О разрешимости системы дифференциальных уравнений m-го порядка в пространстве Степанова Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________________2011, том 54, №7_____________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

Б.М.Зиёмидинов

О РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ m-го ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВЕ СТЕПАНОВА

Горно-металлургический институт Таджикистана

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Э.М.Мухамадиевым 28.06.2011 г.)

В статье рассматриваются системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка m в пространствах Степанова. Для этих систем изучены вопросы разрешимости и нормальной разрешимости в указанных пространствах. Найдены критерии разрешимости и нормальной разрешимости.

Ключевые слова: система обыкновенных дифференциальных уравнений порядка m - пространство Степанова - априорная оценка - разрешимость - нормальная разрешимость.

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений порядка m

Ly = y(m) +A()y(m—1) +...+Am(t)y = fit), t > 0, (1)

где y(t) = iyx(t), y2(t),..., yn (t)) - искомая вектор-функция , A1(t), A2(t),...., Am (t) - матрицы порядка n x n, элементы которых локально интегрируемы на полуоси [0, +ю), вектор-функция f(t) = (f(t),f2(t),..,fn(t)) принадлежит пространству Степанова S. Напомним, что S это пространство вектор-функций y(t) = (y1(t),y2(t),....,yn(t)) , t g[0, +ro), локально интегрируемых на полуоси [0, +ю) и для которых конечна норма

t+i

||y||S = sup f |y(r)|dr,

t>0 Jt

здесь |*| — евклидова норма в Rn; Sm — множество таких функций y(t), что y(t),y'(t),...,y(m)(t) G S ; это множество является банаховым пространством с нормой

Отметим, что если у() & 8т, то у($) £ Ст 1, где Ст 1 — пространство функций, непрерывных и ограниченных на полуоси [0, + да) вместе с производными до т — 1 -го порядка. Заметим, что если столбцы матриц А (0, 7 = 1, •••, т принадлежат пространству 8 и у(,) £ 8т, то Ьу £ 8. Сле-

Адрес для корреспонденции: Зиёмидинов Баходур Мирзомидинович. 735730, Республика Таджикистан, г. Чка-ловск, ул. Московская, 6, Горно-металлургический институт Таджикистана. E-mail: baisat54@rambler.ru

довательно, при этих условиях оператор Ь действует из 8т в 8. Легко проверить, что этот оператор является ограниченным.

В отдельных случаях уравнение вида (1) в пространствах Степанова было изучено

Э.Мухамадиевым и его учениками (см., например, [1 - 3]). В настоящей работе мы исследуем уравнение (1) в общем случае на предмет разрешимости и нормальной разрешимости в пространстве 8т .

Сформулируем основной результат.

Теорема 1. Пусть столбцы матриц А.(і), ] = 1,...,т принадлежат пространству 8 . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

а) оператор Ь : 8т ^ 8 нормально разрешим;

б) найдется число М>0 такое, что для любой функции х(і) є 8т справедлива оценка

в) для любой функции / є 8 уравнение (1) имеет решение в 8т.

Приведем набросок доказательства по схеме импликаций а) ^ б) ^ в) ^ а).

Импликация а)^б). Пространство 8т можно представить в виде суммы двух замкнутых подпространств: Sm = Е0 0 Е, где Е0 = KerL, ЕЕХ = LSт = = Е . Оператор Ь : Е1 ^ Е взаимнооднозначный и в силу а) Е является банаховым пространством. Поэтому, согласно теоремы Банаха об обратном операторе, оператор Е1: Е ^ Е1 ограничен, что эквивалентно неравенству

где Мх — постоянная, независящая от х .

Так как подпространство Е0 конечномерное, то можно показать, что для любого х є 8т, х = х0 + х1, где х0 є Е0, х1 є Е1 справедливы оценки

(2)

х т <М \\Ьх\\ V х є Е ІІ8т 41 ІІ8 1

(3)

Отсюда в силу (3) следует оценка (2). Импликация а) ^ б) доказана.

Импликация б) ^ в). Общее решение уравнения (1) представимо в виде

У(І) = У1 (І,Т)с! +... + ^ (І,т)ст +| ^ 0, Т)1‘(r)dr ,

где Уі (і,Т) (і = 1,..., т) — решение задачи Коши

Lz = 0, z(T) = ((\^,0^,0,...,0),

i

c1,c2,...,cm — произвольные векторы из R (см., например, [4]).

Если f е S и имеет компактный носитель, то соответствующим подбором числа T > 0, и находя постоянные векторы c1,c2,...,cm из условий y(i)(T) = 0, i = 0,...,m — 1 можно обеспечить равенство y(t) = 0 при t > T ; то есть уравнение (1) имеет решение в Sm .

Для произвольной функции f е S разрешимость уравнения (3) в Sm можно обеспечить, приближая f (t) последовательностью

f (t), 0 < t < k, 0, t > k

и воспользуясь оценкой (2). Импликация б) ^ в) установлена.

Импликация в) ^ а) очевидна. Теорема 1 доказана.

В связи с этой теоремой представляется важным выяснение условий, при которых имеет место априорная оценка (2). Оказывается для случая постоянных коэффициентов соответствующие условия можно выразить через корни характеристического уравнения. Прежде чем сформулировать эти условия, приведем одну лемму.

Лемма. Пусть коэффициенты уравнения (1) являются постоянными: Ai(t) = Ai= const. Тогда соответствующая (1) однородная система

L0y = y(m) + A y(m—4 +...++Amy = 0 (4)

не имеет ненулевых ограниченных вместе с производными до m — 1 -го порядка на всей числовой прямой решений, в том и только в том случае, когда характеристическое уравнение

det (Лт1 +Лт 1А1 +...+ЛАт1 + Ат ) = 0 (5)

не имеет чисто мнимых корней.

Необходимость. Действительно, пусть однородная система (4) не имеет ненулевых ограниченных на всей числовой прямой вместе с производными до m — 1 -го порядка решений. Если число X является корнем уравнения (5), то система линейных алгебраических уравнений (5) имеет ненулевое решение u = b . Поэтому ненулевая функция z(t) = eXtb0, t е (—х>, +<х>) будет решением однородной системы (4). При X = iЛ, Л е R эта функция является ограниченной на всей числовой прямой вместе с производными до m — 1 -го порядка. Но, у системы (4) таких решений нет, следовательно, уравнение (5) не имеет чисто мнимых корней.

Достаточность. Пусть X,X,-.,Xp — различные корны уравнения (5) с алгебраическими

кратностями r,...,r соответственно (r +... + ^ = mn). Тогда существуют линейно независимые

векторы ЪЪ такие, что функции e^bt, te^bi,...,tr le^tbi, i = 1,...,p образуют фундаментальную

систему решений однородной системы (4). Поэтому любое решение z(t) системы (4) представимо в виде

р / \

z(t) = Z Р (tb ’ ГДе Р (t) = (C + C 2t + ... + СЩ 14 —1)е¥. (6)

i=1

Пусть z(t) ненулевое решение системы (4) . Так как Re 0, то р (t) ^ да либо при t ^ +да, либо при t ^ —да (если р (t) ^ 0) при каждом i = 1, p, причем существует номер i0 такой, что для i ^ i0

Р (t )|

P„(t )|

-> 0 либо при t ^ +да (либо при t ^ —да ). (7)

Тогда из (6) имеем

Отсюда и из (7) следует, что z(t) неограниченно либо при t ^ +да либо при t ^ —да .

Из теоремы 1 и леммы следует справедливость следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть коэффициенты уравнения (1) являются постоянными. Тогда априорная оценка (2) имеет место в том и только в том случае, когда характеристическое уравнение (5) не имеет чисто мнимых корней.

Пример. Пусть т = 2 . Допустим, что коэффициенты уравнения

у"+4у,+А2у = 0 (8)

представимы в виде

4 = В1 + В2, А2 = В1В2 > (9)

где В, В — постоянные перестановочные матрицы. Тогда

л21+лд + 4 = д2/+А(в + 2)+вв = (XI+В )(х/+В)

и характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (8) имеет вид

ёе1;( XI + В ) det(A/ + В ) = 0.

Отсюда видно, что если имеет место представление (9) и матрицы В1, В2 не имеют чисто мнимых

собственных значений, то система (8) не имеет ненулевых ограниченных на всей прямой вместе с производной решений.

Поступило 30.06.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мухамадиев Э. - ДАН ТаджССР, 1974, т. 17, № 4, с. 13-16.

2. Лабиб Рашид. - ДАН ТаджССР,. 1989, т. 32, № 7, с. 425-427.

3. Гуломнабиев С. - ДАН РТ 2000, т. 17, № 4, с. 18-24.

4. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.

Б.М.Зиёмидинов

ОИДИ ХДЛШАВАНДАГИИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ТАРТИБИ m ДАР ФАЗОИ СТЕПАНОВ

Донишкадаи ку^й-металлургии Тоцикистон

Дар макола системаи муодилахои дифференсиалии оддии тартиби m дар фазой Степанов муоина шудаанд. Барои ин системахо масъалахои халшавандагй ва ба таври нормалй халшавандагй дар фазои мазкур омухта шудаанд. Критерияхои халшавандагй ва ба таври нормалй халшавандагй ёфта шудаанд.

Калима^ои калидй: системаи муодила%ои дифференсиалии тартиби m - фазои Степанов - ба%ои априори - %алшавандаги - %алшавандагии нормали.

B.M.Ziyomidinov

ABOUT SOLVABILITY OF THE SYSTEM OF THE DIFFERENTIAL EQUATIONS ORDER m IN STEPANOV’S SPACE

Mining and Metallurgical Institute of Tajikistan In article a systems of the differential equations order m is considered in Stepanov’s space. For these systems studied questions to solvability and normal solvability in specified space. The criteria to solvability and normal solvability are founded.

Key words: system of the differential equations order m - Stepanov’s space - a prior estimate - solvability -normal solvability.