Асимптотика решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в пространствах со степенным весом Текст научной статьи по специальности «Математика»

6

• ••

Известия ДГПУ, №2, 2015

ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ

НАУКИ

УДК 517.929

АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВАХ

СО СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ

THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION OF THE SECOND ORDER IN THE SPACES WITH THE POWER WEIGHT

© 2015 Алейдаров М. С.

Дагестанский государственный университет

© 2015 Aleydarov M. S.

Dagestan State University

Резюме. Получена асимптотическая формула для всех решений функционально -дифференциального уравнения (ФДУ) второго порядка с замкнутыми операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве со степенным весом, а также получены условия на переменные части коэффициентов и отклонений аргумента.

Abstract. The author of the article obtains the asymptotic formula for all solutions of the functional differential equation (FDE) of the second order with closed operator coefficients in Hilbert’s space with the power weight, and gets the conditions on the coefficients of the variables and the argument deviations as well.

Rezjume. V stat'e poluchena asimptoticheskaya formula dlya vsekh reshenij funkcional'no-differencial'nogo uravneniya (FDU) vtorogo poryadka s zamknutymi operatornymi koehfficientami v gil'bertovom prostranstve so stepennym vesom, a takzhe polucheny usloviya na peremennye chasti koehf-ficientov i otklonenij argumenta.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, степенной вес, асимптотика, гильбертово пространство.

Keywords: functional differential equation, power weight, asymptotics, Hilbert’s space.

Klyuchevye slova: funkcional'no-differencial'noe uravnenie, stepennoj ves, asimptotika, gil'bertovo

prostranstvo.

В работе [4] получены условия разрешимости ФДУ:

1 m

D> (t) - Ц[ A, + A, (t)] ss,s „ D> (t) =

k=0 j=0

= f(t),t > t0 ’

где Dk - 1 ft., A A (t) X ^ Y - замкну-D - ikdtk k A ()

тые операторы, A Aft) :X ^ Y - вполне

V 5 k V /

непрерывные операторы, X c Y, X,Y - гильбертовы пространства,! И lx -1\u\y ^u e X >

(1)

Естественные и точные науки

• ••

7

h = const, h (t) - непрерывно дифференцируемые функции, такие, что t - h (t) ^ +да при t ^ и h (t) < r < 1,

Shu(t) = u(t - h) > при малых в некотором смысле коэффициентах Akj.(t) и h (t) j = 0,l,2,...,m,k = O,l.

Введем обозначение: Lu(t) = Dfu (t) -

1 m

—EE AAD> (t) •

k=0 j=o

Под асимптотическим поведением функции u(t)U Y,uk(t) при t ^-+00 понимает-

V=1

ся сходимость несобственного интеграла

j (1 + t2n )

Ч

u=) ~Euk(t)

V=1

dt

X

В данной работе, снимая условия малости коэффициентов, получаем асимптотическую формулу для всех решений уравнения

(1). Определение пространств X2^ , Y(0’"X) >

решения уравнения (1) и обозначения содержатся в работе[4].

Имеет место следующая Теорема Пусть выполнены условия:

а) A - замкнутые операторы,

k = 0,1,j = 0,1,...m Aj - вполне непрерывные операторы, k = 0,1, j =1,2,...m,

\Aj (t)||r < c exp(—at), t > to, k = 0,1, j = 1,..., m, a = const > 0;

б) Rp (Я) - мероморфна, jXRp(Я)|| = 0(1),

^да,0 < ImX< a,

на прямой ImЯ = S= a — s> a, s> 0нет полюсов R (Я);

в) h(t) <c exP(-at),t> 0 + h0,0(t)E H++ +

^Cj-IH + CjjCj >0,C2 >0,у' = 0,1,...,тД = 0,1’

[t-hk(t+htJ)]'

г) f (t) eF^;

д) u (t) - решение уравнения (1),

D

—(t) <el'((T,co),x), T = mink,inf A(t)]>

1< j<m t>ti

t = min t, 0 + h,, inf

1 \<j<A 0’ 0 kj’t>min(t0,t0 +K)

Vkj (t)],

k = 0,1,

Тогда для любого S> 0 имеется конечное число решений вида uv(t) =eiA,'pv(t),v = 1,q уравнения l u(t) = 0 > где Av - полюс резольвенты R (Я) в полосе 0 < Im\< Pv (t) -

мног очлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности поЯ

люса а , что имеет место

j (1+12n)

u(m)(t)—Tv

dt < c u (1+12n )| f (t j 2 dt+

1 w I

Ej (1 +1!n )|| D(u(t |r dtj

при m=0,1, где постоянная c не зависит от решения u(t) и его производной u '(t)

Доказательство

Пусть

Г0, t < t0

r(t) е C”,r(t) = ■! ^ / ,0 <r(t) < 1

[1, t > (0 +1

Тогда для функции w(t) = /(t)u(t) имеем:

Zw(t) = Df/(t )u(t) — E

V j=0

+ A j (t)Sh0 j+h0 j (tГ)Sh

+

h0 j +h0 j (t)

m m

+El~Ej + E (t)E j+h1 j t t (t )Sh1 j+h1 j (t)—E[E n j= 0 0=0

+ A1 j (t)]\ +K, (()Г/ +K, (() ju(t) = F1(t) .

При^вляя и отнимая слагаемое:

{m

El! E+E (t) ]E++nn+

j=°

m I

+ E[A0j + A0j (t)~]Sh3j +0j(t)u(t)

j J

По учим:

Zw(t) = 7(t )fx(t) + {—/(t) —

m

— 2i/(t) Dt + E[ + [j (t [ ]1 —

j=0

S

h0 j +0 j (t h

)r(t )S

h0 j +h0 j (t)

2

q

0

8

• ••

Известия ДГПУ, №2, 2015

+iI\_A1j + A1j (t^ '

j=0

Л, (, У(‘ )Sh ,.м,) \u(<)

или

(

D -IAjShoj-ZAijShijD,

V j=0 j=0

w(t) =

= Fi(t) -I A A j(r (t)v(t = -

j=0

m

-I A jShjD (r(t )u(t)) +

j=0

m

+Z[Л, + Aoj (tj+hj(t)(^(t)u(t)) +

j=j

m

+ ЦАц + A, (t j++)u+)) S F (t).

j=

Таким образом, имеем:

( m m

D -lAbAj-Hj w(t) =

V j=0 (=0 у

Zw(t) =

= r(t)fi(t) + {-r"(t) - 2ir'(t) +

+4

1 m

II Akj (t)Shj+hj(t) V(t )rhtj+hj(t)Dt +

k=0 j=0 m

+ i I A1j (t)Shij +hij (t)K0\ +hij (t) +

j=0 m

+I A1j (t)S/1 j +/ij (t)Г (t)Shij +hij (t) -

j =0 1 m

-II A [jt )\D -

k=0 j=0

- Shkj +hkj (t)r(t)Shkj +hkj (t)Dt ] -

-I a, [s= r ") ",

j=0

Sh J+h1 J (t)r " "" (t)]

Введем обозначения:

u(t) = F(t). (2)

да

fr (=) = -^ J e-=r(t) m )dt.

1 t0 +1

^ = Ж] ^[-f(t) -

t0

- 2i r'(t) Dtv(t) + u(t )]dt,

1 да

Akjr (=) = П^ J e Akj (t')Shkj +hkj (t)r(t) X

XSkkj + hj (t)Dku(t)dt >

(3)

-j да

Zkjr (=) = J ^ Akj [*\ r(t')Shkj

Shkj +hkj(t)r(t')ShkJ +hkj(t)]Dt U(t')dt ’

1 да

Ar (=) = -77- J e ^A j (t)

X

42n

x\+Kj t )r(t )u(t )dt.

1 да

Zr (=) J e-=Ajl\r(t )S,

S/t,+1( t )(r(t )u(t ))]dt >

1 г1 +1

Ar"=) = j^ J e-=A., (tD

' t1

xShl J +hl J it) r ,(t )u(t )dt >

1 t1 +1

ZV(X) = J^ J e-i=A1j[Shi/(t)Sj -

~ShlJ+hl, (t )(r ’(t )u(t Wt •

Так как u, F E L (R,Y) , то, применив к полученному уравнению преобразование Фурье [6. С. 380], получим:

1

ад=д,(1) {/,(!)+v,(i)+2>

k=0

Естественные и точные науки

• ••

9

х - г>,мт(му -

}=0 }=0

- ^(Л) + А1у(Л) - Zlr,(A)}}

где резольвента R (Л) - мероморфна в

полосе 0 < 1ш Л < a.

Из условий теоремы следует регулярность выражения внутри фигурных скобок в правой части равенства (3) в полосе 0 < Im Л< 8 = a — s,s> 0.

Учитывая условия а) теоремы, налагаемые на Ak}(t) , получим:

dAkrr (Л)

АЛ

w

< Ci ЛDkv(t - - h}(t))

dt

У Ч

В силу условий на функцию u(t), следует регулярность A r(t) в полуплоскости

1шЛ< a.

Таким образом, выражение в фигурных скобках в правой части равенства (2) представляет собой регулярную функцию в области 1шЛ<8, поэтому в полосе Cl < 11П Л <8 = & — S полюса w(A) совпадают с полюсами резольвенты ЧЛ. Представим функцию f (Л) в виде:

w

fy (Л) = = eIm*r(t) f=t )(cos х

^ *0

X (Re At) - isin(Re At))dt По теореме Коши имеем:

---jelMw(A)dA =^res |егЛ#(Д)|

2л-/ p v=i A

или

л J s+iS

---\ f eatw(A)dA + f eatw(A)

2m L ' A J

x

[ImA==

s+8

X

X

dA+ | eatw(A)dA- J егЯ/Л(Л)

x

ImX==

Я

dA >■ = ^res ^eatw(A)j

V=1 ^ .

Переходя в последнем равенстве к пределу при S —— W, получим:

___ д

w(t) - iyf2jry^/es\eatw(A)] =

V=1 ^

= -А= [ eatw(A)dA (4)

>/2ж , 1

1тЛ=8

Вычеты функции 61 w( Л) являются решениями однородного уравнения Lpw(t) = 0 , которые обозначим через:

wv(t) = 1^271 res ielAtw(A)\.

л '

Таким образом,

q 1

w(t)-^wv(t) = -r= J eatw(A)dA Я2ж t

e

vj1 "V 2" ImA=8

По теореме Планшереля [3. С. 27] f д Л

w(t) - J Wv (t)

V vj1 Al2

St

= w

a)ll

IZ,2(ImA=(5)

или

w

J

St

w(t) - J w(t)

v=l

dt =

X

= j \fi(XgdX= j \R„(X)F(X)

ImZjS ImЛ=8

= J ||Rp(ХМ,(Л) + vr(Л) +

-Л=8

l m

+Ц[ A, Л) - Zkr Л)]+

X

dA =

k=0 j=0

+J[ Air (Л) - Z,r (Л)+Ar (Л)

}=0

- ZirU)]

АЛ<c\ J [Цли)^^)

+

{ImA=8

i m 9 9

+ХВ1И.>Д-г|

+

y || kJ r^ 'Wy-

k=0 j=0

m m m о

j=о

Zir (Л)||;.]Ал|

Согласно теореме Планшереля [3. С. 27].

2

2

У

2

-w

2

2

10

• ••

Известия ДГПУ, №2, 2015

х

J || f (Д)||2 dA=J em\\r(t)t)||2 d

X

ImA=S

xt <

Je2S‘\.f(t)||> <j)|\f(t)\\- dt

J h(4rdA < J lk(A)l

X

dA ■■

ImA=S

x

ImA=S

= J (1 + tln ){-/'«! + 21 At )|2|K(tfs. }dt

— X

Таким образом, получили, что

X

f^f tf)

u'm'(t )—dV)

dt <

<c

I X

J (i+1 '■ )|| f (t )||; dt-

dJ (i+^lloXO

dt

k=0t„

при m=0,1, где постоянная c не зависит от

решения U (t) и u(t) .

Теорема доказана.

2

X

t

Литература

1. Алейдаров С. М. О единственности решения уравнения с линейным отклонением аргумента в пространствах со степенным весом // Диффер. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. C. 2170-2171.

2. Алейдаров С. М., Алейдаров М. С. Конечномерность ядра оператора L в гильбертовом пространстве со степенным весом // Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки. 2011. № 1. С. 60-64. 3. Алиев Р. Г. ФДУ в гильбертовом пространстве. Махачкала: ДГУ, 2011. 348 с.

4. Алиев Р. Г., Алейдаров М. С. Разрешимость ФДУ второго порядка в пространствах со степенным весом // Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки. 2014. № 1. С. 109-116. 5. Зайнулабидова З. М. О задачах Коши, Дарбу, Гурса для одного класса вырождающихся гиперболических уравнений // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2009. № 2. С. 13-16. 6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М. : Мир, 1972. 739 с.

References

1. Aleydarov S. M., The uniqueness of the solution of linear equation with the argument linear deviation in spaces with the power weight // Differen. equations. 1986. Vol. 22. # 12. P. 2170-2171. 2. Aleydarov

5. M., Aleydarov M. S. The finite-dimensionality of the kernel of the L operator in a Hilbert space with the

power weight // Bulletin of DSU. Natural Sciences. 2011. Vol.1. P. 60-64. 3. Aliev R. G. FDU in Hilbert

space. Makhachkala: DSU Publishing House, 2011. 348 p. 4. Aliev R. G., Aleydarov M. S. Solvability of FDU of the second order in the spaces with the power weight // Bulletin of DSU. Natural Sciences. 2014. Vol.1. P. 109-116. 5. Zaynulabidova Z. M. Cauchy, Darboux and Goursat problems for a class of degenerate hyperbolic equations // Proceedings of Dagestan State Pedagogical University. Natural and Exact Sciences. 2009. # 2. P. 13-16. 6. Kato T. The perturbation theory of linear operators. M. : Mir, 1972. 739 p. Literatura

1. Alejdarov S. M. O edinstvennosti reshenija uravnenija s linejnym otkloneniem argumenta v pro-stranstvah so stepennym vesom // Differ. uravnenija. 1986. T. 22. № 12. C. 2170-2171. 2. Alejdarov

S. M., Alejdarov M. S. Konechnomernost' jadra operatora L v gil'bertovom prostranstve so stepennym vesom // Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. 2011. № 1. S. 6064. 3. Aliev R. G. FDU v gil'bertovom prostranstve. Mahachkala: DGU, 2011. 348 s. 4. Aliev R. G., Alejdarov M. S. Razreshimost' FDU vtorogo porjadka v prostranstvah so stepennym vesom // Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. 2014. № 1. S. 109-116. 5. Zajnulabidova Z. M. O zadachah Koshi, Darbu, Gursa dlja odnogo klassa vyrozhdajushhihsja giperboliche-skih uravnenij // Izvestija Dagestanskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. Estestvennye i tochnye nauki. 2009. № 2. S. 13-16. 6. Kato T. Teorija vozmushhenij linejnyh operatorov. M. : Mir, 1972. 739 c.

Статья поступила в редакцию 17.03.2015 г.