CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №9_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Б.М.Зиёмидинов, С.Г.Гуломнабиев
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ И УСЛОВИЕ РАЗРЕШИМОСТИ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВАХ СТЕПАНОВА
Горно-металлургический институт Таджикистана, Политехнический институт Таджикского технического университета
им. академика М.С.Осими
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М. Илоловым 15.06.2015 г.)
В статье рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в пространствах Степанова. В терминах предельных решений получены необходимые и достаточные условия разрешимости таких систем.
Ключевые слова: система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка - пространство Степанова - априорная оценка - предельные решения - модуль непрерывности интеграла.
В статье рассматривается система дифференциальных уравнений первого порядка
Cu = ^ + A(t)u = F(t), (1)
где A (t) квадратная матрица порядка n, элементы которой принадлежат пространству Степанова S = S (0, и вектор-функция F(t) е S.
Изучению систем вида (1) в пространствах ограниченных на всей числовой оси и пространствах Степанова посвящены ряд работ Э.Мухамадиева и его учеников (см., например, [1 — 3]).
Для матрицы A (t) определим модуль непрерывности интеграла
t+s
co0(S) = sup Г A (^) ds,s > 0.
t>° t
Обозначим через U (t, s) решение матричной системы
— + A(t)U = 0, t > 0, dt
удовлетворяющее начальному условию U (s, s) = I.
Адрес для корреспонденции: Зиёмидинов Баходур Мирзомидинович. 735730, Республика Таджикистан, г. Чка-ловск, ул. Московская, 6, Горно-металлургический институт Таджикистана. E-mail: [email protected]; Гуломнабиев Сардор Гуломайдарович.735700, Республика Таджикистан, г. Худжанд, ул. Ленина, 226, Политехнический институт Таджикского технического университета. E-mail: [email protected]
Лемма. Если модуль непрерывности интеграла со0 (8) удовлетворяет условию
Ишю0(8) = 0, (2)
8^-0 0 4 '
то для каждой последовательности {Нк Нк ^ да существует подпоследовательность | и непрерывная матрица-функция О (/, л ) такая, что имеет место равенство
= 0,
(3)
равномерно на каждом квадрате |(г,5) : |г|, 5 < Т|.
Доказательство. Матрица-функция и(г, 5) непрерывна по совокупности переменных и удовлетворяет интегральному уравнению
г
и (г, 5) = I + |а (т)и (т, 5)йт, г, 5 > 0. (4)
5
Поэтому норма ((г, 5 ) = и (г, 5 ) матрицы и (г, 5) удовлетворяет интегральному неравенст-
ву
((г, 5 )< 1 +
г
Л А (т)((т, 5 ) йт
г, 5 > 0.
Отсюда, согласно леммы Гронуолла имеем оценку
г
Л А (т)| йт
г, 5 > 0.
(5)
и (г, 5 )| = ((г, 5 )< ехр
Из ограниченности интеграла
г+1
Л А (т) ат
г
при г > 0 следует, что последовательность матриц-функций |и(г + Ик, 5 + Ик )| определена и равномерно ограничена на каждом квадрате |(г,5) : |г|, 5| < Т
Для приращения и (г + 8, 5) — и (г, 5 ) из (4) имеем представление
г+8
и (г + 8,5) — и (г, 5 )= Л А (т)и (т, 5) йт.
г
Отсюда в силу (5) следует оценка
5
и (г + 5, s)- и (г, ^ )| < а0{д) тах ехр |а (г) йт Далее имеем
г г
и (г, 5 + 5)- и (г, 5)= | А (г)и (т, 5 + 5)йт-^А (г)и (т, 5)йт
5+5 5
г 5+5
= \а (т)[и (т, 5 + 5)-и (т, йт — |А (т)и (т, 5 + 5) йт.
5+5 5
Следовательно, в силу (5) и леммы Гронуолла получим оценку
х+5 г
\и (г, 5 + 5)- и (г, 5)|<ю0(5) ехр | А (т)| йт ехр | |А (т)| йт
(6)
(7)
Из оценок (6) и (7) следует, что последовательность |и (г + Ик, 5 + Ик )| равностепенно непрерывна на каждом квадрате |(г,5) : |г|, < Т|. Теперь утверждение леммы следует из теоремы Арце-ла. Лемма доказана.
Определение. Вектор-функцию й(>) = 0)г/0, и() е М" , где л) определяется равенством (3) для некоторой последовательности {кк}, Ик ^ да, назовем предельным решением однородного уравнения Си = 0.
Имеет место следующая
Теорема. Пусть модуль непрерывности интеграла Сд0 (5) матрицы-функции А (г)удовлетворяет условию (2). Тогда для разрешимости уравнения (1) в пространстве 8 при любой функции
Т7 е необходимо и достаточно, чтобы ненулевые предельные решения ?/(/] однородного уравнения Си = 0 были неограниченны на всей оси.
Доказательство. Необходимость. В [4] была доказана теорема (теорема 1) об эквивалентности свойств разрешимости систем п -го порядка в пространстве Степанова и наличие априорной оценки для решений этой системы. Из этой теоремы следует справедливость следующей априорной оценки
< М(Ьщ + \и (0)|), и е 81, (8)
где M - постоянная, не зависящая от и (г), |-| - евклидова норма в Яп .
Пусть ¿/(V) = предельное решение, ограниченное на всей оси и {/?, } такая после-
довательность, что
U(t,s) = limll(t + hk,s + hk),
к у
равномерно по г, 5 на каждом компакте из Я2. При Т > 1 определим последовательность вектор-функций
(г — к Л ^ (г ) = ^ —- \и (г, кк ) Щ,
где Т]( 5) гладкая функция, удовлетворяющая условиям:
т](г) = 1 при < 1, т](г) = 0 при |г| > 2 и 0 <^(г) < 1 при г е (—да; +да). Для функции \к (г) справедлива оценка
u0 =1
V (кк)|< С, Л |Ук (5)|й5 < Схка. (9)
кк
С другой стороны, так как
Сук (0 = ~ ° и Ук (0) = 0 при кк > 2Т, то из оценки (10) при достаточно больших к имеем
v^ <М'Cvks <—+ (10)
где C = max||'(t)| . Из неравенств (9) и (10) следует оценка
Ы ^ C1 ~~C max \и (t + К, hk) uo|.
В последнем неравенстве переходя к пределу при k ^ да, получим оценку
I I М'СС, , лЧ I
Из этого неравенства в силу произвольности T > 0 следует, что щ = 0 и, следовательно U(/, 0)//(| = 0 . Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть ненулевые предельные решения и (/J однородного уравнения
¿Си = 0 неограниченны на всей оси. Покажем, что уравнение (1) разрешимо в пространстве^1 при любой функции F е S. В свою очередь для этого достаточно установить справедливость априорной оценки (8). Предположим противное, то есть априорная оценка (8) не имеет место. Тогда существует
последовательность {%} е такие, что = 1, |щ (0)| ->0 и /д. 0 при к —» оо, где /к = Сик. Из неравенства и 'кб, < 0О (1) щс + /ж следует, что
1 = ик1 = ик5 + ик5 < икС + 00 (!) икС + /к5 <
<(1 + 00 (1))икС + /к,.
Поэтому при достаточно больших к справедлива оценка
икс > й0' йо = 7Гч\".
2 (1 + 00 (1))
Теперь выберем числа гк , так что |ик (гк )| > й0 . Из условий |ик (0) ^ 0 и /к5 ^ 0 при к ^ да следует, что гк ^+да. Функции ик (г + гк ) удовлетворяют интегральному равенству
гк+г
Щ (г + Ч ) = и ( г + Ч, гк ) ик (гк )+ | и (г + гк, 5 ) /к (5 ) ^
гк
Без ограничения общности можно считать, что ик (гк Щ, щ Ф 0 и + tk,s + tk^ ^>-0(/,л) равномерно на каждом компакте плоскости И1. В неравенстве
|с7(г,о)1/0| < [¿7(г,о)-С7(/++++
+Щк (г + гк)| +
к 1 '
I и (г + гк, 5) /к (5) й
переходя к пределу при к ^ да, в силу \ик (г + ^ ) < Щ^ = 1 получим, что предельное решение
и
(7) = £7(7,0)г/0 однородного уравнения Си = 0 удовлетворяет оценке (/)| < IV/, причем
й (0) = //0, и{] Ф 0. Это противоречит отсутствию ненулевых ограниченных предельных решений
уравнения Си = 0. Полученное противоречие доказывает справедливость оценки (8). Достаточность доказана. Теорема доказана.
Поступило 20.06.2015 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мухамадиев Э. - Доклады АН ТаджССР, 1974, т. 17, №4, с. 13-16.
2. Байзаев С., Махмудов Ш. - Доклады АН ТаджССР, 1987, т. 30, №2, с. 71-74.
3. Лабиб Рашид. - Доклады АН ТаджССР, 1989, т. 32, №7, с. 425-427.
к
4. Зиёмидинов Б.М. О разрешимости системы дифференциальных уравнений m-го порядка в пространстве Степанова / Б.М. Зиёмидинов // ДАН Республики Таджикистан. - 2011, т. 54, №7, с. 537-541.
Б.М.Зиёмидинов, С.Г.Гуломнабиев*
Х,АЛХ,ОИ ^УДУДЙ ВА ШАРТИ ^АЛШАВАНДАГИИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ТАРТИБИ ЯКУМ ДАР ФАЗО^ОИ
СТЕПАНОВ
Донишкадаи ку^й-металлургии Тоцикистон, *Донишкадаи политехникии Донишго^и техникии Тоцикистон ба номи академик М.С.Осимй
Дар макола системаи муодилах,ои дифференсиалии тартиби якум дар фазох,ои Степанов дида баромада шудааст. Бо ёрии мафх,умх,ои х,алх,ои худудй, шартх,ои зарурй ва кифоягии хдлшавандагии системаи муодилах,ои дифференсиалии тартиби якум х,осил карда шудаанд. Калима^ои калидй: системаи муодилауои дифференсиалии тартиби якум - фазовой Степанов -бауодиуии априори - уалуои уудудй - модули бефосилагии интеграл.
B.M.Ziemidinov, S.G.Gulomnabiev* LIMIT SOLUTIONS AND THE SOLVABILITY CONDITION FOR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE FIRST ORDER IN THE SPACES OF STEPANOV
Mining-Metallurgical Institute of Tajikistan, Polytechnic Institute of Tajik Technical University named after academic M.S.Osimi In this article is solved the system of ordinary differential equations of order in the spaces of Stepanov. In the terms of pre-individual equations are obtained sufficient conditions for ornery-priori estimates for the solutions of the system in the case where the coefficients are continuous and continuous-limited.
Key words: the system of ordinary differential equations - order Stepanov s space - the space of continuous - bounded on (on the whole axis) features - apriori estimate.
