Построение оптимальных интегральных многообразий для нелинейных дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №11-12_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.9

С.З.Курбаншоев, М.А.Нусайриев* ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Российско-Таджикский (Славянский) университет, Таджикский технический университет им.академика М.Осими

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 24.02.2014 г.)

Построены интегральные многообразия решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с аналитической правой частью, примыкающих к нулевому решению при t^±<x>. Указаны области сходимости степенных рядов, определяющие полученные интегральные многообразия и найден радиус их сходимости.

Ключевые слова: интегральные многообразия - оптимальные интегральные многообразия. Рассматривается система дифференциальных уравнений (СДУ) dX dY

— = A(t) X + pO(t, X, Y ), — = B(t )Y + p¥(t, X, Y ), (1)

dtdt

где A(t), B(t) - суммируемые линейные операторы в нормированных пространствах В,, В2; ¡л-вещественный параметр. Через || X ||, || Y || обозначены нормы элементов X, Y в пространствах B, B2 соответственно. Предположим, что вектор-функции ®(t, X, Y), ^(t, X,Y) определены в области D

|| X ||= max | xk |< р, || Y ||= max | y |< р, -да < t < да,

i<k < p Kq

| р|< р (р > 0), (р > 0), (2)

непрерывны по t и голоморфны в области D относительно проекций векторов X, Y и параметра р.

При этом их разложение в ряды по степеням р;x,...,x ; y,...,y,(p + q = m) начинается с членов

не ниже второго порядка.

Полагаем, что вектор-функции ®(t, X, Y), ^(t, X, Y) удовлетворяют условиям

0(t,0,0) = 0, ¥(t,0,0) = 0, || o(t,Xi,Yi)-0(t,X2, Y2) ||<Z(|| Xi -X2 || +1| Y - Y ||), || ¥(t,Xi,Yi)-¥(t,X2, Y2) ||<Z(|| Xi -X2 || +1| Yi -Y2 ||). (3)

Адрес для корреспонденции: Курбаншоев Сафарали Завкибекович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Мирзо Турсунзаде,30, Российско-Таджикский (Славянский) университет. E-mail: ksz_48@hotmail. com

При ¡л = 0 СДУ (1) распадается на две независимых линейных СДУ в пространствах ВХВ2,

то есть

&X &У

— = А(г)X, — = В(г)У, X е В, У е В2 • (4)

& &

Полагаем,что разрешающий оператор М(г, т) первого уравнения (4) удовлетворяет условию \\М(г,т)\\< сех( г-т), с > 1, Л>0, -да < г <т < да, (5)

а разрешающий оператор N(1, т) второго уравнения (4) удовлетворяет условию

\ \ Ы(г, т)\ \ < се~1(г-т), -да < т< г < +да. (6)

При ц = 0 СДУ (1) имеет интегральное многообразие (ИМ) G10 решений, определяемых уравнением X = 0. На ИМ G10 все решения СДУ (1) примыкают к нулевому решению при г ^+да. Аналогично, при ц = 0 СДУ (1) имеет ИМ 0° решений, определяемых уравнением У = 0. Пусть ¡ф 0. Покажем, что при достаточно малых значениях \ ц \ < ц у СДУ (1) существует голоморфное ИМ О решений, равномерно экспоненциально стремящихся к нулевому решению при г ^ +да, и голоморфное ИМ О2 решений, которое равномерно экспоненциально стремится к нулевому решению при г ^ -да.

Укажем способ построения ИМ [2] О, О, которые будем называть оптимальными. В связи с тем, что интегральные многообразия О, О, играют роль в теории оптимального управления [1], будем их называть оптимальными интегральными многообразиями. Для отыскания ИМ О , О используем нелинейный оператор Грина [1], который определяется как ограниченное на всей оси г решение СДУ

лу

— = А(г) X + лФ(г, X ,У) + X,, 5(г -т), (7)

— = В(г)У + лу(г,X,У) + у 5 (г - т), &

где 5(г) - дельта-функции Дирака. Для построения ограниченного на всей оси г решения СДУ (7) используем матрицу Грина [3]. Введём обозначения

Г1,т) = -М(г,т) (г > т); Г1,т) = 0 (г <т), Г2(г,т) = 0 (г>т); Г2(г,т) = Щг,т) (г<т). Обозначая ограниченное на всей оси г решение СДУ (1) через

X = H&,т,X0,Y0,m), Y = H2(t,т,X0,Y0,/),

приходим к системе интегральных уравнений для Hx, H2

H,(t,T, Xo,Yo, /) = ВДт) Xо— /Jm (t, 5)Ф( H ( 5,т, XоЛ, /),

t

H2(S,T, X0,Y0, Л))й5,

t

H 2(t,T, Xo,Yo, /) = Г 2(t,T)Yo + J # (t, sMs, Hx( 5,т, Xo,Yo, /),

—ад

H2(5,t, XoJo,/))ds. (8)

Для решения системы нелинейных интегральных уравнений (8) применим метод последовательных приближений в нормированном пространстве В0 (В0 = Ф В2) с нормой

|| H(t, т,X, Y,/) ||= sup || H(t, т, X, Y, /) ||,

t ,т

где введены обозначения

u(i Y у л (H(t,T,Xo,Yo,л)>1 H(t,т, Xo,Yo,/)= ,

^H2(t,T Xo,Yo, л)) || H (t, т, Xo,Yo, /) ||=max{|| H,(t,T, Xo,Yo, /)||,||H2(t,T, Xo,Yo, /)||}. Получена следующая

Теорема 1. Пусть для СДУ (1) выполнены условия (3), (5), (6). Тогда при | / |< , где

. г л * 1 Ло=т1П | л'/,

существует нелинейный оператор Грина H(t, т, X, Y,/), определяемый ограниченным на всей оси t решением системы нелинейных интегральных уравнений (8).

Нелинейный оператор Грина H(t, т, X, Y, //) является разрывным при t = т и ограниченным при всех t, т решением СДУ

сИ,

~дг

1 = A(t) H + /Ф(г, H, H2, /) + X0 S(t — т),

дН

= в(г)И2 + ¡^(г, Н>, Н2, л) + У5(г - т),

дг

удовлетворяющих системе интегральных уравнений (8).

Теорема 2. Пусть для СДУ (1) выполнены все условия теоремы 1. Тогда при \ ¡л \< цЕ, где

эо

. [Х-е * ]

и=min П •

в области Д

|| X ||< р(1 + с)-1, || 7|< р(1 + с)-1, -да < г < да существует нелинейный оператор Грина Н(г,г, X,7, и), удовлетворяющий при 0 <е < 1 условию

| |Н(г,г,X,7л) | | < С{Л-е] е~е|г-г|max{| |X | |,| |7 |} Х-е-1 л | с^

и являющийся голоморфным от /и и проекций векторов X,7 в этой области.

При доказательстве теоремы 2 было введено нормированное пространство В0 с нормой, определённой по формуле

| | Н(г,г,X0,70,и/ | | е= sup | | Н(г,г,X0,70,и)ее|г-г| | |.

г,г

Поскольку при г Ф г решения системы уравнений (7) совпадают с решением СДУ (1), то из теоремы 2 следует, что ИМ определяется уравнениями

X = Н(г,г,Xo,Yo,и), 7 = Н2(г,г,Xo,7o,и), (г >г). (9)

ИМ ^ определяется уравнениями

X = Н(г,г,Xo,7o,и), 7 = Н2(г,т,Xo,7o,и), (г < г). (10)

В формулах (9), (10) векторы X,,, 70 - произвольные, изменяя X,,,7 будем получать различные интегральные кривые, принадлежащие ИМ , соответственно.

Предельный переход при г ^ г ± 0 приводит к системе ш - д уравнений 7 = Н2 (г, г - 0, X,7, и), определяющей ИМ Ох и к системе д уравнений X = Нх (г, г + 0,-X,-7,и), определяющей ИМ .

Замечание. Для автономной СДУ

¿¡X ¡¡7

-= AX + иФ( X ,7 ,и), -= В7 + и¥( X,7, и),

¡г ¡г

где спектр матрицы А лежит в правой полуплоскости Rez >0, а спектр матрицы В лежит в левой полуплоскости Rez < 0, теорема 2 даёт достаточные условия многообразия интегральных кривых, входящих в начало координат X = 0,7 = 0.

Теорема 3. Пусть правые части СДУ (1) голоморфны по проекциям векторов X,У в области 02 и удовлетворяют в этой области при комплексных значениях X,У условиям ограниченности

\ \Ф(г,x,у,)\ \ <к, \ \Т(г,X,у,)\ \ <к, (к>0).

При этом уравнения оптимальных ИМ О, О можно представить в виде

У = ¡ик(г, X, л), X = ¡ид(г,У, л),

где вектор-функции Н(г,X,л), д(г,У,¡л) будут голоморфны по X,У в некоторой области 02

\ \ X \ \< р1, \ \ У \ \< р, - да < г < да (0 < р < р)

и ограничены в этой области. Поэтому уравнения ИМ находятся в виде степенных рядов по степеням параметра л

У = ¡К (г, X) + л% (г, X) +... + ¡"К (г, X) +..., X = л9,(г,У) + л2д2(г,У) +... + л"дп (г, У) +....

Поступило 25.02.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. - Киев: Наукова думка, 1981, 412 с.

2. Митропольский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. - М.: Наука, 1973, 512 с.

3. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970, 534 с.

С.ЗДурбоншоев, М.А.Нусайриев*

СОХТАНИ ИНТЕГРАЛ^ОИ ОПТИМАЛИИ БИСЁРТАСВИР^О БАРОИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ГАЙРИХАТТЙ

Донишгох^и (Славянии) Руссияю Тоцикистон, *Донишгох,и техникии Тоцикистон ба номи академик М.Осими

Дар ма;ола сохтани бисёртасвирх,ои интегралии системаи муодилах,ои дифференсиалии гайрихаттй, ки тарафи росташон тахлилй мебошанд, дар х,олати г ^ ±да, ба хдлли нулй наздикшаванда, оварда шудаанд.

Калима^ои калиди: бисёртасвирхои интегралы - бисёртасвирхои интегралии оптимали.

S.Z.Kurbanshoev, M.A.Nusayriev*

THE CONSTRUCTION OF OPTIMAL INTEGRAL MANIFOLD FOR THE NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

Russian-Tajik (Slavonic) University, M.Osimi Tajik Technical University

In work integral manifold of decisions of system of the nonlinear differential equations with an analytical right part of the adjoining to the zero decision at t^±<x> are constructed. Key words: the integral manifold - optimal integral manifold.