CC BY
22
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2008, том 51, №6________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 917.946
Д.С.Сафаров
ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 07.05.2008 г.)
Для обобщенных систем уравнений Коши-Римана со многими переменными [1]
^ = ак(г)^ + вк(г> + ск(г\ к = ]’ 2’ •••> п’ 0)
где г = (г^,...,гп), гк=хк+іук, 25- =(5 +/5 ), будем исследовать задачу нахождения
решений из класса С2, имеющих по каждому переменному (при фиксировании остальных) два независимых периода И), к2, то есть
+ пф) + т2к2 ,...гп) = м>{г1,...г гп),
(2)
т], т2 - целые числа, ./ш/?2 / /У ^ 0, / = 1, 2,..., п.
Тогда, 2п вектора со{1\ со{2\.. .а>(2п\ где все координаты векторов со(к\ а>(п+к\ кроме
к — й, равны нулю, а к- я координата равна Як для ю^к\ для со('п+к\ являются линейно
независимыми в вещественном пространстве Я2". В нашем случае матрица Римана [2] имеет специальный вид
С \
р =
П /
к) 0 ::: 0
0 И2 :: 0
О : 0 ::: И2
В общем случае задача нахождения периодических решений системы (1) для матрицы Римана общего вида, порядка (п, 2/7), остается открытой. Для случая, когда ак -Ьк-ск- 0, это задача о существовании абелевых функций, решение которой дано в [2].
Обозначим через СТ - класс функций из Ст в пространстве О” и имеющих матрицу периодов Р, то есть удовлетворяющих условию (2).
В случае п = 1 поставленная задача решена в [4,5]. А при п> 1, в случае матрицы частного вида Р, когда ак = 0, исследована в [6]. При решении задачи привлечен аппарат
2
п
теории эллиптических функций Вейерштрасса. Доказана фредгольмовость задачи и выписаны ее ядро и коядро.
Так как система (1) при п> 1 переопределенная, то основным вопросом является нахождение ее условия совместности. В монографии [1] дано простое и эффективное исследование системы (1) в полицилиндрических областях, когда ак, Ьк, ск, и'еС2. Выписаны те необходимые условия совместности, когда система (1) может иметь нетривиальное многообразие решения (то есть решение, содержащее произвольную функцию). Если ак - 0, вк, ск
удовлетворяют соответствующим условиям совместности, многообразие решений системы (1) содержит произвольную аналитическую функцию от п комплексных переменных. Если хотя бы одно ак Ф 0, то система (1) сводится к одному уравнению с одной переменной, так
что в данном случае многообразие решений содержит аналитическую функцию одной переменной.
В дальнейшем будем предполагать, что ак, Ък, ск<аС2 и удовлетворяют тем выписанным необходимым условиям, когда система (1) может иметь нетривиальное многообразие решений. При исследовании системы (1) для матрицы Р достаточно провести в полицилиндре П = Цх02х...х0(1, где 0.к - основные параллелограммы периодов на плоскостях С .
Для простоты изложения будем считать, что 0.к параллелограммы вида £1к= \ь1+^кк; ()</,< 1, 0 < /2 <1 , Из четырех сторон параллелограмм 0.к включает две стороны, выходящие из одной вершины, 1\= \$к, 0<^ < 1, ^2=0, 11= 0<Г2<1, ^ = О то есть 0.к=Пк^11к^12к, к = 1, 2,..., п.
Обозначим через = £(гк), <тк =а{гк) соответственно дзета и сигма функции Вейерштрасса, построенные на периодах И]., кк, [3], т]\=2^{Нк 12\ т]2 = 2£(к2 /2), тогда
- гЦЯ = 2тй, к = 1, 2,..., п.
При исследовании системы (1) важную роль играют интегральные представления функций класса, в котором ищется решение. Интегральные представления функций класса С\\пиС2 при п = 1 и п> 1 получены в работах автора [5-7]. Исходя из этого, введем следующие интегральные операторы
4/= 1
2я7
Ткї = ~^к)(ІО.к, т є О*,
7Ї гл
к
$к/ = _~ ^^ £ЇО,к, теО,к,
Я £......................
ОкєГк, п = \,2,...п, Гк= т$к+т2Ь%, тх, т2-целые числа .
Свойства операторов Ьк, Т, $к изучены в [6,7].
1. Случай ак =вк = 0. Рассмотрим неоднородную систему Коши-Римана
д*™ = ск, к = \ Ъ-, п■ (3)
Для совместности этой системы в классе С2 (когда ск еС*1) необходимо и достаточно,
чтобы
д?]ск=дъс], кк, 7=1, 2,...., и. (4)
Лемма 1. Пусть функции е С*1 и удовлетворяют условию (4), тогда функции
<РЛ21» **-!> гк+1,..^= ||сДг1,../г,...гя)</Ок, Аг = 1, 2, и
являются тождественно постоянными.
Теорема 1. Пусть функции ск еС* и удовлетворяют условия совместности (4). Тогда для разрешимости (3) в классе С2 необходимо и достаточно, чтобы
4 = Яс*(гі»-.т,...гп)е1С1к=0, к — 2, п,
тогда общее решение (3) имеет вид
Ч* = С+ Ч’и
где с - произвольная постоянная, М) - частное решение неоднородной системы
'И'і = + А^2С2 + • • • + А^2 • • ^п-\^пСп = ? • • • ? ] (5)
Таких частных для системы (3) решений можно написать в количестве п!. На равных правах все они дают частное решение неоднородной системы.
2. Случай ак = 0. Теперь находим в классе С* решения системы
д1™ = вк(2> + ск(2Х к = \, 2,...., п, (6)
где вк, ск є С*1 удовлетворяют условию совместности [1]
= д^к, д1с}.-д-1ск = вкс} -в/*, к * /, к, 7 = 1, 2 (7)
Первая группа условий (7) позволяет ввести такую функцию, <р = П[в1,...вп], что
д-ф = в] и числа в° = \^в,сК1
п,
<р(г1,...,г].+ щк) + т2к;,.,.,г„) = (р1(г1,...,г/,...,г„) + в°(ну]) + т2г]]), 7 = 1, 2
Пусть теперь Гк= /7^/т! + т2И1, тл, т2 - целые числа - решетки на плоскостях,
Сч, и-\ 2,... и, и Г = Г1хГ2х...хГ„, атакже в°=(в1°, в°,...,в°).
Теорема 2. Пусть функции вк, ск еС*1 удовлетворяют условию (7). Тогда при в' е /’ однородная система (6) имеет ненулевое решение, ехрй, а для разрешимости неоднородной системы необходимо и достаточно, чтобы
§ске-*(К1к= 0, к = 1, 2,...и
и многообразие всех решений класса С дается формулой
ч> = {с + и0)е\
где с - произвольная постоянная, а ф, 110, ф даются формулами
<р = Щв1, в2„„вп], и0=Ще-а,с1,...,е-а,ск\,
со = <р + с/1г1 + <Л2г2 +... + с1пгп, а числа с1] удовлетворяют уравнению
^Чквк+^А _ ^Чк«к+^с1к 2
Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2 и в01= Г. Тогда однородная система имеет только нулевое решение, а неоднородная система всегда разрешима.
Так, если в° ~е Г, то функция [4-7]
уу = е<р81(с1е~<р),
где (р = Щвх, в2,...в„],
^1р = ~—\\р(г, и2,...лй)-^—геЦ я % о-^-в^а^т-г^
дает решение системы при любой с1 е С*.
3. Общий случай. Приступая к исследованию системы (1) в общем случае, покажем, что если арФ 0 и выполнены все необходимые условия для существования нетривиального многообразия решений (1), то система сводится к одному уравнению. Следуя [1], введем обозначения
Тогда, согласно теореме 7.2 (из [1], стр. 90), для существования нетривиального многообразия решений системы (1) необходимо выполнение условий
Первое условие означает аналитичность функции <jjp. Так как в нашем случае cij еС2, то, в силу периодичности, отношение а^1ар является аналитическим на всей С” (то есть целой в С"). Но к тому же а. /а - ограничены на Q . Следовательно, <jjp - целые ограниченные функции на Cn и, в силу теоремы Лиувилля, являются тождественными постоянными, то есть
(8)
(У - — -к., 7=1, 2,..., 77, і Ф р, к -const.
JP „ J ^ у у у ? J ± у J
(9)
Все к. не обязательно равны нулю, поэтому из второго соотношения (8) следует, что
4%=\eJ-d^ep=0, 7=1, 2,..., 77, j Ф р.
Тогда существует функция
<р = Щв1, в2„„вп1 что дьф = вк, к = 1, 2,..., 77.
Как в теоремах 2, 3, разберем два случая в0 е Г и в0 е Г. Пусть в0 е Г, тогда после замены w = Vexpд), ид), как в теореме 2, получим
(10)
д- V = a ea-°}V +с еа„ 7 = 1, 2,..., п,
Zp р р у у и у у у э
так как в0 є Г, то V є С*.
После линейного неособенного преобразования
/ I. / 1.2....//.///;. (12)
*Р=к,г1 + • • • + кр_, гр_, + гр + кр+1гр+1 +....+кпгп
система (11) примет вид
дт,у1 = ^ 1 2>-, ^ 1 * Р’ (13)
+ ср=с\,е*,
где
д1 = (с) - к/р У0 > с) = С1 • • V хп X щ = о>((].. хр.. хп),
Если выполнены все необходимые условия совместности
д*Л- =д^к, ]*к, ]фр, (14)
то, согласно теореме 1, при выполнении условий
Я ск(?х,...т,...гп)<К1п=0, к Ф р (15)
п„
из первых п -1 уравнений системы найдем
К=у/(1Р)+К,
где Г0 = П[с1,...с _1з с сп\. Тогда !//(//;) должна удовлетворять уравнению
З^ = а>(^) + М> 1, *2,-0> (16)
где
КЧ, (2,-0 = ср-а1рЦ
Дифференцируя (16) по t. и Г., получим (для нетривиального решения)
д7,%=д?$=0’ д(к = д;к = 0, 7 = 1, 2,... п, ]фр.
Эти условия также дают условия совместности вместе с условием (14) для существования нетривиального многообразия решений системы (1). Из систем уравнения (16) следует, что функции ,..1п), к(^,..1п) зависят только от одной переменной t .Следовательно, уравнение (16) примет вид
5^=«Ж)^+/г(^)- (1?)
Таким образом, система уравнений (1) сводится к одному уравнению. Функция ц/(1, )
должна иметь два периода к1р=к1И^+..к1р+... + кпН1п, И2 = кД2 +..к2 +... + кпк2 и чтобы ■1тИ^ /кр Ф 0.
Все решения уравнения (17) из класса С1 найдены в [5]. Таким образом, имеет место Теорема 4. Пусть в системе (1) ак, вк, ск е С2, арф0 и выполнены все условия совместности в смысле существования нетривиального многообразия решений и в0 е Г. Тогда при выполнении условий (15) все решения системы (1) из класса С2 представимы в виде
^ = [ИУ,) + ^>]ехрю, (18)
где ц/($ ) = +... + гр +... + кпгп) - двоякопериодические решения уравнения (17), а
К=К(*1, 22,..^ч, + гр+1,...гп) =
= Щс1,...ср_1, с^,...,сД с}.=(с}.-к}.ср)е*, со = (р + ё1г 1+... + й?пг„, <р = П[в1, в2, в„\,
постоянные ёк удовлетворяют уравнению
о'Тквк+Ьк^к _ ^1квк+^к<^к 2
Пусть теперь в0 ё- Г. Тогда, используя результаты работ [5], [6], получим Теорема 5. Пусть выполнены все необходимые условия совместности для системы (1), в смысле существования нетривиального многообразия решений и арФ 0, «° ~ё Г. Тогда однородная система (1) имеет только нулевое решение, а неоднородная система всегда имеет
/"'12
решение в классе С 2.
Курган-Тюбинский государственный Поступило 07.04.2008 г.
университет им. Носира Хусрава
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе: Дониш, 1986, 116 с.
2. Маркушевич А.И. Введение в классическую теорию абелевых функций. М.: Наука, 1979, 240 с.
3. Ахиезер И.И. Элементы теории эллиптических функций, М.: Наука, 1970, 304 с.
4. Сафаров Д.С. - ДАН РТ. 1981, т.24, №8.
5. Сафаров Д.С. - Дифференциальные уравнения, 1991, т.27, №4, с.656-665.
6. Сафаров Д.С. - Дифференциальные и интегральные уравнения (Сборник научных статей), вып. 5, Душанбе, 1997, с. 103-107.
7. Сафаров Д.С. - Исследования по теории дифференциальных и интегральных уравнений (Сборник научных статей), выпуск 1, Ирфон, Курган-Тюбе, 2000, с. 45-59.
Ч,.С.Сафаров
ДАР БОРАИ ЯК СИНФИ ^АЛ^ОИ ДАВРИИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ УМУМИКАРДАШУДАИ КОШИ-РИМАН БО ЯКЧАНД ТАГЙИРЁБАНДА^О
Дар мак;ола як намуди ёфтани х,алх,ои даврии системаи муодилах,ои умумикарда-шудаи Коши-Риман бо якчанд тагйирёбандахо нишон дода шудааст.
D.S.Safarov
ON ONE CLASS OF PERIODIC SOLUTIONS THE GENERALIZED CAUCHY-RIEMANN SYSTEMS IN MANY VARIABLES
A method of finding the periodical solutions of the generalized Cauchy-Riemann system in many variables is proposed in the paper.
