CC BY
26
БАЙЗАЕВ С., доктор физико-математических
наук, профессор ТГУПБП. ВОСИТОВА Д.А. соискатель кафедры висшей математики и моделирования ТГУПБП.
О РЕШЕНИЯХ ОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ФУНКЦИЙ УМЕРЕННОГО РОСТА
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с частными производными, записанную в матричной форме
их+лиу+ви=0,
(1)
где и - искомая вектор-функция, А и В - квадратные матрицы п-го порядка.
Выражение Р0(£, Ц )= йе^(<£ Е + цА), где Е - единичная матрица, называют главным символом, а выражение Р(£,ц)=йе^(£Е + цА — /В) -символом системы (1) (см. [1]). Система (1) называется эллиптической, если Ро(£, Ц ) * 0 V ( £ , ц ) * 0.
Если ц =0, то Р0(£, Ц )=йе^ £ Е )= £ п * 0 для любого £ * 0. Пусть ц * 0, / я л
тогда Р0( - , Л )= Л П^еі
А + -Е
V Л можно представить в виде
. Отсюда видно, что условие эллиптичности
-
Л
А +—Е
V Л J
-
последнее условие перепишем в
виде
Обозначая — = — А,
Ц
(А — Аё)* 0 V А еЛ Поэтому условие эллиптичности системы (1) эквивалентно тому, что спектр а (А) матрицы А не пересекается с вещественной осью, т.е.
а(А) о Я = 0 . (2)
Всюду в дальнейшем будем предполагать условие (2) выполненным. Так как у матрицы нечетного порядка хотя бы одно собственное значение вещественное, то матрица А имеет четный порядок. Отметим, что матрица А не может быть симметрической, потому что собственные значения вещественной симметрической матрицы вещественны (см. [2]).
(ь о
Пусть п=2 и А =
V аз а4 J
их+
и В = Л
V Ъ3 Ь4 J
. Тогда система (1) имеет вид
иу+
ҐЪ Ъ2
V Ъ3 Ъ4 J
и=о
Для системы (3) будем изучать задачу о решениях в пространстве умеренно растущих обобщенных функций £' (пространство Шварца [3]). В работе [4] рассмотрена задача о решениях степенного роста для
(0 — Л
эллиптической системы (3), когда А = , а в работе [5] изучена задача в
V °У
пространстве £' для комплексной эллиптической системы w- + АW =0, где
А — комплексная матрица п-го порядка.
Для системы (3) условие эллиптичности выражается через элементы матрицы А следующим образом:
(а + а)2 — 4ё& А < 0 (4)
или
(а — а )2 + 4аа < 0. (5)
Легко доказать, что в случае эллиптичности ёй А > 0 и
аа <0. (6)
Совершая преобразование Фурье, от системы (3) переходим к системе функциональных уравнений
(£Е + цА — /ВЦ(£, п) =0,
(7)
где и ( £, п ) — преобразование Фурье функции и ( х, у ). Если
'“У ^
ёе!Р (£, п) * 0 V (<£,ц)е Я, то из (7) следует, что и (£, ц) =0. Если же
Р(£,ц) = 0 на каком- нибудь множестве Г ^ Я2, то и будет обобщенной функцией с носителем на Г (см. [3]). Поэтому будем изучать множество корней уравнения ёе!Р(£, п) = 0, т.е. системы двух уравнений:
<£2+ (а + а)£Ц + йе1 А ц2-йе1 В =0 (8)
(ъ + ъ4 )£ - (а ъ4+а Ъ - а К - а ъ3 )ц=0.
(9)
Множество решений уравнения (8) обозначим через Гу, а уравнения (9)- через Г2. Тогда множество Г - решений системы (8) - (9) будет равно Г ПГ2 . Оказывается, что: 1) Гу- эллипс при йеВ>0; 2) Гу= 0 при йеВ<0; 3) Г/={0,0} при йеХВ=0. Поэтому в случае 2) Г= 0, а в случае 3) Г=(0,0). Можно показать, что в случае йеВ>0 коэффициенты уравнения (9) одновременно не могут обращаться в нуль. Следовательно, при detВ>0 Г2 будет представлять собою прямую, проходящую через начало координат. Относительно множества Г справедлива следующая Теорема. Пусть система (3) является эллиптической. Тогда:
1) при detВ>0 множество Г состоит из двух точек: ( + <£ 0 ; ±ц0 ) -точки пересечения прямой Г2 с эллипсом Гу;
2) при detB=0 множество Г состаит из одной точки {0,0};
3) при detB<0 множество Г будет пустым.
Отметим, что в случае 3), т.е. когда йе1В<0 уравнения (7), и следовательно, система (3) в пространстве £' имеет только нулевое решение. Рассмотрим случай 2), т.е. когда ё&В=0. В этом случае Г=(0,0), т.е.
функция и ( 5, л) является обобщенной функцией, носитель которой состоит из одной точки. Поэтому в силу теоремы о структуре обобщенных функций с точечным носителем (см. [3]), имеем
V(5.л) = I с,
(5. Ой!, " дрдп1
где т - порядок обобщенной функции V(5.л) •
Совершая в этом равенстве обратное преобразование Фурье, находим, что решения системы (3) в пространстве £' представляют собой многочлены относительно х и у. Множество таких решений образует линейное вещественное пространство, которое обозначим через Мм. В дальнейшем будем определять размерность пространства Мм и ее структуру.
Для нахождения коэффициентов этих многочленов удобнее решение системы (3) искать в виде однородных по х, у форм:
N
и (X, у) = / р (х, у),
і=0
(10)
где Р} (х, у)= / х} у , ркі - векторы из Я . Подставим эти
к =0
выражения в систему (3)
" ( дР, і=0
дР
+ А— + БР, дх ду
= 0.
(11)
Вначале рассмотрим случай В Ф 0. Отсюда ВРх =0, т.е.
N
/ БРтхN-kyN = 0 .
к=0
Поэтому ВркХ=0 {к = 0,N), т.е. ркм - собственный вектор матрицы В, отвечающий нулевому собственному значению. Пусть - собственный вектор матрицы В, отвечающий нулевому собственному значению. Тогда
рт = ст^0 5
(12)
где Скы - вещественные числа, к = 0, N.
Теперь равенство (11) перепишем в виде
^ ( дР дР
і=і
+ А+ БР, , дх ду
Отсюда
дР дР
или
+ А-, + ВР,- = 0, ( , = 1, N )
ох оу
Подставляя производные функций Р) в последнее равенство, имеем
2 Ь' - к)Р,х -к-1 Ук + кАР„х~кук~1 ]+ В2 Рк,,-1 х^Ук = 0
К=0 к =0
,-1 , ,-1
2 О'- к) Рк,х,-к-1 ук +2 кАР,х1~кук- +2 ВРк, ,-1х,-к-1 ук =0 • к=0 к=1 к=0
Заменяя во второй сумме индекс суммирования к на к +1 и объединяя все
суммы, получим
2 [(,'- к )р,+ (к+1 АРк+1,, + ВРк,,-1]х'-к-1 ук = 0 •
к=0
(13)
Отсюда
О' - к)Рщ + (к +1)Фк+1,j + ВРк,j-i = 0, ( j = 1, N;к = 0,j -1 )-
(14)
Соотношения (14) представляют систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных pj . В системе (14) количество
N(N +1)
уравнений равно п, а количество неизвестных - ------------. Поэтому эта
система может быть переопределенной или недоопределенной. Разрешая СЛАУ (14), можно определить решения системы дифференциальных уравнений (3).
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений, матричная форма, единичная матрица, условие эллиптичности, эквивалентно, нечетный порядок, собственное значение, вещественное, симметрическая матрица, функции.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986, 455 с.
2.Беллман Р.В. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, 351 с.
3.Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976, 280 с.
4.Виноградов В.С. ДАН СССР, 1986, т. 183, с. 503-506.
5.Байзаев С. Эллиптические системы с ограниченными коэффициентами на плоскости. Новосибирск. НГУ, 1999. 74 с.
БАЙЗОЕВ С., ВОСИТОВА Д.
ОИДИ^АЛ^ОИМУЪТАДИЛАФЗУНШАВАНДАИЯК СИСТЕМАИ
НАВЪИ ЭЛЛИПТИКИ
Дар мацола барои системаи муодилауои хаттии навъи эллиптикии тартиби якум дар уамворй масъалаи уалшавандагй дар фазои Швартс омухта шудааст. Ин масъала тавассути табдилдщии Фурйе тауциц карда шудааст. Шартуои зарурй ва кофии мавцудияти уалуои гайринулии масъала ёфта шудаанд. Ин шартуо тавассути коэффитсиентуои система навишта мешаванд. Формулаи ченаки фазои уалуои уамчун функсияи дарацагй афзуншаванда ёфта шуда, усули ёфтани чунин уалуо баён гардидааст.
BAIZAEVS., VOSITOVA D. ABOUT SOLUTIONS OF THE MODERATE GROWTH OF AN ELLIPTIC SYSTEM
The article discusses the study of an elliptic system on the base of Schwarz's space. This problem is investigated by Fourier’s transformation. Necessary and sufficient conditions of not trivial solvability of a problem are found.
Х.Ш ГАЮРОВ, к.ф-м.н., доцент.
Декан факультета Инноваций и технологий коммерции ТГУПБП.
Б.М.ЮСУПОВА, преподаватель кафедры математических методов в экономике ТГУПБП.
НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ НАНОЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ
За последние десять лет умение преобразовывать вещества «сверху вниз», в сочетании с некоторыми неожиданными открытиями в области синтеза и самосборки наноразмерных структур, привело к многочисленным открытиям. Наиболее яркие из них описываются ниже:
- была открыта возможность создавать углеродные нанотрубки, а также применять зонды микроскопов и литографические методы для сборки получаемых трубок, отдельные электронные устройства [1;2]
- бурное развитие зондовых методов и их использование для манипулирования отдельными атомами вещества и создания наноструктур [3;4]
- использование и производство наноустройств, биомолекул и надмолекулярных структур [4].
В настоящее время есть много примеров микроэлектронных и телекоммуникационных устройств, работа которых связана с
наноразмерными явлениями. Такие устройства можно назвать продуктами «одномерной» нанотехнологии, поскольку они представляют собой объекты микрометрового масштаба с нанесенными на них плёнками толщиной в нанометровом диапазоне. Однако в литературе по физике и электронике их принято называть «двухмерными» системами, поскольку они имеют два
