Построение интегральных многообразий систем дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

К.С.Шакарбеков

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МАЛЫЙ

ПАРАМЕТР

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 15.01.2013 г.)

В работе устанавливаются некоторые аналитические свойства нелинейных проекторов, зависящих от малого параметра л. Сформулированы условия существования таких проекторов и находится область их аналитичности.

Ключевые слова: интегральные многообразия - нелинейные проекторы - малый параметр - матрица Грина.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений m-го порядка, содержащую малый параметр л

¿X

— = А{г)Х + {г, X, л), (1)

где X — вектор с проекциями х1, х2 ,■■■, хт, л > 0 — малый параметр.

Полагаем, что вектор-функция Е {г, X, л) является голоморфной относительно л и переменных х, X ,■", хт, непрерывной по г в области О :

||х|| = тах х < р, — го < г < го, 0 < \Л < л

11 11 1<1<т I 11 11

и разложение вектор-функции Е{г,X,¡) в ряды по степеням х,X,"',начинается с членов не ниже второго порядка. Следовательно [1], функция Е {г, X, л) удовлетворяет условию Липшица:

Е{г,XI,л)—Е{г,X2,л)|<^|XI — X2||, XI <р {1 = 1,2). Предполагаем, что система линейных дифференциальных уравнений

¿X

— = А {г) X, — го< г <го, (2)

Адрес для корреспонденции: Шакарбеков Кудрат Сарвархонович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

в которой элементы матрицы А (г) являются ограниченными и непрерывными по г функциями, является экспоненциально-дихотомичной[2] на оси V, то есть её матрица Грина О (г,т) удовлетворяет условию

\\О(г,т)|< се^|г —т, Л> 0, с > 1. (3)

Имеет место следующая

Теорема 1. Если для системы нелинейных дифференциальных уравнений (1) выполнены все указанные выше условия, то при выполнении неравенства

р< ¿щгЪ)' 0 <У<" (4)

для комплексных переменных X в области Д:

\\Х\\ <р(1 + с)_1, — ю< г <ю, (5)

где

■ 1 -у2 1 р = тт <-¡—¡---, р\,

Р [2Лс\4(1 + с)'Р\

существует нелинейный оператор Грина Н (г, т, X,л), являющийся ограниченным при —ю < V, т < ю решением системы нелинейных интегральных уравнений

ю

Н (г, т, X, л) = О (г,т) X + л | О (г, ^ ) Р (5, Н (5, т, X, л))ф. (6)

—ю

Решение уравнения (6) можно найти для —ю < г,т <ю методом последовательных приближений. Последовательные приближения равномерно сходятся в области Д. При этом нелинейный оператор Грина Н (г, т, X, ¡¡) удовлетворяет в области Д условиям

||Н (г, т, X, л)|| < (1 + с) |XI ехр {—у \г — т|}, (7)

||Н(г,т,X,¡) — О(г,т)XI <^1X1^{—У V — т\} (8)

и является голоморфным в этой области.

Доказательство. Нелинейный оператор Грина Н(г,т,X,л) определяется как ограниченное на всей оси V решение системы нелинейных дифференциальных уравнений

5Н ^ X'Л) = А (1) Н X, л) + Р (г, Н ( г,т, X, л)) + X5(t — т), (9)

280

где 3 (t) — функция Дирака.

Систему уравнений (9) можно заменить эквивалентными уравнениями

дИ (t,т, X, /л) . . . . / . чЧ -V dt = A (t)И (t, т, X, /) + F (t, И (t,r, X, и)), t Фт

И (т + 0, т, X, /) — И (т — 0, т, X, /) = X с дополнительными условиями:

lim И(t,т,X,/) = 0.

|t—т^®

Из первой системы уравнений (10) вытекает, что при t Фт оператор Грина совпадает с решением в форме Коши с начальным значением X (т) = X1 при t >т и начальным значением

X (т) = X2 при t < т, где

X = И (т+о, т, X,/) ; x2 = И (т—0,т, X,/) ; X=x2 — xl . (11)

При этом X1 (t)e G, X2 (t)e G2 образуют интегральные многообразия решений, равномерно экспоненциально притягивающихся к нулевому решению соответственно при t — т^ ±сю .

Пусть B - множество непрерывных по t^, X,/ вектор-функций Z (t, т, X, /л). Введём норму

||Z(t,т,X,/)| = supllZ(t,т,X,/)||ev]t—т, 0 <v<Ä. (12)

Тогда множество В с нормой (12) является банаховым пространством В [3]. Полагая в системе уравнений (6)

2 {г, т, X, л) = н {г, т, X, л)—О {г, т) X,

перейдём к системе интегральных уравнений

го

2 {г, т, X, л) = л \О {г, 5){Е {5, О {5, т) X + 2 {5, т, X, л)))(13)

—го

Решение по методу последовательных приближений сходится в пространстве В , если нелинейный интегральный оператор Я

го

Я2 {г, т, X, л) = л |О {г, 5) Е {5, О {5, т) X + 2 {5, т, X, л)) &

—го

является оператором сжатия.

Оценивая в области О норму разности, получаем

(г, т, X, л)—(г, т, X, л)|| < ^ |71 (г, т, X, л)—(г, т, X, л)||,

где обозначено

ад

q = sup evV —т \\ J cße~Ä* —S ■ es—T ds =

2c\\\ßÄ Ä2— v2 "

Условие q < 1 будет выполнено при выполнении условия (4).

Установим оценку для решения интегральных уравнений (13), выраженную через

Н (г,т, X ,л) = О (5,т) X.

Из теоремы Банаха[2] следует, что выполнена оценка

\\И(t,т,X,\)|| <| fr (t,r,X,\)|| -1

ш ^ 1 — <

q

—sup IIg (st) x|| e(v-Ä)t—т < —c—||X||. 1 — q t,T 11 V ' 11 1 — q1

Согласно условию (4),

с с (Л2-v2)

— = ^-4-iV<1 + с-

1 -q Л2-v2 -2с\\ß

Это доказывает справедливость неравенства (7).

Поскольку, в силу условия (3) выполняется неравенство

р ( S,T) Х|д < с\\Х\\,

то получаем неравенство

H (t тХ,\)- G (t,r) X ,

из которого вытекает справедливость неравенства (8). Из условий (5), (7) и (9), (11) следует, что

\\ип (t,т,X,\ )|| <1 = • • •); iн(t,т,X,\ )|| < pi. Замечание 1. При v = 0 условием сходимости будет неравенство

п Л

ß< || ,-г -

2\\с (1 + с)

Из условий (7), (8) и (11) следует

lim H (t, т, X, \) = 0

\\нп {г,т, X, л)—О {г,т) XI <-с^||х||ехр {—у \г — т\}, (14)

1 — ч

\нп {г,т,X,л)||<{1 + е)\\Х\вхр{—у\г — т}. (15)

Из равномерной сходимости по г, т, X, л интегралов в правой части равенства

т

Нп {г, т, х, л) = О {г, 5) х+л\ О {г, 5) е {5, Нп {5, т, х, л)) ^ +

—го

г го

+л\О{*, 5)Е{5,Нп {5, т, X, л))+ л\О{г, 5)Е {5,Нп {5, т, X, л))¿5,

т г

а также из оценок (14), (15) следует голоморфная зависимость векторов Ни {г ,т, X, л) от л и X в области (5) при г Ф т.

Последовательность Ни {г, т, X, л) сходится равномерно при всех г, т, Х,л к единственному ограниченному решению Н {г,т, х, л). Следовательно, по теореме Вейерштрасса [4] в области (5)

вектор-функция Н{г,т,X,л) будет голоморфно зависеть от л,X при любых г Фт. Это окончательно доказывает справедливость теоремы 1.

Замечание 2. При р ^ 0 постоянная Липшица /3{р)^ 0 и, следовательно, условие (15) всегда может быть выполнено при достаточно малых значениях р > 0 .

Нелинейные проекторы р {г, X, л) (к = 1,2) определяются формулами

Р1, X, л) = Н {? + 0,*, X, л); X, л) = —Н {?— 0Л X, л). (16)

Нелинейные проекторы удовлетворяют условиям

р {г, р {г, X, л), я) = ад {г, X, л), ^ = 0 {к ф 5), ^ = 1{к, 5 = 1,2), р {г, х, л)+р2 {г, х, л)- х.

Размерность интегральных многообразий О1, О равна числу независимых функций от X в совокупности проекций векторов р {г, X, л) к = 1,2, где

р {г, х, л)е О —Р2 {г, х, л)е О2.

Уравнения, определяющие многообразие О , будут иметь вид

х = р {г, х ,л),

и

а уравнения, определяющие многообразие G2, будут иметь вид

X = - P2 (t, X ,/).

Пусть для системы уравнений (2) существует интегральное многообразие размерности q решений, стремящихся к нулю при t ^ +да , и интегральное многообразие размерности p = m — q решений, экспоненциально стремящихся к нулю при t ^ —да . Тогда и система нелинейных уравнений (1) будет иметь интегральное многообразие G решений, стремящихся к нулю при t ^-+да и имеющего размерность q, а также интегральное многообразие G2 решений, стремящихся к нулю при t ^ —да и имеющих размерность p .

Окончательный вывод сформулируем в виде теоремы.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда в области (5) существуют нелинейные проекторы Pk (t, X, /л), определяемые по формулам (16), являющиеся голоморфными вектор-

функциями от / и x, x,"', хт и удовлетворяющие условию

Pk (t, X, /)<(1 + c) X. (k = 1,2).

Последнее неравенство следует из формулы (7) при t = т. Замечание 3. Пусть задана система дифференциальных уравнений

dX n

— = A(t)X + Y/F (t,X,/). dt k=1

Полагаем, что вектор-функция F (t,X,/,■••,/) (k = 1,2,",N)является голоморфной относительно / ■■■ jUNи переменных x,x2,",xm, непрерывной поt в области d :

X = max x. < p, 0 <|/J</0, — да< t <да

1< j<m I j I 11

и разложение вектор-функции F(t,X,/,■••,/) в ряды по степеням x,x,",xm начинается с

членов не ниже второго порядка. При этом вектор-функция F (t,X,/■••/) удовлетворяет условию Липшица

||F (t, Xj, /,"• , / ) — F (t, X2, //," , / ^AX — X^|, llXjll <p (j=1,2>

При выполнении неравенства

N

Ж1 &

<

л

k=1 k 2c(c +1)

для комплексных переменных X в области D1 (5) существует нелинейный оператор Грина H (t, т, X , ограниченный при —го < t, т <го решением системы нелинейных интеграль-

ных уравнений

H (t,r, x, к ,•••, /лы) = G (t, т) x +

N го (17)

+ZH jG (t, ^) Fk(s,т, X, кг-, MN )ds

k=1 —го

и являющийся голоморфным в этой области.

Решения уравнения (17) находятся методом последовательных приближений.

Поступило 15.01..2013 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. - Киев: Наукова думка, 1981, 412с.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970, 535 с.

3. Курбаншоев С.З. - ДАН ТаджССР, 1982, т.25, №8, с. 437-441.

4. Валеев К.Г., Курбаншоев С.З. - ДАН ТаджССР, 1982, т.25, №5,с. 259-263.

К.С.Шакарбеков

СОХТАНИ БИСЁРШАКЛИ^ОИ ИНТЕГРАЛЙ БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛЙ, КИ ДОРОИ ПАРАМЕТРИ ХУРД

МЕБОШАНД

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола баъзе хосиятхои аналитики проекторхои хаттй баён шудааст, ки аз парамет-рихурд к вобаста мебошад. Шарти мавчудияти чунин проекторхо мухтассар баён шудааст ва сохаи аналитики онхо ёфташудааст.

Калима^ои калиди: бисёршаклщои интегралы - проекторуои гайрихаттй - параметри хурд -матритсаи Грин.

K.S.Shakarbekov

TO CONSTRUCT THE INTEGRAL MANIFOLD FOR THE SYSTEM OF DIFFERENTIAL EQUATIONS THAT HAS A SMALL PARAMETER

Tajik National University The article considered some analytical character of projects linear that depends on small parameter К . The condition of such short projector has been done and their analytical branches is founded. Key words: integral manifolds - nonlinearprojects - small parameter - matrix Green.