О некоторых переопределенных системах дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

2016, Т. 158, кн. 4 С. 544-556

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

УДК 517.956

О НЕКОТОРЫХ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Р. Пиров

Таджикский государственный педагогический университет имени С. Айни, г. Душанбе, 733740, Республика Таджикистан

Аннотация

Рассмотрены одна линейная система дифференциальных уравнений в частных производных, встречающаяся в механике деформируемого твердого тела, и класс систем из трех уравнений, содержащих в правых частях нелинейным образом три производные второго порядка одной неизвестной функции.

Путем замены производных первого и второго порядков в правых частях новыми неизвестными функциями осуществлен переход к системам с большим числом неизвестных функций и установлена связь с системами в полных дифференциалах. Для исследуемых переопределенных систем найдены явные условия совместности и описаны многообразия решений, содержащие не более семи произвольных постоянных. Результаты, носящие в основном теоретический характер, могут быть использованы для дальнейшего развития теории систем дифференциальных уравнений с частными производными при решении конкретных задач гидродинамики (точнее, при построении точных («тестовых») решений плоских задач гидродинамики), газовой динамики, теории упругости и ряда разделов механики, физики и других фундаментальных наук.

Ключевые слова: условия совместности, многообразие решений, переопределенные системы

Введение

В гидродинамике, теории упругости и электромагнитной теории поля многие задачи сводятся к переопределенным системам дифференциальных уравнений в частных производных.

В известной монографии Э. Гурса [1] изучались в основном переопределенные системы первого порядка с одной неизвестной функцией. Начиная с 1970 г. ряд классов систем с одной либо с двумя и более неизвестными функциями стал изучаться в работах Л.Г. Михайлова и его учеников [2, § 5], [3]. В этих работах рассмотрены квазилинейные и нелинейные системы двух и трех уравнений с одной неизвестной функцией на плоскости. Основной метод исследования состоит в замене производных первого и второго порядка в правых частях на новые неизвестные функции, в переходе к системам с большим числом неизвестных функций и в установлении связей с достаточно изученными системами в полных дифференциалах (п.д.-системами) [4].

Настоящая работа состоит из двух частей. Первая часть посвящена исследованию одной переопределенной системы в частных производных второго порядка, встречающейся в механике деформируемого твердого тела (м.д.т.т.). Во второй части изучены некоторые переопределенные системы, содержащие в правых частях нелинейным образом три производные.

1. Исследование одной линейной системы механики деформируемого твердого тела

В классической литературе и современных исследованиях по м.д.т.т (теории пластичности) известны и подробно рассматривались лишь частные случаи реализации процессов однородно-простой деформации в теле [5-7]. Изучение свойств некоторых классов сжимаемых упругопластических тел сводится к вопросам нахождения условий совместности и уточнению многообразия решений переопределенных систем шести линейных уравнений в частных производных второго порядка

д2 А д 2А д2А

У33 + У22ТТ^2 — 2У23

' дх2

д%\

д2А д2А

^и + У33 — 2^31

д%\

' дх2

д2А д2А

У>2 + ^ц — 2^12

дх2

дх2

дх2дхз

д2А

дхздх1

д2А

дх1 дх2

2

= 2

= 2

дУ2

23

дх2

дУ33\ дА

дх3 дх2 ) ' дх2

дУ31 дУц > , дА

дх1 дх3 ) ' дх3

дУ12 дУ22 > > дА

дхл дхл

+ 2

+ 2

+ 2

дУ2

23

дх1

дУ22\ дА

дх2 дх3 ) ' дх3

дУ31 дУ33 > , дА

дх3 дх1 у ' дх1

дУ 12 дУц ^ > дА

дх2 дх2

- У33

д2А

дх1 дх2

д2А

+ —^ +У31

'дх1дх3

— У12

+

дУя

33

дх1

д2А

дх2дх3

дУ31 \ дА_

дх3 дх2

д2А

дх3

дУ?

33

дх2

дУ2Л дА

дУ23 , дУл

+--"--2

дх3 дх1

дУ12

+

дх1

дх2

дх2

дх3' ( )

тг д2А тг д2А тг д2А тг д2А — Уи^—+ Ул^—^ +У12 ~—^--У23

дх2дх3 дх2дх1 дх3дх1

' дУц дУ12

дх21

дУл

11

дУ31\ дА

дх3

дхл

+

дх2

дхл

дА

дх3

дУ31 , дУ12 2 +--~--2

дх2

дх3

дх2 + дУ23 ^ дА дх1'

дх1

т/. д2А д2А д2А ^ д2А — У22^-К--+ У.2^---+ У23^---У31

'дх3дх1 дх3дх2 дх1дх2

'дУ22 дУ23

дх22

дУ2

22

дУ12\ дА

дх1

дх2 дх

+

+

дх3

дх2

дА дх1

дУ12 , дУ23 2 дУ31 +--~--2

дх3

дх1

дх2

дА

дх2

где УЦ = УЦ(х1,х2,х3) € С2,г,] = 1, 2, 3 - заданные функции, А = А(х1,х2,х3) -неизвестная функция, которая ищется из класса С2 , а в ряде случаев из С3 (здесь и далее Ск - класс непрерывно-дифференцируемых функций порядка к). В силу механических свойств задачи заданные коэффициенты этой системы удовлетворяют уравнениям

д2У33 + д^Уя _ 2 д2У23 = 0

дх2

дх3

дх2дх3

д2Уи д2У33 д2У31

11 + „ 33 — 2-—= 0,

дх23

дх21

дх3дх1

д2У22 , д2Уи 2 д2У12

+--~—о--2-

дх1

дУ|

11

дх2дх3

дУ22

+

+

дх2

д дх1 д

дх3дх1

0,

дх2 дУ 12

дх3дх1 дх2 \ дх3

дУ31 + дУл дх3

дУ23 дхл

дУ

33

+

д

дх1дх2 дх3 дУ23

дх1

дУ31 дх2

0,

дУ23 + дУ31

дх1

дх2

дУ1

12

дх3

0

Учитывая прикладной характер поставленной задачи, рассмотрим некоторые частные случаи (1) [8], имеющие определенный механический смысл. Полученные ниже результаты свидетельствуют о том, что неоднородно-простые деформации возможны и многообразия их достаточно широки.

1.1. Случай У12 = У21 = Уз = Уэ1 = Уз = Уз2 = 0, Уй(хьх2, хз) = 0, г = 1, 2, 3.

Система (1) при 2Уц ■ У22 ■ Узз = 0 приводится к виду

5 2А = а(1) дА + ь(1) + с(1)

дх1

дА

дх

2

дх

з

дх21

д2 А дх2 д2 А

дх3

д2 А дх1дх2

д2 А

дх2 дхз

= а(в) дА + Ь(в) дА + С(6) дА.

дхздх1 дх1 дх2 дхз

а(2)^ + 6(2) дА + с(2) дА, дх1 дх2 дхз

а(з) дА + 6(3) дА + с(з) дА,

дх1 дх2 дхз

а(4) дА+6(4) дА+с(4) дА,

дх1 дх2 дхз

а(5)дА + 6(5)дА + с(5, ™

дх1 дх2 дхз

(2)

где а

СО 5(0 с(0

, & ' имеют вид

(1)

^ [1П(У22 ) ■ У33] , 6(1) = У± ^ дх1 У22 дх2

1п

Уз У11

с(1)

Ун _д_

Узз дхз

1п

У22 У11

(2)

(з)

У22 _д_

У11 дх1

Узз _д_ У11 дх1

1п

1п

Уз

У22

Уз

У22

, 6(2) = - [1п(У22 ■ Узз)] , с(2) = - У2 д дх2 Узз дхз

1п

У22 У11

6(з) = - ^зА

У22 дхз

1п

Уз

зз

У11

с(з)

д

с- = - — [1п(Уи ■ У22)]: дхз

,(4)

дд -[1п Узз], 6(4) = - дх1 [1п Узз] , с(4) =0,

д

с(5)

д

-д- (1п У11) ,

дх2

а(5) =0, 6(5) = - — [1п Узз] дхз

дд

а(6) = -— [1пУ22], 6(6) =0, с(6) = - — (1пУ22), дхз дх1

связанные между собой соотношениями

Узза(2) + У22 а(з) = 0, Узз6(1) + У116(з) = 0, У22с(1) + У11с(2) = 0. Заменой

дА дА дА

-—=_р(хь х2, хз), -— = я(х1, х2, хз), -— = Я(х1, х2, хз), дх1 дхз дх1

где р, ц и К являются новыми неизвестными функциями, связанными между собой равенствами

др

дх2

(они вытекают из тождеств

д2А д2 А

дц дц дК др

дх1' дхз дх2' дхз

д2А

д2А

дК

дх1

д2А

д2А

дх1дх2 дх2дх\ дх2дхз дх^дх^ дх3дх1 дх1дхз

соответственно) приведем (2) к п.д.-системе относительно А, р, ц, К р

дА дх1

др дх2

дц дх1

дц

дхз

дК

дх2

дА=^=к, др=р+ц+са)К,

дх2

дхз

^ = а(4)р + б(4)ц, -др-дхз

А = а(4)р + Ь(4)ц, дх2

= Ь(5)ц + с(5)К, ^ = а(6)р + с(6)К,

дх1

А = а(6)р + с(6)К, дх1

А = а(2)р + Ь(2)ц + с(2)К, дх2

(3)

дх1

А = Ь(5)ц + с(5)К, дхз

А = а(3)р + Ь(з)ц + с(з)К, дхз

для которой имеется достаточно полная теория (см., например, [2, 4]). Из 12 равенств смешанных производных, обеспечивающих совместность этой системы, первые три выполняются автоматически, а остальные девять после замены появляющихся производных первого порядка правыми частями из (3) приводят к девяти линейным уравнениям

Ь = Ы^р + N ц + QiК = 0,

1, 2,..., 9.

(4)

где Ы^ N-1 и Qi, г = 1, 2,..., 9, явно выражаются через коэффициенты системы (3) и их частные производные первого порядка [8]. Поскольку Ь2, ¿6 и Ьд связаны непосредственно проверяемым тождеством ¿2 + ¿6 = Ьд, то в дальнейших рассуждениях, отбрасывая Ьд = 0, будем исходить из первых восьми уравнений (4).

Теорема 1. Пусть дана система (1), где У12 = = Уз = Уз1 = Уз = VЗ2 = 0, Ун = 0 - известные функции класса С2, А - искомая функция класса С3. Тогда при выполнении условий Ы,, = 0, N-1 = 0, Qi = 0, г = 1, 2,. .., 8 задача (1), в которой

Г Я Л 1 Г Я Л 1 Г Я Л 1

= С4, (5)

^, г = 1, 2, 3, 4, - произвольные постоянные, однозначно разрешима.

Другими словами, при выполнении условия теоремы, в котором фигурирует (5), многообразие решений (1) содержит четыре произвольные постоянные С1, С2,

Сз , С4 .

\дА] \дА] ГдА!

С1 , дх1 = С2, дх2 = сз, дхз

Если в системе

V——

и

У>2

д2 А дх2 + У22 д2А дхз 2 дУ—— дх2 дА дх2 2 дУ22 дх— дА дх—

д2 А дхз + У—— д2А дх2 2 дУн дх— дА дх2 2 дУ—— дх1 дА дх1

д2 А дх\ + У11 д2А дх2 2 дУ22 дх1 дА дх1 2 дУн дх2 дА дх2

д2А дУ—— дА + дУ—— дА

дх1 дх2 дх2 дх1 дх1 дх2

д2А дУи дА + дУи дА

дх2дх— дх— дх— дх2 дх2

д2А дУ22 дА + дУ22 дА

дх—дх1 дх1 дх— дх— дх1

— V——

— Уц

— У22

Уц = 0 являются постоянными (простое продолжение деформированного состояния с фиксированными в теле осями деформации), то условия М^ = 0, N = 0, Qi = 0, г = 1, 2, • • • , 8, выполняются автоматически, и для нее имеет место теорема 1 без указанных условий.

1.2. Пусть, кроме тождеств Vij = 0, г = ], имеет место равенство Уц = 0, тогда (1) упрощается, коэффициенты будут связаны соотношениями

д2Узз + д2У22

дх22

дх—

0,

д 2У—

33

дх3

0,

д 2у

22

дх2

0.

Представляет особый интерес изучение полученной системы в случаях, когда

д

дх2

1п

У——

У22

0,

дХТ ('п =»■

Из условия —— (1п —— ] = 0 имеем

У22

дх2

V—— = У22 • Ф(х2, х—),

где Ф(х2,хз) = ехр(^(х2,хз)) - произвольно заданная дважды непрерывно-дифференцируемая функция. При 22 = 0, 33 = 0 система приводится к виду

дх2

дх2

дА

дх2

• Ф

У222 Ф,

дУ—з дА = _у—— (_ дУ—з дх1 дх2 дх2 \У——) дх2

Ф У33

дУ22 дА = _У22/_ дУ22__

дх2 дх3 22 дх3 У323 дх3 У323

Ф

к33

д2Ф дФ дФ

а(хь х2, х—) дх^ + в(х\,х2 ,х—) -дх + 7(х1, х2, х—) ——+

д2

дх

2

дФ

(6)

+ 5(х1,х2,х—) ---+ ст(хьх2 ,х—)Ф

дх3

0,

Через а, в, 1, $, а обозначены вполне определенные выражения, содержащие коэффициенты исходной системы и их производные первого и второго порядков.

Теорема 2. Пусть в системе (1) Уц = У^ = 0, г = У22 = 0, Уз =0 -заданные в

С2

функции, удовлетворяющее уравнениям (6), А - искомая функция

класса С3 . Тогда при 22 = 0, 33 = 0 и выполнении условий дх1 дх1

д dxi

, У33

ln У~

У22

= 0, а = ß = y = 5 = а = 0, д2А д2А д2А д2 A д2 A д2А

дх1дх2 дх2 дх\ дх^дхз дхздх2' дх^дхз дхздх1

в некоторой окрестности точки (х1,х0,х3) многообразия решений системы (1), содержат одну произвольную функцию Ф(х2,хз) и одну произвольную постоянную.

В частности, если а = в = 0, 7 = 6 = а = 0 ,то Ф(х2,хз) входит в решение как гармоническая функция. Если

да _ дв _ д^ _ д6 _ да _ 0 дх1 дх1 дх1 дх1 дх1 ' д (в А д / 7 \ д ( 6 N д / а дх1 у а) дх1 \а/ дх1 у а) дх1 \а

то в обоих случаях будем иметь уравнение в частных производных второго порядка, в котором коэффициенты и искомые функции зависят от двух переменных х2 и хз .С помощью известного метода Римана можно найти решение с двумя произвольными функциями от одной переменной.

" Узз 1

= 0. Тогда получим

0,

д

Теперь предположим, что ——

дх!

У2

22

A fln УМ дА = 0

дх! \ У22 J дх! '

Л Л( ) дУ22 = 0 дУзз = о

следовательно, А = А(х2,хз), и далее выясняется, что при —— =0 и —— = 0

дх! дх!

дА дА

справедливы равенства —— =0 и —— = 0.

дх2 дхз

Итак, в этом случае имеем А = const.

1.3. Рассмотрим систему (1) на плоскости. При этом предположим, что У[з = Уз! = У23 = У32 = 0, Уц, Уу2, У2!, У22 -заданные функции, связанные уравнением

д2У22 д2Уи д2У!2 _22 +___ _ 2_— = 0

дх2 дх2 дх!дх2 '

и условием У33 — const = 0; А = А(х!,х2) - неизвестная функция (соответствует случаю плоской деформации). Тогда система (1) приводится к виду

тг д2А тг д2А

=0, —=0, дх2 дх!дх2

У!! А — 2 (А — А ^ дА = 2 (А — А ^ дА

дх2 у дх! дх2 ) дх2 \ дх2 дх! ) дх!

При выполнении условий

д

1

дУ1

12

дУ2

22

дх1 |_Уц V дх2 дх1

решение системы имеет вид

0,

д дх1

дУ1

12

1

У11 V дх1

дУ1

11

дх2

0

А(х1, х2) = С1х1 +

ехр(2/ -

дУ1

12

дУ1

11

дх1

+ 2С1 I ехр ( —2^ —

дУ

12

дУ

11

дх1

дх2

дх2

1

¿х2

С2 +

(1х2 ——

дУ1

12

дУ2

22

У11 дх2

дх1

^ dx2 |

[¿х2 + с—.

1.4. Теперь предположим, что У1— = У—1 = У2— = У—2 = V—— = 0, все остальные коэффициенты в (1) являются заданными функциями (х1,х2); А = А(х1,х2,х—) (это простое пространственное продолжение плоской деформации). Содержание данного пункта в определенной степени обобщает п. 1.3. Сама система при сделанных предположениях примет вид

У22

д2А дх—

0, -У12

д2А дхз

0, У11

д2А дхз

0,

У2

22

У12

У2

д2 А

дх3дх1

д2 А

дх3дх1 д2А

+ У1

12

- У1

22

д2 х1

+ У1

д2А

дх3дх2

д2А

дх2 дх3

д2А

дУ2

22

дУ1

12

11

дх22

- 2У1

дх1

дУц дх—

д2А

дх1

дУ12

дх1

дА

дх—'

дА

дх—'

12

дх1дх2

дУ1

12

дУ22\ дА

дх2

дх1 ! дх

+ 2

Если Д = У11У22 — У122 = 0,

то при выполнении условий

д 1 д _ 0

дх2 дх1 '

2У12 11 12 — У22 1 — У11 1 + 2

где 11 и 12 имеют вид

дУ1

12

дУ2

22

дх2

дх1

• 11 + 2

11

Уи Д

дУ22 + дУ12

дх1

дх2

+

У2 Д

дУ1

12

дх1

дУ1

12

дх2

дУ12 + дУц

дх1

дх2

дУ1

11

дх2

дУ1

11

дх2

(7)

дА

дх2

12= 0,

1

У1

2=

12 Д

дУ1

12

дх

дУ22\ + У22 (дУ2_

дх1 ) Д у дх1

система допускает решение в виде

дУ1

11

дх2

2

1

А( х1, х2, х—) = С1х— ехр( Ж( хь х2)) + р( хь х2).

(8)

Х1 Х2

В (8) c\ = const, W(xi,x2) = j J\dxi + j J2(x°1,x2)dx2, а ^(xi,x2) - функция,

удовлетворяющая уравнению

V22 (x1, x2 ) ^ + V11(x1 ,x2) Щ ~~

x ) 82p / 8V12 8V22\ /8V12 dV1A =Q

' 8x18x2 V 8x2 8x1 J 8x1 y 8x1 8x2 J 8x2

2- 0 _ ™„ ТЛ. (A A ^ , ^ (A A

Если Д = Vu V22 - V122 = 0, то при Vn\—^- + V12 -jr— - = 0,

y 8x1 8x2 J y 8x2 8x1 J

умножая четвертое уравнения системы (7) на V11, а пятое на V12 и складывая,

получим уравнение

о = Д^ = (-V11V22 + V2). 82А

8x38x1 8x38x1

vjА - + Ví2(8Vi - dVA)

у 8x1 8x2 J у 8x2 8x1 )) 8x3

дА п п

откуда находим —— = 0. Ясно, что здесь имеет место случай 3. 8x3

тг т/ т/ т/2 0 т, (8V22 8VU\ f8Vn 8VW\ 0

При V11 • V22 - V22 =0 и V11 —----— + V12 ---д— = 0 четвертое

у 8x1 8x2 J у 8x2 8x1 J

и пятое уравнения системы (7) совпадают, решение находится с двумя произвольными функциями у>(ш) и -0(x1,x2):

A(x1,x2 ,x3) = 3C3F (x1,x2)p(w) + 1^x1 ,x2),

^F(x1, x2) - известная функция, а ш = w(x1,x2) удовлетворяет уравнению

т г 8ш т г 8ш \ V12 ^--Vu— = 0 .

8x1 8x2 '

В завершение этой часты работы отметим, что система an(x,y,z)Uyy + a12(x,y,z)Uzz + a,13(x,y, z)UyZ = f 1(x,y, z; U, Ux, Uy, Uz), a21(x,y,z)Uzz + a22(x,y, z)Uxx + a23(x,y, z)Uzx = f 2(x,y, z; U, Ux, Uy, Uz), a31(x,y,z)Uxx + a32(x,y,z)Uyy + a33(x,y,z)Uxy = f3(x,y, z; U, Ux, Uy, Uz), aA1(x,y,z)Uxy + a42(x,y,z)Uxz + aA3(x,y, z)Uyz + vm(x, y, z)Uzz =

= f 4(x, y, z; U, Ux, Uy ,Uz), a51(x, y, z)Uyz + a52(x,y, z)Uyx + a,53(x,y, z)Uzx + V54(x,y, z)Uxx =

y, z; U, U , U , U )

x , Uy , Uz

a61(x,y, z)Uzx + a62(x,y,z)Uzy + a63(x,y, z)Uxy + Vs4(x,y, z)Uyy =

, U , U )

x , Uy , Uz

= f 5(x, y, z; U, Ux, Uy ,Uz),

= f 6(x, y, z; U, Ux, Uy ,Uz),

где и = и(х,у,г) € С3, заданные коэффициенты а^ = а^ (х,у,г), правые части /к = /к(х, у, г; и, их, иу, Uz), г,к = 1, 2,..., 6, ] = 1, 2, 3,4, исследуется аналогично.

2. Некоторые нелинейные системы

-<3

Рассмотрим три из всевозможных С3 = 20 систем вида [9, 10]

Ухх = /1(х, У, г; и, их, иу, Цг, иху, иух, ихх), Ууу I (х? у7 г; и"7 их7 иу 7 иг 7 иху 7 иуг 7 игх) (9)

игг = 13( ^7У7 г; и7 их7 иу7 иг7 иху7 иуг7 игх ) 7

иху = 11 (Х7 У7 г; и7 их7 иу 7 иг 7 ихх7 иуу 7 игг ) 7

иуг = /2(Х7У7 г; и7 их7 иу 7 иг 7 ихх7 иуу 7 Угг )7 (10)

игх = /3( х7 у7 г; и7 их7 иу7 иг7 ихх7 иуу7 игг )7 хх = /1(х7 У7 г; и7их7иу 7 иг 7^г 7 иуг 7 и гг )7 иуу = / 2(х7 У7 г; и7их7иу 7иг ,ихг Ууг 7игг ) (11)

Уху = /3(%7 У 7 г; и7 их7 и у 7 Иг 7 Ухг 7 иуг 7 игг )

где правые части известны, а и = и(Х7У7 г) - неизвестная функции которая ищется в классе С4.

2.1. Рассмотрим систему (9). С помощью замен Ух = р(х7У7г), иу = я(х^У7^), иг = Я(Х7 У7 г) , иху = Ру = Я(:Х7 У7 г) , Ууг = Яг = Т(Х7 У7 г) , Угх = Их = ^Х7 У7 г) и обязательного тождественного выполнения равенств ру = дх, дг = Яу, Ях = рг, приходим к квазилинейной системе

Ух = р(х7У7г)7 иу = д(х7 У7 г)7 иг = Я(х7У7г)7

Рх = / 1(х7У7г;и7Р7Я7Я7Я7^7т)7 Ру = Я(х7У7г)7 Рг = г(х7У7г)7 (^

Ях = Я(х7У7г)7 Яу = /2(х7 У7 г; У7Р7Я7 Я7Я7*7Т) 7 Яг = Т (х7У7г)7 Ях = Ь(х7 У7 г) 7 Яу = т (х7 У 7 г) 7 Яг = /3(х,7У7г; У7Р7Я7 Я7Я7^7Т).

С целью дополнения (12) до систем в полных дифференциалах относительно функций и, р , я , Я, Я, £, т проделаем операции перекрестного дифференцирования (о.п.д.) иху = иух , Ууг = Угу , Ухг = Угх , рху = рух , рхг = ргх , руг = ргу , Яху Яух , Яуг Ягу , Яхг Ягх , Яху Яух , Яуг Ягу , Ягх Яхг . Первые

три из вышеприведенных равенств вторых смешанных производных выполняются автоматически, а остальные девять, после замены всех появившихся производных первого порядка правыми частями из (12) приведут к системе девяти неразрешенных уравнений

Ях - /<Яу -/2Ту - !Ъу = /у1 + /ЬЯ + /ЬЯ +//2 + /кТ7 (Уху = Уух)7 Яг £у 07 (руг ргу ^

/ЯЯг +/1тг + /Ьг - 1х = /1 +/ЬЯ + /ЬЯ + /1 £ + /\т + /к/37 (рдх = Рхд)7

-/<9Ях + Яу - /Т-Тх - &х = /х2 + /иР + /2/1 + /2Я7 (Яху = Яух)7

/я Ях - Ту + /-Тг + /2*г = -/г- - /Ь Я - /2 £ - /-Т - /к/3 7 (Яуг = Ягу )7 (13)

Тх 07 (яхг Ягх) -/ЯЯу - /3ту + Тг - /3£у = /у3 + /ЬЯ + /¿Я + /3/27 (Яуг = Ягу)7

£у Тх 07 (Яху Яух) -/яЯх - /3тх - /?1х + £г = /3 + /ЬР + /3/1 + /3Я7 (Яхг = Ягх).

Непосредственной проверкой установим, что квадратная матрица 9 х 9

1 / о о —/2 о о —/2 о

о о 1 о о о о -1 о

о о /я о о /1 -1 о /1

1 —/2 о о о о о /2

/2я о о о -1 /2 о о /2

о о 1 -1 о о о о о

о /3 ¡я о о —¡3 1 о —/3 о

о о о -1 о о о 1 о

/3 ¡я о о —¡3 о о —¡3 о 1

составленная из коэффициентов при производных Qx, Qy, Qz, тх, ту, тх, гх, гу, tz уравнений (13), в некоторой окрестности точки (хо, уо, ¿о; Цо, Qo, Яо, До, го, то) имеет ранг, равный 9. В силу этого алгебраическими разрешениями (13) можно выразить через

Qx,Qy,тх,ту,Tz^х^ум = /г(х,у, г; и,р,я, Д^,т,г), г = 4, 5,..., 12, (14)

где правые части /4 — /12 явно выражаются через /г, г = 1, 2, 3, и их производные с первого до третьего порядков. Уравнения (12), (14) составляют п.д.-систему относительно семи неизвестных функций и, р, я , Д, Q, г, т и условий полной интегрируемости (у.п.и.)

н1 = /4 — ¡х + /4 • я — /4 • р + /4 • в — /4 • /1 + / • /2 — ¡5 • в+

+ /4 • т — /4 • г + /4 • /5 — ¡5 • /4 + ¡4 • /8 — /5 • /7 + /4 • /11 — /5 • /1о = 0,

н2 = /z5 — ¡6 + /4 • Д — /6 • я + /4 • г — /4 • в + ¡5 • т — ¡6 • /2 + /4 • /3—

— /4 • т + /5 • /6 — /6 • /5 + /т5 • /9 — /6 • /8 + /5 • /12 — /6 • /11 = 0,

н3 = /4 — /6 + /4 • д — /6 • р + /4 • г — /4 • /1 + /4 • т — ¡6 • в + /4 • /3—

— /4 • г + /4 • /6 — /6 • /4 + /4 • /9 — /6 • /7 + /4 • /12 — /6 • /1о = о,

н4 = /у7 — /8 + /4 • я — /6 • р + /7 • в — /8 • /1 + /7 • /2 — ¡8 • в + /4 • т—

— /4 • г + /7 • /5 — /8 • /7 + /7 • /8 — /8 • /7 + /7 • /11 — /8 • /1о = о,

н5 ^ /8 — /9 + /4 • д — /9 • я + /8 • г — /р • в + /8 • т — / • /2 + /4 • /3—

— /4 • т + /8 • /6 — /9 • /5 + /8 • /9 — /9 • /8 + /8 • /12 — /9 • /11 = о, (15)

н6 = /z7 — /9 + /4 • д — /4 • р + /7 • в — ¡4 • в + /4 • /3 — /4 • г + /7 • /6—

— /9 • /4 + /7 • /9 — /9 • /7 + /7 • /11 — /9 • /7 = о,

н7 = /1о — /11 + /1о • Я — 4 • р + /4° • в — /41 • /1 + /!° • /2 — /11 • в + /4 • т—

— /41 • г + /1о • /5 — /11 • /5 + /4° • /8 — /11 • /7 + /4° • /11 — /11 • /1о = о,

н8 = /11 — /12 + /41 • д — /12 • я + /11 • г — 4 • в + /11 • т — /12 • / 2+ + /4 • /3 — 4 • т + /11 • /6 — /12 • /5 + /11 • /9 — /12 • /8 + /11 • /12 — /12 • /11 = о,

н9 = Ц0 - /12 + и • я - /12 • Р + Р • г - /12 • /1+

I /-10 л-12 д I х10 г3 х12 , , х10 г6 г12 г4 , ^10 г9 ,-12 г7 , ,-12 ,-12 л10 п

+/ •Т•У+!к •! -!к •г+!в -!в V +!т V -/т V V -!г V = 0

При их тождественном выполнении относительно входящих в них аргументов для исходной системы будет корректна следующая задача с начальными данными

[У ]0 = С17 [Ух] = С27 [Уу ]0 = С37 [Уг ]0 = С47

(16)

[Уху ]0 = С5 7 [Ууг ]0 = С67 [Угх] 0 = С7 7

для которой можно считать доказанной следующую теорему.

Теорема 3. Пусть в системе (9) выполнены условия /1, /2 , /3, У - функции из С4, /1 = 0 и а < шш (в77Ъ/М), М = \/г\, % = 17 27 3. Если соотношения (15) в некоторой окрестности точки (х07 У07 г0; Уь и°7 У07 7 и0у7 и0г7 и°х) выполняются тождественно, то задача (9), (16) разрешима единственным образом.

Иными словами, многообразие решений содержит семь произвольных постоянных.

2.2. Теперь рассмотрим систему (10). Здесь осуществление замены Ух = р, иу = я , Уг = Я, ях = Я, Яг = т , рг = г с учетом тождественного выполнения равенств ру = ях, Яг = Яу, рг = Ях приводит к квазилинейной системе

Ух = р(х7У7г)7 Уу = я(х7 У7 г) 7 Уг = Я(х7У7г)7

Р х 7 Ру = /к х У 7 г; У7Р7Я7 Я7Я7Т7г)7 к = 17 27 Рг = г(х7У7г)7 Ях 7 Я = /к х У 7 г; У7Р7Я7Я7Я7Т7г)7 к =17 27 Яг = Я(х7У7г)7 Ях = г(х7 У7 г) 7 Яу = /3(х7 У7 г; У7Р7 Я7 Я7Т7Ь)7 Яг = т (х7У7г).

(17)

Имея систему (17), приходим к ситуации, сходной с той, которая изучалась в п. 2.1, то есть для этой системы можно утверждать, что многообразие решений содержит семь произвольных постоянных.

2.3. В отличие от систем (9) и (10), в левых частях системы (11) нет частных производных по z : ( Uxx , Uyy, Uxy ). Осуществив замены Ux = p, Uy = q, Uz = R, Uyz = qz = Q, Uxz = pz = г, Uzz = Rz = t, придем к системе

(Ux = p, Ux = q, Uz = R, Px = /1, Py = f3, Pz = T

\qx = f3, qy = /2, qx = Q, Rx = t, Ry = Q, Rz = t.

Повторив процедуру, аналогичную проведенной в п. 2.1 и 2.2, получим еще девять неразрешенных относительно tx , Ty, tz , Qx, Qy, Qz, tx, ty, tz уравнений. Разрешив их, снова приходим к п.д.-системе относительно семи неизвестных функций, для которой имеют место теоремы, аналогичные теоремам п. 2.1 и 2.2, с девятью явными условиями совместности, совершенно отличающимися от (15).

Литература

1. Goursat E. Leçonq sur l'intéqration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. - Paris, 1921. - 454 p.

2. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. - Душанбе: Дониш, 1986. - 116 с.

3. Пиров Р. Исследование некоторых нелинейных систем уравнений в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией на плоскости // Крайов1 задач1 для диференщалних р1внянь. - Чершвщ: Прут, 2006. - Вып. 14. - С. 313-320.

4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. - 720 с.

5. Ильюшин А.А. Пластичность. - М.: ГИТТЛ, 1948. - 479 с.

6. Бровко Г.Л. Необходимые и достаточные условия однородно-простой деформации // Прикл. матем. и механика. - 1978. - Т. 42. - С. 701-710.

7. Ленская С.Э. О неоднородно-простых процессах // Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем., механика. - 1988. - № 1. - С. 100-103.

8. Пиров Р. Об одной переопределенной системе уравнений в частных производных второго порядка. - Душанбе, 1989. - 15 с. - Деп. в Тадж. НИИНТИ 19.06.89. № 22(622).

9. Пиров Р. Об условиях совместности и многообразиях решения одного класса нелинейных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка в пространстве // Вест. Ин-та предпринимательства и сервиса. -Душанбе, 2010 - № 20. - С. 89-95.

10. Пиров Р. О совместности некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных второго порядка с двумя неизвестными функциями // Докл. АН Респ. Тадж. - 2011. - Т. 54, № 5. - С. 359-366.

Поступила в редакцию 20.01.16

Пиров Рахмон, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа

Таджикский государственный педагогический университет имени С. Айни

пр. Рудаки, д. 121, г. Душанбе, 733740, Республика Таджикистан E-mail: pirov_60@mail.ru

ISSN 1815-6088 (Print)

ISSN 2500-2198 (Online)

UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI

(Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2016, vol. 158, no. 4, pp. 544-556

On Some Overdetermined Systems of Three Differential Equations in Second-Order Partial Derivatives

R. Pirov

S. Aini Tajik State Pedagogical University, Dushanbe, 733740 Republic of Tadzhikistan

E-mail: pirov60@mail.ru

Received January 20, 2016 Abstract

This paper considers carefully a linear system of differential equations in partial derivatives from the deformable solid body mechanics and a class of systems of three equations including three second-order derivatives of one unknown function on the right-hand side in a non-linear

manner. Using replacement of the first and second orders in the right parts with new unknown functions, transition to systems with a larger number of unknown functions has been performed and links with systems in total differentials have been established. For the studied overdetermi-ned systems, the explicit compatibility conditions have been found and the variety of solutions containing not more than seven arbitrary constants have been determined. The obtained results, though mainly theoretical, can be used for further development of the theory of systems of differential equations with partial derivatives to solve specific problems of hydrodynamics (i.e., for construction of exact ("test") solutions of the plane problems of hydrodynamics), gas dynamics, theory of elasticity, as well as a number of branches of mechanics, physics, and other basic sciences.

Keywords: compatibility conditions, variety of solutions, overdetermined systems

References

1. Goursat E. Leconq sur l'intéqration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Paris, 1921. 454 p. (In French)

2. Mikhailov L.G. Some Overdetermined Systems of Partial Differential Equations with Two Unknown Functions. Dushanbe, Donish, 1986. 116 p. (In Russian)

3. Pirov R. The study of certain nonlinear systems of second-order partial differential equations with one unknown function on the plane. Kraiovy Zadachi Difer. Rivnyan'. Chernivtsi, Prut, 2006, vol. 14, pp. 313-320. (In Russian)

4. Hartman. F. Ordinary Differential Equations. Moscow, Mir, 1970. 720 p. (In Russian)

5. Il'yushin G.L. Plasticity. Moscow, GITTL, 1948. 479 p. (In Russian)

6. Brovko G.L. The necessary and sufficient conditions for simple uniform - deformation. Prikl. Mat. Mekh., 1978, vol. 42, pp. 701-710. (In Russian)

7. Lenskaya S.E. On inhomogeneously simple processes. Vestn. Mosk. Univ., Ser. 1: Mat., Mekh., 1988, no. 1, pp. 100-103. (In Russian)

8. Pirov R. On an Overdetermined System of Second-Order Partial Differential Equations. Dushanbe, 1989. 15 p. Dep. Tadzh. NIINTI: June 19, 1989, no. 22 (622). (In Russian)

9. Pirov R. On the compatibility conditions and manifold solutions for one class of nonlinear overde-termined systems of differential equations in second-order partial derivatives in space. Vestn. Inst. Predprinimatel'stva Servisa, Dushanbe, 2010, no. 20, pp. 89-95. (In Russian)

10. Pirov R. On the compatibility of some overdetermined systems of equations in second-order partial derivatives with two unknown functions. Dokl. Akad. Nauk Resp. Tadzh., 2011, vol. 54, no. 5, pp. 359-366. (In Russian)

/ Для цитирования: Пиров Р. О некоторых переопределенных системах дифферен-I циальных уравнений в частных производных второго порядка // Учен. зап. Казан. \ ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 4. - С. 544-556.

/ For citation: Pirov R. On some overdetermined systems of three differential equations in ( second-order partial derivatives. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-\ Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 4, pp. 544-556. (In Russian)