О решениях умеренного роста одной эллиптической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2012, том 55, №1_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

Д.А.Воситова

О РЕШЕНИЯХ УМЕРЕННОГО РОСТА ОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Худжандский государственный университет им. академика Б. Гафурова

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Э.М. Мухамадиевым 30.06.2011 г.)

В статье для линейной эллиптической системы первого порядка на плоскости рассматривается задача о решениях в пространстве умеренно растущих обобщённых функций (пространство Шварца). Получены необходимые и достаточные условия нетривиальной разрешимости задачи. Эти условия выписываются через коэффициенты системы. Найдена формула для размерности линейного пространства решений степенного роста и приведена схема нахождения всех таких решений.

Ключевые слова: линейная эллиптическая система - обобщённые функции - умеренно растущие решения - решения степенного роста - размерность пространства решений.

В статье рассматривается система дифференциальных уравнений с частными производными, записанная в матричной форме:

их + лиу + ви = 0, (1)

где и — искомая вектор-функция, А и В - квадратные матрицы П -го порядка.

Выражение Р (^, 7) = ¿е^^Е + ^А) , где Е — единичная матрица, называют главным символом, а выражение Р(^, 7) = ¿е1(^Е + 7А — IВ) - символом системы (1) (см. [1]). Система (1) называется эллиптической, если Р (^, 7) Ф 0 V (^, 7) Ф 0 . Если 7= 0, то

Р(^, 7) = ¿е1:(<^Е) = ^п Ф 0для любого ^Ф 0 . Пусть 7 Ф 0 , тогда Р0(^, 77 = 7 ¿е! Отсюда видно, что условие эллиптичности можно представить в виде

det

Ґ — л A + —E

v

7

Ф 0 для любого —, 7 Ф 0 (2)

£

Обозначая — = —Я , условие (2) перепишем в виде det(А — ДЕ)ф0 V Я Є Я. Поэтому ус-7

ловие эллиптичности системы (1) эквивалентно тому, что матрица А не должна иметь вещественных собственных значений. Всюду в дальнейшем будем предполагать последнее условие выполненным.

Адрес для корреспонденции: Воситова Дилором Абдурасуловна. 735730, Республика Таджикистан г. Худжанд, проезд Мавлянбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: [email protected]

Рассмотрим случай п=2. Пусть А

V аз а4

Ґ и и \

в

1 2

V Ъ3 Ъ4 У

. В этом случае в работе [2] для

системы (1) с коэффициентами из гёльдерова пространства Са найдены необходимые и достаточные

условия нётеровости и формула для индекса задачи об ограниченных во всей плоскости решений, а в работе [3] для этой системы рассмотрена задача о решениях в пространстве умеренно растущих обобщённых функций Б'. В [4] рассмотрена задача о решениях степенного роста для эллиптической

системы (1), когда А =

ґ0 — 1 V1 0У

а в работе [5] изучена задача в пространстве Б' для комплексной

эллиптической системы + Аw = 0, где А — комплексная матрица п-го порядка.

Для системы (1) условие эллиптичности через элементы матрицы А выражается следующим образом:

(а+а )2 — 4det а < 0

или

нений

(а — а )2+4а2а3 < 0.

Легко доказать, что в случае эллиптичности ¿е! А > 0 и а2а3 < 0 .

Совершая преобразование Фурье, от системы (1) переходим к системе функциональных урав-

А

(#Е + 7А-/В) Щ(, П) = 0, (3)

А

где и(£, П) — преобразование Фурье функции и(X, у) . Если ¿е! Р(£, П ) Ф 0 V(^, 7) е Я2, то

А

из (3) следует, что и(£,7) = 0. Если же ¿е!Р(^,,7) = 0 на каком-нибудь множестве Г ^ Я2 , то

и будет обобщённой функцией с носителем на Г. Уравнение ¿е! Р(<^, Г/) = 0 равносильно системе двух уравнений

Г<^2 + (а + а )<7 + ¿е! А72 — ¿е! В = 0, (4)

[(¿! + \)%+(аЬ + аА — а3ь2 — а2ь3 )7 = 0. (5)

Множество решений уравнения (4) обозначим через Г, а уравнения (5) через Г2 . Тогда множество Г - решений системы (4) - (5) будет равно Гх П Г2. Оказывается, что: 1) Г — эллипс при

¿е! В > 0; 2) Г = 0 при ¿е! В < 0; 3) Г = {0, 0} при ¿е! В = 0. Поэтому в случае 2) Г = 0, а

в случае 3) Г = (0, 0).

Можно показать, что в случае det В > 0 коэффициенты уравнения (5) одновременно не могут обращаться в нуль. Следовательно, при det В > 0 Г2 будет представлять собою прямую,

проходящую через начало координат.

В связи с вышеизложенным, относительно множества Г справедлива следующая [3].

Теорема. Пусть система (3) является эллиптической. Тогда:

1) при det В > 0 множество Г состоит из двух точек (±£0, ±То) - точки пересечения прямой Г2 с эллипсом Г ;

2) при det В = 0 множество Г состоит из одной точки {0,0};

3) при det В < 0 множество Г будет пустым.

Случаи 2) и 3) рассмотрены в [3] и найдены все решения из Б'. Ниже исследуется случай 1),

Л

то есть случай, когда det В > 0 . В этом случае и (£, Т) является обобщённой функцией, носитель которой состоит из двух точек. Поэтому

Л п

Ц(£, Т) = £ +4,<5<“)(£+£1;т+Т0Й•

ах+“2 =0, а=(“]_, “2)^0

Отсюда

Ш И1

и (х, у) = е1(^х+щу) 2 ааха1 у“ + е1(^х+щу) 2 Ъ-“ у“ .

“+“2 =0, “1+“2 =0,

“=(“і, “2 )>0 “=(“1, “2 )>0

Объединяя обе суммы, функцию и представим в виде

и (х, у) = 2[е^ у р(х, у) + е— «• х+% у )е;(х, у)],

] =0

где

р] (X у) = 2 рых3~У, <2і(x, у) = 2 ~=у=.

==0 ==0

Если и ^ — комплексные векторы, то, в общем, получаем комплексные решения. Если взять ^ = р^, то получаем вещественные решения. Найдем вещественные решения.

Подставляя и и её частные производные в систему (1), после приведения подобных коэффициентов, получаем

N

I

]=0

N

I

]=0

Из уравнения (6) следует, что

дР,

дР/ ду

&0 Р, + ~Г~ + А ^0 Р, +'

] дх V

дО, (

+ ВР] у у

л

0,

д О

}

ду

+ВО,

у

0.

(6) (7)

N N

1( &Р] + ^ АР,+ ВР) +I

дР дР

'■ + А- '

дх ду

= 0.

0=0

Заменяя во второй сумме у на у +1, объединяя обе суммы и приравнивая к нулю слагаемые одинаковой однородности, получаем:

' (8)

(ї%0 Е + 1щ А + В) р = 0, к = 0, N,

(&0Е + ІЛоА + В ) Р, =

Обозначая матрицу ІЕ + ІЩА + В через С = жение, получаем

1 ]+1 А

дх

( С1 С2

V с3 С4 У

дР.

}+1

ду

, 0 < ] < N -1

(9)

подставляя в (8) и (9) вместо Р её выра-

СРт = 0, к = 0, N, (10)

Iер, х ] -к у к = -1 (Рк,,+(у+1 - к)+~кук+А++++1~к у к-1); у = 0 N -1.

к=0

]+1

к=0

Отсюда в свою очередь имеем реккурентные соотношения для коэффициентов р, функции Р :

СР, = -С/ +1 - к)Рк,,+1 - (к +1)АРк+1,,+l, к = 0 j, 7 = 0, N -1. (11)

Можно показать, что тап^С = 1. Поэтому множество решений системы (10) образует одномерное линейное пространство над полем комплексных чисел. Следовательно,

РkN = ФkNq0 , (12)

где Ф - комплексные числа, =

ґ С Л С2

V С1 у

■ собственный вектор матрицы С, отвечающий нулевому

собственному значению.

В дальнейшем будем изучать систему (11). Обозначив правую часть системы (11) при

, имеем

г? («,'

через к V пкн у , а Рк, N-1 - через

V ^2 у

<

+ с2Ц2 = gш,

У^С\Ч\ ^ №-с2Ч2 = ^кы •

В предположении, что С Ф 0, условие разрешимости этой системы имеет вид

№ ёкы = Кы,

где ¡И = С 3/сх . Раскроем это соотношение

-(N - k)(^С2 + С1 Жы = (k + 1) [ЖС2 - а2С1) - (азС2 - а4С1)] Фк+1,ы •

(13)

(14)

Возможны два случая:

1.1. С + ЦС2 Ф 0 ; 1.2. С + [1С2 = 0.

Рассмотрим случай 1.1. В этом случае задаём произвольным образом фт, остальные фш

(к = 0, N -1) найдём из (14).

Таким образом, в определении рш имеется один произвол. Далее условие разрешимости системы (13) будем считать выполненным.

Пусть

V #2 У

- частное решение системы (13). Тогда её общее решение имеет вид

Л ^ Л

+ Фк ,N-1 с2

II т 0 ч-с1 У

V #2 у

; к = 0, N -1,

(15)

где (ркИ_х - произвольные комплексные числа.

Далее в уравнении (11) подставим j = N - 2:

Срк ы-2 = -1 - к) рк ы-1 - (к +1) Арк

ук+1,Ы-1 ’

к = 0, N - 2.

(16)

Условие разрешимости этой системы аналогично условию разрешимости системы (13):

№ёк, N-1 = Кк, N-1, где через

§к, N-1 V Кк ,N-1 У

обозначена правая часть системы (16). Следовательно, учиты-

вая (15), имеем

-(N - 1 - к)(^С2 + С1 )^к,N-1 = (к + 1)[^(а1С2 - а2С1 ) - (а3С2 - а4С1 ) +

м( к + 1)[( а1^10 + ад0 )-( азЧ°1 + а4Ч°0 )] + (N - 1 - к ) (^ - <£. )•

(17)

Отсюда видно, что (рКЫ_х линейно выражается через (рк+хм_х (к = 0, N - 2). Следовательно, произвольным остаётся только (ры_хы_х, а остальные (ркы_х выражаются через (ры_хы_х. Итак, в определении р имеется также один произвол.

Общее решение системы (16) имеет вид

Рк ,N - 2

Ґ Л

q

V q2.

N - 2

V с1 У

, к = 0, N-2,

где

( Л

Ч

v ч2 у

частное решение этой системы, а Укм_2 - произвольные комплексные числа. При про-

должении этого процесса имеем, что в определении Укм_2 возникает один произвол. Таким образом, на каждом шаге появляется одна произвольная постоянная. Следовательно, в случае 1.1. размерность пространства как вещественное линейное пространство равна 2(N +1) .

Рассмотрим случай 1.2, то есть С + М-с2 = 0 и С Ф 0 . Тогда условие разрешимости системы (11), т. е. соотношение (14), примет вид:

[Ма1С2 - а2С1) - (азС2 - а4С1)] Фк+IN = 0 ^ k = 0 N '- 1 или с учётом с = — И с2 и С Ф 0

[Да +^а2)-(аз + ^аА)]фк+1Ы = 0 ; к = 0,N-1. (18)

Обозначим: с(ц) = м(а + ) — (а + Ма4) . Используя условие эллиптичности системы

(1), можно показать, что <г(р.) Ф 0 У р. Ф 0 . Тогда из (18) следует, что фк+1Ы = 0, то есть = 0,

к = 0, N — 1, причём фш — произвольная постоянная. Система (11) при j = N — 1 примет вид: Срк, N—1 =0. Отсюда

Рк.

N-1

N-1

^ С Л С2 V-с1 у

где (ркм_х - произвольные комплексные числа.

Далее, полагая в уравнении (11) j = N — 1, аналогично, как и при доказательстве соотноше-

ний Фк+1,N = 0 k = 0 N-1 > можно установить, что pk+lN_x = 0, причём pQN_x — произвольная постоянная. Таким образом, в случае 1.2 также на каждом шаге возникает одна произвольная постоянная. Следовательно, размерность пространства MN равна 2(N +1) .

Аналогично рассматривается случай, когда у матрицы С есть нулевые элементы, причём в таких случаях dim = 2( N +1).

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору С. Байзоеву за внимание к работе.

Поступило 30.06.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. - М.: Мир, 1986, 455 с.

2. Мухамадиев Э., Байзаев С. - ДАН ТаджССР, 1987, т. 30, № 4, с. 206-210.

3. Байзаев С., Воситова Д.А. - Вестник ТГУПБП, 2009, № 1, с. 92-96.

4. Виноградов В.С. - ДАН СССР, 1986, т. 183, с. 503-506.

5. Байзаев С. Эллиптические системы с ограниченными коэффициентами на плоскости. Новосибирск: НГУ, 1999, 74 с.

Д.А.Воситова

ОИДИ Х,АЛХ,ОИ МУЪТАДИЛ АФЗУНШАВАНДАИ ЯК СИСТЕМАИ НАВЪИ ЭЛЛИПТИКЙ

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Рафуров

Дар макола барои системаи навъи эллиптикии тартиби якум дар хдмворй масъала оиди х,алх,о аз фазои функсиях,ои умумикардашудаи муътадил афзуншаванда (фазои Швартс) баррасй шудааст. Шартх,ои зарурй ва кофии мавчудияти х,алх,ои гайринулии масъала ёфта шудаанд. Ин шартх,о тавассути коэффитсиентх,ои система навишта мешаванд. Формулаи ченаки фазои х,алх,ои хдмчун функсияи дарачагй афзуншаванда ёфта шуда, усули ёфтани чунин х,алх,о баён гардидааст.

Калима^ои калиди: системаи эллиптикии хаттй - функсияуои умумикардашуда - уалуои муътадил афзуншаванда - уалуои афзоишашон дарацавй - ченаки фазоии %ал%о.

D.A.Vositova

ABOUT SOLUTIONS OF THE MODERATE GROWING OF ONE ELLIPTIC SYSTEM

B.Gafurov HujandState University

In article for linear elliptic system of the first order on planes is considered problem about solutions in space sparingly rising generalized function (the space Schwartz). Necessary and sufficient conditions of nontrivial solvability of the problem are received. These conditions are drawn through coefficients system. The formula for dimensionality linear space of solutions sedate growing founded and is brought scheme of the finding all such solutions.

Key words: linear elliptic system - generalized function - sparingly rising solutions - solutions sedate growing - dimensionality space of solutions.