CC BY
33
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №10_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.95
С.Байзаев, Р.М.Исомаддинова О ПОВЕДЕНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Политехнический институт Технического университета Таджикистана им. М.С.Осими в г. Худжанде
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Илоловым 10.09.2012 г.)
В статье рассматриваются обобщённые системы Коши-Римана с полиномиальными коэффициентами. Для этих систем изучен вопрос о поведение решений на бесконечности.
Ключевые слова: обобщённая система Коши-Римана - полиномиальные коэффициенты - решения степенного роста.
Рассмотрим обобщённую систему Коши - Римана
wJ + а( z + Ь( z = 0 (1)
с коэффициентами а(z), Ь(z), определенными во всей комплексной плоскости С . Исследование
задач о решениях системы (1), определенных во всей комплексной плоскости, и изучение свойств таких решений является актуальным (см., например, [1-3]). Такие задачи были предметом исследования ряда авторов (см., например, [4-6]).
В настоящей статье для одного класса систем вида (1), а именно системы
w7 + Рп (1^ = 0, (2)
где Р (z) — алгебраический полином степени п, то есть
Рп= p„zп + Рп—1 zn—1 +...+р0, Рк е С, рп ф 0,
изучен вопрос о поведении решений на бесконечности. Под регулярным решением системы (2) будем понимать непрерывно дифференцируемое решение, не имеющее в конечной точке особенностей. Справедлива следующая теорема об оценке снизу решений системы (2).
Теорема. Пусть w(z) - регулярное во всей плоскости решение системы (1). Тогда найдётся такое число г0, зависящее от Рп, и число С, зависящее от w(z) и Р, что для любого г > г0 имеет место оценка
Адрес для корреспонденции: Исомаддинова Раънохон Мирзохамдамовна. 73570, Республика Таджикистан, г.Худжанд, ул. Ленина, 226, Политехнический институт Технического университета Таджикистана. [email protected]
е1г
тах|г)\ > с—. (3)
Следствие. Система (2) не имеет регулярных ненулевых решений, растущих на бесконечно-I N
сти не быстрее чем ы (N — целое неотрицательное число). В отличие от системы (2), система
щ + пы2 п—1 щ = 0,
где п — натуральное число имеет ненулевые ограниченные во всей плоскости решения вида
ы) = хп—1еЛЫ2п .
Приведём доказательство теоремы. Пусть ы) - регулярное во всей плоскости решение системы (2). Введём обозначения:
3=0
Умножая обе части равенства
к _
С = 3 Р\ ' (Ы) = Р (Ы) ' а(Ы) = (Ы)\ •
щ (ы) + Рп (Ы )Щ ы) = 0 на ди (ы)щ( ы), в силу аналитичности ди (ы), имеем:
Я
^ [д„ ((ы)] + 21Р (ы )|2| Щы)2 = 0 (ы е С). Я ы
Интегрируем это равенство по кругу ||ы| < г}:
И Ч(ы)щ2(ы)]Фхйу + 2Ц Р(ы)|2 Щ(ы)|2 дхйу = 0.
ы<Г Яы <г
Используя формулу Грина в комплексной форме
Ц и-фхёу = — | иЖ,
ы<г 2 |ы=г
получим
| Ч(*>2(0^ = —41Ц Р(ы)|2 \щ(ы)\2Охёу . (4)
Ц=г ы|<г
Так как
\ чп С
<
| )|w(t)|2
то из (4) следует неравенство
| а(t) |w(t)|2> 4 Л а2(£) ы)|2 ёхёу .
Переходя в интегралах к полярным координатам, получим
2 л г 2
г | а(ге'") |^(ге")|2 ёр> 4$ $ ра2(ре") |^(ре")|2 ёрё"
(5)
Число г0 выберем так: г0 > тах < 1,
2с
Г 2 V«
Ы' IIр
. Покажем, что
«I
а(ы) > 1 при Ы > к.
Имеем
а( £) = Ы
Р« +Т Р7 —
7=о
> Ы
\р«\
п -1 Р
\«-7
=0 Ы
Так как Ы > г0 > 1, то
1 1 1 -<-< —
11« - 7 г«-7 г Ы 'о 'о
и поэтому с учётом выбора г0, получим:
а(ы) > 'о 1« (\рп\-^
\ 'о J
> к [| рп\-Р\ ]=1 Р„к" >1.
Итак, а(ы) > 1 при ы > г0. Поэтому при г > г0 из (5), с учётом неравенства а(ы) < а2(ы) .
имеем
2 л г 2 л
г | а2 (2 |и>(/*")|2 ёр> 4$ $ ра 2(ре")| 1Чре")|2 ё рё" .
о о
Введя обозначение
г 2л
у(г) = $ $ ра2(рв"р) |^(ре") ёрёр
о о
последнее неравенство перепишем в виде
о
о о
о
Отсюда
v'(r) > 4v(r) (r > r0).
d(v(r)e 4r) > 0 (r > r0). dr
Интегрируя это неравенство на отрезке [r0, r], получим
v(r)e r > v(r0 )e
или
у(г) > у(г0 )в-4г" в4г (г > г). Так как при р > 1 справедливо неравенство
а(рв*) < срп,
и г > 1, то при г > г имеем
(6)
v(r) < 2ncx f р2п+1 max\w(z)f dp < c2r2n+2 max|w(z)\
J |z|<r ^ lzl<r
2n+2 m I /- %|2
max
lzls r
Отсюда и из (6) получаем
-2n+2 max\w(z)|2 > v(r0)e~4r0e4r (r > r0)
или
max |
lzl <r
lw(z)| > (r > ro) =
где постоянная с зависит от w(z) и Pn (z) . Теорема доказана.
Поступило 10.09.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. - М.: Наука, 1988.
2. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. -Новосибирск: СО Наука, 1977.
3. Усманов З.Д. - ДАН ТаджССР, 1968, т.11, №11, с.6-10.
4. Виноградов В.С. - ДАН СССР, 1968, т.121, № 4, с. 579-582.
5. Мухамадиев Э., Байзаев С. - ДАН СССР, 1986, т. 287, № 2, с. 280-283.
6. Сафаров Д. - Дифференциальные уравнения, 1979, т. 15, №1, с.112-115.
r
o
С.Байзаев, Р.М.Исомаддинова
ОИДИ РАФТОРИ Х,АЛХ,ОИ ЯК СИНФИ СИСТЕМАМИ ЭЛЛИПТИКЙ ДАР
БЕОХИР
Донишкадаи политехникии Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи М.С.Осими
дар ша^ри Хуцанд
Дар макола системаи умумикардашудаи Коши-Риман бо коэффитсиентх,ои полиномиалй муоина шудааст. Барои ин система масъала оиди рафтори халхо дар беохир тахкик карда шуда-аст.
Калима^ои калиди: системаи умумикардашудаи Коши-Риман - коэффитсиентуои полиномиалй -уалуои афзуншавиашон дарацавй.
S.Baizaev, R.M.Isomaddinova
ON THE BEHAVIOR OF SOLUTIONS OF AN ELLIPTICAL SYSTEM
AT INFINITY
Polytechnical Institute of M.S.Osimi Technical University of Tajikistan in Khujand
In the article for the homogeneous generalized Cauchy-Riemann system with polynomial coefficients a behavior of its regular solutions at infinity is investigated.
Key words: generalized Cauchy-Riemann system - polynomial coefficients - soluteions of the power of growth.
