CC BY
29
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2011, том 54, №5_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517. 956
Р.Пиров
О СОВМЕСТНОСТИ НЕКОТОРЫХ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ НА ПЛОСКОСТИ
Таджикский государственный педагогический университет им. С.Айни
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 06.04.2011 г.)
Для рассматриваемых в работе систем найдены явные условия совместности, выяснены многообразия решений, приведены различные постановки задач с начальными данными и изучена их разрешимость.
Ключевые слова: условия совместности - п.д.-система - многообразия решения - операция перекрестного дифференцирования.
Во введении укажем на работы [1-12], наиболее близко соприкасающиеся с содержанием данной статьи.
1. Рассмотрим систему
Wy ,Uyy ,V„ = f (x, y;U ,V ,UX ,Uy ,VX ,Vy V), i = 1,3,
I Vy = f 4( x, y;U,v,Ux ,Uy ,Vx ,Vy ,Ux ,v„),
(1)
где f є c2, U, V є c4 . Осуществим замену
Ux = P, Uy = q, Vx = 0, Vy =t, Px = W, 0X = t, (2)
где p, q, в т и t являются новыми неизвестными функциями, причем = qx, ву=тх. В силу (2) и
последних двух равенств, система (1) приводится к эквивалентной системе
их = р(X у\ иу = q(х у\ Ух =в(х у\ Уу = г(х у\
рх = ж(X y), Ру = /1 (x, у; и, V, p, q, в, т, г),
qx, qy = Г (х, у; и, V, р, q, в, т, г), I = 1,2, (3)
вх =t, ву = 14 (х у;и, V, p, q, в, т, ж, г\ Тх = Г4 (х, у; и, V, р, q, в, т, ж, г), Ту = Г3 (х, у; и, V, р, q, в, т, г),
В надежде пополнения системы до систем в полных дифференциалах (п.д.-систем) относительно функций U, V, p, q, в, т, Щ, t проделаем операции перекрестного дифференцирования (о.п.д.).
Адрес для корреспонденции: Пиров Рахмон Назриевич. 734003, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 121, Таджикский государственный педагогический университет. E-mail: pirov_60@mail.ru
Первые две о.п.д. выполняются автоматически, а остальные четыре (то есть р^ = р ^ ^,
6ху = 6ух • = Тух ) дают
Ж - / - ,х=/1+/1р+/1•+/ -ж+/ • /1+/ - г+• - /4,
/1 - /У - /2 • *х=/:+/и2 - р+/> /р2ж+/Ч • /1+/2 • г+/• - /4 -
- /: - /1 - ? - /і •+/1/1 - /1/2 - /;/4 - /: - /3
^ - /4Ж - г • г,=г+г • р, /:4 •+/р4-ж+/; • /‘+/; • *+/• - г, /4 - Ж+/4 - ,у - /3 - ,х=/I+^р+/36+/Ж+/\/1+/¡, +• /4 -
_ Г - ГЧ - /•- г г - /4 /2 - г Г - /4 /
Уу / и Ч. ,) і ■ / р / ^ а ^ л 6 • ] •
(4)
Обозначая правые части (4) соответственно через (рк (х, у,иV, р, q,в,Т,W, г), к = 1,4, при выполнении условий Г1 • (Г • Г4 — Г3)+Г2 • Г4 Ф 0 и Г4 Ф 0 можно найти гх, г ,ЖХ,Ж в виде:
, *у ,Ж ,Жу = = (=, у= ,=, р, ч,6,т,ж , і), = = 5,8,
(5)
где
[. /1 (/,1 ■/: г,г)+. /2 -. /4 ] - /5=. /і1 (а - />■) -1,4 - №.
[х1 ли -/: -/!)+/,2 -/,4]- /6 = і,2 а -/а)+ъ(.п-/: -/,з) /4-/1 = /6 - /,'-/5-а, /8 = /1-/5+а-
(6)
Присоединяя (5) к (3), получим п.д.-систему относительно восьми неизвестных и, V, р, q, в, т, Ж, г, где Г5 — Г даются формулам (6).
В системе (3)(5), которая эквивалентна (1), все о.п.д. выполняются тождественно за исключением следующих двух: г = г^, Жху = Жух . Эти условия после возможных упрощений приводятся к двум функциональным соотношениям
И1 (х, у; и, V, р, ч, 6, • Ж, і) = 0, і = 1,2,
(7)
где Н1, 1 = 1,2 имеют явный вид:
н 1 - Г5+Гъл+/>+/5Р/1+/5/2
"5 г4
?5 г-Ъ
”5 г8
+
+/:/6 - /6 - /ибр - /• - /ж - /6/1 - • - /•/4 - /6/7 - /б/5, и 2 - /у+г ч+/:■+/і/1+/:/2+/•/
-7 гЪ
”1 г8
г-7 х-2
' р ^ ' J ч
-/8 - /ір - /• - /ж - /а/1 - /•* - /•/4 - /:/1 - /?/5.
Г-1 .т 6
(8)
Предположим, что в некоторой окрестности точки (х0, у0;и0,У0, р0, q0,в0,Т0,W0, г0) Н1 — 0, тогда система (3)(5) вполне интегрируема и для нее справедлива теорема со следующей
задачей с начальными данными:
И = С1^I = С2'\,р]р = c3^[q]0 = ]а = с„[г 1, = ,
которая по отношению к исходной системе (1) примет вид:
[и1 = С1,[У]0 = С2,\их ]„ = с^ '{иу. ]о = С4,0 0 = с, 0 ]о = с^рх, ]„ = с1,[¥Хх ]0 = с,. (9)
Теорема 1. Пусть дана система (1), где/ е с'1:1 1 = \2, и°,е с4,
Г4 ф 0, гГГ4 — П)+г, 4 ф 0.
Тогда при тождественном выполнении условий (7) в некоторой окрестности точки
(х0,у0;Р, V,и°,и0,¥х ,¥0и0,¥0) (Н1 - даются формулами (8)) задача (1)(9)разрешима единственным образом.
Замечание 1. При выполнении условий теоремы 1 многообразие решения системы (1) содержит восемь произвольных постоянных.
Представляет интерес тот случай, когда условия (7) не выполняются тождественно и разрешимы в виде
t^ = р (X, у,и,У, р, д,в,т), р1 е С , 7 = 1,2.
(10)
Соотношения (10) должны быть подставлены всюду в (3) и (5). Подстановка в (3) дает п.д.-систему относительно функций и, V, р, q,в,т :
их = р(х у); иу = q(х у\ К = в(х у\ V = т(х у1 Рх = р (х, у; и, V, р, q, в, т), ру = Г1 (х, у; и, V, р, q, в, т, 0 ),
qx, qy = Гк (х, у;иV, р, q,в,т,р), к = 1,2, (11)
вх =р( х, у;и V, р, д,в,т),ву = Г \ х, у;и V, р, q,в,т,рl,р2), тх = Г 4 (х у;и, V, p, q, в, т, р, р21 ту = Г 3 (х у;и, V, p, q, в, т, р)
В силу (10) уравнения (5), после замены появляющихся производных их значениями из (11), дают следующие соотношения
рР + р1р + Рв + р1/ + РР + ртт4 = Г5 (х, у; и, V, р, q,в, т, р1, р2), рр+р^++р1рГ 1+р\г 2+рв в4+рт т3 = Г б( х у;и У, р, q,в,т, р1,р2Х
р1+р\ р+ррв+ррр1+р\г 1+рУр2+ртт4=Г 1(. х у;и, V, p, q,в, т, рР,р2\
рг rqJ
Р2у + Р^ + Р22т + Р^2Г 1 + Р^^Г 2 + Р2ев4 + Р2гт3 = Г 8( X у;и У, Р, q,0,т,рl,р¿),
1 „2\
которые должны требоваться как условия совместности.
Подстановка (10) в (9) дает го ,Ж =Р (х0, у0 р0,V, р0, ^ ,в0 ,т0 ), 1 = 1,2, так что достаточно задавать
[и ]0 = св,\° ]0 = с2,[ р]0 = сзМ = с4,[в]0 = с5 , [т]0 = ,
которые по отношению к исходной системе примут вид:
Р1 = св,И, = с2,[и„]0 = сз,[р]о = с4,0]0 = 00]о = 0 . (В)
Теорема 2. Пусть дана система (1), где Г ее3, 1 = 1,4, и,У е с4, Г4 ф 0, ЖГвХ — П)—гг4 ф 0 и условия (7) разрешимы в виде (10). Если соотношения (12) выполняются тождественно в некоторой окрестности точки (х0,у0р0,VР^Р^РхРу'), то задача (1)(13) разрешима единственным образом.
Замечание 2. Если соотношения (7) разрешимы в виде г = щ(х,урV,р,q,в,Т,W) (или
Ж = щ(х, уР,¥, р, q,в,т, г)), щ е С1, то система (1) приводится к п.д.-системе относительно семи
неизвестных функций и, V, р, q, в, т, Ж (или и, V, р, q, в,т, г и двумя условиями совместности. Так,
что в этом случае для (1) ставится задача (9) без [¥хх ] = с8 (или [Р^ ] = с8).
Замечание 3. При выполнении условий теоремы 2, а также справедливости замечания 2 многообразия решения системы (1) соответственно содержат шесть и семь произвольных постоянных.
Замечание 4. Нарушение хотя бы одного из условий ^ Ф 0, ГХ(Г( 1 • Г* — Г^)+Г2 • Г4 Ф 0 может привести к более богатым, чем (9) и (13) многообразиям. К примеру, если предполагать, что правая часть /4 не содержит и хх (то есть Г* — 0, Г2 • Г4 — Г1 • Г Ф 0) приходим к (3)(5) без одного уравнения Жх = ....
Если у6 — Г4 • Г5 — р — 0, то можно обнаружить многообразие, содержащее семь произвольных постоянных и одну произвольную функцию от у (то есть [и ] =^ [V I =^ [Рх I =^
[Ру 1 = с4,[0 ]0 = 0 0 ]0 = 0 0хх ]0 = 0°0, 0ихх ]х=х0 =а(у) ).
К подобным результатам можно прийти при выполнении условий Г* Ф 0, Г1 — Г2 — 0 (или
Гв — X — 0) и Г44 — Г — X — 0 (или Г — ^ — Г4 — 0).
Замечание 5. Нелинейная система вида
рху Рхх V« = Г (х, уРРРх Ру V V ,¥уу ), 1 = 1,3,
) у у у уу (14)
Гху = Г\х, ур ,¥ ,их Ру V V Рхх ,Гу)
исследуется аналогично.
Пример. и = V ,и = V V = и +V V = V .
Г Г ху хх’ уу хх’ ху хх хх? уу хх
Известной заменой Р,¥, р, ц,в,т,Ж и г:
(14) система приводится к п.д.-системе относительно
их = р(х уХ ру = q(x, уХ К = в(х уХ V = т(х уХ
рх = ж (х у1 ру = г (х у1 qx = г (х, у\ qy = г (х, у \
вх =г (х уХ ву = ж+г, тх = ж+г, ту =г (х уХ
Жу = 0,
гу = 0.
Жх = 0,
Все условия полной интегрируемости выполняются тождественно, и решение находится в ви-
де:
тт/ \ с^ 2 с, у
и (х, у) = у х + с,ху + с5х + -^~ + с6у + со,
2 2 тгг \ св х с, у
V (X у) = + (с1 + с2) ху + сзх + ^у- + с4 у + с,.
2. Теперь рассмотрим более общую, чем (1), систему
Ру Ру V V =(х, у;и,¥,их ,Ру ,=х = ,Рхх==, к = в~4 .
(15)
Эта система отобрана из 15 всевозможных подобных типов, а именно, содержащих в правых частях две различные производные второго порядка из шести:
и.
уу
и„
и.
ху
и
ху
ихх
ихх
ихх
Рх
ихх
ихх
и
и
ху
и
ху
и
V,хх V ^уу = Гк (X, у;и V ,их Ру V V, и хх Ру X к = 1,4
у 5 х’ у^ хх^ ху;
V,хх Vу ^ = Гк (х, у;Р V ,их Ру V V Ру Ру X к = 1,4
VX, V V = Гк (х, уРРРх Ру V V и, Руу), к = 1=
Руу Руу = Гк (X, уРРРх Ру Рх Ру Рхх Ру ), к = 14
и
хх ху уу
V,XX
V, Vу = Гк (X, у-Р^Р, Ру V,, ,Vy Руу Ру \ к =1,4
ху
иху
иху
Ру
иу
иу
и
и
уу
и
и
уу
Vy ^уу = Гк (XX, у; и, V, и, Ру V V Ру Рх. X к = 1,4 Vyy Vхх = Гк (X, у;Р V Рх Ру V,, ,Vy ,Vyy ^), к =
Ру= Гк(X,уР^РхРуV,,V,Vy^), к =1,4
Vy V.у = Гк (X, уР^Рх Ру V V Ру ^), к = 1,4
VххV.у = Гк(X,у;иV,ихРуV,,VРу^), к = 1,4
Vхх V = Гк (х, уР^Р, Ру V,, V Ру ,Vyy), к = 14
Vvy ^у = Гк (X, yР,vРx Ру V,, V Рхх Vхх), к = 14
V,ххVу = Гк(X,у;иV,ихРуV,,VРу^уу), к = 1,4
Vxx^ = Гк(х,yР,vРxРуVV,РуV,.X к = 14
<
Наблюдается интересная картина: если в шести первых системах поменять и на V, то получим следующие шесть других систем, чего нельзя сказать о трех последних вышецитированных (они новых систем не дают). Оговоримся сразу, что непосредственной проверкой установлено следующее: все остальные 14 систем исследуются аналогичной схемой, как (15), и допускают качественно одинаковые результаты.
Возвращаясь к системе (15), применяем к ней подобную, как (2), замену. В результате чего
имеем
их = Р ( X, У ), иу = ч (х, у ), Гх = е( х, у ), Уу = т( х, у ), Р = Ж(х,у), Ру = /'(х,у;и,У,Р,д,в,т,Ж,і),
Чх,Чу = ї (х,у;и,У,Р,ч,1,т,Ж,і), і = 1,2,
= і(х,у), 0у = Л (х,у-,и,У,Р,Ч,в,т,Ж,і), ту,тх = Л (х,у,и,у,Р,Ч,в,т,Ж,і), к = 3,4
(16)
и далее
-ЛЖ+1-жу - г •іх + о• іу = і,
• Жх + Л • Жу - її2 -іх + Л -іу = і
-Л- Жх+о-Жу - ї4 •іх + о-іу = і3,
-Л-Жх+Л-Жу - ї3-іх + Л-іу = і
(17)
где
і=її+її р+її-е+п-ж+/і-/1+ц•і+/:■ /4, і = /х2 - Ц + їЛ Р - її-Ч + її-е-її т + їЛЖ-Л-ї1 + ї ї1 - л- ї2 + її •і - її- ї4+їЛ ї4 - її- ї3, £ = їх4+їй4-Р+її-е+їР-ж+ї4-ї1 + її •і+її-ї4, і4 = її - ї4+їй- р - її-Ч+її-е-Л1+їР-ж - ї4-ї1 +
V
+/ЛГ1 — Л-Г2 + в-г—г;-г 4 + Л-Г4 — /:• Г3.
Если определитель четвёртого порядка, составленный из коэффициентов при Жх, Жу, (х и ?у системы (17), отличен от нуля (а это равносильно А = а1Р2—а2Р1Ф 0, /1 Ф 0; Е, 1 = 1,4 даны формулами (18), а значение ак, /Зк, к = 1,2 приводится ниже), то
Р
с4 г3
(18)
Жх ,Жуіх, іу = = =х, у;и,1, Р,д,е,т,Ж, і,), = = 5,8,
(19)
где
<
<
A-f 5 =P2Yi -PxYii A-f 6 = diï2 -d2Г1, f]-f7 = f6 - fW-f5 - L\ (ft ) 'f 8 = (ft ■ fW - fW• ft2 )•f5 + (.// - fl • fW )•f 6 +
+ft2- L1 + f]- L\
«=fju: - ff fw - як+f/2, «2 = ff - f1- fW + ft^-fw2 - flft",
cW s! s4\ T2
p=w: - ft 4) - ft 2,
P = flf - fW) - ft3,
Ti = (ft 2 - f!ft 4)L'+ f!- L2 + (f!)2 L\
T2 = f]-L4 - (ft 3 + ft 2) L'- f]-L2.
Условиями совместности п.д.-системы (16)(19) (эквивалентной (15)) будут D f5 = Dxf6 и
D f7 = Dxf8. Заметим, что для нее имеет место аналогичная теория, типа теорем 1, 2 и замечаний
1-5, то есть многообразия решения системы в одних случаях содержат не более восьми произвольных постоянных, а в некоторых других произвольную функцию.
Поступило 16.04.2011 г.
ЛИТЕРАТУРA
1. Goursut E. Leçons sur der eguations aux derivees partielles de premier ordre, Parij, 1921, 454 р.
2. Гурса Э. Курс математического анализа, т. 2, ч.2. - М.-Л.: GYTO, 1933, 286 с.
3. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970, 720 с.
4. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, 432 с.
5. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными. - Душанбе: Дониш, 1986, 116 с.
6. Пиров Р. - ДАН ТаджССР, 1982, т. 25, № 1, с. 10-14.
7. Пиров Р. - ДАН ТаджССР, 1983, т. 26, №3, с. 138-142
8. Пиров Р. - ДАН ТаджССР, 1983, т. 26, №12, с. 747-750.
9. Пиров Р. Об одной переопределенной системе уравнений в частных производных второго порядка. Деп. в Тадж.НИИНТИ, 19.06.89, № 22 (622) т.а. 89.15 с.
10. Пиров Р. - ДАН РТ, 1994, т. 37, № 2, с. 3-6.
11. Пиров Р. - ДАН РТ, 2005, т. 48, № 3-4, с.60-65.
12. Пиров Р. - ДАН РТ, 2005, т. 48, № 3-4, с. 66-72.
Р.Пиров
ДАР БОРАИ ХДМСОЯГИИ БАЪЗЕ СИСТЕМАМИ БАРЗИЁДМУАЙЯНШУДАИ МУОДИЛА^ОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ^ОСИЛА^ОИ ХУСУСИДОРИ ТАРТИБИ ДУ БО ДУ ФУНКСИЯИ НОМАЪЛУМ ДАР ХДМВОРЙ
Донишго^и давлатии омузгории Тоцикистон ба номи С.Айни
Дар макола системами гайрихаттии чормуодиладори тартиби ду тадкик гардида, ба-рояшон шартх,ои ошкори хдмчоягй, ёфта шуда, масъалахо бо шартх,ои ибтидой гузошта ва х,ал карда шудаанд.
Калима^ои калиди: шартуои %амцоягй - п.д.-система - %алли умуми - амалиёти баробаркунии %осила%ои омехта.
R.Pirov
ON COMPATIBILITY OF HOME SYSTEMS OF ITERATIVE QUOTIENT DERIVATIVES DIFFERENTIAL QUADRADRATIES OF THE DEGREE TWO OF UNKNOWN FUNCTIONS ON AXIS PLANE
S.Ainy Tajik State Pedogogical University
In the article they shay show milliner systems of four biquadrates found in explicit conditions compatibility with initial significances.
Key words: compatibility condition - t.d.-system - manifold solution - cross differention operation.
