспонента. Получены необходимые и достаточные условия на операторные коэффициенты, отклонения аргумента, резольвентный оператор. Теорема доказывается с помощью оценки норм операторов и функций. Доказанная теорема является аналогом классической теоремы Фрагмена-Линделёфа.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, резольвентный оператор, обратимый оператор, неограниченный оператор, вполне непрерывный оператор, замкнутый оператор, операторные коэффициенты.

The functional and differential n-order equation with unlimited operational coefficient and deviations of arguments is considered. There are examples of partial differential equations with deviating argument, whose solutions decay faster than exponential. Existence theorem of decreasing decisions is proved as an exponent. Obtaining the necessary and sufficient conditions on the coefficients, to reject the argument on the resolvent operator. The theorem is proved by estimating the norms of operators and functions. The above theorem is the analogue of the classical Phragmen-Lindelof.

Keywords: functional and differential equation, resolvent operator, invertible (recoverable) operator, unbounded operator, quite continuity operator, closed operator, operational coefficient.

Однородные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами не обладают решениями, убывающими быстрее экспоненты. Однако известны примеры уравнений с отклоняющимся аргументом и уравнения в частных производных, решения которых убывают быстрее экспоненты [1, с. 143, 152, пример 3.2.1]. Эти простые примеры и факты показывают актуальность вопроса о росте решений уравнений с запаздывающим аргументом, его научную и практическую значимость.

Впервые вопрос о существовании быстро убывающих решений в случае уравнения 1-го порядка с неограниченным операторным коэффициентом

1 — - Au = 0 был рассмотрен в [2], n-го порядка

i dt

L^t ) = DU )-

- ¥ Д Vkj + jk,+hkJ it fit), (1)

t > to, - в [3].

Здесь Dj = — —, A + Akj it)): Y ^ Y - замкнутые

ik dtk

операторы, k = 0,1,...n-1, j = 0,1,...m ; Akj:X^Y -вполне непрерывные операторы, k = 0,1, ...n-1, j = 1,2,...,m;

X,У - гильбертовы пространства, х с У; к', (г)< г < 1, к, , > 0, г > г0 > —да; ^"(г) = "(г— к) - оператор сдвига. На отклонения аргумента кц,,к,) налагается условие кк 0 (г) = кк 0 = 0, к = 0,1,...,п — 1, позволяющее включить в (1) уравнение без отклонения аргумента (как частный случай). Порождаемый уравнением (1)

тп

оператор ь р0 рассматривается как оператор

тп уп,а т^0,а

Ы • ХК<0 ^ ^+0 , где

XnRt« = U(t ), u(t )= 0, t < u(t | =

J exp(2at)^ Z11|u(k)(t)|^ +1|u(n)(t)

V 'o

Y 0,a

'ff+o

2 Ï \dt Y J

V

< œ

œ 2

u(t),u(t) = 0,t < t0,|u(t) = J exp(2at)|u(t)y dt

< œ

RnP (x)-

неравенства ||Au||2 < s2| |u|| \ + ^A (s) Uli г •

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия:

а) Akj: Y ^ Y - замкнутые операторы,

j = 0,1,...m, к = 0,1,...,«-1; Akj :X^Y - вполне непрерывные операторы, j = 1,2,.../n, к = 0,1,...,«-1; существуют пределы limAkj(t)= 0 в сильном смысле,

t ^0 к

lim hkj(t)= 0, h'kj(t)< r < 1, t0 <t <«, j = 0,1,...m, к = 0,1,...,«-1;

б) резольвента Rnp (x) регулярна, ||xkRp (x) = 0(1),

k = 0,1,.. n-1,

Xff (x)| = 0(1), |X|

^■œ, ImX <a :

в) f (t Ь Y

0,a ff+0 .

Тогда любое решение задачи (1), (2), обладающее свойством u (k )(i )е L2 R+0, x) к = 0,1,... ,n -1, принад-

лежит пространству

X

ff0 •

а = const, R + =[/0, ю). Для уравнения (1) рассматривается задача с начальными условиями

пЩ) = gk(t), t < to, и% + 0) = a(tQ) k = 0,1,...n-1. (2)

В статье продолжены исследования, начатые в [3], получены условия на операторные коэффициенты Akj,

Akj(t), отклонения аргумента hkj(t), резольвентный

оператор

f \-1

n-1 m , / \ |

: XnE - Z Z AkjXk exp(- iXhkj) I : Y ^ X,

I k=0j=0 )

при которых решение u(t) задачи (1), (2), принадлежащее L R+0, X) вместе со своими производными

u'(t),u'(t),..u(n-1)(t) убывает как exp(-at). В дальнейшем нам понадобится следующие утверждения Лемма 1 [1, теорема 1.1.1]. Выполнение условий:

резольвента Rp (х) регулярна, |Rp (х) = ,

||XRp (х) = 0(1), |X| ^ ю , ImX = a (lm X < a) необходимо и достаточно для непрерывной обратимости

Tn . ^1,a v0,a г \

оператора Lpi : XRt0 ^ YRt0 , t0 = -ю , (t0 > -ю).

Лемма 2 [лемма 1, 1.2.1]. Если A: Y ^Y - замкнутый оператор; A: X ^ Y - вполне непрерывный оператор, то для любого е > 0 существует константа X a (е) такая, что имеет место неравенство

||Au|| < е|U|| + Xa (е)U^ , для любого u е X с Y .

Заметим, что приведённое неравенство можно получить и для квадратов норм, т.е. оно верно и в виде ||2 <f.2|L.I|2 , ..2^1 "2 \\у

Доказательство. В силу условия а) теоремы на А^(г) и ) по заданному е> 0 найдётся г = Т(е)

такое, что для г > Т(е) выполняются неравенства

А,(г)|7 <е, ^(г)<е, ] = 0,1,.../и, к = 0,1,...,п — 1. Введём обозначения

А (Л-\Ак,(г^ г<T, А(г)=/0, Д<T, (3) Ак(г) = \0/г >Т, Ак(г)=[Ак,(г), г >т. (3)

Полагая Ак,(г) = Ак,(г) + А,), перепишем (1) в виде

, . , . п-1 т ,

о?и(г) = /(г)+ 2 I А^к,+к,(г)^гкм(г)+

к=0,к кА' п-1 т .. , , .

+ 22 Ак,(г)\+кк, (г)^гки(г) = к=0 ,=0

или

->n

U(t)- "lË1 Z Uk + Aky(t)J^Äk. + Äk.(t)Dtu{t) =

DRu(t)-"Ë Z [Akj + A'kj(t) k=0 j=0

n-1 m ,

= f(t)+ z z Ak7-(tK-+A*,(t)°tku(t).

k=0 j kj 3>

Вводя обозначения

L - DR - "z1 Z [Akj + Akj(t)]ßhk. + (tD k=0 j=0

n-1 от

L1 - Z Z )^Ак7- +hkj (t, последнее равен-

к=0 j=0

ство перепишем в виде

L2u(t ) = / (t)+L?u(t)- F(t). (4)

Функция F(t) = 0 при t < to , причём

f (t )l

0,a ff'0

= J exp(2at)

n-1 m ,

f(t)+ Z Z A'kj(t)Shkj+hkj{t)Dtku(t) k=0 j=0

dt <

1

n,a

2

=

0

2

2

t

Y

0

( О

< 21 exp(2at) f (t ) J dt +

+ cV Z jexp(2at)u(k)(t -hkj -hkj (t))

k=0 j =o t0 1 1

^ 9

< 21 exp(2at )| f (t )| J dt +

dt <

x

'o

+ Ci nZ Z J exp(2a(t - hkj - hkj (t)))exp(2a(hkj + hkj (t)))>

k=0 j =o t0

U(k}(t - hkj - hkj (t))

2 d(t-hkj -hkj(t)

ix 1 - hkj(t) 1 exp(2at ) f (t )| 2 dt +

+ exp(2a(h0 J exp(2at ) V u(k )(t)

dt У<

x

n—1

< C1 1 exp(2at)f (t)2 dt + 1exp(2at) Z

k=0

Uk> (t

dt У.

x

где

h = maxjhkj ), ti = inf ф^- (t), t2 = sup <Pkj (t),

0<k<n-1 0< j <m

t0 <t<T,

t0 <t <T,

1< у <т 1< у <т

Фку(() = ( - кцу — НДО; Т - любое конечное число, т.е.

(( К0,* •

Пусть НЪ(()={и1^ ((><Т

Тогда (4) примет вид Ь" и(() = ^^)-

"Е Е [Аку + АДОк. +л;.(?)АЧЬ + МО, (5)

k=0j=0

n-1 m

где F(tf (t)+ Z Z Akj{t)Shj + h (t)Dku(t)

k=0 j=0

F1(t)- Z, Z[Aj + Ä^)]l Shjj +hkj(t)-+hSj(t)^ßtku(t)

чу

к=0 у=0

причём ^ (() = 0 при ( < ?о •

Оценим норму функции F1 (t) в пространстве Y

0,a

J exp(2at)|F1(t)Y dt < Jexp(2at)x

t0

[Äj + Äkj(t+ j) -\ + j)hku(t)

< -

n-1 m

z z

k=0 j=0

2 sup exp(2at)

t0 <t <T

dt <

1 - r

x E T u(k)(t)

k = 0 tn 1

*0

dt + 2 sup exp(2at )x

x t0 <t <T

t0 <t <T 2

X У Z T u(k )(t - hkj - hjt))

k=0 j=010 1

dt <

in-1 T|| /, 4||2 n-1 m T-hkj-hkj(T^ ,||2 1

< C (Ä T0IU (k 1(' i x'" +¿/50,0-¿j JU (k ,(t 1 x'" <)<

<CI (IU(k>(<12d,<cflU(tЦ1 -"]2<»

k=0 tn

x

в силу условии теоремы, т.е Рассмотрим уравнение

Ьи*-Э(/ ) = F (/) + ),

.е- F1(t)e YÄ0;oa.

(6)

где

n-1 m

F(t)+F1(t) = f(t)+ Z Z Akj(t)Shkj +hkj.(t)Dku(t)+ k=0 j=0

+ ^Д [Akj + Akj(t Shkj +hkj (t)-% + hj (t ))Dtku(t ) = = f(t)+ Z1 Z [Akj + Äkjit^k +hkj(t)Dtku(i)-

k=0 j=0

"Е1 Е ++н;Ь)°ки(<)•

к=0 у=0 НкУ +Нку;

*

Представим оператор Ь" в виде суммы обрати*

мого 4 и некоторого оператора Ь2 . Для этого к

„ и—1 т ^

Ь" прибавим и вычтем оператор

к=0 ук

В результате имеем

Е1 Е [Аку + ук + Hr.it

Ln = Dtn -Z Z [Äkj + AjC)S + Dt k=0 j+hkjj

k

n-1 m

— ЕЕ АкукйД^ + Е Е Ау^нОк = к=0 у=0 ку к=0 уку

и—1 т

= 4 — Е Е

к=0 у=0 Таким образом

* и—1 т

Ь2 = Е Е

-1 m

k

Ä"(t^kJShkj + hkj (t) + Äj(SAkj + Akj(t) - Shkj

Dk.

k=0 j=0

Dk.

Лку {(^Ну+Ку^) + Ау 8Нку+Нку(г) — \

Оценим норму Ьп2 : ^ 7д'а. Рассмотрим со-

тп . yn,a -r^0,a

отношение

(

n-1 m

Z Z k=0 j=0

Ä^j (t)Shkj+j) + Ä^j( Shkj+j)- Shkj

0,aN

Dtu(t)

Для 1-го слагаемого в скобках имеем оценку

Г 0,глП

и—1 т , . , , .

Е Е А'к} .+й*.(()°(ки(()

к=0 у=0 Нку + Нку((; „

, n-1 m (

< Ce2 Z Z Jexp(2at)|u(k)(t - hkj -hkj(t)1 dt <

к=0 j=0 T 11 llx

< Ce2 Z Z 1 exp(2a(t - hkj - hkj (t)))x x exp(2a{hkj+hkj(t )))x X U(k '(t - hkj - hkj(. )| <

t

2

0

2

t

2

t

0

2

2

Y

x

:Ce2h exp(2a(h0 +s))j\1 Jexp(2at |u(k )(t Ц^ dt

:Chs2exp(2a(h° + s))||u(t|R'<x)2 <ф^)2, (7)

где h = sup * , h = max\lkj\-t~>T 1 - hk,(t)

t >T, 1 - hkj (t) 0<k<n-1

0< k < n-1, 1< j < m

1< j < m

dt < 2 x

SÄ 4 V hkj - 4 |

\

« ч n-1 m ( \

< 2 J exp(2at) S S AkjRt + i;(t)| k=0 j=0 v hk +hk (tv

"«S1 S II«(k)(t - hkj - hj (t))-u(k)(t

k=0 j=0"

+ «S S X Akj. (s) u(k )(t - hkj - hjt))- u(k )(t - hkj )

k=oj=o

< CS 2 exp (2ah0 )(1 + h exp (2as ))( «S +« exp (2at )| u(k) (t) ^ dt +Ce2x2 (S)(2a(h0 + s))[ «S +«exp(2at) |u(k )(t где X2(S)= max {xA j, 0 < 0(t)< 1,

0<k<«-1, l Akj J

1< j <m

0 <[фк, ' (г)—(г + кк,))<е, фк, (г) - функция, обратная

для функции ф,) = г — кк, — к|Дг).

Таким образом

«-1 m ( Л , , .

^ jS0 Ч v* (t)-

0,И 2

< C1S2 «S J exp(2at)|u(k)(t)

k=0-«

«-1 +«

dt +

X

+ Cs2xA (s)S +f exp(2at )[|| u(k )(t) * +|««(t) 2 )dt

к=0 —да

Отсюда и из (6) следует, что

п—1 +да , 52 2 / ехр(2

к = 0 —да

[ 0,a)

I«2J u(t)

v R ,

2

) Г (t\\х +

+ Cs2 +f°exp(2at)[ «S u(k)(t)

vk=0 1

^jdt <(Cr

X

2 ^ 1 2 , n 2Y11 i.Ml«,a^2

+1|u(«)(t) Idt < IC1S2 + C2s2) ||u(t

(8)

Для любого у > 0 можно считать 8 и е такими,

Для оценки 2-го слагаемого используем лемму 2 о характеристической функции. Для любого 8 > 0 имеем

чтобы выполнялось неравенство

_, —1

0,a

L2 u(t) <у|u(t)|R'a.

R

Полагая у =

I«

окажемся в условиях приме-

нимости к уравнению (6) леммы 1, в силу которой оно имеет единственное решение $(г) е Хп,а.

Покажем, что $(г) = и(г), где и(г) - решение уравнения (1), содержащееся в правой части равенства (6). Вычитая из (5) уравнение (6), получим

¿п*(и(г)—-э(г)) = 0, причём и(г)—з(г)=0 для г < г0. Отсюда следует, что и (г) = $(г).

Таким образом, каждому решению и (г) уравнения

(1), удовлетворяющему условию и(к)(г)е

ь2 («+0, б)

к = 0,1,...,п — 1, ставится в соответствие уравнение (6) с правой частью ^ (г)+^(г), выражаемой через и (г), у которого существует единственное решение й(г )е Хп,а, совпадающее с выбранным решением и(г)

уравнения (1). Теорема доказана.

Таким образом, доказано утверждение теоремы 1, где получены новые условия на переменные операторные коэффициенты и переменные отклонения аргументов, обеспечивающие экспоненциальное убывание решения и его производных до (п — 1) -го порядка.

Литература

1. Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения

в гильбертовом пространстве. Махачкала, 2001. 256 с.

2. Алиев Р.Г. О дифференциальных уравнениях в банахо-

вом пространстве, решения которых убывают быстрее экспоненты // Вестн. МГУ. 1974. № 5. С. 3-7.

3. Алиев Р.Г., Шамов Э.Ш. Об одной теореме типа Фраг-

мена-Линделёфа для функционально-дифференциального уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве // ФДУ и их приложения 2009. Вып. 5. С. 36-43.

Поступила в редакцию

14 апреля 2010 г.

2

+

R

R

2

2