О нормальной разрешимости функционально-дифференциального уравнения n-го порядка в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

о нормальной разрешимости функционально-дифференциального уравнения п-го порядка в гильбертовом пространстве

© 2008 г. И. Ф. Шахпазова

Дагестанский государственный университет, 367000, Дагестан, г. Махачкала, ул. Гаджиева, 43а, dgu@ dgu.ru

Dagestan State University, 367000, Dagestan, Makhachkala, Gadjiev St., 43a, dgu@ dgu.ru

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве.

Доказывается теорема о конечномерности ядра и коядра оператора, порождаемого исследуемым уравнением, т.е. существование конечного числа решений однородного уравнения в рассматриваемом пространстве.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, нормальная разрешимость, периодическое решение, резольвентный оператор, ядро оператора, коядро оператора, фредгольмовый оператор.

The functional — differential n-order equation with unlimited operational coefficient and deviations of arguments is considered. The theorem about limited measurement and co nucleus of operator in gilberts space, generated by examining equation, that is the existence of limited number of solutions of homogeneous equation in considered space is proved.

Keywords: functional - differential equation, normal resolvability, the periodic solution, resolvent operator, operator's kernel, operator's kokernel, fredgolm operator.

Авторы работы [1], используя Г-периодическую ниям п-го порядка без отклонений аргументов. Опе-

И,0 у 0,0

(0,®) (0,0)'

функцию Грина, доказали теорему существования ратор L ■ X"]", -, > -, где

единственного Г-периодического решения уравнения

dx

— = A(t)x + f(t) с 7-псриодичсской правой частью.

dt

Вопросы однозначной и нормальной разрешимости

т 2d

уравнения Dtu(t)~ TA,(t)Sh.(t)u(t) = ДО, Dt=—г,

г dt

j=о

Shj(t)u(t) = u(t-hj(t)), Aj(t) = Aj(t + co), hj(t) = hj(t + a),

t <=R, рассмотрены в работах [2, 3].

Систематическим изучением абстрактных функционально-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве занимались Р.Г. Алиев и его ученики. Эта теория может быть применена к уравнениям в частных производных и к бесконечным системам уравнений.

В данной работе рассматривается уравнение n-го порядка

п—1 т

Luft) = D"u(t)~ X ZtA, +Aj(t)l\+h^uft) = f(t), k=0 j=0

Iii ' ikdtk

(1)

с неограниченными замкнутыми операторными коэффициентами

% + Лк/1)У > 7, | + Ак/^(1\¥ < ,

с=сот1, ХсГ, X, 7 - гильбертовы пространства,

t <=R, к = 0,и -1, j = 0,т, hkj(t) = hkj = 0 при

У = 0, к = 0,п —

Последнее условие на отклонение аргумента позволяет применять полученные результаты к уравне-

X"ö°a>) = i <t),u(t) = U(t + СО),

,(n)

<' >1 2

i

\dt

Y

(0,®) "

u(t\u(t) = u(t + a>)\u(t)\ = ^J||m(0|| dt\ < со .

В данной работе выяснены условия на Ак0, Ак]-, Ьк0, обеспечивающие нормальную разрешимость

уравнения (1).

В дальнейшем предполагается компактное вложение X с 7 и под резольвентным оператором для опе-

п-1 т

ратора X X Л;Л'/!,, /А понимается

к=0¿=0

Rn —

и-1 ш Л

Чг- .Е- Z Z Л

к=Оу=0

О)

со

хехр^/^А^.

-1

;Г^>Х (/ = 0+1,±2,..).

В силу вложения X с 7 можно говорить и об операторе я„ :У —> 7 .

В дальнейшем нам понадобится следующая Теорема 1 [4]. Пусть выполнены условия:

а) Аъ: 7 —> 7 - замкнутые, к = 0, п -1, ] = 0, т\

Аи'-Х —» 7 - вполне непрерывные, к = 0, и -1, j = 1, m ;

u

о

б) для любого натурального l существует Rn , что

имеет место || 1кЯ^=0(1), к = 0, и- 1, |/иЯй| =0( 1),

П —> со;

в)

Тогда существует е > О такое, что при выполнении условий \ьк](1)\<£, Ь'к/0<г< 1, / е(0, со),

м ,0

не-

к = 0,п-1 у = 0,т- оператор £:х"0а)^1(0со)

прерывно обратим.

Теорема 2. Пусть выполнены условия:

а) для любого / е <), со ^ Ак1 + Ак1<1): ¥ ¥ - замк-

нутые, к = 0,п-1, j = 0,т\ Akj +Akj(t)\X Y— вполне

7(o°«) конечно-

Тогда ядро оператора Ь : Х"л (а) мерно.

Доказательство. Рассмотрим семейство решений однородного уравнения /л(1) = 0. ограниченных по

норме пространства , и докажем его компакт-

ность по норме пространства . Без нарушения общности можно полагать эти решения нормированными единицей так, что ||и(1£)||"д0 =1. Вместе с замкнутым оператором дифференцирования Б*, к = \,п-\ композиция тоже

является замкнутым оператором. Таким образом, опе-" (0,ч>)

г vn, 0 ч тгО.О

ратор L.J((¿щ) — (о ®) как сумма замкнутых опера-

п—1 т

торов D" И TJL[Ak]+Ak/t)\Shkj+hkj(t)Dkt является

замкнутым оператором и его нуль пространство, т.е. множество решений однородного уравнения Lu(t) = 0,

образует подпространство X(00. пространства X("0Оа).

,(k )

(0,®)

< \\u(t.

Так как ||^ IMI^^IMI^) = ^

n,0

- СО,®)

ця-1,0 11(0 ,OJ)

iin.0

1(0,®)

г:

(0,©)

11(0,®)

. Отсюда и из теоремы Арцела следует конеч-

:7

номерность пространства Х(0'с х"0Ж) - / (0,й)) •

Теорема 3. Пусть выполнены условия:

а) для любого I е ^ Ак1 + Акр): ¥ ¥ - замк-

абсолютно непрерьшные функции, 1ц. (I) < г < 1 в точках существования производной, / е а> , к + / > 0;

б) для любого натурального I, /е С), со существуют резольвенты

л I т л 1

к=0j=0

Rn(t) =

хехр {i^{hkj+hk/t))_

и выполняются условия

W-'Rl =0(1), \\Гяп\\ = <9(1), /->«,

непрерывные операторы, к = 0,п-\, / = 1. т: кк0 -абсолютно непрерывные функции, 1г'к]- (!) < г < 1 в точках существования производной, / е(0,со) ,к + / >0; б) для любого натурального I существует к„ и

выполняются условия II/" 'Лл|| = ()(1), I —> СО.

W-'R

,(t)|| = O(1), \ln Rn (t= O(1), l-» 00.

y0,0 7(0,®) конеч"

Тогда коядро оператора Ь : А',п номерно.

Доказательство. Для любого наперед заданного е>0 покроем сегмент [0 ,со] интервалами

= (/, +<5Д ^ е (0, ¿у), так, чтобы для лю-

бых /" е Дл выполнялось неравенство

\Аы(1')~Ако(^)\у <е' к = 0,п-\.В силу условия на Ак0 (0 таких интервалов будет конечное число

5 = 1,2,...,р. Для системы интервалов АЛ строим раз-

р * *

биение единицы Х//лО) = 0<г<со, /;л(!)еС |,

Продолженную на всю ось с периодом со функцию

* р

I] (I) обозначим 1]/1) . Очевидно, что X ?7.у О) =

^ 1

5—1

Р Р

f(t)=Yns(t)f(t)= ХЛ (t), fs(t) = fs(t + co).

1 S=1

Рассмотрим теперь уравнение

Lus(t) = D"us(t) -

'aS , AS

si n-1,

(2)

Z + AUt)^u,(t) = f/t), t e Я,

л s

= 1, к = \,п — \ то единичная

сфера ¡«^/f^V = 1 пространства компактна в

где Ак0 = Ак0 -Ak0(ts), Ак0 - продолженная с периодом со на всю ось оператор-функция Ak0—Ak0{ts). Мы видим, что для уравнения (2) выполнены все условия теоремы 1 [4], в силу которой оно имеет единственное решение us(t), причем ||m//)||"0°s) < с||///)||°'°,

где постоянная с = с« и не зависит от t е (>, со в

II и'"Их "

силу условий теоремы.

Определим теперь функцию crjl) е Со- cj/t) = I для tGsapT]/t) и &s(t) = 0 Для t Ч A's,s =1,2,...,р. Очевидно, что cr/t)ris(t) = rjs(t). Теперь для

нутые, к = 0,п -1, j = 0,m ; Ак, + Ak/t) :Х Y - 3(t) = Y.crs(t)us(t), t e (), со^ будем иметь

вполне непрерывные операторы, к = 0, п — 1, j = 1, m ; A/t) , hkJ(t) непрерывно зависят от t e (). « . hkj(t) -

s=1

p

LW=JXD"(<Js(t)us(t))-

6-1

1

0.0

u.o

п-1 т

~ Z T.iAj+A/t))Sh +h {t)Dkt■ (as(t)usm .

k=oj=о J J

Используя равенство D"{crs(t)us(tJ) = = X С])Г"<тЛ/У/»,"«Л/У • далее прибавляя и отнимая

я—1 m

выражение cr/t) £ Z С4у + +h <tpf иs(t),

к=0j=0 ^ ^

р п-1 w

получим as(t)fs(t)+Y +

s=l [ i=0 j=О

+ - +)as(t)Shk]+hk/t)D^us(t) +

я-1 У ' ^

+ Z f prvcTs(t)D»us(t) = Za/t)f/t) + TfM

D=0 " ^ J S=1

где

^ p n- 1 m

C/>=Z Z Z(4,-

s= 1 I k=0 j=0

+ - Shk]+hk](t))as(t)Shk]+hk](t)D^us(t) +

n-1 / ^ + Z f pr°s№u/t)

(3)

норму (3) =

.If ö 0

n-1

z

v=0

(n + 1 Z(Akj+Ak/t))(a/tJ-

\ J k=0 7=0

n-1 m

-C7s(t-hkj -hkj(t)))D*us(t-hkj -hkj(t))

dt<

1 n-1 0|

^zi1

® t>=0 0

Dr°as(t)lXu/t)

us(t)D?crs(t)

|dt+

® n-l m

+ i| Z Z (Ak]+Ak](t))(cjs(t)-(js(t-hkrhk](t))> 0 k=0 j=0

Dfu/t-hb-hji)) IIldt< c, Z j u{v)(t)

n-l a

t us(l~nkj-nkj(1)) WY

n-1 m , n2

11

v=0 0

+ Z Z^J AX^-Ä^-V^ c

dt -

X

Ti\uiv>(t)\2dt +

v=00 Ä

1 n-1

i»-hkj-hkj(co)

+ —ZZ j pUMdZ

1 »• " " J II « ^

k=0 J=0 -hkj-hkj(0)

X

<c

Yi—i со.. ц2 со.. n2

X

0 "" o" с = const, s = 1,2,...,/>.

Так как бесконечно дифференцируемая

функция, то Dt <js(t),...,D"as(t) - непрерывные функции, а значит, на конечном отрезке [0, со] они ограниченные, т.е. ^kt<Js(t^<ck, k = 0,n.

Для доказательства равностепенной непрерывности семейства {Tf (t)} достаточно доказать существование с) (л;) по заданному е>0 . чтобы для

< 8 выполнялось неравенство

\\(г/ )jt+h)-(/) s(t)\ J00,) .

Докажем полную непрерывность оператора :^(Ой)) ~~^ '(а,.,)- Для этого достаточно показать, что Т переводит ограниченное множество {М,\\М\п£(о)<с} в компактное {\\ТМ\^а)}. Для

этого необходимо и достаточно выполнение условий:

1) равномерная ограниченность множества

2) равностепенная непрерывность множества

ттгоп ■

Докажем выполнимость условия 1), для чего оце-

Имеем

|| (Tfx^t+hj-iTfx^t)^ =

n-l,

Z (VnyrVvß+h)D»u/t+h) +

v=0 n-1 m

n-1 m j yi

-Z TAkj+A/t+h)?!

Ы0 j=0 V

Shkj+hkj(t+h) Г

X CT,

(t + h)Shkj+hk/t+h)DtUs(t + h)-

-zi °„pr°,mus(t)-

V=0

n-1 m

(4)

n-l m j ,

- Z Z% \(t)

k=0 j=0 ^ 1,

<cl

v=ö

D TvoMh)D "us(t + h)-D Tuvs(t)D tu/t)\\ +

^ 1 m j

Z Z Ak}+Ak}(t+h)Q-Sh^+hM))x k=0}=0

hkj+hkj(t+h) °s(t + h)Shu+hkj(t+h)D*us(t + h)~

kj kj >

n-l * у ,

- ZQ I % + Ak/t)(}-Shkj+%{t))a/t)Shkj+hk/t)Dfu/t) Оценим сначала норму

(О,а)

dn<rs(t+h) ,, , . dnaJt)

-s—-u (t+h)--—uJt)

dtn S dtn S

(O.ffl)

dt" s Л"

d"(CTs(t+h)-CTs(t)) dtn

us(t)

0,0

(0,ß>)

d as(t+h)

dtn

[us(t + h)-u/t)-\

0,0

(O,®)

<c\l

■sVyll(0,®) II ■sVyll(0,®)> Аналогично рассуждая, оценим норму

0,0

0,0

X

0,0

2

0,0

Y

2

2

Y

Y

2

m

dus(t+h) dus(t+h) das(t) dus(t) dt dt dt dt

0,0

(0,®)

<C

Отсюда легко видеть справедливость неравенства

и,О s (')11(0,®)'

dn °os(t+h) dDus(t+h) dn °<Js(t)dDus(t)

dtn

dtu

dtn

dtu

0,0

(0 ,®)

<c\h\\\us(t)\[

n,0

u = 0,n.

Рассмотрим теперь второе слагаемое в конце неравенства (4). Прибавляя и отнимая к нему выражения

п-1 т ~ ^ .

п-1 Ш ,

получим

к=0]-0 к к

Таким образом, вопрос о разрешимости уравнения 1л1(1) = 0 (или (6)) сводится к вопросу о разрешимости уравнения (5). Так как Т является вполне непрерывным оператором, то, согласно теореме Фредголь-ма, либо уравнение (5) имеет единственное решение при любой правой части , либо оно разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть <р(1) ортогональна ко всем решениям соответствующего сопря-

* *

женного уравнения {Е + Т )/ (!) = 0. Последнее уравнение в силу полной непрерывности оператора Т имеет конечное число решений. Таким образом, уравнение (5) разрешимо, если ортогональна некоторому конечномерному подпространству пространства

Y,

(0,®)

. Так как из разрешимости уравнения (5) следует разрешимость уравнения (6), то отсюда следует конечномерность коядра оператора.

Следствие. Пусть выполнены условия:

а) для любого I с СО, го) Ащ + Ак0: ¥ —>7 - замк-

-hkJ-hk/t+h))-us(t-hkJ-hkJm

1(0,«и)

n-1 m * > ,

I Т Akj+Akj(t+h)ShJhk/tPfu/tJx

k=0 J=0

¿1-Shkj+hkj(t+h))vs(t+h)]-[(1-Shkj+hkj(t)vs(t) ] J +

1(0, e>)

0,0

Z i (Ak](t+h)-Ak](m - sh h {t))as(t)S, +h (t) X \\l"'lRn(0\\x = 0( 1), 11" Я„(0|7 = O(l), l -> CO,

нутые, к = 0, п -1, у = 0, т ; Ак- + А^ф: X -» 7 - вполне непрерывные операторы, к = 0. п - 1. / = 1. т : . 1к/1), 11к.(и непрерывно зависят от I с (О, со): 1гк^I) - абсолютно непрерывные функции, 1г'к]- (!) < г < 1 в точках существования производной, / е ^0,со) ,к + / >0:

б) для любого натурального числа I, / е (), о> существуют (С), и выполняются условия

К

k=0 J=0

xD'kus(t)\

|0'0

l

П-1 I

"(0,®)

где 32. 53 - три нормы в порядке их следования.

Первое слагаемое 3, <cs в силу непрерывности u(n~v(t) . Вторые и третье слагаемые 32 и З3 можно сделать малыми за счет непрерывности функций ajt) и операторов Akj(t) .

Равностепенная непрерывность семейства решений однородного уравнения Lu(t) = 0 доказана. Если теперь рассмотрим уравнение

{Е + T)f(t) = <p(t), t^R, (5)

р

то выясним, что функция 3(1) = ~Yj<rs(t)us(t) является

решением уравнения

L 3(t) = cp(t), t gR.

(о,®)

является фред-

(6)

X II II7

н Rn¡x=0(l),\\lnRn\Y=0(l),l

Тогда оператор Ь : Л'")",, 4 г гольмовым.

Литература

1. Далецкий Ю.А., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М., 1970.

2. Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала, 2001.

3. Алиев Р.Г. О разрешимости уравнения с периодическими коэффициентами и отклонениями аргумента в гильбертовом пространстве // Изв. вузов. Математика. 1984. № 5. Т. 264. С. 3-8.

4. Шахпазова И.Ф. О разрешимости функционально-дифференциальных уравнений с маловозмущенными периодическими операторными коэффициентами и отклонениями аргументов в гильбертовом пространстве // Научное образование: Сб. ст. Ассоциации молодых ученых Дагестана. Вып. 37. Махачкала, 2007. С. 142-147.

Поступила в редакцию

9 января 2008 г.

0,0