CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2009, том 52, №7_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
С.Байзаев
ОБ УМЕРЕННО РАСТУЩИХ РЕШЕНИЯХ ОДНОЙ МНОГОМЕРНОЙ
ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 14.04.2009 г.)
1. Рассмотрим эллиптическую систему вида
м>- + Ам? + Вм = 0,
2
(1)
где = (|Ф’1,1Ф’2,...,1Ф’И)Г, еС, А, В - постоянные комплексные пхп матрицы,
2м>- =\\>х+1м>у, г = х + /у. Для этой системы будем изучать задачу о существовании решений
в пространстве умеренно растущих обобщенных функций 5" [1], в частности задачу о решениях степенного роста
где К - постоянная, зависящая от м>(г), N - целое неотрицательное число, ||| - норма в С".
При п = 1 и частных случаях п- 2 задача (1 )-(2) рассматривалась в работах
В.С.Виноградова, Д.Сафарова (см., например, [2, 3]). В случаях ^=0 или В=0 и общего п вышеуказанные задачи были рассмотрены ранее в наших работах (см., например, [4]). В частности, для случая А = 0 было установлено:
1) Для того чтобы система (1) в пространстве 5^ имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы у матрицы ВВ было хотя бы одно собственное значение, лежащее на полуоси (—со,0].
2) Если матрица ВВ имеет отрицательное собственное значение, то пространство Мы
решений задачи (1)-(2) бесконечномерное; если же матрица ВВ не имеет отрицательного собственного значения и ёе! В=0, то пространство Мм является конечномерным. Причем в
последнем случае вычислена размерность пространства Мы и указана процедура нахождения всех решений системы (1) из пространства Мм .
По коэффициентам системы (1) определим следующую переменную матрицу порядка
(2)
2п:
С(д) =
— Е + А
В
В
— Е + А 2 ,
Е - единичная матрица п -го порядка и д — ^ + щ.
Верна следующая
Теорема. Для того чтобы система (1) в пространстве Б' имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы при одном значении д матрица С(д) была вырожденной.
Отметим, что если матрица С(д) при д = а вырожденная, то она при д = -а также будет вырожденной. Если матрицы А и В перестановочны, то в теореме матрицу С(д)
к1:
можно заменить на матрицу А А- В В + / Яе(^ А) - - Е, если же матрица В обратимая - то
на матрицу В
Ґ—Е + А
В~
1-5-Е + А
Множество Г тех значений д, для которых матрица С(д) будет вырожденной, можно найти из системы уравнений
\б2п(?>?) + б2п-2(?>?) + - + бо(?,?) = °>
@2п-і(£>С) + - + ві(С>Ю = 0>
(3)
здесь 0. вещественнозначные однородные многочлены по с и с порядка / . Коэффициенты этих многочленов явно выражаются через элементы матриц А и В, например
е,=ікГ". а
(А В^ (А В\
. Отметим, что определитель матрицы будет ве
А) А)
16
щественным. Как было отмечено выше, если Г непустое, то оно симметрично относительно начала координат. Зная множество Г, можно найти полиномиальные решения вида
м?(г) = е1{2’д)11т(г,гХ
где (г, д) — -^ гд+Тд , д еГ и Кт - многочлен относительно гиг степени т. Если множество Г бесконечное, то многообразие Мы решений задачи (1)-(2) будет бесконечномерным, если Г конечное, то Мбудет конечномерным, если Г пустое, то Мбудет нулевым. В случае конечномерности пространства Мы можно найти размерность и базис этого пространства.
2
2. Рассмотрим случай п = 2. Пусть А = обозначения:
"«11 «12 , в = X1 *12'
Ч«21 «22 у ч*21 *22 у
. Введем следующие
а + 1Ь = &е1А, с = |^|2-|^|2+2Ке
*11 *12 , (1 = ёе1 'А В'
*21 *22 Я Л
а+1/5 — 8рА, у+ 18 = 4
«п «12 *12 «11 «12 *11 \
«21 «22 *22 + «21 «22 *21
V *21 *22 «22 ^11 ^12 «11 У
, Бр{•) - след матрицы.
Тогда, вычисляя &<£ХС(д), легко установить, что система уравнений (3) относительно вещественных переменных г/ будет иметь вид
(^+Т)У- 4(2а + с)^ -16Ы;Г1 - 4(-2а + с)т] +16й? = 0, I (а^ + +т]2) + + дг] -0.
(4)
(5)
Через Гх и Г2 обозначим множество точек (д, //) е М2, удовлетворяющих уравнениям (4) и (5) соответственно. Тогда Г = Гх Г\Г2 . Отметим, что кривые Гх и Г2 симметричны относительно точки О = (0,0) . Если Ь = 1ш с1е1 А = 0, то Г} симметрична относительно осей
координат; конечно, возможны такие случаи, что Г2 = Я2, Г2- прямая, Г2 - объединение прямой и окружности. Множество Г может быть пустым или состоять из одной, двух, трех, четырех и бесконечного (несчетного) числа точек. В зависимости от этого можно определить решения задачи (1)-(2). Например, когда Г состоит из одной точки, то Г = 0 и решения задачи (1)-(2) нужно искать в виде
П
(г) = ]ГРу(г,г),
]=о
где Р] — однородная форма по г и г порядка у . В этом случае размерность пространства Мы может быть равна 4А' + 4, 4 Л' + 2 или 2М + 2.
Отметим, что размерность и структура пространства Мы также зависят от ранга матрицы С. Если гсащС’’ = 0, то сНт Мх =4^ + 4, если же гсащС’’ Ф 0, то легко показать, что гап^Сф 1 и пространство Мможет иметь размерность 0, 2Ы + 2 , 4Л' + 2, 4Л' + 4 или может быть бесконечномерным.
В случае А = 0 , как было отмечено выше, пространство Мы будет конечномерным и
ненулевым, если с1е1 В = 0 . Поэтому можно считать, что В =
*п *12
\Щ\ Щи
где X — комплекс-
ное число и |*п| + |*12| > 0 . Тогда размерность пространства Мы находится так:
сІітМд, = -
4А'' + 4, если Ьп + ЛЬ12 Ф 0, 4И + 2, если Ъп + ЯЬ12 = 0.
3. Для общего п рассмотрим более подробно случай, когда Г состоит из двух точек. В этом случае Г = ±г0,г0^Ои решения задачи (1)-(2) нужно искать в виде
}=■ 0
3= 0
где р, Q - однородные формы от г и г порядка ] . Подставляя в систему (1) и произведя соответствующие группировки, с учетом однородности функций Р, Q получим
ґ Г—Е + А
V
2
Ры +PQN -
/
(6)
ґ--Ї2-Е + А
V
2
блг + ВРN —0,
/
(7)
V
2
- дрм
Р +ВО +—^- = о,
; ; дг
7 = 0, N-1,
(8)
Ґ-1-^Е + А
V 2
0.+ВР]-+^^- = 0, / = 0,ІУ-1.
^ д!
(9)
3 . з .
Пусть Р] =^р1дг]~кгк, = ^д^г]~кгк, где /^,^еСй. Тогда из уравнений
к=0 к=0
(6)-(9) для коэффициентов р^ , д^ получим следующие соотношения
V
/ •
^ +вЧы-к,ы =0, Вр_
т
/
/£о
2
Е + Л
Яы-к,ы —0, к — 0,Ы,
(10)
/
Е + Л
рк,} +вЧ]-к,] =~(к + 1)рк+и+1, к = 0,7; у = 0,^-1,
(11)
V /
Соотношения (10) представляют собой однородную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных рш, а соотношения (11) и (12) можно
рассматривать как неоднородную СЛАУ относительно неизвестных рк ., Ц^_к у ■
Используя матрицу С(д), СЛАУ (10) - (12) перепишем в виде
соответственно.
Из однородной СЛАУ (13) находим рш и ды_кы, к = 0,Ы. Рассматривая неоднородную СЛАУ (13.]) при у = N-\ и записывая условие разрешимости полученной системы, находим связь между рш и рк+1 м. Далее разрешаем неоднородную систему (13 .N-1) и определяем ркм_х и с/у_]_к л-_|. Затем рассматриваем систему (13.]) при / = N -2 и повторим проделанную выше процедуру и т.д. Таким способом можно найти все рк ., д;_к ..
Таджикский государственный университет Поступило 14.04.2009 г.
права, бизнеса и политики, Худжанд
1. Хёрмандер Л.. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.1. Теория распределений и анализ Фурье. - М.: Мир, 1986, 462 с.
2. Виноградов В.С. - Комплексный анализ и его приложения. - М.: Наука, 1978, с.120-125.
3. Сафаров Д. - Дифференциальные уравнения, 1979, т.15, №1, с.112-115.
4. Байзаев С. Эллиптические системы с ограниченными коэффициентами на плоскости. - Новоси-
(1З)
и
(13j)
ЛИТЕРАТУРА
бирск: НГУ, 1999, 74 с.
С.Байзоев
ДОИР БА Х,АЛЛХ,ОИ МУЪТАДИЛ АФЗУНШАВАНДАИ ЯК СИСТЕМАИ ЭЛЛИПТИКИИ БИСЁРЧЕНАК
Дар мак;ола масъалаи хдлшавандагии системами эллиптикии намуди (1) дар фазох,ои Швартс ва фазои функсиях,ои дарачавй афзуншаванда баррасй шудааст. Шартх,ои зарурй ва кофии хдлшавандагии гайринулй оварда шуда, ченаки фазои х,аллх,ои дарачавй афзуншаванда муайян карда шудаанд.
S.Baizaev
ABOUT MODERATELY GROWING SOLUTIONS OF ONE MULTIVARIATE ELLIPTIC SYSTEM
In the paper solvability of elliptic system (1) in Schwarz's spaces and in space of functions of sedate growth is studied. Necessary and sufficient conditions of nontrivial solvability are resulted and is certain dimension of space of sedate solutions.
