Существование периодического решения функционально-дифференциального уравнения n-го порядка со сосредоточенными и распределенными запаздываниями в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ п -го ПОРЯДКА СО СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

© 2011 г. Р.Г. Алиев, И.Ф. Шахпазова

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение п-го порядка со сосредоточенным и распределенным запаздыванием с периодическими неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве. Для данного уравнения выясняются условия существования периодического решения с помощью функции Грина. Доказывается теорема о существовании единственного периодического решения уравнения.

Дагестанский государственный университет ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, 367025, dgu@dgu.ru

Dagestan State University, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, 367025, dgu@dgu.ru

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, периодическое решение, сосредоточенное запаздывание, распределенное запаздывание, гильбертово пространство, неограниченные операторные коэффициенты, функция Грина, резольвентный оператор.

The article studies the functional and differential n-order equation with concentrated and distributed delay and with periodic unlimited operational coefficients and deviation of arguments in Gilbert space. There are cleared out conditions of existence of periodic solution with the help of Grin's function for the given equation. The theorem of the existence of the only periodic solution of given equation is proved out.

Keywords: functional and differential equation, periodic solution, concentrated delay, distributed delay, Gilbert space, unlimited operational coefficients, Green's function, resolvent operator.

Необходимые и достаточные условия существования h-периодических решений уравнения

X '(t ) = i [dR(t, x)X (t - x) + F (t ),

(1)

0

R(t + h, т) = R(t, т), F (t + h) = F (t), h>0, получены в [1].

В [2] рассмотрены ненулевые решения однородного периодического уравнения (1): X = eptY (t), Y (t + h) = Y (t), называемые решениями Флоке; асимптотические разложения произвольного решения однородного уравнения (1) по решениям Флоке - в [1].

В [3] рассматривается операторное уравнение X (t)—Ax(t) = f(t) с периодической правой частью

f (t) = f (t + T) и выясняются условия существования периодических решений этого уравнения. Доказана теорема о существовании единственного T-периоди-ческого решения x(t). В случае уравнения 2-го порядка аналогичные вопросы частично затронуты в [4].

Вопросы разрешимости уравнения с T-периодической правой частью

1 du(t\ —lAj (t )Su {t )U(t) = f (t)

i dt

j=0

и уравнения с T-периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргумента

1 du(\_ g [a. + Aj(ok. +hj{t)u(t) = f(t)

i dt

j=0

применить полученные результаты к обыкновенным дифференциальным уравнениям и к системам таковых. Предполагается, что /(1) - ю -периодическая функция; А (т) ■ У ^ У, Ак] ■ У ^ У - замкнутые неограниченные операторы; Ак (т) ■ X ^ У , Ак] ■ X ^ У -

ограниченные операторы, £=0,1,..., п—1, /'=0,1,...,т.

В случае уравнения только со сосредоточенным запаздыванием аналогичные вопросы рассмотрены в [6].

Под решением уравнения (2) понимается функция ы(р) е X , имеющая сильно абсолютно непрерывную (п-1)-ю производную в У, удовлетворяющая уравнению почти всюду.

Речь идет о периодических решениях уравнения (2) в пространстве

Хп(0ю) =М4 п(1)=п(1+а),

Щ n-1

(t) =Щil 2

Щ I . /ч

V 0Vk=0

Dku(t)

X

Dfu(t )

г V ^

<да }

с правой частью f(t), принадлежащей пространству

Y('o%) ={u(t), u(t)=u(t+ Ю ),

f Щ

INI = Щ Л\u(t)\ Г dt

га V 0

i

M

рассмотрены в работе [5].

Данная статья посвящена выяснению условий существования периодического решения функционально-дифференциального уравнения n-го порядка Lnpu(t) = n?u(t) -

n-1 m Ъ (2)

- Z ( Z Ak]S + JdAk(x)Sz)Dku(t) = f (t),t,t e R

k=0 j=0 k a

с неограниченными операторными коэффициентами Ak] , области определения которых принадлежат гильбертову пространству X,, область значений - гильбертову пространству Y; a, b - вещественные числа, a<b;

X - г, Н X 411 г;

, 1 dk

h] = const; Sh u(t) = u(t-hk.-); Dt =-j—r; y k y ik dtk hk0 = 0; k = 0,1,...,n-1, ] = 0,1,...,m.

Последнее условие позволяет включить в уравнение (2) и уравнение без отклонений аргументов, т.е.

Для выяснения вопроса существования ю -периодических решений уравнения (2) рассмотрим полную ортогональную систему функций { ехр(Ю.е(), = 2п1 /ю, I = 0, + 1,.. } в гильбертовом

пространстве Ь2(°,ю) и разложение функций и(0 и /(/) в ряд по этой системе.

Будем искать периодическое решение уравнения

да

(2) в виде ряда Фурье ы^) = 2 ехр(Ю.^), t е К.

I=-да

Подставляя разложения(), ы(^),

да ,

оки(1) = 2щ (Ое)кехр(1Пе0, к=0,1,...,п-1, и

I=-да

Sh Dku(t) = 2ui(Пе)kexp(-inehkj)exp(inet) в

I=-œ

уравнение (1), получим

œ Г. .

Lnp u(t) = 2 exp(inet)[(Qe Y E _

l=_œ n _1 m

_ 2 ( 2 Akj exp(_i0.ehkj) -к=0 j=0

) +

i dAk (x)Sx )(Пе )k

ui

= 2 fl exp(inet).

l=-œ

2

2

+

u

да

a

ehkj)

ul = fl, l е ^ ,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях показательной функции, получим равенство п -1 т

Ое ГЕ - Е ( Е А^ ехр(-°е%) + (3)

к = 0 у = 0

+ЬаАк(т)ехр(-"Оет) )(^е)к

а

где Е: X ^ У - единичный оператор. При условии, что спектр оператора

п-1 , т Ь

Ар - Е ( Е Аку 1 dAк (т)5т)^к: X ^ У

к=0 ]=0 у а

не содержит точек действительной оси Ое / = 0,±1,..., из (3) находим

ui = Rnfi

[(QenE - k=0 j=0

n—1 , m

S ( S Akj exp(—iQehkj) +

+ J d4 (t) exp( —iQe ?)/— l ю

-1 - Rn

G(t — 5) = -1 S Rn exp(iQe (t — s)). Ю l=—a>

(5)

m b

S A0j +JdAo(T)

j=0 а

-1

+ - S(Rn — n—nE)exp(iQet), ю l

G(t) = %(t) E —

m b

S A0j +J dA0(T)

j=0 а

+ Sn—n [q )nRn — Ejexp(iQet).

/

Складывая и вычитая внутри квадратных скобок выражение п-1 т

Е ( Е Аку ехр(-ПеИу) +

к=0 у=0

+ ЬаАк(т)ехр(-гОет))(Ое)к >

= ^(t)E — -

получим

G(t)

1 _ п-1 . т

+ - ЕО-п Е ( Е Акуехр(-/ОеЛку) +

Ю /^0 к=0 у =0

Ь

+1 аАк (т) ехр( -гОе т)) (ое )к ехр(/Ое:) яг

а

или

m b

S A0j + JdA,(T)

j=0 а

(6)

Таким образом,

ю от

м(:) = Ем/ехр(/Ое:) = Е Rn.fi ехрО^:), (4)

/= -ю /=-ю

где оператор Rn: У ^ X будем называть резольвентным для оператора Ар •

Заметим, что если уравнение Rn ф0 = 0 имеет ненулевое решение феX, то число О принадлежит спектру оператора А •

Заметим также, что в силу вложения X с У можно говорить и об операторе Rn : У ^ У . Внося в правую часть (4) значение коэффициентов Фурье f

Ю

функции ), получим м(:) = | О(: - •) f (&•)&;,

0

где

G(t) = £(t )E--

ю

m b

S A0j +JdA0(T)

j=0 а

\—1

1 n—1 m , /

+ - S S SQ—n (Qe)k(Akj exp(iQe(t — hkj)) +

ю k=0 j=01Ф0

b

+ J dAk (T)exp(iQe (t — T)))Rn.

Для ряда 1

4Q )k (a

SQ—

ю l*0

b

+ J dAk (T)exp(iQe (t — t))) R

kj exp(iQe(t — hkj)) +

можарантным будет ряд

1 , ( Ь

1 ЕО-П (Ое)к Ю /

Akj +J dAk (t)

R,

где

(Qe )k

г b ak, +j dak (t)

Л

R,

Рассмотрим функцию £(:) = — ЕО-п ехр(гД/) -

Ю / # 0

равномерно сходящийся ряд Ю -периодических функций. Вычитая из обеих частей (5) функцию £,(:)Е, выделяя далее слагаемое при /=0, получим

1 ю

О(:) -^(:)Е = - Е Rn ехр(/Ое:) -

Ю / =—ю

- ЕО-п ехр(1Ое:)Е = Ю /

b

Akj +J dAk (t) (Q e flkRn

V а

с|/^п|х ' к = 0,1, -п -1,

c\\/кRn^Y , к = п.

Поэтому, если требовать выполнение условий ||/кЛ ■ = О(1), к = 0,1,..п-1, = О(1), |/| ^ю, (7)

которые равносильны условиям |[кп||х = О

( \ 1

k

VII У

k = 0,1,.. n — 1, и ||яп||у = O

( \ 1

n

VI У

то ряд в выражении

(6) сходится абсолютно и равномерно, и сумма ряда является непрерывной периодической функцией.

а

+

k

+

а

n

а

от

V а

Y

+

ч

/

1

+

ю

Оператор-функцию G(t), определяемую равенством (6), называют ю -периодической функцией Грина уравнения (2). Она характеризуется свойствами:

1) G(t + ю )=G(t) - периодичность;

2) G(t) сильно непрерывно по ^ имеет сильные производные, за исключением значений : = /ю, / = 0,±1,...,

причем О(: + 0) - Бк О(: - 0) = 5к, п - 1Е;

3) в точках сильной (п-1)-й непрерывности функция G(t) п раз дифференцируема и удовлетворяет

уравнению Ьпр О(:) = 0.

Первое свойство непосредственно следует из ю -периодичности функции ехр(/'Ое: ) и . Так как

1

1

G(t) = ^(t)E — -

ю

(

b

X

S A0j + J dA0(T)

j=0 а

1 n—1 m / -u

+ — SS S SQ—n Q f x

юk=0j=01 #0

< (Ak} exp(iQe(t — hkj)) + JdAk(T)exp(iQe(t — x)))Rn.

а

Далее, умножая последнее слагаемое на выражение

n—1 , m

Q-

(Qe )"E — 'S ( S Akj exp(—iQehkj) + k=0 j=0

+ j dAk (T)exp( —iQe T))(Qe )k +

а

n—1 . m

+ S ( S Akj exp(—iQehkj) +

k=0 j=0

+ J dAk (t) exp( —iQ e t))(q e )t

получим

G(t) = ^(t)E —

ю

m b

S A0j + J dA0(T)

j=0 а

1 n—1 m т /

+ - SS SQ- (Qef (Akj exp(iQe (t — hkj)) + ю k=0j=0l#0

b

+ J dAk (T)exp(iQe (t — t)))x

n—1 m

S ( S Akj exp(—iQehkj) + k=0 j=0

+ j dAk (t) exp(—iQ e t))(q e } Rn + E

а

Отсюда имеем

E 1

D'G(t) =--+ - x

ю ю n-1 m _ i \l

X S S S Q(Qe f (Akj exp(iQe (t — hkj)) +

k=0 j=0l#0

b

Бп ) = — Е~ехр(гОе: ), то легко видеть, что 2л / ^0/

Бп-1О(5 + 0) - оп-1О(5 - 0) = Е.

Что касается свойства 3, то для его доказательства перепишем выражение для G(t) так, чтобы получаемые после п дифференцирования ряды оказались сходящимися. Другими словами, выделяя особенность для ускорения сходимости, имеем

J dAk (t) exp(iQe (t — t)))x

n-1 , m

S ( S Akj exp( —iQehkj) + k=0 j=0

+ J dAk (t) exp(—iQe T))(Qe ^ + E

а

С другой стороны,

1 от

G(t) = - S Rnexp(iQet) =

ю l=—от e

f Л-1

1 ( m b A

S A0 j +J dA0(T)

J=0 а

ю

(8)

1

+ — Е Rn ехр(гое:),

Ю / * 0 е

п-1 , т Ь

Е( ЕАку\ +1 ^Ак (т)^т)^кО(:) =

к=0 >0 к а

{вместо G(t) запишем выражение в правой части (8), далее, применив преобразования, аналогичные предыдущим рассуждениям, получим} Е 1

=--+ — X

Ю Ю п-1 т

X S S SQ(Qe}(Akj exp(iQe(t — hkj)) +

k=0 j=01#0

b

+ J dAk (T)exp(iQe (t — t)))x

n—1 m

E + S ( S Akj exp(—iQehkj) + k=0 j=0

+ J dAk (x)exp(—iQ e t))(Q N«

Из полученных выражений видно, что DnG(t) = n— 1 m b

= S ( S Akj^^. +JdAk (t)St )Dt G(t) , т.е. G(t)

k=0 j=0 k а

является решением однородного уравнения с дефектом. Теперь используя функцию Грина, докажем Теорема 1. Если спектр ст(Ар) оператора Ap не

содержит точек действительной оси Q ,l = 0,+1,... и

выполнены условия (7), то уравнение (2) при любой ю -периодической функции f(t) имеет единственное решение u(t) с периодом ю . Это решение дается формулой

ю

u(t) =J G(t — s)f (s)ds. (9)

0

Доказательство. Существование интеграла (9) следует из сильной непрерывности подынтегральной функции. Далее, переписав его в виде

а

x

m

+

а

X

а

а

+

а

и(!) = |ОЦ - 5)/(?)& + |О^ - 5)/(х)ф,

О t

будем иметь

ю

ВПиЦ) = ВП 1 ОЦ - 5)/№ =

О

ю

= / О™« - 5)/№ + /^) =

О

ю и-1 да Ь

= 12(2 +/дАк(т)^)х

О к=0 /=0 кк а

X БкО^ - +

и-1 т Ь

+ /(0 = 2 ( 2 Ак]ЭИк1 +1 аАк(т)Бт)вкх

к=0 /=О к а

ю

х|О^ - 5)/(^ + /^) = О

и-1 т Ь

= 2(2 Ак]'\. + / дАк (т^вЫО + /(О,

к=О /=О к а

т.е.

п—1 , т Ь

Впщ(Т)- 2 ( 2 А]\. +1 дАк(т)^т)Вки() = /(t).

к=О ./=0 к а

Единственность решения следует из того, что в условиях теоремы однородное уравнение не может иметь нетривиальных ю -периодических решений. Действительно, если допустить существование 2 различных решений щ е и2 уравнения (2), то их раз-

ность и = щ - ^ будет решением однородного уравнения ь"ри (^ = 0. Тогда из (4) в силу условий на Кп

да

следует и(^ = 2Кп 0) = 0 .

I=-да

Заметим, что существование единственного решения краевой задачи гарантирует единственность функции Грина [7].

Литература

1. Халанай А. Системы с запаздыванием. Результаты и

проблемы // Математика: cб. переводов. 1966. Т. 10, № 5. С. 85-102.

2. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с

запаздывающим аргументом. М., 1972. 352 с.

3. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г.Устойчивость решений

дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., 1970. 536 с.

4. Халед О. К вопросу о существовании периодических

решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка // Тез. докл. 4-й Сев.-Кавк. регион. конф. Махачкала, 1997. С. 70.

5. Алиев Р.Г. О разрешимости уравнений с периодически-

ми операторными коэффициентами и периодическими отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве // Изв. вузов. Математика. 1984. № 5(264). С. 3-8.

6. Шахпазова И.Ф. К вопросу о существовании периоди-

ческих решений функционально-дифференциальных уравнений п-го порядка // Вестн. ДГУ. Естеств. науки. 2007. Вып. 1. С. 89-94.

7. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариа-

ционное исчисление. М., 1969. 424 с.

Поступила в редакцию

2 декабря 2010 г.

t

ю