CC BY
21
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2011, том 54, №3_____________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
Б.Шарипов
О ФОРМУЛАХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ С СИНГУЛЯРНОЙ
В статье рассматривается один класс систем уравнений в полных дифференциалах, для которых условия совместности выполняются тождественно и многообразия их решений находятся по определённым формулам.
Ключевые слова: пространства - полный дифференциал - сингулярная точка.
В работах Л.Г.Михайлова (см. [1-4]) были изучены двухмерный и трехмерный случаи классической линейной системы уравнений в полных дифференциалах (п.д.) с сингулярной точкой; было обнаружено свойство вырождения в сингулярной точке и найдено многообразие решений. Доказано,
что все решения системы в шаре D = {(р, (р,д) 0 < р < 1,(0 <ф,9 < 2ж)} являются однозначными, а
на плоскости - многозначными.
В настоящей работе для трёхмерного случая рассматривается класс систем нелинейных уравнений с сингулярной точкой р = 0 . Из условия совместности определяется необходимая взаимосвязь между коэффициентами, после чего исследуемые системы интегрируются явно. Исследуется также поведение решений в сингулярной точке.
ТОЧКОЙ
Институт предпринимательства и сервиса Министерства энергетики и промышленности Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 30.12.2010)
1. Будем рассматривать случаи, когда уравнение в п.д. имеет вид:
pndu — \а(р,р,0')и + f (р,р,0)ит \ір + р\ф(р, р,0)и + g(р,р,0)ит ~\ір + рпс(р, р,0, и^0,
где а,Ь,^,сє С1 (О) заданные функции, а также и є С2(О0),(п > 0) - искомая функция, О0 - та же область, но без особой точки р = 0 , т,п - произвольные действительные числа.
Записанное уравнение равносильно следующей п.д.- системе
(1)
<
ди _Ь(рр,0)л і g(p,р,в)лт ди ““ — и і и , ““
др рп-1 рп-1 д0
с(р, р,0, и),
для которой условиями совместности будут:
Адрес для корреспонденции: Шарипов Боболи. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Борбад, 48/5, Институт предпринимательства и сервиса. Е- таіІ:і'Иагіроуї) @ mail.ru
д ( Ь
др^р*-1
я С \ д а
ду\р
П
\р У
и +
д
др
_ п-1
чР У
_д_
ду
/ 1 / л\а& - ЬГ
+ (т - 1)^Ч^
чР У р
т г\
и = 0,
(N1)
дс аи + Ьит дс (
------1--------------------
др рп ди
а / т-1
— + т.—ит 1
пп
чр р
\ Я {
с +
дв
д ( а / т —и + — ит
пп
чр р У
дс Ьи + gum дс ( Ь
- +---Ц-----= ----Г + Ш.-.ит-1
дф рп-1 ди
„п-1
р
_п-1
р У
с+
д_
дв
п-1 п-1
чр р У
(N2)
(N3)
Рассматривая (N0, С^2), (N3) как отдельные алгебраические системы уравнений, из (N0 легко получить и = 0, и = Н(р,у,в), причём решение и = 0 удовлетворяет первым двум уравнениям п.д.-системы (1). Если оно удовлетворяет и третьему уравнению системы (1), тогда считаем, что и = 0 является тривиальным решением системы. Но, кроме того, если и = Н(р,у,в) удовлетворяет всем уравнениям системы и выполняются все равенства (К0-(№3), тогда и = Н(р,у,в) будет некоторым частным решением всей системы. Так как в противном случае система (1) несовместна, поэтому, а ещё точнее - для существования многообразия решений системы (1) необходимо и достаточно, чтобы (N0, С^2), (^) выполнялись тождественно. Преобразуем п.д.-систему (1), производя замену
и1т = V ,ехр{(т - 1)а(р,у,в)^ = V (р,у,в) , да а(р,у,в) да Ь(р,у,в)
где
др рп ’ ду р
дV
получим эквивалентную (1) систему
= а(р,у,в), ^ = Р(р,у,&), = x(Р,У,в,V),
др ду дв
(2)
где арф,в) = (1 - т)^рф1 ехр {(т -1 )а (р,у,в)},
р
Р(р,У,в) = (1-т) g(р,у>в ехР{(т - 1)а(р,у,в)} , р
а(р, у, в) = А(р, у, в) + А (У, в), если---------
ду
чр У
др
чр У
и А(р,у,в) = -|
1 а(г, у, в)
Условия (N0, (№2), (N3) для системы (1) выполняются тождественно, если в (2) функция у(р,у,вУ} принимает вид (см.[6,7]):
да
(
у(р,у,ву) = (т-1)-V + (1 -т)ехр{-х(р,у,в)} Vm :.Ь р,у,exp{z(р,у,в)}V
дх
1- т
где Iх = а(р,у,в),^~ = Р(р,у,в). др ду
Переходя здесь к исходной неизвестной функции, будем иметь:
п-1
п
г
р
т
да 1 \dz
—и +--------\ —
дв 1- ш\дв
,exp{(1-ш)ю(р,у,в)} иш.
е(р,у,в,и) = ^^и + J-1— \~~ + F в; ехр{(ш -1)ю(р,у,в)} и1 ш -z(p,y,e)]j.
Итак, для системы, для которой условия (Ni)-(N3) выполняются тождественно в области D0, из (2) получим:
ди _ а(р,ф,в) ^ t f (р,ф,в)^шт ди _ Ь(р,ф,в) ^ t g(р,ф,в)^
— U т U , — ..U т U ,
Ф~п ~п Л. ~п-1 7
Р р дф р р
Л—д^и т гп Шт F |; exp {(т - шр,ф,в)}и1т - z (р,ф,в) ]} ■ (4)
.exp{(1 -т)а(р,ф,в)} ит.
Интегрируя первую пару уравнений п.д.-системы (4) и производя замену
ехр(т - 1)а(р,у,в) и1т - г(р,у,в) = щ , (5)
где щ = щ(в) - новая неизвестная функция, подставляя результат из (5) в систему (4), получим обыкновенное дифференциальное уравнение (о.д.у.)
Щ = ¥ (в,щ), (6)
где функция ¥ (в,щ) определяется через данные функций исходной системы из формулы (3). Если
о.д.у. (6) имеет какое-нибудь решение щ = щ(С,в), тогда система (1) также разрешима и многообразие ее решений выражается явной формулой:
и(р, у, в) = |х(р, у, в) + щ(С, в)]1-» • ехр{£у(р, у, в)} . (7)
Теорема 1. Пусть в п.д.-системе (1)а,Ь,/^,с е С'(О)считаются заданнымы функциями, и е С2(О0). Для того, чтобы условия (Ы1)-(Ы3) выполнялись тождественно, необходимо и достаточно, чтобы функция с(р,у,в,и) имела вид (3). Если о.д.у. (6) имеет решение, то п.д.-система (1) разрешима и многообразие всех ее решений выражается явной формулой (7). При этом полученное решение системы (1) при п > 1 в точке р = 0 е О неограниченно, при п = 1 имеет логарифмическую особенность и особенность не более чем (п-1)-го порядка при п > 1 , а в других точках области
О - оно является непрерывным.
2. Теперь рассмотрим уравнение
рпШи = [а(р,у,в)и + Ь(р,у,в)ит \}р + рпц(р,у,в, и)Шу + рпН(р,у,в, и)Шв,
равносильное следующей п.д.-системе
ди _ а(р,ф,в)^ , Ь{р,ф,в\
— и т и ,
др Рп Рп
ди ди
— — ч(рр0,и\ — — Кр,ф,0,и\ ду д0
(8)
где а,Ь,д,Л е СУ(О), и е С2(О),( п > 0), т - произвольное целое число. Условиями совместности системы (8) будет:
Яр т
а Ь „Л ■_ ( а тЬ т_1 ^ ( ар Ь
ч-— тти Ч т '
К.Р Р )
и т----и
\р р
\
К т
аЬ —и т--и
п
\р р )
\ ( к —
а тЬ т_1
т------и
п
ур р )
Л (
к т
и + ^ ит ур р ) Л
(N4)
а а Ьа
и тит
п
ур р )
,ч0 тк■ Чи — К тЧ• Ки-
Если функциональные равенства ^4) выполняются, но нетождественно, и эти равенства как отдельные алгебраические уравнения разрешимы относительно неизвестной функции и и если хотя бы одна из найденных функций и = и.(р,у,в) удовлетворяет п.д.-системе (8), то она будет частным
ее решением. Допустим, что в п.д.-системе (8) функции а(р,у,в) и Ь(р,у,в) - из класса С*(О ) и, кроме того, такие, что
Ііта(р,р,0) — ІітЬ(р,р,0) — 0 или а,Ь — И (р,0)0(рй )(0<Я< 1),0=1,2)
р——0
р——0
(м )
где Ъ ■ (у,в) е С(О) . Интегрируя первое и второе равенства (N0 как отдельные уравнения в частных производных первого порядка для Ъ(р, у, в,и), д(р, у, в, и), будем иметь:
дА 1 I дВ .
Чр^0, и) — — и + -----^ —+ /1 [р;
ду 1 _ т
7-— [дВ + /1 [р; 0; ехр{(т _ 1)А(р,р,0)]и1 т _ В(р,р,0)|.
1 _т [др ]
ех
р{(1 _ т) А(р, р, 0)}иг‘
И(р,р,0,и) — —и + --] — + & [р; 0; ехр{(т _ 1)А(р,р,0)}г/~т _В(р,р,0)][.
дО 1 _т [д0
ехр{(1 _ т) А(р,р,0)}() ит,
(9)
где В(р,р,0) — (т_ 1)| ( ,р,—)ехр{(т_ 1)А(р,р,0)}Л,/,& - легко выражаются через извест-
ные функции из (9). В этом случае п.д.-система (8) принимает такой вид, что (аналогично [7]) для него условия (N4) выполняются тождественно. Интегрируя первое уравнение системы (8) и производя замену
ехр{(т _ 1)А(р, р, 0)} и1 т _ В(р, р, 0) — V
(10)
р
где V — V(р,0) - новая неизвестная функция, а затем дифференцируя (10) по р и 0, подставляя результаты в систему (8), получим регулярную п.д.-систему:
В системе (11) (у, в, V) и ^ (у,в^) относительно своих аргументов являются регуляр-
ными функциями. Условия совместности системы (11) по виду сходны с третьим равенством из (N4) так, что, аналогично [1,[6], в случае тождественного выполнения третьего равенства условий из (N0 , и интегрируя систему (11), найдём: V = V(у, в, С) . Подставляя найденные значения функций
V = V(у,в,С) в (10), получим многообразие всех решений системы уравнений (8) по формуле
положительные числа. Если условия (N4) относительно и выполняются, но нетождественно, и если она разрешима как алгебраическое уравнение относительно функции и решений и = и .(р,у,в), а
также удовлетворяет исходной п.д.-системе (8), тогда эта функция будет ее частным решением. Для тождественного выполнения условия ^4) необходимо и достаточно, чтобы функции И(р,у,в,и) и д(р,у,в, и) выражались формулами (9). Так как регулярная нелинейная п.д.-система (11) интегрируема, то исходная п.д-система (8) также интегрируема и многообразие ее решений выражается формулой (12). Причем решение системы (8) всюду в О является непрерывным при п < 1 , а при п> 1 в точке р = 0 соответственно имеет особенности логарифмического при п=1 и степенного порядка при п>1.
3. Рассмотрим уравнение вида
рпШи = а(р, у, в^иёр + ррЬ(р, у, в)и + /(р, у, в)ит ]^у + + рс(р, у, в)и + g(р, у, И)ит ]Шу,
где а, Ь, с, /, g е С1(О ), и е С2 (О ) ° С(О),п > 0, т - произвольное целое положительное число. Данное уравнение равносильно п.д.-системе:
— — /l(р—■У'), — — &1 (р;0У). др д0
(11)
и(р, р, 0) — [—(р, р, 0) т V(р, 0,С)]і-т ехр{А(р, р,0)}.
(12)
Теорема 2. Пусть в п.д.-системе (8) а,Ь,И, ч є С '(О), и є С2(О0), т - произвольные целые
условием совместности которой будет
Р (р, р, 0)и т (р, р, 0)ит — 0 (і —1,2,3),
(N5)
где функции Р (р, р, 0), Ц (р, р,0) определяются формулами:
8
рЛр,ф,$) = — 8р
8
Р3(Р,Ф,6) = ~ 8ф
8
&р,ф,6) = — 8р
( и \
_ п-1
\р У ( „ \
vPn-1 У Г g Л
_8_
8ф
_8_
86
кР У ( b р У
n-1
кР У
86
р
• Q = —
• Q1 л
8р
ґл_л
кРП-1 У
+ (т -1)
Р
+ (т -1)—ag-; Q = —
( ) р^п- ; Q3 8р
g
Р
af
Р 2n-1
f f ^ nbg-cf
(14)
86
Р
+ (m -1) -
Р
Допуская, что условия (N5) выполняются, но нетождественно, и решая (N ) как три отдельные алгебраические уравнения, аналогично [1-7], тогда получим п(р,ф,в) = 0 и и(р,ф,в) = Н .(р,ф,6) (у = 1,2,3) . Ясно, что и = 0 является тривиальным решением п.д.-системы (13). Если хотя бы одна из функций и = Н .(р,ф,0) (|=1,2,3) удовлетворяет п.д.-системе (13), тогда
она будет одним из частных ее решений, в противном случае утверждаем, что система (13), кроме тривиального, других решений не имеет.
Пусть условия (^) выполняются тождественно и а(р,ф,6) удовлетворяет условию (М),
причём Р (р,ф,6) = 0,Qj(р,ф,в) = 0 из (14) выполняются тогда, когда коэффициенты системы
удовлетворяют условию:
„п-1
ар,Ф,6) = а(Р)Рп, Ь(Р,у,6) = p(ф)pn-, ср,ф,6) = У(6)Р а) < f (P, ^, 6) = Рф 6) exp{(1 - т)А(Р)Р"-1, g(р ф, 6) = q^ 6) exp{(1 - т)А(р)}рп-1 р (ф)q(ф, 6) - Y(6)p(v, 6) = о.
(15)
б)
Р
8A Г 8A'
Ь(р, ф,6) = а(ф,6) + — Рп-\ с(р,ф,6) = Р(ф,6) + —
_ 8ф _ _ 86 _
f р,ф,6) = У^ 6)exP{(1 - т)А(Р,Ф,6)} Рп~\ 8^ = ^Г,
86 8ф
g(р, ф, 6) = А(ф, 6) exp{(1 - т)А(р, ф, 6)} рп-1, a/S.- Ру = 0.
8а _ 8Р 86 8ф
(16)
Тогда п.д.-система (13) разрешима и многообразие её решений выражается формулами вида: и(р,ф,в) = ехр{А(р) + ю(ф,в)} [С + (1 -ш)0(ф,в)]ї-Ш, (17)
ф 6 у 6
где со(ф, 6) = J P(t)dt + J y(6)dr, 0.(ф, 6) = J pit, 6)dt + J q(0, r)dr , либо формулой
и(р, ф, в) = ехр{А(р, ф, в) + фх (ф, в)} [С + (1 - ш)0.і (ф, ^)]і-ш: где ах (р, ф, в), ^ (р, ф, в) выражаются через коэффициенты системы (13)
(18)
8
8
о
о
Теорема 3. Пусть в п.д.-системе (13) а, Ь, С, /, g Є С1(Е), и Є С2(^0). Если условия (N5)
выполняются, но нетождественно, тогда система уравнений (13), кроме тривиального решения, может иметь некоторое частное решение. Для того, чтобы условия (N5) выполнялись тождественно, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты из ^5) имели соответствующий вид (15) либо (16). Тогда п.д.-система (13) разрешима и многообразия ее решений выражаются формулами
вида (17) либо (18). Причем решение (17) во всей области О является непрерывным, и решение (18) при 0 < п < 1 во всей О непрерывно, а при п > 1 в точке р = 0 соответственно имеет особенности логарифмического либо степенного порядка (п-1). Если в п.д.-системе (13) а(р,ф,в) удовлетворяет условиям (М), тогда решение системы в О будет непрерывным.
Поступило 30.12.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. - Душанбе: Дониш,1986,116 с.
2. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1992, т. 322, № 4, с. 646-650.
3. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 1997, т. 354, № 1, с. 21-24.
4. Михайлов Л.Г. - ДАН России, 2002, т. 384, № 6, с. 731-734.
5. Михайлов Л.Г. - ДАН, т. 398,2004, № 2, с. 1-4.
6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1958, 468 с.
7. Шарипов Б. - ДАН ТаджССР, 1980, т. 23, № 3, с. 125-130.
8. Шарипов Б., Раджабов Б.Х. - Паём (Вестник) ИПС, 2005, с. 78-82.
Б.Шарипов
ДАР БОРАИ БАЪЗЕ СИСТЕМАМИ МУОДИЛА^О ДАР ДИФФЕРЕНСИАЛИ ПУРРА БО КОЕФФИСИЕНТ^ОИ СИНГУЛЯРЙ ДАР ФАЗО
Донишкадаи со^ибкорй ва хизмат Вазорати энергетика ва саноати Цум^урии Тоцикистон
Дар маколаи мазкур як синфи системаи муодилах,о дар дифференсиали пуррае дида ба-ромада мешавад, ки барои онх,о айниятан ичро шудани шарти хдмчоягй таъмин карда шуда, мачмуи х,алх,ояш дар намуди ошкор ёфта мешаванд.
Калима^ои калиди: системаи муодилахо дар дифференсиали пурра - шарти %амцоягй-нуцтаи сингуляри — фазо.
B.Sharipov
ON THE TOTAL OF SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EGVATIONS WITH SINGULAR COEFFICIENTS
Institute of Entrepreneurship and Servise of the Ministry of Energy and Industry of the Republic of Tajikistan
The representation formulas for solutions of total differential system are received in the paper. Key words: system equations in total differential - ordinary differential equations - with singular points.
